APOSTILA DE CÁLCULO 3

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APOSTILA DE CÁLCULO 3APOSTILA DE CÁLCULO 3APOSTILA DE CÁLCULO 3APOSTILA DE CÁLCULO 3 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Professor : Gustavo - Engenharia civil/Biomédica 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Derivadas Parciais 
 
 As técnicas, regras e fórmulas desenvolvidas para diferenciar funções a uma variável 
podem ser generalizadas para funções a duas ou mais variáveis, considerando-se que uma das vaiáveis 
deve ser mantida constante e as outras diferenciadas em relação à variável remanescente. Por exemplo, 
considere a função f a duas variáveis dada por f(x,y) = x² + 3xy – 4y². Consideremos, temporariamente, 
a segunda variável y como constante e diferenciemos em relação à primeira variável x. Por conseguinte, 
visto que y é constante 
 
( ) ( ) xx
dx
d
xx
dx
d 2² 2 == ; ( ) ( ) yx
dx
dyxy
dx
d 333 == 
 
 e ( ) 0²4 =− y
dx
d
; daí, 
( ) ( ) yxyxyx
dx
dyxf
dx
d 32²43², +=−+= , da mesma forma em relação à y fazendo x constante temos: 
 
( ) ( ) ( ) ( ) xy
dy
d
xyxy
dy
dy
dy
d
xx
dy
d 333;022 ==== e 
 
( ) y
dy
dyy
dy
d 844 22 −=−=− , daí vem : 
 
( ) ( ) yxyxyx
dy
dyxf
dy
d 8343, 22 −=−+= . 
 
Se f é uma função a duas variáveis e (x,y) é um ponto de f, então as derivadas parciais 
( ) ( )
y
yxf
e
x
yxf
∂
∂
∂
∂ ,,
, de f 
em (x,y) em relação à primeira e à segunda variável são definidas por: 
 
( ) ( ) ( )
x
yxfyxxf
x
yxf
x ∆
−∆+
=
∂
∂
→∆
,,lim, 0 e , 
 
( ) ( ) ( )
y
yxfyyxf
y
yxf
y ∆
−∆+
=
∂
∂
→∆
,,lim, 0 , contanto que os limites existam. 
 
Caso tenhamos alguma situação na qual apareça a derivada de uma função composta, procedemos da 
mesma maneira da forma já conhecida para funções de uma variável utilizando a regra da cadeia. Por 
conseguinte, seja g uma função a duas variáveis, por facilidade de compreensão. Se w = f(v) e v = 
g(x,y), ou seja w = f[g(x,y)], então mantendo y constante e utilizando a regra da cadeia conhecida, 
temos: 
 
( )[ ] ( ) ( )
x
v
vfyxgyxgf
x
w
x ∂
∂
==
∂
∂
',,' ; isto é, 
x
v
v
w
x
w
∂
∂
∂
∂
=
∂
∂
 
 
, analogamente, ( )[ ] ( )yxgyxgf
y
w
y ,,'=∂
∂
= ( )
y
v
vf
∂
∂
' ; isto 
 
é, 
y
v
v
w
y
w
∂
∂
∂
∂
=
∂
∂
 . 
 
Exemplo: Se w = ²²1 yx −− , encontre 
.y
w
e
x
w
∂
∂
∂
∂
. 
Exercício 
 
1) Calcule as derivadas parciais f x ( )yx, e ( )yxf y , : 
 
a) f(x,y) = 2534 235 yxxyx +− 
b) f(x,y) = 2xy³ + x²y² - 4xy 
c) f(x,y) = x – xy + x³y² 
d) f(x,y) = 3y³ + 2x³y³ - 5x 
e) f(x,y) = x³y² + 3x²y³ - 6y² 
f) f(x,y) = 10x 5 - 5x³y³ - 4x²y³ 
g) f(x,y) = 5x² - 7xy + 2y² 
h) f(x,y) = senxcos7y 
i) f(x,y) = 
²²
²²
xy
yx
−
+
 
