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Prova 1 Equações Diferenciais 2014/1

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UFRGS – Instituto de Matemática 
Departamento de Matemática Pura e Aplicada 
MAT 01167 – Equações Diferenciais II 
Data: 12/04/2014 
 
Cartão: _____________________________ 
Nome: Turma: __________________ 
PRIMEIRA PROVA B 
 
Questão 1. (2 pontos) 
Resolva a equação diferencial de terceira ordem 𝑦′′′ = 3𝑦′′, fazendo a substituição 𝑧 = 𝑦′′. 
Dica: Observe que a solução geral dependerá de três constantes. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Q1 Q2 Q3 Q4 Q5 Total 
 
 
 
Nome:________________________________________________________________________________ Turma:__________________ 
Questão 2. (2 pontos) 
 
Encontre a solução do seguinte problema de valor inicial: 
 
{
𝑦′ + 5𝑥4𝑦 = 𝑥4𝑦³
𝑦(0) = 1
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Nome:________________________________________________________________________________ Turma:__________________ 
Questão 3. (2 pontos) 
 
Considere a seguinte equação diferencial de segunda ordem não homogênea 
 
𝑦′′ + 9𝑦 = 𝑓(𝑥) 
 
a) Determine a solução geral da equação homogênea associada; 
b) Determine uma solução particular para a equação não homogênea quando 
 
𝑓(𝑥) = 𝑥 + 1; 
 
c) Determine a solução geral da equação não homogênea quando 
 
𝑓(𝑥) = 2cos⁡(3𝑥); 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Nome:________________________________________________________________________________ Turma:__________________ 
Questão 4. (2 pontos) 
 
Um tanque está parcialmente preenchido com 40 litros de água no qual estão dissolvidos 5 kg de sal. 
Num certo momento, salmoura contendo 2 kg de sal por litro é bombeada para dentro do tanque a 
uma taxa de 8 l/min. 
A solução bem misturada é então bombeada para fora a uma taxa mais lenta de 4 l/min. 
Determine a quantidade de sal no tanque no instante t. 
A quantidade de sal está aumentando ou diminuindo com o tempo? Justifique. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Nome:________________________________________________________________________________ Turma:__________________ 
Questão 5. (2 pontos) 
 
Um bolsista num laboratório precisava manter baixa a temperatura y(x) (em graus Celsius) de um 
reagente. Ele encontrou um livro que explicava que a temperatura y(x) desse reagente satisfaz uma 
equação diferencial do tipo 𝑦′ = 𝐹(𝑦, 𝐾), onde K é um parâmetro. O valor de K>0 para o reagente 
aparece numa tabela do livro. Como o valor tabelado de K>0 era pequeno, o estudante resolveu por 
conta própria arredondar para K=0 e ficou muito satisfeito, pois a equação diferencial 𝑦′ = 𝐹(𝑦, 0) 
tem 𝑦 ≡ 0 (constante) como uma solução estável. No entanto, o estudante verificou 
experimentalmente que a temperatura y(x) se comportava de modo bem diferente: 𝑦 ≡ 0 é solução 
instável, existe uma temperatura positiva (constante) que é estável e uma temperatura negativa 
(constante) que é estável. Qual das equações a seguir poderia ser a do livro? 
 
𝑦′ = −𝐾𝑦 − 𝑦3,⁡⁡⁡𝑦′ = 𝐾𝑦 − 𝑦3,⁡⁡⁡𝑦′ = 𝐾 + 𝑦,⁡⁡⁡𝑦′ = 𝐾 + 𝑦² 
 
Justifique tanto a escolha da possível quanto as exclusões das impossíveis (de preferência com 
poucas palavras mas com figuras).

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