Apostila Matematica Financeira Ajustada UNICARIOCA

Prévia do material em texto

1 
1 
MATEMÁTICA FINANCEIRA 
 
 
Introdução 
 
MATEMÁTICA FINANCEIRA visa abranger os principais tópicos da Matemática 
Financeira, fazendo uma análise sobre o Regime de Capitalização Simples e 
introduzindo os conceitos fundamentais do Regime de Capitalização Composta. 
 
Todos os tópicos abordados são seguidos de exemplos, onde são desenvolvidas as 
etapas de solução, passo a passo. 
 
No tópico Regime de Capitalização Composta os exemplos são seguidos de dois 
tipos de resolução: 
 
a) algébrica, utilizando as equações para resolução; 
b) utilizando a calculadora HP-12C, poderosa ferramenta para desenvolvimento 
de problemas ligados à Matemática Financeira. 
 
Se você não possui uma calculadora HP-12C poderá acompanhar perfeitamente todos os 
tópicos desenvolvidos, com o auxílio de uma máquina de calcular científica ou, em 
último caso, poderá utilizar a calculadora existente no Microsoft Windows, no assistente 
Acessórios. 
 
Não foram efetuadas profundas demonstrações das equações, visando a facilidade de 
assimilação e aplicação direita dos conceitos. 
 
As equações gerais estão indicadas através de caixas em vermelho , e as 
respostas dos exemplo em caixas em preto 
 
Os exercícios propostos apresentam grau crescente de dificuldade, às vezes 
necessitando da aplicação de mais de um conceito para o desenvolvimento. Não 
esmoreça, dedique-se ao estudo. Lembre-se que os conceitos de Matemática Financeira 
estão presentes em nosso dia a dia, sendo de fundamental importância conhecê-los, 
visando resguardar nossos direitos e, principalmente nosso dinheiro. 
 
 
 
 
 
2 
2 
 
MATEMÁTICA FINANCEIRA 
 
 
A Matemática Financeira visa estudar as formas de evolução do dinheiro no tempo, 
quer nas aplicações, ou nos pagamentos. 
 
No estudo da Matemática Financeira tem-se, inicialmente, que levar em 
consideração 3 (três) conceitos básico: o capital, a taxa de juros e o prazo. 
 
CAPITAL ( P ) - é a quantia monetária que se transaciona. O capital pode ser 
indicado diretamente através de unidades monetárias ( $ ), ou estar expressando o 
valor de um bem ou de um serviços ( um automóvel com valor de x unidades 
monetárias ). Para as pessoas o capital normalmente estará associado à renda. 
 
TAXA DE JUROS ( i ) – é o valor do retorno esperado pela disponibilização de 
capital em uma determinada data, para recebimento futuro. Na realidade a taxa de 
juros é formada por dois elementos importante: 
 
a) a taxa pura de juros ( i0 ) – é a taxa na qual não ocorrerá a incidência de 
risco. Equivale à taxa utilizada pelo Governo na remuneração de 
investimentos sem risco, como no caso da Caderneta de Poupança. 
b) a remuneração pelo risco ( i1 ) – é a remuneração que o mercado adiciona à 
taxa pura de juros, como sendo um seguro que o ofertante cobra para 
disponibilizar o capital que o tomador necessita. 
 
Desta forma, pode-se afirmar que a taxa de juros ( i ) é igual à soma da taxa pura 
de juros e a remuneração pelo risco. 
 
i = i0 + i1 
 
 i 
 
 remuneração pelo 
risco 
 
 i0 
taxa pura de juros 
 
 risco 
 
 No gráfico, pode-se visualizar que quanto maior o risco, maior será a 
taxa de juros. 
 
 Na realidade, nas operações no mercado, o custo real é obtido 
somando-se a taxa de juros pura, o custo pelo risco, o custo de impostos e dos serviços. 
De maneira genérica, a taxa de juros será considerada como sendo o resultado a soma de 
todos estes elementos. 
 
 
3 
3 
 
 
PRAZO ( n ) – será o tempo decorrido entre o momento em que se disponibiliza o 
capital e a data do efetivo retorno a sua origem. 
 
 O prazo estará indicado em ano ( a ) ou seus submúltiplos – semestre 
(s), quadrimestre (q), trimestre (t), bimestre (b), mês (m) ou dia (d). 
 
 
JURO ( J ) 
 
 Sendo conhecidos os três conceitos anteriores, pode-se indicar o mais 
importante conceito da Matemática Financeira – o juro. 
 
 JURO é a remuneração de um capital, sobre o qual incidiu uma taxa 
de juros, durante um determinado período de tempo. 
 
 Ora, a definição de juro permite a formulação da equação fundamental 
da Matemática Financeira: 
 
J = P i n 
 
 Entretanto, algumas consideração são necessárias antes da utilização 
direta da equação. 
 
1 – A taxa de juros normalmente estará indicada na forma percentual, ou seja, será 
indicada por um número, seguido do símbolo de porcentagem ( % ) e de um elemento 
indicativo do tempo de incidência da taxa ( por exemplo, aa – ao ano ). É o caso de 
12 % aa. 
 
Para a utilização da taxa na equação, deve-se transformar a taxa percentual em taxa 
unitária. Para tanto, basta que se divida a taxa percentual por 100 ( cem ) 
 
 
Forma Percentual Transformação Forma Unitária 
 20 % aa 
 
0,20 aa 
15 % a s 
 
0,15 as 
2,5 % ad 
 
0,025 ad 
 
Na transformação é mantida a unidade de tempo da taxa. 
 
2 – O prazo (n) deverá estar no mesmo período da taxa. 
 
100
20
100
15
100
5,2
 
 
4 
4 
 Por exemplo: se a taxa for 12 % aa e o prazo de 24 meses, deve-se 
proceder a transformação do prazo, de meses para anos. 
 
 1 ano 12 meses 
 x anos 24 meses logo x = 2 anos. 
 
 
Estes cuidados serão FUNDAMENTAIS para o perfeito desenvolvimento do estudo da 
Matemática Financeira. 
 
Exemplo : 
 
 Qual será o juro produzido por um capital de $ 2.000,00, durante 6 meses, 
considerando uma taxa de juros de 12 % aa ? 
 
Tem-se: P = $ 2.000,00 
 n = 6 meses  0,5 anos ( transformar meses em ano ) 
 i = 12 % aa  0,12 aa ( da forma percentual para a forma unitária ) 
 
J = P i n 
J = 2.000,00 x 0,12 x 0,5 
 
Forma unitária prazo em meses 
 
J = $ 120,00 
 
 
- O MONTANTE ( S ) 
 
 Quando há a incidência de taxa de juros sobre um capital, durante um 
determinado período de tempo, verifica-se a formação de juro. 
 
