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ADMINISTRAÇÃO WEB AULA 1 Unidade 1 Observe o diagrama acima que demonstra a composição do conjunto numérico, onde se encontram: Números Naturais (N) Compõe o conjunto dos Números Naturais todos os números inteiros positivos, incluindo o zero. Sua representação é feita pela letra N em maiúscula. N = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10, …} incluindo o zero. Para sinalizar que o zero está excluído do conjunto do números Naturais coloca-se um asterisco (*) após a letra representativa N: N* = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11, …} Números Inteiros (Z) O que são os números inteiros? Como surgiram? Qual o motivo de existirem? Quando uma pessoa empurra um carro, este carro reage com uma força de mesma intensidade. Como representar esta força contrária? Então, o números inteiros são os números positivos e negativos. Como nos números naturais existe a possibilidade de excluir o número zero, nos números inteiros também existe esta possibilidade. Para esta representação é necessário o asterisco, observe: Números Racionais (Q) Há muitos anos a raça humana necessitou dividir um objeto em partes iguais. Então, nesse momento, surgiram os números racionais, que estão relacionados a uma razão entre dois números inteiros. Logo, este conjunto de Números Racionais é composto de todos os números inteiros (Z), também pelos números decimais finitos (por exemplo, 243,4456) e pelos números decimais infinitos periódicos (são denominados dízimas periódicas, que nada mais são que uma sequência de algarismos que se repetem infinitamente na parte decimal do número). Números Irracionais (I) O Conjunto dos Números Irracionais necessariamente é formado por números decimais infinitos não-periódicos, ou seja, não contendo dizimas periódicas. E não podem ser representados por meio de uma fração. A representação é pela letra I. Matemática Comercial e Financeira - Exemplo 1: Números Reais (R) O Conjunto dos Números Reais é a união de todos os conjuntos citados até o momento, sendo o conjunto dos racionais com os irracionais. Lembrete para multiplicação e divisão: Multiplicação de sinais iguais o resultado sempre será positivo, pois a regra nos mostra que “sinais iguais é igual a mais”: Matemática Comercial e Financeira - Exemplo 2: (+ 4) * (+ 4) = + 16 Multiplicação e sinais diferentes o resultado sempre será negativo, pois nos mostra a regra que “sinais diferentes menos”: Matemática Comercial e Financeira - Exemplo 3: (+ 4) * (- 4) = - 16 Vamos estudar Potência!! É necessário relembrar o que é potência e como aplicá-la, Pois para os cálculos de matemática financeira a potência será utilizada. A potência indica a multiplicação de fatores iguais, ou seja, o número de vezes em que o número irá se multiplicar. Matemática Comercial e Financeira – Exemplo 3: Propriedades das Potências As potências utilizam a propriedade da distribuição para a multiplicação/divisão. a) ( 7 x 2 ) 3 = 73 x 23 = 343 x 8 = 2744 Casos Especiais a) O número um elevado a qualquer número será sempre um. 12 = 1; 1200 = 1; 11234 = 1 b) O número zero elevado a qualquer número será sempre zero. 02 = 0; 056 = 0; 03456 = 0 c) Um número qualquer elevado ao expoente um, será ele mesmo. 21 = 2; 2341 = 234; 56781 = 5678 d) Todo e qualquer número elevado ao expoente zero, será sempre igual a um. 20 = 1; 440 = 1; 9870 = 1 e) Potência de potência conserva-se a base e multiplica-se os expoentes. (23 )2 = 26 = 64 f) Expoentes diferentes com mesma base, na multiplicação, somam-se os expoentes. am . an = am + n à 21 * 23 = 24 g) Expoentes diferentes com mesma base, na divisão subtraem-se os expoentes.23 x 21 = 22 h) Expoente negativo, inverte-se o número e o expoente passa a ser positivo Funções É definida uma função na relação estabelecida entre dois conjuntos A e B, onde cada elemento de A se associe com um único elemento de B. Funções Marginais – Em Administração, dada uma função f(x), costuma-se utilizar o conceito de função marginalpara avaliar o efeito causado em f(x) por uma pequena variação Exemplos aplicados: 1)Uma panificadora vende o pão francês a R$0,50 a unidade. a) Obtenha a função receita R(x); b) Calcule R(22); c) Qual a quantidade de pães que devem ser vendidos para dar uma receita de R$33,00? a) R(x) = 0,50 * x b) R(22) = 0,50 *22 = 11,00 c) 33 = 0,50 * x è x = 33/0,50 è x = 66 pães Raciocínio Lógico Para Rohmann, lógica é em essência, a procura de um método pelo