teoria dos jogos

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UNIVERSIDADE CATÓLICA DE GOIÁS
PRÓ-REITORIA DE PÓS-GRADUAÇÃO E PESQUISA
COORDENAÇÃO DE PÓS-GRADUAÇÃO
ESPECIALIZAÇÃO EM GESTÃO FINANCEIRA
MODELO ESTRATÉGICO FINANCEIRO BASEADO NA TEORIA DOS JOGOS E 
NO EQUILIBRIO DE NASH. 
ARTIGO CIENTÍFICO
RENATO RIBEIRO DOS SANTOS
GOIÂNIA, GO
2009 
UNIVERSIDADE CATÓLICA DE GOIÁS
PRÓ-REITORIA DE PÓS-GRADUAÇÃO E PESQUISA
COORDENAÇÃO DE PÓS-GRADUAÇÃO
ESPECIALIZAÇÃO EM GESTÃO FINANCEIRA
RENATO RIBEIRO DOS SANTOS
MODELO ESTRATÉGICO FINANCEIRO BASEADO NA TEORIA DOS JOGOS E 
NO EQUILIBRIO DE NASH. 
Artigo cientifico apresentado como 
requisito parcial para conclusão do 
curso de Especialização em Gestão 
Financeira. 
Professor Orientador: Ricardo 
Resende Dias (Msc).
GOIÂNIA, GO
2009 
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LISTAS DE FIGURAS.
Figura 1: Dilema do Prisioneiro Pág. 18
Figura 2: Equilíbrio de Nash Pág. 21
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RESUMO
A estratégia começa com uma visão de futuro para a empresa e implica na definição 
clara de seu campo de atuação, na habilidade de previsão de possíveis reações às 
ações empreendidas e no direcionamento que a levará ao crescimento. A definição 
de objetivos, em si, não implica em uma estratégia. A teoria dos jogos interage com 
a economia a fim de encontrar estratégias racionais para situações em que o 
resultado depende não só da estratégia própria de um agente e das condições de 
mercado, mas também das estratégias escolhidas por outros agentes que 
possivelmente têm estratégias diferentes ou objetivos comuns. Analisando os 
agentes envolvidos, suas decisões individuais e as reações geradas por cada um, 
podemos prever o movimento dos outros jogadores, sejam eles concorrentes ou 
aliados, permitindo um posicionamento estratégico no jogo (Finanças) que 
possibilitará que os resultados e objetivos previamente determinados sejam 
atingidos. O Equilíbrio de Nash e a Teoria dos Jogos trarão respostas a indagações 
acerca de decisões financeiras e econômicas dentro e fora de uma organização.
Palavras-chave: Estratégia, Jogos, Economia e Finanças. 
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TEMA
Modelo Estratégico Financeiro baseado na Teoria dos Jogos e no Equilíbrio de 
Nash. 
INTRODUÇÃO
Os objetivos específicos desse estudo evidenciam as relações e aplicabilidades da 
Teoria dos Jogos nas Ações estratégicas Financeiras, com modelos estratégicos 
definidos a partir de aplicações econômicas e financeiras no âmbito empresarial e 
governamental. Para a economia, os jogos funcionam como objetos para a 
investigação científica e análise econômica, um estudo que mostra claramente essa 
aplicabilidade é a dinâmica dos governos. 
A Teoria dos Jogos como modelo estratégico financeiro estuda decisões em 
situação interativas, analisando os agentes envolvidos, suas decisões individuais e 
as reações geradas por cada um, dessa forma, prevendo o movimento dos outros 
jogadores, sejam eles concorrentes ou aliados, permitindo assim um posicionamento 
estratégico no jogo (Negócios) que possibilitará que os resultados e objetivos 
previamente determinados sejam atingidos.
A contribuição da análise das decisões e simulação dessas realidades garante sua 
aplicação não só na economia e nas finanças, como também nas outras ciências e 
em diversificadas situações. Especificamente, neste estudo, aplicaremos e 
provaremos sua autenticidade na Administração Financeira como modelo 
estratégico. 
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MÉTODO
Para a classificação da pesquisa, toma-se como base a taxionomia apresentada por 
Vergara (2004), que a qualifica em relação a dois aspectos: quanto aos fins e quanto 
as meios.
Quanto aos fins a pesquisa é exploratória e descritiva onde nos mostra que não se 
há existência de estudos que abordem o uso da Teoria dos Jogos e o Equilíbrio de 
Nash como modelo estratégico ideal englobado ao meio financeiro dentro e fora das 
organizações.
Quanto aos meios, a pesquisa é bibliográfica e teórica. Bibliográfica porque foi 
necessária uma revisão dos livros e teorias relacionados à Teoria dos Jogos e suas 
aplicações. Baseado nesta teoria precisei coletar e cruzar dados matemáticos e 
estratégicos a fim de provar o equilíbrio ideal (Equilíbrio de Nash) voltado à área 
financeira com o objetivo não só de sempre vencer, mas de nunca perder.
