F128 Exercicios Resolvidos Cap 5

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F128 - Exercícios Resolvidos - Cap. 5
Exercício 1
Um saco de cimento pesando 400N é sustentado por três fios de massa desprezível, como na figura.
Dois dos fios fazem ângulos θ1 = 60o e θ2 = 30o com a horizontal. Se o sistema está em equilíbrio,
ache as trações T1, T2 e T3 nos fios.
Para resolver um problema de estática ou dinâmica inicie desenhando um diagrama de forças
para cada elemento do sistema, separadamente. Sabemos que pela 3a lei de Newton (ação e
reação) a força de contato que atua em um corpo é aplicada pelo outro corpo, tem a mesma
intensidade em ambos e sentidos opostos em cada um deles. No diagrama abaixo estas forças são
~F3 e −~F3:
Se o sistema está em equilíbrio, a somatória das forças em cada elemento, em cada direção,
deve ser nula.
No saco de cimento:
~R =
(
−~F3
)
+ ~P = 0
Componente horizontal
Rx = 0
−F3x + Px = 0
F3x = 0N
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2
Componente vertical
−F3y + Py = 0
−F3y − 400 = 0
F3y = −400N
Na junção dos três fios:
~R = ~F1 + ~F2 + ~F3 = 0
Componente horizontal
F1x + F2x + F3x = 0
Componente vertical
F1y + F2y + F3y = 0
Graficamente, dizer que a soma de três vetores se anula significa que:
Escrevendo cada vetor em termos de seu módulo e a projeção em cada eixo (suas componentes)
temos:
Para o vetor ~F1
F1x = −F1 cos 60o = −12F1
F1y = F1sen60o =
√
3
2 F1
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3
Para o vetor ~F2
F2x = F2 cos 30o =
√
3
2 F2
F2y = F2sen30o = 12F2
Retornando ao equilíbrio de forças:
F1x + F2x + F3x = 0
−12F1 +
√
3
2 F2 + 0 = 0
F2 =
√
3
3 F1
e também:
F1y + F2y + F3y = 0√
3
3 F1 +
1
2F2 − 400 = 0
Usando o resultado anterior e substituindo encontramos:
√
3
6 F1 +
√
3
2 F1 = 400(√
3 + 3
√
3
)
F1 = 2400
F1 = 200
√
3N
E também:
F2 =
√
3
3
(
200
√
3
)
= 200N
O módulo de ~F3 já conhecemos:
∣∣∣~F3∣∣∣ = F3 = 400N . Portanto as trações são:
T1 = 200
√
3N
T2 = 200N
T3 = 400N
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Perceba que a tração, se for interpretada como um vetor, pode trazer dificuldades. Uma corda
(de massa desprezível) esticada transmite a tração por toda a sua extensão. Esta tração só se
torna uma força vetorial quando a corda entra em contato com algum outro objeto. No caso das
extremidades, a força aplicada é paralela à ponta da corda e aponta na direção do corpo da corda.
Prefira tratar a tração como sendo um escalar que é o mesmo em toda a extensão da corda.
Depois, sabendo os pontos em que a corda está apoiada ou amarrada, defina vetores de força,
cada um com seu nome e use o valor da tração para calcular a intensidade destas forças.
Exercício 2
Uma menina de massa 40kg e um trenó de massa 8, 0kg estão separados de 15m, na superfície de
um lago congelado. A menina, ao puxar o trenó em sua direção por meio de uma corda, exerce
sobre ele uma força de 5, 0N .
a) qual é a aceleração do trenó?
Sabemos que nem a menina, nem o trenó, possuem aceleração na vertical. Isto implica que a
força normal equilibra a força peso para cada um deles. Supondo que a força da corda que atua
no trenó seja horizontal e a superfície do lago seja horizontal e sem atrito, a aceleração do trenó
é causada pela resultante de módulo RT = 5N sobre ele. Vetorialmente sempre temos:
~RT = mT~aT
Quando escolhemos uma base com seus vetores unitários para representar estes vetores temos:
RT
(
−iˆ
)
= mT~aT
~aT = −RT
mT
iˆ = −58 iˆ =
(
−0, 625m/s2
)
iˆ
b) qual é a aceleração da menina?