 Entretanto, quando paga-se uma prestação sobre a qual incidiu uma 
taxa de juros, não há a discriminação do que seja o valor do capital ( principal ), e do 
que seja o juro. O que se observa é um valor total, resultado da soma do capital com o 
juro. 
 Este resultado é denominado de MONTANTE. 
 
 Logo, utilizando o conceito pode-se afirmar que: 
 
S = P + J 
 
 
Exemplo: 
 
 Qual o montante verificado ao se incidir uma taxa de 10 % am, durante 6 meses, em um 
capital de $ 3.000,00 ? 
 
 P = $ 3.000,00 
 i = 10 % am  0,1 am 
 
 
5 
5 
 n = 6 meses 
 S = ? 
 
J = Pin 
J = 3.000,00 x 0,1 x 6 
J = $ 1.800,00 
 
S = P + J 
S = 3.000,00 + 1.800,00 
 
S = $ 4.800,00 
 
 
- REGIMES DE CAPITALIZAÇÃO 
 
A incorporação do juro ao capital para a formação do montante poderá ocorrer de duas 
formas distintas: 
 
a) REGIME DE CAPITALIZAÇÃO SIMPLES 
 
Neste caso, os juros gerados são iguais em cada período, pois a taxa de juros incidirá 
somente no capital inicial, durante todo o período de capitalização. Os juros 
produzidos somente serão adicionados ao capital ( principal ), após o término do 
período de capitalização. Isto equivale afirmar que somente o capital inicial rende juros. 
 
O regime de capitalização simples é também denominado de forma linear de 
capitalização. 
 
Exemplo: 
 
 Determinar qual será o montante gerado por um capital de $ 1.000,00, aplicadodurante 
4 meses à taxa de 10 % am , em regime de capitalização simples . 
 
P = 1.000,00 
i = 10 % am  0,1 am 
n = 4 meses 
S = ? 
 
Utilizando um quadro esquemático, podemos identificar: 
 
Mês Capital Taxa de Juros Juro Gerado 
1 1.000,00 0,1 100,00 
2 1.000,00 0,1 100,00 
3 1.000,00 0,1 100,00 
4 1.000,00 0,1 100,00 
Juro Total 400,00 
 
J = 100,00 + 100,00 + 100,00 + 100,00 
J = $ 400,00 
 
 
 
6 
6 
Logo, 
 
S = P + J 
 
S = 1.000,00 + 400,00 
S = $ 1.400,00 
 
Desta forma, pode-se identificar uma forma direta de determinar o MONTANTE, sem 
que seja necessário o cálculo dos juros. 
 
S = P + J 
J = P i n , então 
 
S = P + P i n 
 colocando-se P em evidência, têm-se que: 
 
 
S = P ( 1 + i n ) 
 
 
 
Que é a equação geral para determinação do montante, no regime de capitalização 
simples. 
 
 
 
b) REGIME DE CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA 
 
 
Um capital cresce segundo o regime de capitalização composta quando o juro gerado 
em cada período de tempo se agrega ao principal, formando um novo valor, sobre o 
qual incidirá a taxa de juros no período seguinte. 
 
O regime de capitalização composta é também denominado de forma exponencial de 
capitalização. 
 
Exemplo: 
 
 Determinar qual será o montante gerado por um capital de $ 1.000,00, aplicado durante 
4 meses à taxa de 10 % am , em regime de capitalização composta . 
 
P = 1.000,00 
i = 10 % am  0,1 am 
n = 4 meses 
S = ? 
 
 
Utilizando um quadro esquemático, pode-se identificar como ocorre a formação do 
montante no regime de capitalização composta. 
 
 
 
7 
7 
 
 
Mês Capital Taxa de Juros Juro Gerado Novo Capital 
( P + J ) 
1 1.000,00 0,1 100,00 1.100,00 
2 1.100,00 0,1 110,00 1.210,00 
3 1.210,00 0,1 121,00 1.331,00 
4 1.331,00 0,1 133,10 1.464,10 
MONTANTE FINAL 1.464,10 
 
O que caracteriza o regime de capitalização composta é o fato de que o juro gerado em 
cada período é somado ao capital, formando um “novo capital”, sobre o qual, no 
período subseqüente, incidirá a taxa de juros. É o denominado “juros sobre juros”. 
 
 
A equação geral para a determinação do montante, pelo regime de capitalização 
composta será: 
 
 
 
 
 
Maiores considerações sobre as equações serão efetuadas no decorrer do texto. 
 
Pode-se observar que o crescimento do capital no regime de capitalização composta é 
maior do que no regime de capitalização simples. 
 
Nosso estudo será dividido em duas grandes partes: 
 
- o estudo do regime de capitalização simples, e 
- o estudo do regime de capitalização composta. 
 
 
O REGIME DE CAPITALIZAÇÃO SIMPLES 
 
Conforme foi apresentado, o juro é o resultado da incidência da taxa de juros sobre um 
capital, durante um determinado período de tempo, logo: 
 
J = P i n 
 
Desta forma, pode-se determinar qualquer dos termos da equação, se forem 
apresentados 3 (três) valores: 
 
 
niPS )1( 
 
 
8 
8 
 
 
 
J = Pin 
 
 
 
Não há a necessidade de “decorar” todas as equações. A prática e a adoção de critérios 
algébricos permitirão a assimilação. 
 
Exemplo: 
 
Que capital proporcionará a formação de juros de $ 250,00, transcorridos 2 meses de 
aplicação, considerando uma taxa de juros simples de 4 % am ? 
 
J N i P 
250,00 2 meses 4 % am 
 0,04 am 
? 
 
 
P = $ 3.125,00 
Exemplo: 
 
Considerando o regime de capitalização simples, a que taxa de juros deve-se aplicar um 
capital de $ 3.000,00, para após 5 meses, obter-se um rendimento de $ 900,00 ? 
 
- o rendimento de uma aplicação é o juro gerado. 
 
J N P i 
900,00 5 meses 3.000,00 ? 
 