FUNDAMENTAÇÃO TEORICA
Segundo OSBORNE e RUBINSTEIN (1994, p.156), a Teoria dos Jogos é um 
conjunto de ferramentas criadas para auxiliar o entendimento dos fenômenos 
observados quando tomadores de decisão (jogadores) interagem entre si. Partindo 
do pressuposto de que os tomadores de decisão agem racionalmente na busca de 
seus objetivos, a Teoria dos Jogos leva em conta as capacidades, os conhecimentos 
e as expectativas dos diversos jogadores para criar representações abstratas de 
uma extensa classe de situações reais.
A Teoria dos Jogos é baseada, segundo CRAINER (1996, p. 45), na premissa de 
que em qualquer situação competitiva (que não seja determinada por puro acaso) 
existem fatores que podem ser representados matematicamente e analisados de 
forma que expliquem qual resultado prevalecerá. Percebe-se então, que a 
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compreensão adequada destas relações amplia as possibilidades de sucesso do 
jogador.
A Teoria dos Jogos faz uso da matemática para expressar formalmente às idéias 
compreendidas pelo modelo. Entretanto, como destacam OSBORNE e 
RUBINSTEIN (1994, p.185), ela não é inerentemente matemática, ainda que o uso 
do instrumental matemático facilite a formulação dos conceitos, a verificação da 
consistência das idéias e a compreensão das implicações do modelo composto.
Trata-se, na realidade de uma ferramenta analítica apara o estudo de situações 
onde haja interação e conflitos de interesses entre diversos participantes. Situação 
típica em negócios. 
Jogos – Características. 
• Conjunto de regras que especifica os elementos do jogo (jogadores, conjunto 
de ações possíveis para cada jogador, informações disponíveis para cada 
agente) e delimita a ação dos jogadores. 
• Conjunto de resultados (payoff’s) possíveis, decorrentes das ações de cada 
jogador. 
Jogadores
Os jogadores são agentes econômicos que tomam decisões. Podem ser 
consumidores buscando maximizar sua satisfação, ou empresas pensando em 
maximizar seu lucro ou aumentar sua fatia no mercado, investidores que devem 
decidir entre tomar ou não um empréstimo, bancos que têm de decidir se concedem 
ou não os empréstimos, ou mesmo o governo que tem de tomar a decisão de 
implementar uma determinada política econômica. Na tomada de decisão eles 
procuram maximizar suas preferências.
Ações Estratégicas.
Defini-se estratégia como sendo o conjunto de ações a ser executado ao longo do 
jogo, que resultará em respostas dos adversários e implicará em um plano 
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estratégico para cada ação e reação do opositor, compondo um complexo conjunto 
de alternativas (estratégias) e uma diversidade de lances.
Informações
Nas regras do jogo também estarão definidas que tipo de informação estará 
disponível para cada jogador.
Resultados (Payoff’s)
O conjunto de estratégias que definirá ou induzirá o resultado.
Classificação
A classificação do jogo de acordo com os diversos tipos possíveis de jogos permite 
que ele represente, com maior ou menor fidelidade, diversas situações de conflito 
real. Entre os possíveis temos:
• Jogos baseados em regras x jogos de desenvolvimento livre; 
• Jogos cooperativos x jogos não cooperativos; 
• Jogos de informação perfeita x jogos de informação imperfeita; 
• Jogos de soma zero x jogosde soma não zero.
Tipologia dos Jogos
Os jogos podem ser cooperativos e não cooperativos. Além desta divisão, eles 
podem ser classificados de várias maneiras: pelo número de participantes (duas 
pessoas, três pessoas, n pessoas), pela propriedade de serem divisíveis ou não em 
subjogos, pelo fato de gerarem somas constantes ou variáveis nos payoffs dos 
participantes.
Uma classificação mais adequada do ponto de vista da teoria econômica é a 
seguinte:
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Jogos estáticos com informação completa
São jogos em que os participantes tomam as decisões simultaneamente e em que 
os payoffs possíveis para todas as combinações de estratégias são conhecidos por 
todos os jogadores.
Jogos dinâmicos com informação completa
São jogos em que as decisões dos diferentes jogadores são tomadas em diferentes 
momentos. A informação pode ser completa, mas imperfeita. A informação perfeita 
ocorre se o jogador na sua vez de tomar a decisão conhece sua posição, pois 
conhece a estratégia do outro, anteriormente decidida.
Jogos estáticos com informação incompleta
São jogos em que os participantes tomam as decisões simultaneamente, mas os 
payoffs não são totalmente conhecidos por todos os jogadores, havendo 
informações privadas. Jogos com informação incompleta também são chamados de 
jogos bayesianos. Um exemplo deste jogo é um leilão em que as ofertas são feitas 
simultaneamente em envelopes lacrados e secretos.