Pela lei da ação e reação, ao puxar o trenó com força de 5N a menina é puxada para frente
com a mesma intensidade de 5N :
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~RM = −~RT
~aM = −
RT
(
−iˆ
)
mM
= 540 iˆ =
(
0, 125m/s2
)
iˆ
c) qual é a distância entre o ponto de encontro do trenó com a menina, medida a partir da
posição da menina? Suponha que o atrito com o lago seja desprezível.
Aqui precisamos calcular qual foi a distância percorrida pela menina até o ponto de encontro.
A distância total que ambos percorrem é 15m, temos assim:
∆xT + ∆xM = 15
Sabemos que o movimento de ambos possui uma aceleração constante e velocidade inicial nula,
o que permite escrever:
aT
t2f
2 + aM
t2f
2 = 15
t2f =
30
aT + aM
= 300, 625 + 0, 125
t2f = 40s2
Agora calculamos a distância percorrida pela menina:
∆xM = aM
t2f
2 = 2, 5m
Note que o trenó se deslocou ∆xT = 12, 5m, e isto é exatamente 5 vezes o que a menina
percorreu. Isto nos revela alguma coisa a mais, já que a menina tem exatamente 5 vezes o peso
do trenó. Após alguns testes somos induzidos a escrever, para um caso mais geral, que:
mM
mT
= ∆xT∆xM
na ausência de atrito ou outras forças externas. Chegaremos a este resultado novamente mais
adiante, no capítulo 9A.
Exercício 3
Três blocos estão em contacto entre si, sobre uma superfície horizontal sem atrito, como mostrado
na figura. Uma força horizontal é aplicada ao bloco de massa m1. Se m1 = 2, 0kg, m2 = 3, 0kg,
m3 = 4, 0kg e F = 18N :
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a) faça um diagrama de forças que agem sobre cada bloco;
Atenção: Desenhe cada elemento do sistema separadamente. A seguir represente os
pares de vetores ação e reação. Por fim desenhe as forças peso, as normais e as forças externas.
O diagrama de forças é muito importante para a análise1 do problema:
b) calcule a aceleração dos blocos;
Atenção: Se há aceleração, não há equilíbrio de forças (e vice-versa)!
Como os três blocos aceleram, podemos pensar que cada um "absorve" uma parte da força e
transmite o restante ao próximo bloco através das forças de contato ~F21 (força que o bloco m2
aplica em m1) e ~F32 (força que o bloco m3 aplica em m2). Já que os três blocos se movem juntos,
vamos calcular a aceleração do sistema como um todo. A resultante sobre o sistema é:
~R = ~F + ~N + ~P
Onde ~N = ~N1 + ~N2 + ~N3 é a normal total sobre os três blocos e também ~P = ~P1 + ~P2 + ~P3 é
o peso total dos três blocos. Sabemos que os blocos não se movem na vertical, portanto ~N = ~P 2.
Disso encontramos:
~R = ~F = 18ˆi
Este é o lado esquerdo da equação originária da 2a lei de Newton (famoso Princípio Funda-
mental da Dinâmica, ~F = d~pdt , ou ainda
~F = m~a). O lado esquerdo reúne as forças, compondo
1Do grego ανάλυσvις (análysis): dissolução, decomposição, quebra. A corrente filosófica determinista do me-
canicismo apregoa que o funcionamento de qualquer sistema complexo (mesmo seres vivos) pode ser entendido
completamente através da decomposição deste sistema em elementos menores, mais simples. Segundo a teoria,
esta decomposição não implica na perda da essência do sistema e ainda permite estudá-lo. Isto é a análise, o que
faremos por todo este curso de física básica 1 (mecânica newtoniana).
2A força normal é a componente normal da força de contato (a outra componente, tangencial, seria o atrito).
As forças de contato são forças que se adaptam conforme a configuração do sistema. Ao ficar de pé sobre o chão,
a força normal equilibra o seu peso, digamos N = 700N . Ao erguer um objeto de 10kg esta força imediatamente
torna-se maior, N = 800N , caso contrário você penetraria no solo. Ao se puxar por uma corda suspensa esta força
diminui imediatamente, caso contrário a força normal te jogaria para o alto!