qual se possam isolar os raciocínios válidos e coerentes dos inválidos e incoerentes. A lógica pode ser indutiva ou dedutiva: Dedutiva: Partindo-se de duas premissas aceitas, deduz-se a conclusão. Exemplo: Se todas as vacas são ruminantes e Mimosa é uma vaca, então Mimosa é ruminante. Indutiva: Depende da experiência. Mimosa digere os alimentos por meio da ruminação; se todas as vacas que observamos fazem o mesmo, podemos declarar que ruminar é um traço característico das vacas. Proposições É um conjunto de palavras ou símbolos que exprimem um pensamento de sentido completo. Exemplo: O Brasil é um pais da América do Sul. As proposições podem ser verdadeiras ou falsas. Exemplos: A neve é branca; A lua é quadrada. Símbolos da linguagem do calculo proposicional: p, q, r, s para indicar as proposições. Exemplos: A neve é branca: p A lua é quadrada: q TAUTOLOGIA Chama-se tautologia toda proposição composta cuja ultima coluna da sua tabela-verdade encerra somente a letra V (verdade). A tabela verdade é o método mais utilizado para verificação se uma forma simbólica é ou não tautologia. Exemplo: Se eu tiver dinheiro, vou à praia e à fazenda. Onde : p – eu tiver dinheiro q – vou à praia r – vou à fazenda DERIVADAS Derivada é uma representação da taxa de variação instantânea de uma determinada função. Por exemplo, se a função f(x) = x2 representa a produção(em centenas) de sapatos da empresa Saltos Altos e x represente as horas trabalhadas. Esta função nos demonstra que conforme as horas vão aumentando, sua produção está crescendo o dobro. Vamos analisar a produção em 2horas è Aplicando na função f(x) = x2, x=2 f(2) = 22 è f(2) = 4 (centenas) = 400 sapatos Vamos analisar a produção em 3horas è Aplicando na função f(x) = x2, x=3 f(3) = 32 è f(3) = 9 (centenas) = 900 sapatos Entre a segunda e a terceira hora de trabalho, foram produzidos 900- 400 = 500 sapatos Vamos analisar a produção em 6 horas è Aplicando na função f(x) = x2, x=6 f(6) = 62 è f(6) = 36 (centenas) = 3.600 sapatos Vamos analisar a produção em 7 horas è Aplicando na função f(x) = x2, x=7 f(7) = 72 è f(7) = 49 (centenas) = 4.900 sapatos Entre a sexta e a sétima hora de trabalho, foram produzidos 4.900- 3.600 = 1300 sapatos Analisando a empresa Saltos Altos, observamos que as produções são diferentes, apesar de estarmos falando de apenas 1 hora trabalhada. Matematicamente expondo, dizemos que a taxa de variação média entre a segunda e a terceira hora de trabalho foi de 500 sapatos e a taxa de variação média entre a sextaa e a sétima hora de trabalho foi de 1.300 sapatos. Afirmamos que a taxa de variação média de uma função y = f(x), no intervalo de a até b (x variando de a até b) pode ser definida por: Derivada A função derivada, apresenta algumas fórmulas para a determinação de algumas funções derivadas. Trazemos uma tabela a seguir trazendo a função e sua derivada. Exemplos: Aplicando as fórmulas de derivação, encontre as derivadas das seguintes funções: Máximos e mínimos na derivadas Uma das situações práticas das funções derivadas é permitir que possamos conhecer os intervalos do domínio onde uma função é crescente, decrescente ou constante. Pelo Se uma função for crescente, sua derivada seráPOSITIVA no intervalo, quando for decrescente, a derivada será NEGATIVA. Exemplo- A empresa Saltos Altos produz uma sandália com o custo mensal dado pela função C(x) = -1x3 - 2x2 + 10x +20.Cada sandália é vendida a R$31,00. Calcule a quantidade de sandálias que deve ser produzida e vendida para dar o máximo de lucro mensal. O resultado de qual a quantidade a ser produzida e vendida para dar o máximo lucro mensal é x=7. Juros Simples “Quando alguém diz: Guarde dinheiro na caderneta poupança pois irá render juros e correções monetárias.” Este dinheiro que se deposita nos bancos é denominado de Capital, ou ainda denominado de Valor Presente da negociação. O valor que este capital rendeu após um determinado período são os Juros. Ou seja, Juro é uma determinada compensação financeira que se recebe ou se paga quando emprestamos, ou recebemos determinados valores por um tempo pré-estabelecido. A capitalização pode ser de duas formas: JUROS SIMPLES: é aquele calculado unicamente sobre o capital inicial. JUROS COMPOSTOS: é aquele que será calculado a cada intervalo de tempo que será a cada intervalo acrescido a partir do saldo no início de correspondente intervalo. Ou seja: o juro de cada intervalo de tempo é incorporado ao capital inicial e passa a render