Jogos dinâmicos com informação incompleta
São jogos bayesianos e seqüenciais. Nesta classe incluem-se os chamados jogos 
de sinalização. Nestes jogos um participante que detém a informação privada emite 
um sinal para outro participante, que não possui a informação, e que posteriormente, 
toma uma decisão. As aplicações econômicas deste tipo de jogo vão desde o 
mercado de trabalho até o mercado financeiro.
Análise de Estratégias
Uma das abordagens para analisar um jogo se faz por meio da análise das 
estratégias que conduzem aos seus possíveis equilíbrios. Sob este aspecto, existem 
dois tipos de equilíbrio básicos: o equilíbrio de estratégias dominantes e o equilíbrio 
de NASH.
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RASMUSEN (1989, p.47) define dominante como sendo, estritamente a melhor 
resposta para qualquer estratégia que tenha sido escolhida pelos outros jogadores, 
e que proporciona sempre o maior payoff. Quando estratégias adotadas por 
jogadores permanecem inalteradas, diz-se que um equilíbrio de estratégias foi 
montado. Um equilíbrio de estratégias dominantes é único e representa a 
combinação das estratégias dominantes de cada jogador.
TAVARES (1995, p. 45) define o equilíbrio NASH como sendo a combinação de 
estratégias ótimas de cada jogador, ou seja, a melhor resposta às estratégias dos 
outros jogadores. Uma vez atingido o equilíbrio, nenhum jogador tem incentivo para 
desviar-se dele, dado que os outros jogadores também não desviam. Nesse sentido, 
todo equilíbrio de estratégias dominantes é um equilíbrio de NASH, mas nem todo 
equilíbrio de NASH é um equilíbrio de estratégias dominantes.
Estratégias Mistas
Embora a solução maximin pareça razoável para jogos de soma constante, quando 
não há uma um ponto de sela ou a soma é diferente de zero, será necessário fazer 
uma mistura que diminua os riscos de perdas ou promova outro ponto de equilíbrio 
que não pode ser alcançado apenas como recurso de estratégias puras ou estritas - 
aquelas que são listadas nas matrizes básicas. Quando os interesses não são 
totalmente opostos ou coincidentes, é possível achar estratégias mistas que 
ofereçam um melhor saldo para ambos os jogadores, em equilíbrio de Nash. Na 
próxima matriz, as circunstâncias não são plenamente competitivas ou de mera 
coordenação das ações. Os agentes devem buscar um consenso sobre qual dos 
resultados mostrados eles se encontrarão, a fim de evitar os piores resultados.
Quadro 1: Estratégias mistas.
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À primeira vista, uma rodada de comunicação prévia poderia solucionar o problema, 
não fosse à tentação de um deles ameaçar jogar sua estratégia favorita, cortando, 
em seguida, a ligação entre os dois. Linha, por exemplo, caso falasse primeiro, 
afirmaria a disposição de jogar alto, e ponto final. Sem deixar à Coluna outra opção 
além de seguir pela esquerda, pois ganhar um seria melhor do que nada. Imaginar o 
inverso disso faria com que Coluna dissesse direita, obrigando Linha jogar baixo. 
Tem-se, então, a situação interpretada como uma Batalha dos Sexos, onde um 
casal teria de decidir qual programa para a noite: ir ao balé ou assistir uma luta de 
boxe. A senhorita Linha prefere ir ao Balé com o senhor Coluna, em primeiro lugar. 
Sua segunda preferência é ir ao Boxe com ele. Ao contrário, o senhor Coluna 
prefere esta última possibilidade antes de tudo, sendo seu plano B ir ao Balé com 
ela.
Na Batalha dos Sexos, nenhuma estratégia pura garante uma solução para o jogo. 
Ainda que alguém ameace seguir sua estratégia favorita, não raro a retaliação do 
outro ocorre na escolha de sua própria estratégia preferida, com intuito de preservar 
a reputação de pessoa firme que não se curva a ameaças. Só o recurso a uma 
mistura de suas estratégias estritas permite encontrar um resultado que pareçam 
satisfatórios para ambos os jogadores. O teorema minimax, ou maximin, ofereceu 
como solução para essas circunstâncias a aplicação das estratégias disponíveis 
segundo uma taxa de freqüência determinada. A fim de obter-se a melhor mistura, 
que garanta, ao menos, o mais alto ganho entre os piores, o método simples para 
jogos 2 x 2, descrito por Rapoport consiste em encontrar a diferença entre as 
notações das duas estratégias Alto e Baixo, para o jogador da linha, fazendo depois 
a razão da segunda diferença em relação à primeira. Para descobrir sua mistura 
minimax, a Linha deve subtrair zero de um na estratégia "Alto" e zero de dois na 
estratégia "Baixo", cuja razão em relação à primeira produz 2:1, o que leva a uma 
proporção de (2/3 Alto, 1/3 Baixo). Por sua vez, Coluna diminui zero de dois e zero 
de um, à esquerda e à direita, gerando 1:2 e, em conseqüência, (1/3 Esquerda, 2/3 
Direita). Agora, ambos jogadores podem calcular o valor esperado para a situação 
em que se encontram. Linha multiplica a proporção de Alto com a probabilidade da 
Coluna fornecer-lhe dois ou zero, somando a proporção de Baixo e multiplicando as 
chances de obter zero ou um, do seguinte modo.
