F128 Exercicios Resolvidos Cap 3

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F128 - Exercícios Resolvidos - Cap. 3
Exercício 1
Um avião segue a rota mostrada na figura. Primeiramente, ele voa da origem do sistema de
coordenadas até a cidade A, localizada a 175km em uma direção que forma 300 com o eixo x. Em
seguida, ele voa 153km para noroeste, formando 200 com a direção y, até a cidade B. Finalmente,
ele voa 195km na direção oeste até a cidade C.
a) determine a localização da cidade C em relação à origem. Utilize a notação de vetores
unitários.
A cidade C está localizada no final dos deslocamentos:
~R = ~a+~b+ ~c
Agora precisamos escrever os vetores ~a, ~b e ~c:
~a = axiˆ+ ay jˆ = 175 cos 30oiˆ+ 175sin30ojˆ
= 151, 55ˆi+ 87, 50jˆ
~b = 153 (−sen20o) iˆ+ 153 (cos 20o) jˆ
= −52, 33ˆi+ 143, 77jˆ
~c = −195ˆi+ 0jˆ
Dessa forma obtemos:
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2
~R = ~a+~b+ ~c
= (ax + bx + cx) iˆ+ (ay + by + cy) jˆ
= (−95, 78km) iˆ+ (231, 27km) jˆ
b) determine o módulo e a direção de ~R.
O módulo do vetor ~R é dado por:
∣∣∣~R∣∣∣ = √~R · ~R = √R2x +R2y
=
√
9173, 81 + 53485, 81
= 250, 32km
A direção é ao norte
(
+jˆ
)
e oeste
(
−iˆ
)
. O ângulo com a vertical (por isso Rx sobre Ry) é
dado por:
tan θ =
∣∣∣∣∣RxRy
∣∣∣∣∣
θ = arctan
∣∣∣∣∣RxRy
∣∣∣∣∣
= arctan (0, 4141)
= 22, 49o
Portanto a cidade C está a uma distância de 250, 42km, a noroeste, em relação a origem. O
vetor deslocamento da origem até a cidade C faz um ângulo de 22, 49o com a vertical.
Exercício 2
Considere dois deslocamentos: um de módulo 3, 0m e outro de módulo 4, 0m. Mostre de que
maneira estes deslocamentos podem ser combinados para produzir um deslocamento de módulo
a) 7, 0m;
Quando colocamos os dois deslocamentos paralelamente e com o mesmo sentido temos uma
adição: 3m+ 4m = 7m.
b) 1, 0m;
Quando colocamos os dois deslocamentos paralelamente mas com sentidos opostos temos uma
subtração: 4m− 3m = 1m.
c) 5, 0m.
Quando colocamos os dois vetores perpendicularmente um ao outro temos uma adição vetorial,
cujo módulo é dado por: |R| = √32 + 42 = 5m. Ou seja, formamos o famoso triângulo retângulo
3, 4, 5.
d) neste último caso, que ângulo a resultante forma com o deslocamento de menor módulo?
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Para este ítem podemos escolher o vetor de módulo 3m na direção x e o vetor de módulo
4m na direção y, apenas para poder representá-los em termos dos vetores unitários do sistema
cartesiano. Fazendo isso, queremos saber qual o ângulo entre o vetor ~R = 3ˆi+4jˆ e o vetor 3ˆi (que
é o menor dos dois). Para calcular este ângulo usamos o fato de que em um produto escalar entre
dois vetores ~a e ~b, que formam um ângulo θ, temos:
~a ·~b = |~a|
∣∣∣~b∣∣∣ cos θ
Ou seja,
cos θ = ~a ·
~b
|~a|
∣∣∣~b∣∣∣
No nosso caso temos:
cos θ =
(
3ˆi
)
·
(
3ˆi+ 4jˆ
)
3× 5 =
9
15
Portanto:
θ = arccos
(3
5
)
≈ 53, 1o
Exercício 3
São dados 2 vetores: ~a = 4ˆi− 3jˆ e ~b = 6ˆi+ 8jˆ. Quais são:
a) o módulo de ~a?