j) f(x,y) = x²seny 
k) f(x,y) = ²²3 yx + 
l) f(x,y) = tgye x2− 
 
 
Derivadas Direcionais e Gradiente 
 
 Considere um campo escalar no plano xy descrito por uma função diferenciável a duas variáveis. 
Desse modo, se z = f(xy), então z é o valor do campo escalar no ponto P = (xy). Seja L uma reta no plano 
xy. Quando P se move ao longo de L, z pode variar e faz sentido perguntar pela taxa de variação dz/ds, 
de z em relação à distância s medida ao longo de L. 
A fim de encontrar dz/ds, introduziremos um vetor unitário jbiau rrr += paralelo a L e na direção do 
movimento de P ao longo de L. Se P = (xy) está a s unidades de um ponto fixado P 0 = ( )0,0 yx em L, 
então usPP r=0 ; isto é ( ) ( ) .00 jbsiasjyyixx rrrr +=−+− Igualando os componentes temos 0xx − as= e 
0yy − =bs ; isto é , asxx += 0 e . Portanto, ads
dx
= e .b
ds
dy
= 
A derivada ,
ds
dz que é a taxa de variação do campo escalar z em relação à distância medida na direção do 
vetor unitário ur , é denominada derivada direcional de z na direção de ur e é escrita como zDur . Assim 
temos b
y
z
a
x
z
zDu ∂
∂
+
∂
∂
=r , ou ( ) ( ) ( ) ,,,, 21 byxfayxfyxfDu +=r onde .jbiau rrr += Em particular se ur é o 
vetor unitário que faz um ângulo θ com o eixo positivo do x, então ( ) ( ) jseniu rrr θθ += cos e 
θθ sen
dy
dz
dx
dz
zDu += cosr ou ( ) ( ) ( ) θθ senyxfyxfyxfDu ,cos,, 21 +=r . 
 
Exemplo: Um campo temperatura no plano xy é dado por z = ,
2520
60
22






+





+
yx
onde z é a 
temperatura em graus F no ponto ( )xy e onde as distâncias são medidas em quilômetros. Com que 
velocidade varia a temperatura em graus F por quilômetro quando nos movemos da esquerda para a 
direita pelo ponto ( )75,60 ao longo da reta L que faz um ângulo de 30 0 com o eixo positivo dos x? 
 
 
Solução: Um vetor unitário ur paralelo a Le na direção do movimento ao longo de L é dado por 
( ) ( ) jseniu rrr 00 3030cos += = ji rr 





+







2
1
2
3
. Daí temos : 












+













=





+







=
2
1
25
2
2
3
20
2
2
1
2
3 yx
dy
dz
dx
dz
zDur = 2520
3 yx
+ . 
 
Fazendo x = 60 e y = 75, encontramos que a taxa de variação de z quando nos movemos através do 
ponto ( )75,60 na direção de ur é : 
( ) 2,8333
25
75
20
603
≈+=+ graus F por quilômetro. O vetor i
r
 faz um ângulo θ = 0 com o eixo 
positivo do x; daí, 
dx
dz
sen
dy
dz
dx
dz
zDi =+= 00cosr . Analogamente, o vetor j
r
 faz um ângulo θ =
2
pi
, daí, 
dy
dz
sen
dy
dz
dx
dz
zD j =+= 22
cos
pipi
r
. 
Portanto, as derivadas direcionais de z nas direções dos eixos positivos de x e y são derivadas parciais de 
z com respeito a x e y, respectivamente. A derivada direcional zDur pode ser expressa na forma de 
produto escalar. b
dy
dz
a
dx
dz
zDu +=r 
= ( ) 





++=+ j
dy
dzi
dx
dzjbia
dy
dzb
dx
dz
a
rrrr
. 
= 





+ j
dy
dzi
dx
dz
u
rrr
. . O vetor j
dy
dzi
dx
dz rr
+ cujos componentes escalares são as derivadas parciais de z em 
relação a x e y é denominado gradiente do campo escalar z e é escrito como z∇ , o símbolo ∇ , um delta 
grego invertido, é chamado “nabla”, assim podemos escrever a derivada direcional como zuzDu ∇= .
r
r
. 
Em palavras, a derivada direcional de um campo escalar numa dada direção é o produto escalar desta 
direção pelo gradiente do campo escalar. 
 