 
 
i = 0,06 a m ou i = 6 % am 
- quando se calcula a taxa de juros, o resultado pode ser indicado através da forma 
unitária ou da forma percentual; 
- o período da taxa, deve ser o mesmo do período do prazo, salvo indicação 
contrária. 
in
J
P 
Pn
J
i 
Pi
J
n 
in
J
P 
204,0
00,250
x
P 
Pn
J
i 
500,000.3
00,900
x
i 
 
 
9 
9 
 
Exemplo: 
 
Durante quanto tempo deve-se aplicar um capital de $ 50.000,00, considerando uma 
taxa de juros simples de 5 % am, para serem auferidos juros de $ 4.000,00 ? 
 
 
J i P n 
5.000,00 5 % am 
 0,05 am 
50.000,00 ? 
 
 
 
n = 2 meses 
- como o período da taxa é mensal ( am ), o prazo deve acompanhar o mesmo 
período, logo será indicado em mês. 
 
 
Da mesma forma, pode-se, através da interpretação da equação do montante, pelo 
regime de capitalização simples, determinar qualquer um dos termos, sendo indicados 
os outros 3 : 
 
 
 
 
S = P( 1 + in ) 
 
 
 
 
Exemplo: 
 
Que capital deve ser aplicado durante 6 meses, considerando uma taxa de juros simples 
de 4,5 % am , se for desejado um resgate de $ 18.600,00 ? 
 
- resgate é o resultado final, somando-se o juros e o capital, logo é o Montante. 
 
S i n P 
18.600,00 4 % am 
 0,04 am 
6 meses ? 
 
in
S
P


1
n
PS
i
1)/( 

i
PS
n
1)/( 

Pi
J
n 
05,000,000.50
00,000.5
x
n 
 
 
10 
10 
 
 
 
 
S = $ 15.000,00 
 
Exemplo: 
 
Gastaldo efetuou um empréstimo no valor de R$ 4.000,00, comprometendo-se pagar $ 
5.280,00 após 4 meses. Qual foi a taxa de juros simples contratada por Gastaldo ? 
 
S n P i 
5.280,00 4 meses 4.000,00 ? 
 
 
 
 
 
 
i = 0,08 am ou 8 % am 
- como o prazo está indicado em mês, o período da taxa deve acompanhar o 
mesmo período, sendo, portanto, mensal. 
 
Exemplo: 
 
Durante quanto tempo deve-se manter um capital de $ 3.500,00 aplicado a uma taxa de 
juros simples de 4,5 % am , se o objetivo for efetuar um resgate de $ 4.130,00 ? 
 
S i P n 
4.130,00 4,5 % am 
 0,045 am 
3.500,00 ? 
 
 
 
 
 
n = 4 meses 
)1( in
P
S


)604,01(
00,600.18
x
S


)24,01(
00,600.18

S
24,1
00,600.18
S
n
P
S
i
1






4
1
00,000.4
00,280.5






i
4
132,1 
i
4
32,0
i
i
P
S
n
1






045,0
1
00,500.3
00,130.4






n
045,0
118,1 
n
045,0
18,0
n
 
 
11 
11 
 
 
- TAXA PROPORCIONAL 
 
Considere-se duas taxas de juros i1 e i2, associadas, respectivamente aos períodos n1 e 
n2. 
 
As taxas serão proporcionais se houver igualdade de quociente das taxas com o 
quociente dos respectivos períodos, ou seja: 
 
 
Lembrando que em uma proporção o produto dos meios é igual ao produto dos 
extremos, tem-se que: 
 
i1n2 = i2n1 
 
Exemplo: 
 
Verificar se as taxas de 4 % am e 48 % aa são proporcionais. 
 
- neste caso, temos que lembrar que a taxa incide sobre o capital em períodos 
unitários de tempo, que deverão estar no mesmo período da taxa. Logo, o prazo 
da taxa de 4 % am será de 1 mês e a da taxa de 48 % aa, será de 1 ano. 
 
Então: 
 
i1 = 4 % am  0,04 am 
i2 = 48 % aa  0,48 aa 
n1 = 1 mês 
n2 = 1 ano  12 meses 
 
Como foi visto, i1n2 = i2n1 
 
Logo: 0,04 x 12 = 0,48 x 1 
 
Como o resultado é verdadeiro, pois 0,48 = 0,48, pode-se afirmar que a taxa de 4 % am 
é proporcional à taxa de 48 % aa. 
 
 
- TAXA EQUIVALENTE 
 
Duas taxas de juros são equivalentes no regime de capitalização simples, se aplicadas 
em um mesmo capital, durante um mesmo intervalo de tempo ( múltiplosdos tempos a 
que se referem as taxas ), produzirem juros iguais. 
 
2
1
2
1
n
n
i
i

 
 
12 
12 
Considere-se i1 e i2 as taxas de juros e n1 e n2 os períodos de tempo. Deve-se lembrar 
que n1 e n2 devem ser múltiplos. 
 
Então, como os juros produzidos devem ser iguais, e sabendo-se que J = Pin, tem-se 
que: 
 
P x i1 x n1 = P x i2 x n2 
 
Como os capitais (P) são iguais, tem-se que: 
 
i1 x n1 = i2 x n2 
 
Como n1 e n2 devem ser múltiplos, pode-se atribuir a um deles o valor 1. 
No caso, n1 = 1. 
 
Então, tem-se que: i1 x 1 = i2 x n2 
 
 i1 = i2 x n2 , ou 
 
Exemplo: 
 
Um capital de $ 1.000,00 poderá ser aplicado à taxa de 24 % aa, ou à taxa de 2 % am. 
Verificar se as taxas são equivalentes, considerando que o prazo de aplicação será de 2 
anos. 
 
Tem-se dois grupos de dados distintos que devem ser observados: 
 
P = $ 1.000,00 P = $ 1.000,00 
i1 = 24 % aa  0,24 aa i2 = 2 % am  0,02 am 
n = 2 anos n = 2 anos  24 meses 
 
J1 = P x i1 x n J2 = P x i2 x n 
J1 = 1.000,00 x 0,24 x 2 J2 = 1.000,00 x 0,02 x 24 
J1 = $ 480,00 J2 = $ 480,00 
 
J1 = J2 
 
Como os capitais são iguais e os prazos também, verifica-se que as taxas são 
equivalentes. 
 
 
- JURO EXATO e JURO COMERCIAL 
 
 
É muito comum verificar-se certas operações financeiras que ocorrem por um dia ou por 
alguns dias apenas. Como no processo de curto prazo o regime geralmente adotado é o 
de juros simples, é conveniente utilizarmos a taxa diária equivalente. 
2
1
2
n
i
i 
 
 
13 
13 
 
O cálculo poderá ser realizado de duas maneiras, dependendo do número de dias 
adotado para o ano: 
 
a) ano civil = 365 dias ( ou 366 ) e os meses com o número real de dias; 
b) ano comercial = 360 dias e o mês comercial com 30 dias. 
 