A partir da definição do produto escalar podemos encontrar:
|~a| =
√
~a · ~a =
√
a2x + a2y =
√
(4)2 + (−3)2 = √25 = 5
b) o ângulo de ~a+~b com iˆ?
Calculemos primeiro
(
~a+~b
)
em termos dos vetores unitários:(
~a+~b
)
=
(
4ˆi− 3jˆ
)
+
(
6ˆi+ 8jˆ
)
= (4 + 6) iˆ+ (−3 + 8) jˆ = 10ˆi+ 5jˆ
Pelo produto escalar sabemos que:(
~a+~b
)
· iˆ =
∣∣∣(~a+~b)∣∣∣ ∣∣∣ˆi∣∣∣ cos θ
onde θ é o ângulo entre os vetores
(
~a+~b
)
e iˆ. Usando o que sabemos temos:(
~a+~b
)
· iˆ =
(
10ˆi+ 5jˆ
)
· iˆ = 10ˆi · iˆ+ 5jˆ · iˆ = 10
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∣∣∣(~a+~b)∣∣∣ = √(10)2 + (5)2 = √125 = 5√5
∣∣∣ˆi∣∣∣ = 1
Portanto temos:
cos θ =
(
~a+~b
)
· iˆ∣∣∣(~a+~b)∣∣∣ ∣∣∣ˆi∣∣∣ = 105√5 = 2√5 = 2
√
5
5
Usando uma calculadora científica (ou uma régua de cálculo, ou uma tabela de funções, ou um
transferidor papel e régua, ou...) calculamos:
θ = arccos
(
2
√
5
5
)
≈ 26, 57o
Perceba que este é o ângulo entre
(
~a+~b
)
e o eixo x (versor iˆ). Desenhando os eixos vemos
que:
tan θ = 510
θ = arctan
(1
2
)
≈ 26, 57o
c) o módulo e o ângulo de ~b− ~a com jˆ?
Vamos primeiro calcular
(
~b− ~a
)
:(
~b− ~a
)
=
(
6ˆi+ 8jˆ
)
−
(
4ˆi− 3jˆ
)
= [(6)− (4)] iˆ+ [(8)− (−3)] jˆ = 2ˆi+ 11jˆ
O módulo de
(
~b− ~a
)
é: ∣∣∣(~b− ~a)∣∣∣ = √22 + 112 = √125 = 5√5
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E o ângulo de
(
~b− ~a
)
com jˆ pode ser calculado pelo produto escalar:
cos θ =
(
~b− ~a
)
· jˆ∣∣∣(~b− ~a)∣∣∣ ∣∣∣jˆ∣∣∣ = 115√5 = 11
√
5
25
Usando uma calculadora científica:
θ = arccos
(
11
√
5
25
)
≈ 10, 30o
d) o ângulo entre as direções de ~b− ~a e ~a+~b?
Do item b) sabemos que
(
~a+~b
)
= 10ˆi+ 5jˆ e que
∣∣∣(~a+~b)∣∣∣ = 5√5.
O angulo de
(
~b− ~a
)
com
(
~a+~b
)
pode ser calculado pelo produto escalar:
cos θ =
(
~b− ~a
)
·
(
~a+~b
)
∣∣∣(~b− ~a)∣∣∣ ∣∣∣(~a+~b)∣∣∣ =
(
2ˆi+ 11jˆ
)
·
(
10ˆi+ 5jˆ
)
5
√
5× 5√5 =
20 + 55
125 =
75
125
Temos assim:
θ = arccos
(3
5
)
≈ 53, 1o
e) (extra) o ângulo entre as direções de ~b− ~a e ~a−~b?
Sabemos que
(
~b− ~a
)
= 2ˆi + 11jˆ (calculado anteriormente). Logo sabemos que
(
~a−~b
)
=
−
(
~b− ~a
)
= −2ˆi− 11jˆ.