Integração Múltipla 
Anteriormente vimos que é possível derivar funções de várias variáveis derivando em relação a uma das 
variáveis enquanto as outras são mantidas constantes. Função de duas ou mais variáveis podem ser 
integradas de modo análogo. Assim, por exemplo, dada a derivada parcial ( ) xyyxf x 2, = , podemos 
integrar em relação a x, mantendo y constante, para obter ( ) ( ) ( )∫ +== ycyxyxfdxyxf x 2,, . Assim 
analogamente podemos integrar a função em relação a y, mantendo x constante. 
Observe que a integral definida em relação a y é uma função de x, que por sua vez pode ser integrada em 
relação a x. Essa “integral de ma integral” é chamada integral dupla. No caso de uma função de duas 
variáveis, existem dois tipos de integral dupla: 
( ) ( )( )
( )
( )
( )
∫ ∫ ∫ ∫ 



=
b
a
xg
xg
b
a
xg
xg
dxdyyfdydxyxf2
1
2
1
,, 
( ) ( )( )
( )
( )
( )
∫ ∫ ∫ ∫ 



=
b
a
yg
yg
b
a
yg
yg
dydxyxfdxdyyxf2
1
2
1
,, . 
Exemplo: Cálculo de uma integral dupla 
( )∫ ∫ +21 0 32
x
dydxxy = ( )∫ ∫  +
2
1 0
32 dxdyxy
x
= [ ]∫ +21 03² dxyxy x = ( )∫ +
2
1
3³ dxxx = 
( ) ( )
4
33
2
13
4
1
2
234
2
2
3
4
2424
2
1
24
=





+−





+=





+
xx
 
Exercícios 
 
1. Resolva as integrais abaixo: 
 
a) ∫ ∫
1
0
2
0
24 dydxyx ; b) ∫ ∫
2
0
3
0
3dydxy 
c) ∫ ∫
3
0
1
0
dydxxe xy ; d) ∫ ∫
4
0
1
0
dxdyye xy 
e) dxdyxy∫ ∫
2
0 0
3 ; f) ∫ ∫
1
0
2
1
dvduue v 
 
Cálculo de integrais duplas por iteração 
 
Considere, por exemplo, a integral dupla: ( )∫∫
R
dxdyyxf ,, onde R é a região assinalada 
f é contínua em R, e ( ) 0, ≥yxf para ( )yx, em R. Note que R é limitada abaixo pela reta y = a, acima 
pela reta y = b, a esquerda pelo gráfico da equação ( )ygx = e à direita pelo gráfico da equação ( )yhx = . 
Supomos que g e h são funções contínuas definidas sobre ( )ba, e que ( ) ( )yhyg ≤ para .bya ≤≤ 
Assim teremos a integral dupla iterada: ( )( )
( )
∫ ∫
=
=
=
= 


by
ay
yhx
ygx
dydxyxf , , que é a região tipo II. Da mesma forma 
quando temos, por exemplo, uma região R, limitada abaixo e acima pelas curvas contínuas y= g(x) e y = 
h(x), respectivamente, e limitada à esquerda e à direita pelas retas verticais x = a e x = b, 
respectivamente, teremos a integral dupla iterada: ( )( )
( )
∫ ∫
=
=
=
= 


bx
ax
xhy
xgy
dxdyyxf , . 
 
Ex. Calcule a integral dupla dada pelo método da iteração sendo: ∫∫
R
xydxdyx ;cos 21: ≤≤ xR e 
x
y pipi 2
2
≤≤ . 
Solução: 
( )∫∫ ∫ ∫ 





=
R
dxxydyxdxdyyxf 2
1
2
2
2
cos,
pi
pi = [ ]∫21 senxy
2
pi
x
pi2
==





−=





−= ∫∫ 1
2
2
1
2
1 2
cos
2
22
2 xdxxsendxxsensendx pi
pi
pipi
pi 2
12
cos
2 xpi
pi
=
pipi
pi
pi
2
cos
2
cos
2
−=− . 
 