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a força resultante, que é a causadora do movimento. O lado direito reúne os corpos que se movem,
quantificandoo movimento destes corpos através da aceleração:
∑
~F = ~R = (m1 +m2 +m3)~a = M~a
Como não há movimento vertical, sabemos que a aceleração está toda no eixo x:
R = Ma
18 = (2 + 3 + 4) a
a = 2m/s2
Esta acelereção é comum para todos os blocos, pois eles estão em contato, portanto:
a1 = a2 = a3 = a = 2m/s2
c) calcule a força resultante sobre cada bloco;
Cada bloco "absorve" apenas a força necessária para ganhar a aceleração de 2m/s2. Perceba
que é a força resultante que movimenta um dado objeto:
Para o Bloco 1:
R1 = m1a1 = 2× 2 = 4N
Para o Bloco 2:
R2 = m2a2 = 3× 2 = 6N
Para o Bloco 3:
R3 = m3a3 = 4× 2 = 8N
d) calcule os módulos das forças de contato entre os blocos.
Como o valor de cada força de contato acaba dependendo das outras, iniciamos pelo bloco que
tem menos forças aplicadas:
Bloco 3
~R3 = ~F23 + ~N3 + ~P3
~F23 = ~R3∣∣∣~F23∣∣∣ = 8N
Bloco 2
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~R2 = ~F12 + ~F32 + ~N2 + ~P2
~R2 = ~F12 + ~F32∣∣∣~R2∣∣∣ = ∣∣∣~F12∣∣∣− ∣∣∣~F32∣∣∣∣∣∣~F12∣∣∣ = ∣∣∣~R2∣∣∣+ ∣∣∣~F32∣∣∣∣∣∣~F12∣∣∣ = 6 + 8∣∣∣~F12∣∣∣ = 14N
Pois ~F32 = −~F23 são ação e reação, cada uma atuando em cada bloco. Disso, na penúltima
passagem, usamos que
∣∣∣~F32∣∣∣ = ∣∣∣~F23∣∣∣ = 8N .
Exercício 4
Um macaco sobe por uma corda de massa desprezível, que passa sobre o galho de uma árvore,
sem atrito, e tem presa na outra extremidade uma caixa de que está no solo.
a) qual o módulo da aceleração mínima que o macaco deve ter para levantar a caixa do solo?
Primeiro montamos o diagrama de forças para cada corpo:
A força resultante sobre o macaco causa sua aceleração:
~RM = ~FM + ~PM = mM~aM
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A força ~FM é causada pela corda, ou seja, é consequência da tração na corda:
∣∣∣~FM ∣∣∣ = FM = T .
O peso do macaco é ~PM = mM~g, logo, representando em termos de um vetor unitário na vertical
para cima temos:
T −mMg = mMaM (1)
Na caixa temos:
~RC = ~FC + ~N + ~PC
Novamente ~FC é causado pela corda:
∣∣∣~FC ∣∣∣ = FC = T e ~PC é o peso da caixa:
RC = T +N −mCg
Quando a caixa se levanta do solo temos N = 0. Para que a caixa seja suspensa ou acelerada
para cima devemos ter: RC ≥ 0, ou seja:
T −mCg ≥ 0
T ≥ mCg
Isso nos diz que para que a caixa seja suspensa, a tração na corda deve ser no mínimo igual
ao peso da caixa, o que faz todo o sentido.
Retornando para a equação do movimento3 do macaco, Eq.1:
mMaM +mMg = T
mM (aM + g) ≥ mCg
aM ≥ mC
mM
g − g
aM ≥
(
mC
mM
− 1
)
g
Esta equação nos diz que caso o macaco seja mais leve do que a caixa, ele deve subir pela
corda com uma dada aceleração mínima para conseguir levantar a caixa. Caso o macaco seja mais
pesado do que a caixa, notamos que o valor mínimo de aM passa a ser negativo. Interpretamos
este resultado dizendo que o macaco não precisa ter aceleração nenhuma para erguer a caixa,
bastando então puxar a corda para baixo.
b) se, após levantar a caixa, o macaco parar de subir e ficar agarrado à corda, qual será a sua
aceleração?