 
Utilizando-se o ano civil são obtidos os juros exatos. 
Utilizando-se o ano comercial são obtidos os juros comerciais. 
 
 
Exemplo: 
 
Um capital de $ 15.000,00 é aplicado à taxa de 13,5 % aa, durante 6 dias. Calcular o 
juro exato e o juro comercial. 
 
a) Juro Exato ( Je ) 
 
P= $ 15.000,00 Je = Pin 
i = 13,5 % aa  0,135 aa Je = 15.000,00 x 0,135 x 0,016 
n = 6 dias  6 / 365 = 0,016 d Je = $ 32,40 
 
b) Juro Comercial ( Jc ) 
 
P = $ 15.000,00 Jc = Pin 
I = 13,5 % aa  0,135 aa Jc = 15.000,00 x 0,135 x 0,017 
N = 6 dias  6 / 360 = 0,017 Jc = $ 34,43 
 
O resultado, nas mesmas condições ( capitais, prazos e taxas iguais ), apresentará 
sempre um valor maior para o critério do juro comercial. 
 
 
- VALOR NOMINAL ( FV ) e VALOR ATUAL ( PV ) 
 
 
Assim como em outras disciplinas, a Matemática Financeira possui nomenclaturas 
próprias, adequadas para situações distintas. 
 
Quando se aplica um capital, o valor constatado na data do resgate ( principal acrescido 
de juros ), é denominado de montante. 
 
Entretanto, quando se aplica um capital, por exemplo com uma taxa pré-fixada ( já se 
sabe antecipadamente quanto será o valor do rendimento ), o valor esperado na data do 
resgate é denominado de VALOR NOMINAL, ou seja é o valor do compromisso em 
uma data futura. A simbologia FV, expressa bem a idéia – future value ( valor futuro, 
em inglês ). 
 
Porém, em certos casos ocorrem resgates dos investimentos antes da data do 
vencimento, ou então, deseja-se quitar uma dívida antes da data do vencimento. O valor 
 
 
14 
14 
da dívida ou do investimento na data do vencimento, como já foi visto, é denominado 
de valor nominal. O valor antes do vencimento é denominado de VALOR ATUAL. A 
simbologia em inglês PV significa present value ( valor presente ). 
 
O entendimento de Valor Nominal e de Valor Atual será de fundamental importância 
para que se possa desenvolver os conceitos de prestações e anuidades, em módulos 
posteriores. 
 
 O conceito de VALOR NOMINAL é extremamente semelhante ao de MONTANTE. 
 
Nas relações financeiras é fundamental a incidência de uma taxa de juros, sobre um 
capital. Considerando como 0 (zero) a data inicial de uma transação financeira e como n 
o prazo decorrido entre a data inicial e seu efetivo cumprimento, pode-se definir que: 
 
 
 
FV = PV ( 1 + in ) 
 
 
 
- PV ( valor presente ), neste caso, será o capital inicial na data zero, o que pode 
ser facilmente entendido se for considerado uma taxa de juros i e um prazo igual 
a zero. Lembre-se de que PV é o valor antes da data do vencimento, logo, se o 
prazo foi igual a zero, PV na data zero será igual ao capital ( P ); 
- A parcela ( 1 + in ) é também denominada de fator de atualização de 
capital ( fac ). 
 
A determinação de uma equação para definição do Valor Atual é conseqüência direta da 
equação de determinação de Valor Nominal. 
 
 
 
 
 
 
Deve-se tomar muito cuidado no momento em que se for utilizar as equações de 
determinação de Valor Nominal e de Valor Atual. 
 
Quando se calcula o Valor Nominal, o valor de n ( prazo), se refere ao prazo total 
transcorrido entre a data zero e a data do vencimento. 
 
Quando se calcula o Valor Atual, o valor de n ( prazo ), se refere ao prazo de 
antecipação, ou seja o período transcorrido entre a data do vencimento e a data que 
se está observando ( data focal ). 
 
 
 
 
)1( in
FV
PV


 
 
15 
15 
 
 
Exemplo: 
 
a) O investimento de $ 5.000,00, durante 5 meses, considerando uma taxa de juros 
anual de 24 % aa, possibilitará ao investidor que resgate ? 
 
 
 
 5.000,00 FV 
 
 
 0 i = 24 % am 5 m 
 
 
PV n i FV 
$ 5.000,00 5 m 
 0,417 a 
24 % aa 
 0,24 aa 
? 
 
FV = PV ( 1 + in ) 
FV = 5.000,00 ( 1 + 0,24 x 0,417 ) 
FV = 5.000,00 ( 1 + 0,1 ) 
FV = $ 5.500,00 
 
  Ao investidor será possível um resgate de $ 5.500,00 
 
b) Se desejar efetuar o resgate 1 mês antes da data do vencimento, qual será o valor 
resgatado, se na época do resgate a taxa de juros de mercado for de 26 % aa , 
considerando o resultado do exemplo anterior ? 
 
( observe que neste caso houve mudança da taxa de juros ) 
 
 
 
 PV 5.500,00 
 
 
 0 4 5 
 n = 1 m 
 i = 26 % aa 
 
FV n i PV 
$ 5.500,00 1 m 
 0,083 a 
26 % aa 
 0,26 aa 
? 
 
 
)1( in
FV
PV


)083,026,01(
00,500.5
x
PV


)022,01(
00,500.5

PV
 
 
16 
16 
 
PV = $ 5.381,60 
 
- O valor resgatado será de $ 5.381,60 
 
 
Exemplo: 
 
Mévio efetuou a compra de uma geladeira, cujo valor à vista é de $ 1.000.00. Como 
optou por um parcelamento, pagou $ 250,00 de entrada, comprometendo-se a pagar o 
restante 2 meses após, contratando uma taxa de juros de 5 % am. Entretanto, 15 dias 
antes do vencimento, resolve quitar seu débito. Quanto deverá pagar se na data da 
quitação a taxa de juros de mercado for de 6 % am ? 
 
 i = 5 % am 
 
 
 
 $ 1.000,00 PV FVi = 6 % am 
 
 0 2 m 
 $ 250,00 15 d 
 
- a resolução do exercício deve ser feita em duas etapas: 
a) primeiro deve-se calcular o valor do débito na data original de vencimento ( 
FV ); 
b) depois, calcula-se o valor em razão da antecipação ( PV ). 
 
 
a) Valor Total da Dívida ( na data zero ) = $ 1.000,00 
 Valor Financiado = $ 1000,00 - $ 250,00 = $ 750,00 ( será o PV na data zero ) 
 
PV n i FV 
$ 750,00 2 m 5 % am 
 0,05 am 
? 
 