Exercício 
 
1. Calcule as integrais pelo método da iteração conforme abaixo: 
 
a) ( )∫∫ +
R
dxdyyx : yxyR ≤≤2: e 10 ≤≤ y . 
b) ∫∫
R
xydxdy ; 32: ≤≤− xR e 62 +≤≤ xyx . 
c) ∫∫
R
xsenydydx; xyR ≤≤0: e pi≤≤ x0 . 
 
 
Integração por mudança de intervalo 
(Reversão da ordem de integração) 
 
 
Vamos integrar a função: ( ) dydxxsenyyxf 3, = no intervalo: 1≤≤ yx e 10 ≤≤ x , a integral ficará 
assim: ∫ ∫
1
0
1 3
x
dydxxseny , integrando a função teremos: ∫ ∫ 


1
0
1 3 dxdysenyx
x
, como podemos perceber, não 
temos condições de integrar a função da maneira como ela se apresenta, pois, u = y³ , du = 3y² dy não 
temos a função y² no integrando, sendo assim, temos a necessidade de inverter a ordem de integração e 
consequentemente os intervalos. 
Como os intervalos são y=x e y=1 , x=0 e x=1, teremos: se y =x yx =⇒ e x =0, se x =1 1=⇒ y e y = 
0, assim ficamos com a integral: ∫ ∫ 


1
0 0
3 dyxdxseny
y
, assim, dysenyx y∫ 




1
0
0
32
2
 = ∫
1
0
32
2
1 dysenyy = 
1
0
3
6
cos





 − y
 = - ( )0cos1cos
6
1
− . 
 
Exercício 
 
1.Calcule as integrais abaixo por reversão de ordem de integração: 
 
a) ∫∫ −
R
x dxdyye
2
, 30 ≤≤ y e 92 ≤≤ xy 
 
b) ∫∫ −
R
x dxdye
23
, 1≤≤ xy e 10 ≤≤ y 
 
c) ∫∫ −
R
dxdyx31 , 1≤≤ xy e 10 ≤≤ y 
 
d) dxdy
x
senx
R
∫∫ , 10 ≤≤ y e yxy ≤≤ . 
 
 
 
Integral Tripla 
 
 
Uma integral múltipla é chamada de tripla quando é do tipo ( )∫ ∫ ∫ dxdydzzyxf ,, , o procedimento para 
cálculo desse tipo de integral é observar a ordem que aparecem as diferenciais de dentro para fora do 
integrando e efetuar as integração nesta ordem, assim, no caso citado integramos primeiramente em 
função de x, depois integramos em função de y e finalmente em função de z. 
 
Ex; Calcular a integral tripla, ∫ ∫ ∫
− −−1
0
2
0
2
0
3
z zy
zdxdydz . 
 
= ∫∫ ∫ 


 −−
R
zy
dydzdxz
2
0
3 = ( )dydzzyz
R
∫∫ −−23 = ( )∫ ∫  −−
−1
0
2
0
23 dzdyzyz
z
= 
dzyzzyyz z∫
−




−−
1
0
2
0
22 3
2
36 = dzzzz∫ 





=−
1
0
23 66
2
3
 = 
1
0
23
4
32
8
3






+− zz
z
 = .
8
11
 
 
 
 
Exercício 
 
 
1. Calcule as integrais triplas abaixo: 
 
a) ∫ ∫ ∫
+1
0
3
0
2
0
x yx
ydzdydx 
 
b) ∫ ∫ ∫
+2
0
2
0
3
1
5
y zy
xdxdzdy 
 
c) ( )∫ ∫ ∫ +10 0 0
x z
dydzdxzx 
 
d) ∫ ∫ ∫
−2
0
4
0 0
2y y
xzdzdxdy 
 
e) ∫ ∫ ∫
pi pi2
0 0
2
0
4 senydzdydxz . 
 
 
 
 
Integral de Linha 
 
Definição 1. 
 
 
 
 
 
Seja C uma curva no plano xy com as equações paramétricas, C:






≤≤=
=
.),(
)(
btatgy
tfx
 
Onde f e g têm primeira derivada contínua. Suponha que P e Q são funções contínuas de duas variáveis, 
cujos domínios contêm a curva C. Então a integral de linha ( ) ( )∫ +c dyyxQdxyxP ,, = 
[ ]∫ +ba dttgtgtfQdttftgtfP )('),(),(()('))(),(( 
Logo para calcular a integral de linha, nós simplesmente fazemos as substituições x=f(t); dx=f’(t)dt; 
y=g(t); dy=g’(t)dt, e então integramos de t= a até t= b. 
 