3Equações do movimento são equações, geralmente diferenciais, que relacionam as variáveis dinâmicas (posições,
velocidades, etc) dos elementos do sistema com o tempo.
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Neste caso a caixa já está suspensa, logo não há força normal na caixa. Como eles estão
presos a uma corda inextensível eles possuem o mesmo módulo de aceleração: aM = aC = a.
Assumiremos que a caixa é mais pesada que o macaco para podermos orientar os vetores.
Para o macaco temos:
T −mMg = mMa
Para a caixa temos:
T −mCg = −mCa
Subtrindo a segunda equação da primeira obtemos:
T −mMg − T − (−mCg) = mMa− (−mCa)
(mC −mM) g = (mM +mC) a
a = (mC −mM)(mM +mC)g (2)
Perceba que caso o macaco tenha a mesma massa da caixa eles estarão em equilíbrio, não
havendo aceleração alguma no sistema. Perceba ainda que se o macaco for mais pesado que a
caixa, a aceleração torna-se negativa. Isso nos diz que na verdade o sistema se moverá no sentido
contrário ao que desenhamos no início.
c) qual será a tensão na corda?
Agora que encontramos aaceleração de cada corpo do sistema nós conhecemos a resultante
sobre cada corpo do sistema. Usando a Eq.1 juntamente com o resultado Eq.2 obtemos:
T = mMa+ PM
= mM
(mC −mM)
(mM +mC)
g +mMg
= mMg
(
mC −mM +mM +mC
mM +mC
)
T = 2mCmM
mM +mC
g
Exercício 5
Uma corrente flexível uniforme, cuja massa por unidade de comprimento é λ, passa por uma
pequena roldana sem atrito e de massa desprezível. Ela é liberada da posição de repouso, em que
pende para um lado com um comprimento h e para o outro com comprimento l − h.
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a) determine a aceleração para um dado h;
A força resultante é a responsável pelo movimento da corrente. Para obtê-la precisamos obter
a força que atua de cada lado suspenso da corrente.
Lado esquerdo da corrente
Cada "gomo" de comprimento dh′ tem uma massa dm = λdh′. Em cada um desses gomos age
uma pequena força peso dada por:
d~P = ~gdm = ~gλdh′
Precisamos somar todo o peso do lado esquerdo da corrente para encontrar a força que puxa
a corrente para o lado esquerdo da roldana:
~Pesq =
ˆ
esquerdo
d~P =
ˆ h
0
~gλdh′ = ~gλh
Pois ~g é constante e sai para fora da integral.
Lado direito da corrente
Da mesma forma que feito anteriormente encontramos a força total que puxa a corrente pelo
lado direito da roldana4:
~Pdir =
ˆ
direito
d~P =
ˆ l−h
0
~gλdh′ = ~gλ (l − h)
Cálculo da aceleração
O movimento é tal que todos os gomos possuem a mesma velocidade e aceleração em um
dado instante de tempo, pois estão ligados. O movimento é puramente unidimensional e podemos
imaginar a corrente de uma forma mais simples como:
4O fato de a gravidade ser aproximadamente constante na superfície da Terra nos permite obter os resultados
anteriores de forma mais simples.
Lado esquerdo da corrente: A massa suspensa do lado esquerdo é de Me = λh. O peso desse pedaço da
corrente é ~Pe = ~gMe = ~gλh.
Lado direito da corrente: A massa suspensa do lado direito é de Md = λ (l − h). O peso desse pedaço da
corrente é ~Pd = ~gMd = ~gλ (l − h).
Se a gravidade variasse muito com a altura (caso a corrente fosse muito longa) o correto seria usarmos a integral,
considerando desta forma as variações na gravidade.
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Onde supomos que h < l/2. Sendo assim temos5
R = Pd − Pe
= gλ (l − h)− gλh
= gλ (l − 2h)
A aceleração é portanto:
R = Ma
a = R
M
= gλ (l − 2h)
λl
= g
(
1− 2h
l
)
b) calcule a velocidade com que a corrente abandona a roldana.
A expressão anterior é a aceleração aplicada sobre a corrente no momento inicial. Essa acele-
ração muda enquanto a corrente escorrega pela roldana pois temos forças diferentes aplicadas de
cada lado em cada instante de tempo.