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v(l) = 2/3(1/3 × 2) + 2/3(2/3 × 0) + 1/3(1/3 × 0) + 1/3(2/3 × 1) =
2/3 × 2/3 + 1/3 × 2/3 =
4/9 + 2/9 = 
6/9 =
2/3
E conclui que seu valor será de 0.66 úteis (unidade padrão da utilidade, na teoria 
dos jogos; pural utiles). Menos do que o útil certo que ganharia em Baixo-Direita. 
Fazendo as contas de seu valor, Coluna chega à conclusão semelhante, mas 
simétrica:
v(c) = 1/3(2/3 × 1) + 1/3(1/3 × 0) + 2/3(2/3 × 0) + 2/3(1/3 × 2) =
1/3 × 2/3 + 2/3 × 2/3 =
2/9 + 4/9 = 
6/9 =
2/3
Por causa da simetria do jogo, as misturas de estratégias minimax ou maximin 
garantem aos dois jogadores os mesmos resultados conjuntos (0.66, 0.66), nesta 
versão da Batalha dos Sexos. O sucesso que a minimax oferece em jogos de soma 
zero, ao reduzir ao mínimo as perdas de cada parte, nem sempre é garantia de boa 
escolha em jogos de soma variante. A Batalha dos Sexos não é um jogo de soma 
constante e soluções melhores podem ser encontradas, como se verá quando os 
jogos falados forem analisados. Quando se trata de ganhar ou perder, a mistura 
minimax pode vir a ser o único conselho a sugerir.
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Semelhanteà Batalha dos Sexos, aqui não há um ponto de sela que represente a 
maximin das estratégias puras. A estratégia mista maximin da Linha chega ao valor 
de 5/7 útil com a proporção (4/7 Alto, 3/7 Baixo), da mesma forma que mistura 
maximin da Coluna (5/7 Esquerda, 2/7 Direita). Com isso, Rapoport conclui que seria 
desvantagem aos jogadores fugir da aplicação das estratégias mistas, pois, a longo 
prazo, essa seria a melhor probabilidade para as partes envolvidas nessas 
circunstâncias e outra alternativa seria desvantajosa. Inferência que Morton Davis 
contestou em sua introdução não-técnica intitulada Teoria dos Jogos, de 1970. Por 
ser um jogo de soma zero, não haveria porque se acreditar que o uso da mistura 
maximin seria desvantajoso ou vantajoso para ambos oponentes, pois um terá 
necessariamente de ganhar ou perder ao realizar suas ações, o que inviabilizaria por 
contradição a bem sucedida aplicação da estratégia mista pelas partes, ao mesmo 
tempo. Optar por esta linha de ação seria atraente, graças à suposta segurança 
oferecida de obter aquele resultado. Porém, para Davis isso não passa de uma 
questão de gosto pessoal pela segurança, uma vez que, ao buscarem outras 
estratégias, jogadores audazes, amantes do risco tornariam imprevisível qualquer 
resultado factual. Apenas um vencerá com certeza.
Em razão do teorema minimax, o jogo geral de duas pessoas, soma-zero, tem boa 
base teórica. Mas, sendo jogo de informação perfeita, raramente surge na prática. A 
dificuldade está no requisito de o jogo ser soma-zero em situações prescritas. 
A presunção essencial sobre que se assenta a teoria é a oposição de interesses de 
dois jogadores. Na medida em que a presunção não seja válida, a teoria será 
irrelevante e desorientadora.
Em jogos cuja soma dos resultados é diferente de zero, a estratégia mista maximin 
não é a única solução existente, nem mesmo a melhor. Na Batalha dos Sexos, 
apesar da comunicação gerar oportunidades de ameaças, em uma rodada prévia 
isolada, quando se busca a coordenação, a troca indeterminada de mensagens 
poderia fornecer melhores resultados que a estratégia maximin mista, ampliando o 
espaço de resultados originais até a fronteira de eficiência conhecida como ótimo de 
Pareto, na qual nenhum agente obterá melhor resultado sem diminuir os ganhos da 
outra parte, como sugeriram Luce e Raiffa, na possibilidade de comunicação, as 
partes poderiam concordar em aceitar um mecanismo equânime que permitisse a 
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mesma escolha das estratégias Alto-Esquerda ou Baixo-Direita na mesma 
proporção meio a meio. Com isso, cada um obteria 3/2 - somando os ganhos (2, 1) e 
(1, 2), dividindo-os, depois, por dois, achando (3/2, 3/2) cruzamento de 
possibilidades bem acima dos 2/3 anteriores.