Ex. Calcule a integral de linha ( ) ( )∫ +++c dyxydxyx 23 22 , se C:






+=
=
12ty
tx
, .10 ≤≤ t 
 
 
X= t, dx= dt; y = t²+1 ; dy= 2t dt. 
[ ] [ ]∫ +++++10 22)²1²()1²(3² tdtttdttt 
= [ ]∫ +++++10 4 2)12²2()3²4( dtttttt = ∫ ++++10 235 )32842( dttttt = 83²3
8
6
1
0
34
6
=





++++ tttt
t
 
 
A definição 1 se estende de uma maneira óbvia a integrais de linha sobre curvas no espaço 
tridimensional. De fato, suponha que C é a tal curva, definida pelas equações paramétricas escalares C: 










=
=
=
)(
)(
)(
thz
tgy
tfx
, bta ≤≤ , onde f, g e h têm primeira derivada contínua. Logo, se M, N e P são funções 
contínuas de três variáveis, cujos domínios contêm a curva C, a integral de linha t calculada fazendo-se 
as substituições x= f(t), dx= f’(t)dt, y= g(t), dy= g’(t)dt, z= ht), dz= h’(t)dt, e então integrando de 
a até b. 
 
Exercícios 
 
a)Calcule ∫ ++c xydzxzdyyzdx , se C:










=
=
=
³
²
tz
ty
tx
, .11 ≤≤− t 
b) ( ) ( )∫ ++−c dyyxdxyx 236²3 , onde C: 




=
=
²ty
tx
, .10 ≤≤ t 
c) ∫ +c ydyxdx , sendo C: 




=
=
senty
tx ²
, 
2
0 pi≤≤ t . 
 
 
 
 
 
Teorema de Green 
 
Seja C uma linha uniforme, simples, definindo uma curva fechada no plano xy e suponha que C 
determina o limite de uma região bidimensional R. Considere que C é orientado, sobre R, no sentido 
anti-horário. Suponha que P e Q são funções contínuas de duas variáveis, tendo derivadas parciais 
contínuas 
y
P
e
x
Q
∂
∂
∂
∂
 em R e C. Então, ∫ =+c dyyxQdxyxP ),(),( ∫∫ 




∂
∂
−
∂
∂
R
dydx
y
P
x
Q
. 
Ex. Calcular ∫ +c dyxxydx ³5 , onde C é a rva fechada que consiste nos gráficos de y= x² e y= 2x entre os 
pontos (0,0) e (2,4). 
 
( ) ²3³ xx
x
Q
=
∂
∂
 ; ( ) xxy
y
P 55 =
∂
∂
 
 
20 ≤≤ x e xyx 2² ≤≤ 
 
( )∫ ∫ −20
2
²
5²3
x
x
dydxxx = ( )[ ] ( )[ ]∫ −20 2²2² 5²3 dxyxyx xxxx 
= ( )∫ −−20 4 ²103³11 dxxxx = 15
28−
. 
 
 
Exercício 
 
a) ( ) ( )∫ −+−c dyxyydxxyx 2²³² , onde C é o quadrado de vértices (0,0);(3,0);(3,3);(0,3). 
b) ( ) ( )∫ ++c dyxydxyx ²3²² e C é o círculo x²+y²=9. 
c) xydydxyx
c
2²4 +∫ ao longo da curva C, onde C é um triângulo com os limites 10 ≤≤ x e 22 ≤≤ yx . 
d) ∫ +c dyxdxxy ³² o longo da curva C com orientação positiva, onde C é o retângulocom vértices 
(0,0);(2,0);(2,3);(0,3). 
e) ( ) ( )∫ ++−c dyyxdxxxy ²²2 delimitada pela parábola y= x² e pela reta y= 3x, entre os pontos (0,0) e 
(3,6). 
 