FV = PV ( 1 + in) 
FV = 750,00 ( 1 + 0,05 x 2 ) 
FV = 750,00 ( 1 + 0,1 ) 
 
FV = 825,00 
 
b) 
 
FV N i PV 
$ 825,00 15 d 
 0,5 m 
6 % am 
 0,06 am 
? 
 
 
 
 
17 
17 
 
 
 
 
 
PV = $ 800,97 
 
 
- optando pelo pagamento antecipado, pagará $ 800,97, que será o valor 
necessário, considerando a taxa de juros de mercado, que deveria aplicar, pelo 
prazo da antecipação ( 15 dias ), para obter o valor integral do seu débito. 
 
S = P ( 1+in ) 
S = 800,97 ( 1 + 0,06 x 0,05 ) 
S = 800,97 ( 1 + 0,03 ) 
S = $ 825,00 
 
 
Em muitos casos um valor atual (PV) na data zero, pode ser desdobrado em diversos 
vencimentos (FV), que serão os valores das prestações. 
 
Exemplo: 
 
Tício resolve comprar um aparelho de som, cujo preço à vista é $ 1.000,00. Opta pelo 
financiamento, em 3 (três) parcelas iguais, com vencimentos mensais, a primeira 
vencendo um mês após a compra, sem entrada. Considerando que a loja utiliza uma taxa 
de financiamento de 5 % am, qual será o valor das prestações ? 
 
 
 1.000,00 FV FV FV 
 
 
 0 1 i=5 % am 2 3 
 
 
- nestes casos, a soma dos valores nominais ( FV ), descapitalizados, ou seja, sem 
a incidência da taxa de juros, deverá ser igual ao valor atual (PV), na data 
zero. 
 
 
 
)1( in
FV
PV


)5,006,01(
00,825
x
PV


)03,01(
00,825

PV
 
 
18 
18 
 
Utilizando um esquema geral, pode-se indicar que: 
 
 
 
 
Onde, n1, n2, n3, nn, são as datas dos diversos vencimentos, ou seja o prazo 
compreendido entre a data zero e o vencimento da parcela. A taxa está sendo mantida 
constante e considera-se os valores das parcelas ( prestações) iguais. 
 
No exemplo, temos: 
 
PV n1 n2 n3 i FV 
1.000,00 1 m 2 m 3 m 5 % am 
 0,05 am 
? 
 
 
 
Colocando-se FV em evidência, tem-se que: 
 
 
1.000,00 = FV ( 0,952 + 0,909 + 0,870 ) 
1.000,00 = 2,731 FV 
 
FV = $ 366,17 
 
 
- o valor das prestações será de $ 366,17. 
 
Nos problemas de Matemática Financeira, quase sempre é possível verificarmos a 
exatidão dos resultados, substituindo os valores encontrados, na fórmula. No caso do 
exemplo, substituindo os valores de FV, mantendo-se os prazos e a taxa, deve-se 
encontrar o valor de PV: 
 
 
)1(
....
)1()1()1( 321 nin
FV
in
FV
in
FV
in
FV
PV








)305,01()205,01()105,01(
00,000.1
x
FV
x
FV
x
FV


















)15,01(
1
)1,01(
1
)05,01(
1
00,000.1 FV
731,2
00,000.1
FV
)305,01(
17,366
)205,01(
17,366
)105,01(
17,366
xxx
PV






 
 
19 
19 
PV = 348,73 + 332,88 + 318,41 
PV = 1.000,02 
 
( a diferença de $ 0,02 é em razão dos arredondamentos, sendo plenamente desprezada ) 
 
 
Pode acontecer das prestações, nos casos dos financiamentos, não serem iguais. O 
exemplo abaixo irá demonstrar o fato: 
 
Exemplo: 
 
Sévio resolver adquirir uma motocicleta, cujo valor à vista é $ 5.000,00. A 
concessionária possibilita a compra através de financiamento, em 3 (três) parcelas, 
mensais e sucessivas, a primeira vencendo um mês após a compra, sem entrada, nas 
seguintes condições: a segunda parcela será o dobro a primeira, e a terceira parcela será 
o triplo da primeira. Considerando que a taxa de juros do financiamento é de 6 % am , 
qual será o valor das parcelas, nos vencimentos ? 
 
- o valor das parcelas no vencimento pode ser indicado por FV 
 
 5.000,00 FV 2FV 3FV 
 
 
 0 1 i=6 % am 2 3 m 
 
 
 
colocando-se FV em evidência, 
 
 
 
5.000 = FV ( 0,943 + 1,786 + 2,542 ) 
5.000 = 5,271 FV 
FV = 948,59 
 
- o valor encontrado refere-se a FV, ou seja, o valor da primeira prestação. O 
cálculo das demais será através da proporção indicada: 
 
2ª parcela = 2 FV  2 x 948,59 = 1.897,18 
3ª parcela = 3 FV  3 x 948,59 = 2.845,77 
00,000.1$PV
)1(
3
)1(
2
)1( 321 in
FV
in
FV
in
FV
PV






)306,01(
3
)206,01(
2
)106,01(
000.5
x
FV
x
FV
x
FV


















)18,01(
3
)12,01(
2
)06,01(
1
000.5 FV
 
 
20 
20 
 
Desta forma, o financiamento será nas seguintes condições: 
 
1ª parcela $ 948,59 
2ª parcela $ 1.897,18 
3ª parcela $ 2.845,77 
 
 
Observe que nos exercícios envolvendo VALOR ATUAL e VALOR NOMINAL, a soma 
dos valores nominais na data zero ( descapitalizados ) deverá ser igual ao valor atual 
na data zero. 
 
 
- DESCONTOS 
 
Quando se faz uma operação financeira, normalmente recebe-se um documento, 
comprovando o crédito ( no caso de investimentos ) ou o débito ( no caso de compras a 
prazo ). Entretanto, como foi visto, ao investidor ou ao devedor é facultada a 
possibilidade de efetuar o resgate ou realizar o pagamento antes da data do vencimento. 
 
Viu-se que um título no vencimento possui VALOR NOMINAL ( FV ) e que seu valor 
antes do vencimento será caracterizado por um VALOR ATUAL ( PV ), sendo o caso 
extremo o valor atual na data zero.. 
 