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DISCUSSÃO
Aplicação da Teoria dos Jogos no Business.
Uma ilustração do Professor Guilherme Marques de Azevedo, Mestre da PUC-RIO, 
diz:
"Existe, no mundo dos negócios, um jogo competitivo nos quais os 
jogadores são as empresas. As estratégias são os movimentos das 
empresas buscando o sucesso por meio dos benefícios e prêmios 
(payoffs) resultantes de cada cadeia de movimentos."
A existência do ‘jogo’ parece indicar que a Teoria dos Jogos pode contribuir 
efetivamente para a Administração Estratégica, pois nos jogos de estratégia em 
geral, prever como os competidores reagirão aos movimentos e antecipar-se às 
suas próximas ações constitui uma enorme vantagem, nessa ótica o instrumental 
analítico da teoria permite a identificação dos movimentos mais adequados a se 
realizar, de acordo com a movimentação da concorrência. 
No jogo dos negócios (Business Game) a observação e análise dos movimentos 
passados do jogo, determinam qual a ação que, se tomada de imediato, poderá 
conduzir a organização à posição futura desejada ou a máxima obtenção de 
resultados financeiros. O modelo econômico financeiro trás uma infindável gama 
estratégica e trabalha dentro desse contexto de competição, busca indefinidamente 
uma vantagem competitiva no mercado visto a competitividade mutua dentro das 
organizações. O agente (Jogador) toma as decisões procurando maximizar seus 
objetivos, buscando o máximo lucro, a máxima satisfação, entre outros que dê 
sustentação rentável aos negócios. Segundo NASH: 
“Nenhum jogador tem a ganhar mudando sua 
estratégia Unilateralmente.”
Se cada jogador (Empresário / Gestor) chegar à conclusão que ele não tem como 
melhorar sua estratégia dadas as estratégias escolhidas pelos seus n-1 adversários 
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(estratégias dos adversários não podem ser alteradas), então as estratégias 
escolhidas pelos participantes deste jogo definem um equilíbrio de Nash.
No mundo dos negócios onde a obtenção de resultados é crucial para a empresa, 
seus colaboradores e sócios (acionistas), um modelo estratégico errôneo ou 
precipitado pode culminar na insolvência e na falta de obtenção de bons indicadores. 
Com o equilíbrio financeiro baseado na Teoria dos Jogos como modelo estratégico 
pode facilitar o processo de tomada de decisão com uma boa ótica das estratégias 
mercadológicas e financeiras. 
A aplicação da Teoria dos Jogos, segundo o livro Introdução à Economia, N. 
Gregory Mankiw , retrata um modelo financeiro estratégico, o autor recorre ao 
Dilema dos Prisioneiros para exemplificar o jogo entre duas empresas de cigarros, 
Malboro e Camel, que precisam decidir sobre investir em campanhas publicitárias 
para atrair mais consumidores, conseqüentemente maiores vendas, ganho de 
mercado e lucros, mediante a decisão de anunciar da outra empresa concorrente.
Decisão da Malboro
 Anuncia Não Anuncia
Anuncia US$ 3 bilhões para cada 
empresa
Malboro obtém um lucro 
de US$ 2 bilhões
Camel obtém um lucro de 
US$ 5 bilhões
Não 
Anuncia
Malboro obtém um lucro 
de US$5 bilhões
Camel obtém um lucro de 
US$2 bilhões
Ambas as empresas obtém 
um lucro de US$ 4 bilhões
Fonte: Introdução à Economia, N. Gregory Mankiw
A tabela demonstra que os lucros de ambas as empresas dependem de suas ações. 
A publicidade é uma estratégia dominante para cada uma das duas empresas, logo 
ambas precisam anunciar seu produto, mesmo que elas fiquem em melhor situação 
não fazendo publicidade.
O autor então conclui, comprovando que esses resultados foram reais nos testes 
realizados em 1971, quando o Congresso dos Estados Unidos aprovou uma Lei 
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proibindo a publicidade de cigarros na televisão, quando fabricantes de cigarro não 
contestaram a LEI. O fato é que as empresas de cigarro sabiam que seus lucros 
aumentariam com essa LEI, pois esta resolveria o Dilema dos Prisioneiros, 
garantindo que houvesse cooperação das partes, provando o Equilíbrio de Nash 
como modelo estratégico ideal.