E sabemos também que
∣∣∣(~a−~b)∣∣∣ = ∣∣∣(~b− ~a)∣∣∣ = 5√5
Então o ângulo entre eles é dado por:
cos θ =
(
~b− ~a
)
·
(
~a−~b
)
∣∣∣(~b− ~a)∣∣∣ ∣∣∣(~a−~b)∣∣∣ = −1255√5× 5√5 = −1
Ou seja, o ângulo entre eles é de θ = 180o.
Exercício 4
São dados três vetores (em metros):
~r1 = −3, 0ˆi+ 3, 0jˆ + 2, 0kˆ
~r2 = −2, 0ˆi− 4, 0jˆ + 2, 0kˆ
~r3 = 2, 0ˆi+ 3, 0jˆ + 1, 0kˆ
Determinar:
a) ~r1 · (~r2 + ~r3);
Primeiro vamos calcular a soma de vetores (~r2 + ~r3):
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6
(~r2 + ~r3) =
(
0, 0ˆi− 1, 0jˆ + 3, 0kˆ
)
m
Assim temos:
~r1 · (~r2 + ~r3) =
(
−3, 0ˆi+ 3, 0jˆ + 2, 0kˆ
)
·
(
0, 0ˆi− 1, 0jˆ + 3, 0kˆ
)
= (−3, 0) (0, 0) + (3, 0) (−1, 0) + (2, 0) (3, 0)
= 3, 0m2
b) ~r1 · (~r2 × ~r3);
Primeiro vamos calcular o produto vetorial (~r2 × ~r3) pelo determinante:
(~r2 × ~r3) =
∥∥∥∥∥∥∥
iˆ jˆ kˆ
−2, 0 −4, 0 2, 0
2, 0 3, 0 1, 0
∥∥∥∥∥∥∥
= (−4, 0− 6, 0) iˆ+ (4, 0− (−2, 0)) jˆ + (−6, 0− (−8, 0)) kˆ
=
(
−10, 0ˆi+ 6, 0jˆ + 2, 0kˆ
)
m2
Agora fazemos o produto escalar:
~r1 · (~r2 × ~r3) =
(
−3, 0ˆi+ 3, 0jˆ + 2, 0kˆ
)
·
(
−10, 0ˆi+ 6, 0jˆ + 2, 0kˆ
)
= 30, 0 + 18, 0 + 4, 0
= 52m3
c) ~r1 × (~r2 + ~r3).
Fazemos o produto vetorial de forma prática:
~r1 × (~r2 + ~r3) =
∥∥∥∥∥∥∥
iˆ jˆ kˆ
−3, 0 3, 0 2, 0
0, 0 −1, 0 3, 0
∥∥∥∥∥∥∥
= (9, 0− (−2, 0)) iˆ+ (0, 0− (−9, 0)) jˆ + (3, 0− 0, 0) kˆ
=
(
11, 0ˆi+ 9, 0jˆ + 3, 0kˆ
)
m2
Exercício 5
Quais operações abaixo são possíveis e quais são os resultados? Explique o significado geométrico
de d).
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a)
(
2ˆi · 3ˆi
)
· 4jˆ;
Esta operação não é possível pois 2ˆi · 3jˆ = 6 é um número e o produto escalar só está definido
para dois vetores.
b)
(
2jˆ · 4jˆ
)
× 3kˆ;
Esta operação não é possivel pois 2jˆ ·4jˆ = 8 é um número e o produto vetorial só está definido
para dois vetores.
