6.1 Area entre Curvas 20180808 1727

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Cálculo II
6.1 – Área entre curvas
Bibliografia: Stewart , James
Áreas entre 
Curvas
Áreas entre 
Curvas
Dividimos 𝑆 em 𝑛 faixas de larguras iguais e então aproximamos a 𝑖-ésima faixa 
por um retângulo com base ∆𝑥 e altura 𝑓 𝑥𝑖
∗ − 𝑔 𝑥𝑖
∗
A soma de Riemann σ𝑖=1
𝑛 𝑓 𝑥𝑖
∗ − 𝑔 𝑥𝑖
∗ ∆𝑥 é portanto uma aproximação do 
que intuitivamente pensamos como a área de 𝑆.
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Essa aproximação parece tornar-se cada vez melhor quando 𝑛 → ∞.
Portanto, definimos a área 𝐴 da região 𝑆 como o valor-limite da soma das áreas 
desses retângulos aproximantes. 
𝐴 = lim
𝑛→∞
෍
𝑖=1
𝑛
𝑓 𝑥𝑖
∗ − 𝑔 𝑥𝑖
∗ ∆𝑥
Áreas entre 
Curvas
A área da região limitada pelas curvas 𝑦 = 𝑓 𝑥 , 𝑦 = 𝑔(𝑥)
e pelas retas 𝑥 = 𝑎, 𝑥 = 𝑏, onde 𝑓 e 𝑔 são contínuas e 
𝑓 𝑥 ≥ 𝑔(𝑥) para todo 𝑥 em 𝑎, 𝑏 , é
𝐴 = න
𝑎
𝑏
𝑓 𝑥 − 𝑔 𝑥 𝑑𝑥
No caso em que a 𝑓 e 𝑔 forem ambas positivas
𝐴 = ׬𝑎
𝑏
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 − ׬𝑎
𝑏
𝑔 𝑥 𝑑𝑥
𝐴 = න
𝑎
𝑏
𝑓 𝑥 − 𝑔 𝑥 𝑑𝑥
Áreas entre 
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Exemplo 1
Encontre a área da região limitada acima por 𝑦 = 𝑒𝑥, 
limitada abaixo por 𝑦 = 𝑥, e limitada nos lados por 𝑥 = 0
e 𝑥 = 1
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Exemplo 2
Encontre a área da região limitada pelas parábolas 𝑦 = 𝑥2
e 𝑦 = 2𝑥 − 𝑥2
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Exemplo 3
Encontre a área aproximada da região limitada pelas 
curvas 𝑦 =
𝑥
𝑥2+1
e 𝑦 = 𝑥4 − 𝑥.
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Exemplo 4
A figura ao lado mostra curvas de 
velocidade para dois carros, A e B, que 
partem lado a lado e se movem ao
longo da mesma estrada. 
• O que a área entre as curvas
representa? 
• Use a regra do ponto médio para 
estimá-las.
Áreas entre 
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Exemplo 4
Áreas entre 
Curvas
Para encontrarmos a área entre as curvas 𝑦 = 𝑓(𝑥) e 𝑦 = 𝑔(𝑥) onde 
𝑓(𝑥) ≥ 𝑔(𝑥) para alguns valores de 𝑥, mas 𝑔(𝑥) ≥ 𝑓(𝑥) para outros 
valores de 𝑥, então dividimos determinada região 𝑆 em várias regiões 
𝑆1, 𝑆2 , … com áreas 𝐴1, 𝐴2 , … como mostrado na figura acima. 
Em seguida, definimos a área da região 𝑆 como a soma das áreas das 
regiões menores 𝑆1, 𝑆2 , … ou seja, 𝐴 = 𝐴1 + 𝐴2+⋯
Áreas entre 
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Uma vez que 
𝑓 𝑥 − 𝑔(𝑥) = ቊ
𝑓 𝑥 − 𝑔 𝑥 𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑓 𝑥 ≥ 𝑔(𝑥)
𝑔 𝑥 − 𝑓 𝑥 𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑔 𝑥 ≥ 𝑓(𝑥)
temos a seguinte expressão para 𝐴
A área entre as curvas 𝑦 = 𝑓(𝑥) e 𝑦 = 𝑔(𝑥) e entre 𝑥 = 𝑎
e 𝑥 = 𝑏 é 
𝐴 = න
𝑎
𝑏
𝑓 𝑥 − 𝑔(𝑥) 𝑑𝑥
Áreas entre 
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Exemplo 5
Encontre a área da região delimitada pelas curvas 
𝑦 = 𝑠𝑒𝑛 𝑥, 𝑦 = cos 𝑥, 𝑥 = 0 e 𝑥 =
𝜋
2
Áreas entre 
Curvas
Algumas regiões são mais bem tratadas considerando 𝑥 como uma função de 𝑦. 
Se uma região é delimitada por curvas com equações 𝑥 = 𝑓(𝑦), 𝑥 = 𝑔(𝑦), 
𝑦 = 𝑐 e 𝑦 = 𝑑, em que 𝑓 e 𝑔 são contínuas e 𝑓(𝑦) ≥ 𝑔(𝑦) para 𝑐 ≤ 𝑦 ≤ 𝑑, 
então sua área é 
𝐴 = න
𝑐
𝑑
𝑓 𝑦 − 𝑔(𝑦) 𝑑𝑦
Áreas entre 
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Exemplo 6
Encontre a área da região delimitada pelas reta 
𝑦 = 𝑥 − 1 e pela parábola 𝑦2 = 2𝑥 + 6.
Áreas entre 
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Exemplo 6
Obs.: Poderíamos ter encontrado a área do exemplo 6 
integrando em relação a 𝑥 em vez de 𝑦, mas o cálculo é 
muito mais complicado. 
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1 – 4 Encontre a área da região sombreada.
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44 (48 8ª ed) - As larguras (em metros) de uma piscina 
com o formato de rim foram medidas a intervalos de 2 
metros, como indicado na figura. Use a Regra do Ponto 
Médio para estimar a área da piscina.