O Dilema dos Prisioneiros
Trata-se de uma situação formulada por MERRILL FLOOD e MELVIN DRESHER 
em 1950 onde dois indivíduos devem tomar uma decisão, e sua conseqüência 
depende da interação das duas decisões. Nesse jogo duas pessoas são 
aprisionadas, suspeitas de terem cometido, conjuntamente um crime. Os policiais 
colocam os dois suspeitos em celas separadas, de modo que a comunicação entre 
eles não seja possível; a cada um é perguntado se cometeram ou não o crime. Os 
policiais para induzi-los a confessar, propõem as seguintes situações:
a) Se o suspeito não confessar e o seu parceiro confessar, denunciando o outro, a 
pena será máxima para o que não confessou: dez anos de reclusão, enquanto o que 
confessou terá a pena reduzida à zero;
b) Se ambosconfessarem, a pena será reduzida à metade: cinco anos de reclusão 
para cada suspeito;
c) Se nenhum deles confessar o crime, eles apenas continuarão presos por mais um 
tempo, dois anos, por exemplo.
Com base no exemplo citado, podemos estudar o comportamento dos jogadores, as 
estratégias possíveis e suas conseqüências. Se um dos suspeitos confessar o 
crime, poderá ficar preso cinco anos ou permanecer livre, caso o outro não 
confesse. Se não confessar, poderá ficar apenas dois anos preso, se o outro não 
confessar, ou dez anos caso o outro não confesse. Também é possível analisar o 
resultado do jogo, a chamada solução de um jogo. Nesse caso parece melhor para 
ambos não confessar e permanecer preso mais dois anos, porém como eles estão 
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incomunicáveis existe a ameaça do outro confessar e com isso ficar dez anos preso, 
enquanto aquele que confessou recebe a liberdade imediatamente. Considerando a 
hipótese de traição, ambos terão fortes motivos para confessar, podendo assim 
reduzir sua pena ou até se ver livre dela. A conseqüência acaba sendo a confissão 
de ambos e a pena de 5 anos, o que não foi, para nenhum dos dois a melhor 
alternativa.
Figura 1: Dilema dos Prisioneiros
 Prisioneiro "B" nega Prisioneiro "B" delata
Prisioneiro "A" nega Ambos são condenados a 2 anos.
"A" é condenado a 10 anos; "B" sai 
livre
Prisioneiro "A" delata "A" sai livre; "B" é condenado a 10 anos Ambos são condenados a 5 anos
Fonte: The Mathematics of Games of Strategy: Theory and Applications. M. Dresher
O Dilema do Prisioneiro, na sua versão clássica (uma única vez) ou em sua versão 
modificada (possibilidade de interação), tem sido usado para estudar o problema da 
cooperação entre indivíduos, grupos e nações em diversos tipos de problemas.
O objetivo do artigo é analisar, brevemente, o problema da cooperação (ou não) 
entre equipes que tem um objetivo em comum e utilizam de estratégias para 
conquistarem esse objetivo e que geralmente é um objetivo finaceiro. Os líderes 
destas equipes podem adotar diversas estratégias de atuação. Neste caso, pode 
prevalecer o egoísmo e a tentativa de obter o maior resultado possível à custa da 
outra equipe, ou um forte espírito de cooperação entre as equipes que as levem a 
maximizar as oportunidades conjuntas, mesmo que isto represente um valor menor 
para uma delas. Como se comporta a natureza humana dos indivíduos em grupos? 
Se um líder adotar um comportamento ético e objetivar o maior ganho possível para 
a organização, pode optar pela opção "ficar calado" (no dilema do prisioneiro), onde 
as duas equipes ganham, mas todos ganham menos. Ou pode optar pelo grande 
lance, onde a sua equipe ganha tudo ou nada. No "dilema do prisioneiro" um 
componente importante do jogo, além das personalidades envolvidas, é a 
antecipação da escolha que será feita pela outra parte. Pressupostamente, as duas 
partes são amigas e companheiras (ou pertencem a uma mesma empresa), mas na 
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hora que entra em jogo um interesse individual maior, um deles poderá não se 
comportar como o previsto.
Como eles não podem se comunicar (e no caso da empresa, podem existir 
incentivos organizacionais para não se falarem), eles terão que especular qual será 
o comportamento mais previsível da outra parte, e adotar uma estratégia compatível.
O Dilema do Prisioneiro nos conduz a algumas reflexões para o trabalho em equipe.
• As equipes não podem atuar isoladamente. Parece ser errado achar que cada 
um deve cuidar apenas de seu próprio território. Estes podem ser e muitas vezes 
são superpostos. O futuro de uma equipe pode estar atrelado ao da outra.
• Não deve haver um incentivo institucional à competição das equipes internas, ao 
darwinismo organizacional. Isto se traduziria em políticas de autodestruição 
dentro da própria empresa.
• Os líderes das equipes devem ter chance de se conhecerem melhor e, portanto, 
de desenvolver um nível maior de cooperação.