Quando se efetua o resgate de um título antes do vencimento, o resultado será inferior 
ao valor registrado como Valor Nominal. 
 
A diferença entre o valor nominal e o valor pago no ato do resgate ( antecipado ), é 
denominado de DESCONTO, e o valor efetivamente pago denominado de VALOR 
DESCONTADO. A operação de resgatar um título antes do vencimento é denominada 
de desconto do título. 
 
O cálculo do desconto é feito segundo dois critérios: 
 
a) DESCONTO RACIONAL ou “por dentro”; 
b) DESCONTO COMERCIAL ou “por fora” 
 
 
- DESCONTO RACIONAL ou “por dentro” 
 
É o resultado da diferença entre o valor nominal (FV) e o valor atual (PV) de um 
compromisso, saldado n períodos antes do seu vencimento. 
 
Será utilizada a seguinte simbologia: 
 
FV – valor nominal ou montante 
PVr – valor atual ou valor descontado racional 
n – número de períodos antes do vencimento ( prazo de antecipação ) 
ir – taxa de desconto racional 
Dr – valor do desconto racional 
 
 
21 
21 
 
Viu-se que: 
 
 
De maneira análoga: 
 
Pela própria definição: Dr = FV - PVr 
 
Então: 
 
Onde, 
 
que é a equação geral para determinação do valor do desconto racional simples. 
 
De maneira semelhante, considerando-se que PVr = N – Dr, chega-se a: 
 
 
 
que é a equaçãogeral para determinação do valor descontado racional simples. 
( observe que o valor descontado racional é o próprio valor atual ) 
 
 
Exemplo: 
 
Uma pessoa possui uma dívida, representada por uma nota promissória, no valor de $ 
3.000,00 e pretende quita-la 3 (três) meses antes do vencimento. Sabendo-se que a taxa 
de juros de mercado é de 5 % am , qual o desconto que obterá e quanto irá pagar na 
quitação de sua dívida ? 
 
( observe que não há a necessidade de indicar a data da origem do débito ) 
 
 
)1( in
FV
PV


)1( ni
FV
PVr
r

)1( ni
FV
FVDr
r

ni
nFVi
Dr
r
r


1
)1( ni
FV
PVr
r

 
 
22 
22 
 
 
 
 PVr 3.000,00 
 
 
 
 n = 3 meses 
 ir = 5 % am 
 
a) cálculo do DESCONTO ( Dr ) 
 
FV N ir Dr 
3.000,00 3 meses 5 % am 
 0,05 am 
? 
 
 
 Dr = $ 391,30 
 
b) Cálculo do valor descontado (PVr) 
 
O valor descontado pode ser cálculo utilizando-se diretamente a definição do desconto 
reacional simples: 
 
 Dr = FV – PVr , logo PVr = FV – Dr 
 
Então : PVr = 3.000,00 – 391,30  PVr = 2.608,70 
 
 
Ou então, utilizando-se a equação geral para determinação do valor descontado racional: 
 
FV ir n PVr 
3.000,00 5 % am 
 0,05 am 
3 meses ? 
 
 
 
 
PVr = $ 2.608,70 
)1( ni
nFVi
Dr
r
r


)305,01(
305,000,000.3
x
xx
Dr


)1( ni
FV
PVr
r

)305,01(
00,000.3
x
PVr


 
 
23 
23 
 
 
- DESCONTO COMERCIAL ou “por fora” 
 
 
O DESCONTO COMERCIAL simples é o valor que que se encontra incidindo a taxa 
de desconto, durante o prazo de antecipação, sobre o valor nominal do título. 
 
Desta forma, pode-se verificar que o conceito de DESCONTO COMERCIAL simples é 
análogo ao de juros simples. 
 
Dc = FV x ic x n 
 
Onde: 
 
Dc = desconto comercial 
FV = valor nominal do título no vencimento 
n = prazo de antecipação 
ic = taxa de desconto comercial 
 
 
A expressão para determinação do VALOR DESCONTADO COMERCIAL é obtida 
utilizando o conceito básico de que o valor descontado é igual ao valor nominal menos 
o desconto. Desta forma, tem-se que: 
 
PVc = FV – Dc 
PVc = FV – FV ic n 
 
PVc = FV ( 1 – ic n ) 
 
 
O valor descontado comercial também pode ser denominado de valor atual comercial. 
 
Exemplo: 
 
Uma pessoa possui uma dívida, representada por uma nota promissória, no valor de $ 
3.000,00 e pretende quita-la 3 (três) meses antes do vencimento. Sabendo-se que a taxa 
de juros de mercado é de 5 % am , qual o desconto que obterá e quanto irá pagar na 
quitação de sua dívida, se for adotado o critério do desconto comercial simples ? 
 
( observe que não há a necessidade de indicar a data da origem do débito ) 
 
a) inicialmente, calcula-se o valor do Desconto Comercial (Dc) 
 
 
FV n ic Dc 
3.000,00 3m 5 % am 
 0,05 % am 
? 
 
 
 
24 
24 
 
 
Dc = FV x ic x n 
Dc = 3.000,00 x 0,05 x 3 
 
Dc = $ 450,00 
 
 
b) Cálculo do Valor Descontado Comercial ( PVc ) 
 
FV n ic PVc 
3.000,00 3m 5 % am 
 0,05 % am 
? 
 
PVc = FV ( 1 – ic n ) 
PVc = 3.000,00 ( 1 – 0,05 x 3 ) 
PVc = 3.000,00 ( 1 – 0,15 ) 
 
PVc = $ 2.550,00 
 
 
O valor descontado comercial poderia ser calculado utilizando o próprio conceito, onde 
o valor descontado é igual ao valor nominal menos o desconto. 
 
Desta forma, ter-se-ia: 
 
PVc = FV – Dc 
PVc = 3.000,00 – 450,00 
 
PVc = $ 2.550,00 
 
 
Observe que o valor do desconto comercial é superior ao valor do desconto racional. 
 
No critério do desconto racional, aplicando a taxa de desconto no valor descontado 
racional, durante o prazo de antecipação, encontra-se o valor do desconto racional. 
Considerando o exemplo: 
 
FV n I 
3.000,00 3m 5 % am 
 0,05 % am 
 
No critério do desconto racional, verificou-se que: 
 
PVr = $ 2.608,70 , e que Dr = $ 391,30 
 
O valor do desconto será, na realidade, o juros simples auferido pelo valor descontado 
racional, fazendo-se incidir sobre ele a taxa de desconto racional, durante o período de 
antecipação: 
 
 
 
25 
25 
Dr = PVr x ir x n 
 
Dr = 2.608,70 x 0,05 x 3 
 
Dr = 391,31 
 
 
Entretanto, no critério do desconto comercial, tal circunstância não é evidenciada. Desta 
forma, é necessário que se estabeleça uma relação entre uma taxa de juros simples e a 
taxa de desconto comercial. 
 