 
Integral de Superfície 
 
Área de superfície e Integral de Superfície 
 
Uma superfície S no espaço xyz pode ser descrita por um vetor posição variável R cujo ponto final P 
desloca-se ao longo da superfície S (conf.fig.). Se desejarmos expressar R parametricamente, é 
necessário usar dois parâmetros independentes, visto que S é Bidimensional. Logo, se os dois 
parâmetros são denotados por u e v, a equação paramétrica vetorial de S pode ser expressa por R= f(u,v)i 
+ g(u,v)j + h(u,v)k. Suponhamos que as funções f, g e h são continuamente diferenciáveis e definidas em 
uma região admissível D no plano xy. Não é necessário representar os parâmetros da superfície por u e v 
, eles podem mais facilmente ser denotados por x e y . Usando x e y como parâmetros, encontramos que 
a equação paramétrica vetorial de S é R = xi + yj + f(x,y)k, onde (x,y) desloca-se sobre a região D. 
Logo, a área da porção do gráfico de z = f(x,y) compreendida acima da região D no plano xy, é dada por 
A= dxdy
y
z
x
z
22
1 





∂
∂
+





∂
∂
+ 
 
 
 
Ex; Calcule da área da porção da superfície z= x² + y² 1≤ . 
 
A= dxdy
y
z
x
z
D
∫∫ 





∂
∂
+





∂
∂
+
22
1 = ( ) ( ) dxdyyx
D
∫∫ ++ ²2²21 = ∫∫ ++
D
dxdyyx 1²4²4 . Convertendo a 
integral dupla para coordenadas polares, obtemos: A= ∫ ∫ ++
pi
σσσ
2
0
1
0
1²²4²cos²4 rdrdsenrr 
= ∫ ∫ +
pi
σ
2
0
1
0
1²4 rdrdr = 
12
1552 −pi . 
 
 
Exercícios 
 
1.Calcular a integral ∫∫
+
R
yx dydxe ,
22
 onde R é a região semicircular x² + y² = 1, onde y é positivo. 
 
2. Calcular dxdyyx
R
∫∫ +
22
, sendo R o círculo de centro na origem e raio 2. 
3. Calcule a porção do plano x + y + z = 5 compreendida acima da região circular R : x² + y² 
9≤ . 
4.Calcule a área da porção da superfície z = x² + y² que está compreendida sobre a região R: x² + y² 9≤ . 
5. Calcule a integral de superfície σdzx
S
∫∫ ²² , onde S é a parte do cone x² + y² = z² entre os planos z = 1 
e z = 2. 
 
Equações Diferenciais 
 
Uma equação do tipo F(t,y(t), y’(t),...,y n (t)) = 0, onde y = y(t) é a função procurada, é chada de equação 
diferencial de ordem n. Assim sendo, a ordem de uma equação diferencial é a ordem da derivada mais 
alta da função incógnita que aparece no problema. A função y = )(tϑ que transforma a equação numa 
identidade é chamada solução da equação diferencial. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Substituições Trigonométricas 
 
Uma integral que envolve uma das seguintes expressões radicais ²² xa − , ²² xa + ou ²² ax − ( 
onde a é uma constante positiva) pode, muitas vezes, ser transformada numa integral trigonométrica 
familiar, utilizando-se uma substituição trigonométrica adequada ou uma mudança de variável. Obs: 
quando uma integral aparece: ²² ua − ou a² - u², deve-se substituir nesta expressão, “u” por “asenz” 
Pois: ( )zsenasenzaaasenzaua ²1²²²²)(²²² 2 −⇒−=−=− 
zazsena ²cos²1 ⇒−⇒ zacos= . Cqd. 
Sendo assim temos as substituições: 
X= asenz, substitui ²² xa − 
X = atangz, substitui ²² xa + 
X = asecz, substitui ²² ax − 
 
 
Bibliografia: 
 
MUNEM.Mustafa,A.FOULIS, David,J.Cálculo V.2.Guanabara Dois.1986. 
LEITHOLD, Louis. O cálculo com geometria analítica. V2. Harbra.2001. SP. 
GUIDORIZZI, Hamilton Luiz.Um curso de Cálculo.V3.LTC.5 edição.RJ.