F128 Exercicios Resolvidos Cap 1

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F128 - Exercícios Resolvidos - Cap. 1
Exercício 1
Um bilionário ofereceu-se para lhe dar 2 bilhões de reais (em notas de 1 real), se você for capaz
de contar o dinheiro. Você deveria aceitar a oferta? Suponha que você tem 18 anos e que pode
contar uma nota por segundo e que, ainda, necessita de 8 horas por dia para comer e dormir.
Inicialmente devemos escrever o número de notas dado:
2 bilhões de notas = 2.000.000.000 = 2× 109 notas
Tirando as 8h de descanso restam 16h para a contagem de dinheiro por dia. Isso equivale a:
16 h
dia
× 3.600 s
h
= 57.600 segundos por dia
Se você consegue contar 1 nota/segundo poderá contar:
1nota
s
× 57.600 s
dia
= 57.600 notas/dia
Dividindo o total de notas a serem contadas por esta taxa de contagem obtemos:
2× 109 notas
57.600 notas/dia ≈ 34.722 dias
Cada ano possui cerca de 365 dias1, portanto o tempo requerido em anos é cerca de:
34722 dias
365 dias/ano ≈ 95 anos
Como a contagem seria iniciada aos 18 anos, a idade final seria de 113 anos e você teria passado
toda a sua vida contando dinheiro, sem tempo para gastá-lo, que é a parte mais divertida.
Por curiosidade, as máquinas de contar cédulas comuns são capazes de contar 1000 cédulas
por minuto. Mesmo uma dessas máquinas levaria quase 6 anos para realizar a contagem.
Exercício 2
Observa-se atualmente um derretimento acelerado da camada de gelo que cobre a Antártida, o que
pode gerar um catastrófico aumento do nível das águas dos oceanos. Estime o aumento no nível
do mar que haveria caso toda a camada de gelo da Antártida se derretesse e fluísse para o mar.
Considere que a espessura da camada é de cerca de 2km e sua área total é igual a aproximadamente
o dobro da área do território brasileiro. Considere finalmente que os oceanos cobrem cerca de 70%
da área da superfície da Terra e que água e gelo têm a mesma densidade.
1Lembre-se que existem os anos bissextos de 400 em 400, de 100 em 100 e de 4 em 4 anos. Dizer que um ano
possui 365 dias é uma aproximação, assim como dizer que um mês possui 30 dias e o dia 24 horas também não é
estritamente correto.
©2015 Resolvido por Douglas D. Souza.
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Precisamos inicialmente calcular o volume de gelo da Antártida. Não importa qual unidade
escolhemos (m3 ou km3) desde que usemos a mesma unidade em todos os valores e cálculos.
Em uma enciclopédia encontramos que a área do território brasileiro é de cerca de 8, 51 ×
106km2, logo o volume de gelo na Antártida é:
V = 2×
(
8, 51× 106km2
)
× 2km ≈ 3, 4× 107km3 de gelo
Como iremos assumir que gelo e água possuem a mesma densidade, este volume calculado é o
mesmo volume de água que irá fluir para os oceanos.2
Agora devemos calcular qual será a elevação dos oceanos.
Sabemos que esta elevação multiplicada pela área dos oceanos é o volume de água que foi
adicionada pelo derretimento das geleiras, portanto:
H × A = V
Em qualquer enciclopédia encontramos o raio da Terra: R = 6, 38 × 103km. A partir disso
podemos calcular a área total da superfície da Terra: S = 4piR2 ≈ 5, 11× 108km2. Sabemos que
70% = 70100 = 0, 7
3 dessa área são oceanos, portanto A = 0, 7S = 3, 58× 108km2.
Encontrando a elevação dos oceanos H:
H = 3, 4× 10
7km3
3, 58× 108km2 ≈ 0, 095km = 95m
O nível do mar se elevaria em torno de 95m com o derretimento da Antártida.
De acordo com uma estimativa de Donald F. Boesh, do Centro de Ciências Ambientais da
Universidade de Maryland, para cada 1mm de elevação do nível do mar a faixa litorânea regride
em média 1, 5m.4 Isto implica que uma elevação de 95m corresponderia a uma regressão de 14km
da faixa litorânea terrestre. Perceba que o cálculo feito aqui representa, na verdade, uma elevação
vertical, ou seja, um grande paredão de água se formando nas praias. Esta foi uma aproximação
para facilitar os cálculos, mas uma aproximação muito boa como veremos agora: Podemos pensar
que o nível de água desce um pouco para encher também as "praias". O volume nescessário
para encher todas as orlas seria de no máximo 14km × 0, 095km × 356000km = 4, 7 × 105km3,
onde 356000km é o comprimento total de todas as linhas costeiras. Isso é apenas 1% do volume
calculado de água a ser adicionada aos oceanos, ou seja, erramos a elevação em apenas 1% para
mais, sendo que 94m seria um valor um pouco mais correto. Para comparação, estima-se que
até 2100 o mar se elevará apenas em 1m, inundando metade de Bangladesh (população de 134mi
habitantes) e afetando 70 milhões de pessoas na China.