A relação pode ser indicada por: 
Onde: 
i = taxa de juros simples 
ic = taxa de desconto comercial 
n = prazo de antecipação 
 
Ou que: 
 
 
Utilizando o exemplo, pode-se verificar qual seria a taxa de juros simples para fazer 
com que o resultado da aplicação do valor descontado comercial gerasse o valor 
nominal do título. 
 
FV n ic PVc Dc 
3.000,00 3 m 5 % am 
 0,05 am 
2.550,00 450,00 
 
 
 
i = 0,0588 am ou 5,88 % am 
ni
i
i
c
c


1
in
i
ic


1
ni
i
i
c
c


1
305,01
05,0
x
i


15,01
05,0

i
 
 
26 
26 
 
 
Verificando: 
 
J = Pin 
J = 2.550,00 x 0,0588 x 3 
J = 449,82 
 
 
 
- a diferença encontrada é em razão de arredondamento, pois o valor da taxa 
seria de 0,05882353 am ( para critérios práticos, pode-se efetuar o 
arredondamento para três casas decimais, estando-se ciente de que haverá a 
existência de diferença final ) 
 
 
Então, conclui-se que seria necessária uma taxa de juros para investimento de 5,88 % 
am para que fosse indiferente ao comprador antecipar o pagamento de seu título, 
considerando uma taxa de desconto comercial de 5 % am . 
 
A taxa de 5,88 % am é a taxa efetiva ( if ) para o desconto comercial e pode, também, 
ser determinada sem a necessidade de verificar-se qual foi a taxa de desconto utilizada. 
 
 
 
FV n PVc Dc 
3.000,00 3 m 2.550,00 450,00 
 
 
 if = 0,0588 am ou 5,88 % am 
 
 
00,450J
n
PVc
FV
i f
1

3
1
00,550.2
00,000.3

fi
3
11765.1 
fi
 
 
27 
27 
- O REGIME DE CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA 
 
Conforme já foi visto, no regime de capitalização composta, os juros gerados em cada 
período se agregam ao montante do período anterior, passando este resultado a ser o 
novo montante, que produzirá juros no período seguinte. 
 
A equação geral para determinação do montante, pelo critério do regime de 
capitalização composta foi indicada como: 
 
 
 
Entretanto, o montante pode ser interpretado como sendo o valor futuro de um capital ( 
valor presente ), sobre o qual incide uma taxa de juros, durante determinado período de 
tempo. 
 
Desta forma, pode-se expressar a equação para determinação do montante, pelo regime 
de capitalização composta como: 
 
 
Assim como no regime de capitalização simples, os seguintes cuidados devem ser 
tomados: 
 
a) a taxa de juros , que normalmente é indicada através da notação 
percentual ( % ), deve ser transformada para taxa unitária, ou seja, deve-se 
dividir a taxa percentual por 100, mantendo-se, entretanto, o período da 
taxa. 
b) O prazo e a taxa devem estar no mesmo período de tempo. ( será visto 
adiante o critério para determinação da taxa equivalente, no regime de 
capitalizaçãocomposta .) 
 
No transcorrer do capítulo de REGIME DE CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA, serão 
apresentados dois critérios para resolução dos exercícios: 
 
a) utilizando o processo algébrico; 
b) utilizando a máquina de calcular HP-12C. 
 
Exemplo: 
 
Qual será o valor do resgate de um investimento de $ 2.000,00, após 5 meses, 
considerando uma taxa de juros de 3,5 % am ? 
 
a) resolução algébrica 
 
niPS )1( 
niPVFV )1( 
niPVFV )1( 
 
 
28 
28 
PV i n FV 
2.000,00 3,5 % am 
 0,035 am 
5 m ? 
 
 FV = 2.000,00 x 1,188 
 FV = $ 2.375,37 
 
- o valor do resgate será de $ 2.375,37. 
 
b) utilizando a HP-12C 
 
PV i n PMT FV 
 
-2.000,00 3,5 5 0,00 2.375,37 
 
 O esquema utilizado para demonstrar a resolução através da HP-12C seguirá os 
seguintes passos: 
 
1) na parte superior, em negrito, estarão as teclas referentes aos 
parâmetros que deverão ser pressionadas; 
2) na parte inferior, estarão os valores de cada um dos parâmetros; 
3) deve-se seguir a ordem, inicialmente digitando os valores, em 
seguida pressionando a tecla correspondente; 
4) o parâmetro PMT, não participa, por enquanto da solução dos 
problemas, porém deve ter seu valor igual a zero; 
5) a última tecla que deve ser pressionada estará indicada na célula em 
azul, e terá o resultado indicado na célula em amarelo ( é o valor 
que deverá aparecer no visor da máquina após o processamento), 
após ser pressionada a tecla correspondente. 
 
 O procedimento a ser seguido, passo a passo é o seguinte: 
 
Digitar Visor Significado 
f CLX 0.00 Zera as memórias 
f 2 0.00 Mantém o visor com 2 dígitos 
2000.00 CHS PV - 2,000.00 Armazena o valor presente 
5 n 5.00 Armazena o número de períodos 
3.5 i 3.50 Armazena a taxa 
0 PMT 0.00 Torna o parâmetro PMT ( payment ) igual a zero 
FV 2,375.37 Cálculo do valor futuro 
 
Exemplo: 
 
Se um investidor desejar efetuar um resgate no valor de $ 1.000,00 após 12 meses, 
considerando uma taxa de juros de 1 % am, quanto deverá aplicar hoje, considerando o 
regime de capitalização composta ? 
 
a) resolução algébrica 
5)035,01(00,000.2 FV
 
 
29 
29 
 
FV n i PV 
1.000,00 12 m 1 % am 
 0,01 am 
? 
 
então, 
 
PV = $ 887,45 
 
b) utilizando a HP-12C 
 
FV I n PMT PV 
 
-1.000,00 1,0 12 0,00 887,45 
 
 
Exemplo: 
 
Durante quanto tempo um investidor deve manter um capital de $ 3.000,00 aplicado a 
uma taxa de 5 % am, para obter um resgate de $ 3.828,84 ? 
 
