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UFRGS – Instituto de Matemática Departamento de Matemática Pura e Aplicada MAT 01167 – Equações Diferenciais II Data: 12/04/2014 Cartão: _____________________________ Nome: Turma: __________________ PRIMEIRA PROVA B Questão 1. (2 pontos) Resolva a equação diferencial de terceira ordem 𝑦′′′ = 3𝑦′′, fazendo a substituição 𝑧 = 𝑦′′. Dica: Observe que a solução geral dependerá de três constantes. Q1 Q2 Q3 Q4 Q5 Total Nome:________________________________________________________________________________ Turma:__________________ Questão 2. (2 pontos) Encontre a solução do seguinte problema de valor inicial: { 𝑦′ + 5𝑥4𝑦 = 𝑥4𝑦³ 𝑦(0) = 1 Nome:________________________________________________________________________________ Turma:__________________ Questão 3. (2 pontos) Considere a seguinte equação diferencial de segunda ordem não homogênea 𝑦′′ + 9𝑦 = 𝑓(𝑥) a) Determine a solução geral da equação homogênea associada; b) Determine uma solução particular para a equação não homogênea quando 𝑓(𝑥) = 𝑥 + 1; c) Determine a solução geral da equação não homogênea quando 𝑓(𝑥) = 2cos(3𝑥); Nome:________________________________________________________________________________ Turma:__________________ Questão 4. (2 pontos) Um tanque está parcialmente preenchido com 40 litros de água no qual estão dissolvidos 5 kg de sal. Num certo momento, salmoura contendo 2 kg de sal por litro é bombeada para dentro do tanque a uma taxa de 8 l/min. A solução bem misturada é então bombeada para fora a uma taxa mais lenta de 4 l/min. Determine a quantidade de sal no tanque no instante t. A quantidade de sal está aumentando ou diminuindo com o tempo? Justifique. Nome:________________________________________________________________________________ Turma:__________________ Questão 5. (2 pontos) Um bolsista num laboratório precisava manter baixa a temperatura y(x) (em graus Celsius) de um reagente. Ele encontrou um livro que explicava que a temperatura y(x) desse reagente satisfaz uma equação diferencial do tipo 𝑦′ = 𝐹(𝑦, 𝐾), onde K é um parâmetro. O valor de K>0 para o reagente aparece numa tabela do livro. Como o valor tabelado de K>0 era pequeno, o estudante resolveu por conta própria arredondar para K=0 e ficou muito satisfeito, pois a equação diferencial 𝑦′ = 𝐹(𝑦, 0) tem 𝑦 ≡ 0 (constante) como uma solução estável. No entanto, o estudante verificou experimentalmente que a temperatura y(x) se comportava de modo bem diferente: 𝑦 ≡ 0 é solução instável, existe uma temperatura positiva (constante) que é estável e uma temperatura negativa (constante) que é estável. Qual das equações a seguir poderia ser a do livro? 𝑦′ = −𝐾𝑦 − 𝑦3,𝑦′ = 𝐾𝑦 − 𝑦3,𝑦′ = 𝐾 + 𝑦,𝑦′ = 𝐾 + 𝑦² Justifique tanto a escolha da possível quanto as exclusões das impossíveis (de preferência com poucas palavras mas com figuras).
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