2Assumimos que o gelo da Antártida está apoiado sobre rocha, acima do nível do mar. Em um curso posterior
de hidrostática veremos que um cubo de gelo boiando em um copo de água não altera o nível da água ao se derreter,
mesmo que sua densidade seja razoavelmente menor que a da água.
3O "porcento" significa "dividido por cem". Da mesma forma existe o "por mil" ou "permilagem" com o símbolo
especial 0/00.
4Citado por Bette Hileman em "Consequences of Climate Change," Chemical & Engineering News, 27 March
2000, pp. 18-19.
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Exercício 3
Supondo que existem 50 milhões de carros em um certo país e que o rendimento médio da gasolina
seja de 8km/l, quanta gasolina poderia ser poupada, por ano, se o rendimento passasse a ser de
10km/l? Suponha que a distância média percorrida por um carro em um ano seja de 16× 103km.
Número de carros:
50 milhões de carros = 50× 106 = 5× 107 carros
Total de quilômetros percorridos por estes carros em um ano:
d =
(
5× 107carros
)
×
(
16× 103km/carro
)
= 8× 1011km
Rendimento menor
Podemos agora calcular quantos litros de gasolina é gasto em média para que um carro percorra
1km:
c1 = consumo =
1
rendimento =
1
8km/l = 0, 125 l/km
Consumo total em um ano:
C1 = 0, 125
(
l
km
)
× 8× 1011km = 1011l
Rendimento maior
c2 =
1
10km/l = 0, 1 l/km
Consumo total em um ano:
C2 = 0, 1
(
l
km
)
× 8× 1011km = 8× 1010l
Gasolina poupada em um ano
C1 − C2 = 2× 1010l = 20 bilhões de litros
Exercício 4
Os tsunamis são ondas de comprimento de onda λ muito maior que a profundidade do oceano
onde elas se propagam.
a) Nesse caso, sua velocidade de propagação ν é função apenas de g, a aceleração da gravidade,
e da profundidade p. Use análise dimensional para encontrar a dependência de ν com g e p.
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Primeiramente devemos ter clara em mente a diferença entre unidade e dimensão. Dimensão
é a característica física que uma dada variável representa, por exemplo: massa, comprimento,
tempo, velocidade ou força. Unidade é um padrão escolhido para se medir essa dada caracte-
rística. Dizemos que determinado objeto possui uma massa de três quilogramas ou 6,6 libras.
A característica física é a mesma (massa) mas as unidades usadas são diferentes (quilograma ou
libra). Da mesma forma diz-se que faltam 60 minutos para o término da aula, ou seja, 1 hora.
Aqui a dimensão é o tempo e as unidades usadas são o minuto ou a hora. A altura de uma
pessoa (comprimento → dimensão) pode ser medida em polegadas, palmos, pés, côvados, jardas
ou metros (todas diferentes unidades).
Na análise dimensional não importa qual unidade iremos usar para representar uma dada
grandeza física, mas sim a característica física dessa grandeza, sua dimensão.
Inicialmente escrevemos as dimensões de cada grandeza a ser usada no problema:
Grandeza Velocidade v Acel. gravidade g Prof. do Oceano p
Dimensão comprimento comprimento comprimento
dividido por tempo dividido por tempo2
Notação [v] = L
T
[g] = L
T 2 [p] = L
Vamos assumir que a velocidade da onda seja proporcional ao produto de diferentes potências
de g e p:
v ∝ gαpβ (1)
Ser proporcional implicauma dependência linear, ou seja, a divisão do lado esquerdo pelo
direito é uma constante sem dimensões que chamaremos de C:
v = Cgαpβ
Agora vamos analisar as dimensões de cada lado:
[v] =
[
Cgαpβ
]
[v] = [C] [gα]
[
pβ
]
[v] = [g]α [p]β
Pois C é adimensional. Agora, sabendo as dimensões de cada grandeza temos:
L
T
=
(
L
T 2
)α
(L)β
L1
T 1
= L
α+β
T 2α
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Para que a igualdade seja verdadeira devemos ter:
α + β = 1
2α = 1
Com solução α = 12 e β =
1
2 .
Dessa forma descobrimos a provável5 forma funcional para a velocidade de propagação de uma
onda:
v = C√gp
Portanto uma onda se move muito mais lentamente quando chega na praia do que quando está
no meio do oceano (pode-se mostrar que de fato v = √gp).
b) A energia transportada pelo tsunami é proporcional ao quadrado da amplitude (altura) A
da onda e à extensão (comprimento) d do tsunami, E = kA2d. A constante de proporcionalidade k
depende de g, λ e da densidade da água ρ. Use análise dimensional para encontrar a dependência
de k com as quantidades acima.