• Deveria ser analisado (e divulgado) se do ponto de vista da empresa interessa 
que uma equipe ganhe e outra perca. Muitas vezes a personalidade abrasiva de 
um líder de equipe acaba com outras equipes, em detrimento do todo.
• A cooperação sempre tem um ganho final positivo em relação a outras possíveis 
alternativas de ação.
As empresas tendem a estarem em um ciclo onde a preponderância da 
competitividade é capaz de assumir a principal gama de situações positivas ou 
negativas dentro da organização, visto que é através de estratégias que elas obtém 
dividendos e rentabilidade necessária para alcançarem um bom patamar de 
desenvolvimento. Através dos Jogos, as empresas podem melhor entender a 
importância da estratégia para um modelo cognitivo real em relação ao seu retorno 
financeiro.
O desenvolvimento de estratégias baseadas na versatilidade desse composto 
determinará o sucesso financeiro e uma antecipação a estratégias dos possíveis 
concorrentes gerando assim uma maior competitividade em relação a outras 
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possíveis estratégias financeiras o que novamente nos mostra a veracidade do 
Equilíbrio de Nash.
O Equilíbrio de Nash.
O conceito de equilíbrio (ou solução) de Nash é também conhecido como o de não 
arrependimento. A combinação de estratégias escolhidas leva a um resultado no 
qual nenhum dos jogadores individualmente se arrepende, ou seja, esse jogador não 
poderia melhorar a sua situação unilateralmente modificando a estratégia escolhida. 
Numa situação em que se utiliza o conceito de Nash, um jogador escolhe a melhor 
estratégia, dado a escolha do outro. Voltemos ao dilema dos prisioneiros.
Vimos que a solução por estratégias dominantes é ambos confessarem e, assim, 
ficarem presos por cinco anos. Essa também é uma solução de Nash o prisioneiro 1 
tem uma decisão melhor do a de confessar, uma vez que o prisioneiro2 confessou? 
Não, pois a outra opção seria não confessar, e se o fizesse ficaria dez anos preso. 
Assim para o prisioneiro 1, confessar é a melhor estratégia se o 2 confessar. O 
mesmo ocorre para o prisioneiro 2, pois confessar é a melhor resposta que ele pode 
dar a estratégia de confessar escolhida por 1. Nessa situação, nenhum dos dois 
prisioneiros se arrepende do que fez, em vista do que o outro fez. Cada um deles, 
individualmente, não poderia ter agido de maneira melhor. Essa solução é, portanto 
uma solução de Nash, que é a mesma encontrada pelo critério de dominância.
Examinando o resultado de apenas dois anos de cadeia para os prisioneiros, caso 
nenhum deles confesse, percebe-se que essa não é uma solução pelo critério de 
Nash. O jogador 1 arrepende-se de não ter confessado, pois se o tivesse feito 
estaria livre àquela hora, uma vez que o prisioneiro 2 não confessou. Assim poderia 
melhorar a sua situação em vista da opção do outro. Existe nesse cão uma forte 
tendência a fugir da situação, não configurando uma solução estável. Outros 
resultados possíveis que não o de Nash tem o mesmo problema, pois sempre pelo 
menos um dos jogadores se arrepende da opção escolhida.
Um equilíbrio de Nash é, portanto uma combinação de estratégias da qual nenhum 
jogador pode aumentar seus ganhos unilateralmente, ao mudar de estratégia. Para 
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localizar um ponto de equilíbrio em uma matriz, existem alguns métodos práticos e 
simples. O jogador deve descobrir a célula na qual o ganho seja, simultaneamente, o 
máximo da Linha nas devidas colunas e o da Coluna nas suas linhas. Visualmente, 
isto pode ser feito com o recurso de setas ou de letras que marquem os máximos da 
Linha (l) e da Coluna (c), sendo equilíbriosde Nash as células que contenham as 
marcas de ambos os jogadores, ou seja, a convergência das setas.
O encontro das estratégias (alto, esquerda) e (baixo, direita) indicam a existência de 
dois pontos de equilíbrio que impedem a escolha de uma única solução usando só 
as estratégias puras, motivo pelo qual a mistura de estratégias se faz necessária. 
Quando um jogo apresenta apenas um ponto de equilíbrio pela combinação de 
estratégias puras é sinal que houve o cruzamento de duas estratégias dominantes. 
Ou seja, estratégias que dominam as outras estratégias de cada jogador, 
fornecendo o melhor ganho, independente do que o outro faça. Assim, no modelo 
desenhado na figura abaixo, também conhecido como "Dilema dos Prisioneiros", as 
estratégias baixo e direita superam as respectivas estratégias alto e esquerda, da 
Linha e da Coluna. Contudo, a dominância e a perfeição deste ponto de equilíbrio 
espantam a todos que se defronta com este quadro pela primeira vez.