c)
(
2ˆi× 3jˆ
)
× 4ˆi;
Dos parênteses obtemos um vetor e a seguir podemos calcular o produto vetorial desse vetor
com 4ˆi. Fazemos o cálculo em duas etapas:
(
2ˆi× 3jˆ
)
=
∥∥∥∥∥∥∥
iˆ jˆ kˆ
2 0 0
0 3 0
∥∥∥∥∥∥∥ = 6kˆ
e a seguir:
6kˆ × 4ˆi =
∥∥∥∥∥∥∥
iˆ jˆ kˆ
0 0 6
4 0 0
∥∥∥∥∥∥∥= 24jˆ
d)
(
2ˆi× 3jˆ
)
· 4kˆ;
Sabemos que
(
2ˆi× 3jˆ
)
= 6kˆ, portanto:(
2ˆi× 3jˆ
)
· 4kˆ = 6kˆ · 4kˆ = 24
Significado geométrico de d):
Quando calculamos o produto vetorial ~a×~b obtemos um vetor com módulo
∣∣∣~a×~b∣∣∣ = |~a| ∣∣∣~b∣∣∣ senθ,
onde θ é o ângulo entre ~a e ~b. Este é o valor numérico da área do paralelogramo formado por ~a e
~b:
Além disso, este vetor resultante aponta perpendicularmente ao plano (saindo do plano), con-
forme a regra da mão direita.
Notamos que acrescentar mais um vetor ~c nos permite definir um paralelepípedo. O próximo
passo agora é fazer o produto escalar (uma projeção) entre este vetor extra e aquele que representa
um plano. Ao projetarmos ~c sobre a perpendicular ao plano estamos calculando a altura c cosφ
de um paralelepípedo inclinado de um ângulo φ em relação à verticaldefinido pelos três vetores:
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Concluímos portanto que
(
~a×~b
)
· ~c é o volume do paralelepípedo formado por estes três
vetores. No nosso caso este volume é 24 unidades de volume.
Sobre o ordenamento dos eixos xyz.
Atenção, o produto vetorial iˆ× jˆ deve estar na direção kˆ. Esta é a chamada regra da mão direita.
Os três eixos podem ser rodados mas nunca trocados de ordem, conforme as figuras a seguir:
Exercício 6
Prove que dois vetores devem ter módulos iguais para que a sua soma seja perpendicular à sua
diferença.
Se dois vetores ~r1 e ~r2 são perpendiculares, a projeção de um sobre o outro é nula, ou seja, o
produto escalar é nulo:
~r1 · ~r2 = 0
No nosso caso estes vetores são a soma e a diferença de dois vetores que chamaremos de ~a e ~b:
~r1 = ~a+~b
~r2 = ~a−~b
O exercício requer que:
(
~a+~b
)
·
(
~a−~b
)
= 0
~a · ~a− ~a ·~b+~b · ~a−~b ·~b = 0
a2 − b2 = 0
a2 = b2
a = b
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Pois o produto escalar é associativo, comutativo
(
~a ·~b = ~b · ~a
)
e o módulo de um vetor é
positivo definido.
Isto implica na condição de perpendicularidade entre as diagonais de um losango:
Exercício 7 (extra)
Calcule o ângulo entre os vetores ~a = 3ˆi+ 3jˆ + 3kˆ e ~b = 2ˆi+ 1jˆ + 3kˆ e seu produto vetorial.
Ângulo
O ângulo entre eles pode ser calculado pelo produto escalar:
~a ·~b = |~a|
∣∣∣~b∣∣∣ cos θ
cos θ = ~a ·
~b
|~a|
∣∣∣~b∣∣∣ = 3× 2 + 3× 1 + 3× 3√32 + 32 + 32√22 + 12 + 32 = 18√27√14 = 183√42 = 6√42
Usando uma calculadora:
θ = arccos
(
6√
42
)
≈ 22, 21o
Produto vetorial
Para calcular o produto vetorial de forma prática fazemos o determinante da matriz:
~a×~b =
∥∥∥∥∥∥∥
iˆ jˆ kˆ
3 3 3
2 1 3
∥∥∥∥∥∥∥
= (9− 3) iˆ+ (6− 9) jˆ + (3− 6) kˆ
= 6ˆi− 3jˆ − 3kˆ
O vetor ~c = ~a×~b resultante do produto vetorial é perpendicular tanto a ~a quanto a ~b, ou seja:
~a · ~c = 0
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10
~b · ~c = 0
Teste isso.
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