Desenhando um eixo e descrevendo a posição da corrente através da posição do seu último
gomo temos:
Perceba que h é um valor fixo, uma condição inicial do movimento. De forma análoga l é
fixo, uma constante do problema. A variável aqui nós chamamos de x, ela que irá descrever o
movimento da corrente: x = x (t).
De acordo com a origem que escolhemos podemos obter uma expressão para a aceleração
instantânea em função da posição x notando que:
Assim:
R = Fd − Fe = gλ (l − h+ x)− gλ (h− x)
5Note que o pedaço de corrente de comprimento h do lado esquerdo equilibra um pedaço de corrente de com-
primento h do outro lado. O que resta é um pedaço de corrente de comprimento l− 2h do lado direito para causar
o desequilíbrio.c©2015 Resolvido por Douglas D. Souza.
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R = gλ [l − 2 (h− x)]
e portanto:
a (x) = g
[
1− 2
l
(h− x)
]
Note que essa expressão só vale enquanto a corrente estiver em contato com a roldana:
− (l − h) ≤ x ≤ h
Vamos agora obter a velocidade do último gomo quando ele atinge x = h (a corrente se solta
da roldana). Para isso precisamos partir da expressão para a aceleração em função da posição e
relacioná-la com a velocidade. Notemos que6:
a (t) = dv (t)dt =
dv (x)
dx
dx (t)
dt =
dv (x)
dx v (t)
Ou seja,
vdv = a (x) dx
Esta manipulação7 é muito importante pois nos permite encontrar o Teorema do Trabalho-
Energia Cinética, que veremos no capítulo 7. Integrando a expressão de v0 = 0 até vf do lado
esquerdo e, correspondentemente, de x = 0 até x = h do lado direito obtemos:
ˆ vf
0
vdv =
ˆ h
0
a (x) dx
v2
2
∣∣∣∣∣
vf
0
=
ˆ h
0
g
[
1− 2
l
(h− x)
]
dx
v2f
2 − 0 = g
[
x− 2
l
(
hx− x
2
2
)]∣∣∣∣∣
x=h
x=0
6Aqui usamos a regra da cadeia. Perceba que v (t) não é funcionalmente igual a v (x). Suponha que x (t) = 2t2
e que v (t) = 4t. Concluímos que v (x) = 2
√
2x. Quando t = 1 temos x (1) = 2 e v (x = 2) = 4, o mesmo que
v (t = 1) = 4. Perceba que nesta notação que estamos usando não basta escrever apenas v (1), pois não sabemos
se devemos usar a função v (x) ou a função v (t) junto com o argumento 1.
A aceleração é calculada como a (t) = dv(t)dt = 4. Usando a expansão que fizemos no texto temos também:
a (t) = v (t) dv (x)dx = (4t)
d
dx
(
2
√
2x
)
= (4t) 2
√
2
(
1
2
1√
x
)
= (4t)
(√
2 1√
2t2
)
= 4
Exatamente o mesmo resultado, como seria de se esperar.
7Outra forma de se deduzir esta expressão é pensar em um ∆x muito pequeno, no qual a aceleração pode
ser considerada constante, e usarmos a equação de Torricelli para obtermos: a∆x = v
2
f−v2i
2 . Como a velocidade
varia muito pouco escrevemos vf = vi + ∆v, obtendo a∆x = (vi+∆v)
2−v2i
2 =
2vi∆v+∆v2
2 ≈ vi∆v quando ∆v → 0,
juntamente com ∆x→ 0.
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14
v2f
2 = g
(
h− h
2
l
)
vf =
√√√√2gh( l − h
l
)
Notemos que em uma situação em que h = l2 (corrente meio a meio - e um sopro de leve
desequilibra o sistema), teríamos:
vf =
√√√√2g ( l4
)
A mesma velocidade que obteríamos caso fosse considerada a conservação de energia, pensando
em toda a massa como estando no Centro de Massa (CM) do sistema. Neste caso o CM desce
apenas l4 e no instante final ele possui a mesma velocidade que todos os gomos da corrente. Pela
conservação de energia (que veremos no capítulo 8) teríamos:
M
v2f
2 = Mg
l
4 → vf =
√√√√2g ( l4
)
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