Figura 2: O Equilíbrio de Nash.
Se há concorrência (mercado), estratégias (Finanças) e tomadas de decisões então 
existe um cenário propicio a formulação de jogos que analisados a partir da Teoria 
dos Jogos, poderão fornecer importantes contribuições para a tomada de decisão.
Segundo Neumann (1940, p.138)
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“A teoria dos jogos distingue-se da economia na 
medida em que procura encontrar estratégias racionais 
em situações em que o resultado depende não só da 
estratégia própria de um agente e das condições de 
mercado, mas também das estratégias escolhidas por 
outros agentes que possivelmente têm estratégias 
diferentes ou objetivos comuns.”
John Von Neumann acreditava amplamente que problemas típicos do 
comportamento econômico são rigorosamente idênticos às soluções matemáticas de 
certos jogos de estratégia, sendo assim é possível também realizar uma relação 
financeira dentro das organizações. 
Modelos de fluxo de caixa e modelos de análises de investimentos podem ser 
criados a partir de estratégias de jogos dinâmicos, ao qual poderão instruir no 
melhor modelo de tomada de decisões para se maximizar determinados resultados. 
Neumann conseguiu estruturar também a tese onde sua aplicação depende de um 
modelo, porém, não exige regras do jogo particulares (Contestando assim às idéias 
de Borel que estavam limitadas a exemplos isolados, ou na melhor das hipóteses, a 
jogos de soma nula de dois jogadores com matrizes de Payoff simétricas). Assim a 
solução de equilíbrio de Nash não depende da competição perfeita ou até mesmo 
dos contextos do mercado que limitavam a interação; podemos assim afirmar que é 
possível realizar um estudo preventivo e estratégico no intuito de antecipar-se ao 
mercado e suas tendências, obtendo assim um melhor rendimento operacional e 
uma vantagem competitiva em relação a outros competidores (Concorrentes). 
Em relação a modelos estratégicos financeiros é possível afirmar que as matrizes 
payoff são capazes de delimitar um modelo matemático em que as situações podem 
ser previstas havendo uma maior gama de possibilidades estratégicas com o intuito 
de maximizar os lucros da organização e programar conceitos que induziram os 
jogadores a estarem sempre em sintonia de modo que o Equilíbrio se estabeleça, a 
fim de criar uma estratégia dominante dentro e fora da organização sempre com a 
cooperação de todos (jogadores), com um mesmo objetivo final. 
Diferentemente do que o Teorema de Neumann propunha, em uma disputa 
financeira nem sempre existem apenas perdedores ou ganhadores, podemos obter 
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um equilíbrio matemático de maneira a interagir com o máximo de informações de 
mercado, presumindo assim uma rentabilidade maior para ambas as partes baseado 
no Equilíbrio de Nash como modelo estratégico ideal, conforme apresentado durante 
a discussão. O modelo estratégico seria firmemente focado na teoria dos jogos 
como modelo matemático derivativo real.
CONSIDERAÇÕES FINAIS
Nesse estudo observamos que existem pontos comuns entre a lógica das 
estratégias financeiras econômicas e a utilizada pela Teoria dos Jogos, 
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demonstrando que sua capacidade explicativa, descritiva, analítica e prescritiva 
pode dar um importante suporte à tomada de decisões.
No entanto, essa prática não tem sido muito comum, em razão até das controvérsias 
geradas por alguns autores em relação a essa contribuição na Administração 
estratégica, que decorrem do fato de que a Teoria dos Jogos falham em representar 
as escolhas simultâneas relacionadas com um conjunto maior de variáveis, para 
eles as distintas posições competitivas só podem ser definidas a partir dos tradeoffs, 
das interações e da representação das muitas variáveis que compõe a cadeia de 
valor. 
Apesar dessas limitações teóricas e que ainda estão sendo estudadas 
cientificamente através de testes empíricos por alguns estudiosos, pode-se constatar 
efetividade no entendimento do comportamento e interações estratégicas do 
mercado, só o fato de você considerar a resposta do outro já leva a uma 
abrangência maior de planejamento e preparação para as várias situações 
decorrentes de determinada decisão. Por isso, muitos empresários têm buscado 
esses conceitos como forma de expandir a visão em relação ao mundo dos 
negócios, compreendendo que suas decisões afetam o mercado concorrente e 
podem provocar resultados opostos aos desejados.
Organizações bem sucedidas rastreiam o ambiente em busca de mudanças que lhe 
dêem vantagens competitivas, conhecer e aplicar ferramentas que propiciem o 
desenvolvimento de estratégias eficazes é papel fundamental para o bom 
administrador, porém essa teoria já partiria para um estudo científico mais 
aprofundando do tema em questão para aplicação ampla dos conceitos expostos às 
estratégias econômicas e financeiras como um todo.
REFERÊNCIA BIBLIOGRAFIA
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