juros também. Fonte: http://www.somatematica.com.br E você sabe o motivo de existir Juros? Se eu quero comprar um imóvel, mas não possuo o dinheiro necessário, posso solicitar um empréstimo a um banco. Quando devolver o dinheiro emprestado ao banco haverá um valor a mais, que se chama juro do dinheiro que o banco me emprestou. Os juros podem ser calculados pela seguinte fórmula: Sendo: J = juro C = capital i = taxa t = tempo ou n=tempo Quando o problema mencionar tempo em: Ano, a fórmula acima. Meses, a fórmula acima será alterada no denominador de 100 para 1200. Dias, a fórmula acima será alterada no denominador de 100 para 36000. OBS.: No livro da disciplina utiliza-se a fórmula J = , neste caso a taxa deverá sempre estar na forma centesimal. Matemática Comercial e Financeira – Exemplo 4: Neste primeiro exemplo observe que temos um tempo em ano, mês e dias e vamos transformar tudo em dias. Calcule os juros de um capital de R$ 80.000,00 quando aplicados à taxa de 7% ao ano durante 3 anos. Matemática Comercial e Financeira – Exemplo 5: Vamos trabalhar com a outra fórmula. Este exercício traz a taxa de juros em anos e o tempo em meses, assim o denominador da fórmula de 100 será 1200, conforme mencionado anteriormente. Calcular o juro simples de um capital de R$ 10.000,00 aplicado à taxa de juros de 8% a.a. pelo prazo de 6 meses. Matemática Comercial e Financeira – Exemplo 6: Agora vamos trabalhar com a outra fórmula. Este exercício traz a taxa de juros em anos e o tempo em meses, assim o denominador da fórmula de 100 será 36000, conforme mencionado anteriormente. Calcular o juro simples de um capital de R$ 3.000,00 aplicado a taxa de juros de 3% a.a. pelo prazo de 100 dias. Pela fórmula teremos: Aprofundando conhecimento !!!!!!! Note que a taxa de juros sempre informa a qual período corresponde, por exemplo: 3% a.a, 2% a.t. ou 1% a.m. Notem que pela fórmula é possível encontrar o Capital aplicado, o tempo ou ainda a taxa, não somente os juros. Para tanto você aluno deverá prestar muita atenção no enunciado do problema. Montante Simples Montante é o valor final do investimento, ou seja, o valor atual/capital somado com os juros produzidos no período de aplicação. Se o capital de R$3.000,00 aplicados e que após 6 rendeu R$300,00 de juros, o montante agora será de R$3.300,00. Desconto Simples Denomina-se desconto o valor menor que o valor real da divida. Imagine que hoje você efetuou uma compra de roupas, com vencimento para daqui a 30 dias no valor de R$ 550,00. Mas cinco dias após a compra você acaba por receber um dinheiro que não estava esperando. Então decide saldar a dívida e se dirige a loja para efetuar o pagamento. Chegando lá, o Senhor Sebastião responsável pelo recebimento verifica que sua fatura e contata que o vencimento será somente daqui a 20 dias. Neste momento o Senhor Sebastião diz: “Liquidando a dívida hoje, você obterá um desconto de 5% sobre o valor de R$ 550,00, sendo ele então R$ 27,50.” Este valor de R$ 27,50 é o valor do desconto recebido. Ou seja, o Desconto é a operação inversa ao Montante. xistem dois tipos de Desconto Simples que se deve: Desconto Racional (ou também chamado “por dentro”) Desconto Comercial (ou chamado de “por fora”) à utilizado no comércio de modo geral e operações financeiras. Para a utilização da fórmula deve-se saber: N = Valor Nominal do título à É o valor de fato do título que aparece no documento (promissória, cheque, etc...) A = Valor Atual comercial à Valor da liquidação, ou seja, valor no ato da liquidação. Desconto à Caracteriza-se pela diferença (-) entre o Valor Nominal do título e o Valor atual do título (Valor liquidado). d = Desconto comercial à Para efetuar este de desconto cálculo utiliza-se o valor Nominal e o valor Atual do título, é o desconto. i = a taxa de desconto t = tempo Fórmula para o Cálculo do Desconto por Fora à d: Desconto por dentro à D à É basicamente o inverso do Desconto por fora, pois neste calcula-se o desconto sobre o valor atual e soma-se a ele(valor atual) o valor obtido(desconto), desta forma determina-se o Valor Nominal. Matemática Comercial e Financeira – Exemplo 7: Qual é o desconto por fora de um título de R$ 10.000,00 descontado 5 meses antes do vencimento a uma taxa de 15% ao ano. Matemática Comercial e Financeira – Exemplo 8: Qual o desconto por dentro de um título de R$2.000,00, com vencimento para 3 meses, sabendo que a taxa é de 2,5 % ao mês.
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