Inicialmente vamos encontrar as dimensões de k. Escrevemos as dimensões de cada grandeza
a ser usada no problema:
Grandeza Energia E Amplitude A Extensão d
Dimensão massa× comprimento
2
comprimento comprimento
dividido por tempo2
Notação [E] = ML2
T 2 [A] = L [d] = L
Agora fazemos a análise dimensional a partir da expressão proposta e deixamos a dimensão de
k como sendo uma variável a ser encontrada:
[E] =
[
kA2d
]
[E] = [k] [A]2 [d]
ML2
T 2
= [k]L2L
[k] = M
LT 2
5É importante notar que a análise dimensional nos permite encontrar os expoentes dos termos quando eles já
estão em uma relação simples. Descobrir esta relação depende dos conhecimentos e da experiência (feeling) do
experimentador. Se a relação não for simples não é possível o uso de análise dimensional. Para que a análise
dimensional funcione na descoberta de relações entre grandezas físicas é necessário um chute muito bem dado ao se
escrever a função a ser ajustada Eq.1. Apesar disso ela ainda é muito útil quando se trabalha apenas com símbolos,
pois podemos verificar se a resposta final possui as mesmas dimensões que a grandeza calculada.
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Nos resta agora relacionar k com as grandezas g, λ e ρ. Escrevemos as dimensões de cada uma
dessas grandezas:
Grandeza Gravidade g Compr. onda λ Densidade ρ
Dimensão comprimento comprimento massa
dividido por tempo2 dividida por comprimento3
Notação [g] = L
T 2 [λ] = L [ρ] =
M
L3
Novamente precisamos assumir uma forma funcional para tentar descobrir qual a relação entre
k, g, λ e ρ.
Escolheremos a forma mais simples6:
k = Cgαλβργ
Agora fazemos a análise dimensional:
[k] =
[
Cgαλβργ
]
[k] = [C] [g]α [λ]β [ρ]γ
M
LT 2
=
(
L
T 2
)α
(L)β
(
M
L3
)γ
M · L−1 · T−2 = Mγ · L(α+β−3γ) · T−2α
E, comparando os expoentes de cada termo, obtemos um sistema de equações:
γ = 1
α + β − 3γ = −1
−2α = −2
Resolvendo este sistema encontramos: α = 1, β = 1 e γ = 1. Portanto, provavelmente temos:
k = Cgλρ
E portanto:
E = CgλρA2d
Uma busca em livros textos nos revela que E = 12gλρA
2d, o que concorda com o que encon-
tramos através da análise dimensional.
6Reutilizamos as letras C, α e β apenas por conveniência, elas não tem relação com as do item a!
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Exercício 5
Sabemos que a aceleração da gravidade é proporcional à massa do planeta TerraM e inversamente
proporcional ao quadrado de seu raio R, a partir da fórmula:
g = GM
R2
onde G é uma constante de proporcionalidade, chamada de constante gravitacional. Determine
a dimensão de G.
Façamos a análise dimensional:
[g] =
[
G
M
R2
]
= [G] [M ]
[R]2
Conhecemos as dimensões das seguintes grandezas:
Grandeza Gravidade g Raio da Terra R Massa M
Dimensão comprimento comprimento massa
dividido por tempo2
Notação [g] = L
T 2 [R] = L [M ] =M
Portanto:
[G] = [g] [R]
2
[M ] =
L
T 2
L2
M
= L
3
MT 2
Por curiosidade, em uma enciclopédia encontramos (conforme o SI):
G ≈ 6, 673×10−11m3kg−1s−2
Exercício 6
Num movimento oscilatório, a abscissa (x) de uma partícula é dada em função do tempo (t) por:
x = A+B cos (ωt+ φ)
onde A, B, ω e φ são parâmetros constantes não nulos. Adotando como fundamentais as
dimensões M (massa), L (comprimento) e T (tempo), obtenha as fórmulas dimensionais de A, B,
ω e φ.
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Novamente fazemos análise dimensional. A equação deve ser dimensionalmente homogênea.
Isto significa que cada lado da equação deve ter a mesma dimensão, assim como cada parcela das
somas que podem aparecer. Devemos ter:
[x] = [A+B cos (ωt+ φ)]
Isso implica em:
[A] = [x] = L
e
[B cos (ωt+ φ)] = [x] = L
Como a função trigonométrica não possui dimensão devemos ter [B] = L
O argumento da função trigonométrica também não pode ter dimensão7. Para que isso aconteça
devemos ter:
[ωt+ φ] =M0L0T 0
Ou seja:
[ωt] = M0L0T 0
[ω] = 1
T
e
[φ] =M0L0T 0
ou seja, φ é adimensional.
7Se o argumento da função cosseno tivesse dimensão, o resultado do cálculo da função através de uma expansão
em série de Taylor não seria dimensionalmente homogêneo, por exemplo. Sabemos que cosx = 1 − x22! + x
4
4! −
x6
6! + ... e teríamos uma soma de parcelas com diferentes dimensões. O mesmo acontece para as outras funções
trigonométricas, exponencial, logaritmo, entre outras funções especiais.
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