- para a resolução deste exercício, pelo processo algébrico, será necessário o 
conhecimento prévio de logarítmos 
 
 
Utilizando as propriedades 
fundamentais de logaritmos, 
tem-se que : 
 
 
PV I FV n 
3.000,00 5 % am 
 0,05 am 
3.828,84 ? 
 
 
 
 
n = 5,048 m ou 
 
 
 na maioria das máquinas de calcular, para a determinação do logaritmo, procede-se 
da seguinte maneira: 
 
a) digita-se o número ( por exemplo 3000,00 ) 
b) pressiona-se a tecla LOG 
 
(sugestão, utilize a calculadora do Microsoft Windows, em acessórios) 
 
niPVFV )1( 
ni
FV
PV
)1( 

12)01,01(
00,000.1

PV1268.1
00,000.1PV
niPVFV )1( 
)1log(
loglog
i
PVFV
n



)05,01log(
00,000.3log84,828.3log


n
021,0
477,3583,3 
n
mesesn 5
 
 
30 
30 
b) utilizando a HP-12C 
 
PV i FV PMT n 
 
-3.000,00 5,00 3.828,84 0,00 5,00 
 
Como a taxa foi indicada em meses, o prazo estará também em mês. 
 
Exemplo: 
 
A que taxa de juros mensal deve ser aplicado um capital de $ 1.000,00, para que após 3 
meses, seja possível efetuar um resgate de $ 1.076,89 ? 
 
 
 
Utilizando as propriedades 
fundamentais de 
logaritmos, tem-se que : 
 
 
PV n FV i 
1.000,00 3 meses 1.076,89 ? 
 
 
 
 
i = 0,0249 i  0,025 am ou i = 2,5 % am 
 
- como o prazo foi indicado em meses, a taxa deverá estar em mês. 
 
 
 b) utilizando a HP-12C 
 
PV n FV PMT i 
 
-1.000,00 3 1.076,89 0,00 2.50 
 
 
- TAXAS DE JUROS 
 
Os conceitos de taxas de juros e suas diversas denominações, são de vital importância 
nos estudos da Matemática Financeira, em especial quando se evidencia o regime de 
capitalização composta. 
 
Taxa de juros pode ser considerada como “a maestrina da sinfônica Matemática 
Financeira”. 
 
O estudante, o pequeno investidor, a pessoa que vai realizar uma compra a prazo, ao 
lerem contratos ou enunciados, defrontam-se com diversas terminologias, tais como: 
niPVFV )1( 
110
loglog










n
PS
i
110 3
0000.30322,3











i
110 3
0000.30322,3











i
  110 0107,0 i
 
 
31 
31 
taxa nominal, taxa efetiva, taxa equivalente, taxa bruta, taxa líquida, taxa real, taxa real 
líquida, taxa prefixada, taxa pós-fixada, etc. Uma verdadeira “sopa de letrinhas”. 
 
 
 
Taxas de Juros 
Variáveis 
 
 
Fixas 
Prefixadas 
 
Pós-fixadas 
 
 
A taxa de juros variável, conforme a própria interpretação do termo, sofre variações 
conforme o comportamento do mercado. São exemplos: 
 
a) a taxa do CDI ( Certificado de Depósito Interbancário). É a taxa de juros 
média que os bancos praticam para emprestar a outros bancos. Varia 
diariamente. 
b) A TJLP ( Taxa de Juros de Longo Prazo ), é utilizada pelo Banco Nacional 
de Desenvolvimento Econômico e Social (BNDES), nos financiamentos. 
Varia trimestralmente. 
 
 
A taxa de juros prefixada é aquela que se contrata no início do negócio. Desde o início 
já se sabe qual será a taxa que incidirá sobre a transação, durante todo o período. 
 
A taxa de juros pós-fixada é aquela que só se tem conhecimento no final do período 
estipulado na transação. Normalmente está associada às variações da taxa referencial 
(TR) ou das flutuações do câmbio. Por exemplo, um contrato por estipular que a taxa 
incidente será de 5 % am mais a variação cambial ( do dólar americano ) no período. 
Neste caso, somente após transcorrido o prazo poderá se determinar o valor da taxa, 
após a constatação da variação cambial. 
 
 
 
 
Taxa de Juros 
Nominal 
Nominal 
Bruta 
 
 
Efetiva 
 
Líquida 
 
 
Real 
Bruta 
 
 Líquida 
 
 
A melhor forma de se entender o que vem a ser Taxa de Juros Nominal e Taxa de 
Juros Efetiva é através de um exemplo. 
 
Exemplo: 
 
Um Banco indica, em uma operação de financiamento, que fará incidir sobre o valor, 
uma taxa de juros de 24 % ao ano capitalizada mensalmente. 
 
a) a taxa de 24 % aa é a TAXA NOMINAL da operação; 
 
 
32 
32 
b) entretanto, a capitalização será mensal, devendo-se então, determinar qual 
será a taxa efetiva da operação. 
 
 Durante 1 ano, ocorrerão12 (doze) capitalizações. Para a determinação da 
TAXA EFETIVA, basta que se divida a TAXA NOMINAL pelo número de 
capitalizações. A taxa efetiva será indicada com o prazo da capitalização. 
 No exemplo: 
 
 Sendo: 
 
 in = taxa de juros nominal 
 if = taxa de juros efetiva 
 n = número de capitalizações 
 
 Tem-se que: 
 
 Então: 
 
 
 
if = 2 % am 
 
 
Cabe lembrar que se está verificando o regime de capitalização composta, logo o fator 
de atualização de capital ( ou fator de acumulação de capital ) será indicado por 
 
( 1 + i )
n
 
 
Desta forma, se o valor da transação for de $ 10.000,00, considerandouma taxa de juros 
nominal de 24 % aa, capitalizada mensalmente, com pagamento para 1 ano, o valor a ser 
pago será: 
 
 
PV In If n FV 
10.000,00 24 % aacm 2 % am 
 0,02 am 
1 ano 
 12 meses 
? 
 
 
FV = PV ( 1 + if )
n
 
FV = 10.000 ( 1+ 0,02 )
12 
 
FV = $ 12.682,42 
 
n
inif 
amif
12
%24

 
 
33 
33 
Quando se verifica a adoção da nomenclatura de TAXA NOMINAL, deve-se efetuar a 
transformação desta para TAXA EFETIVA ( aquela que realmente incidirá sobre o 
capital ), e verificar-se qual será o resultado final após o período de capitalização. 
 
Considerando que seja indicada uma taxa de juros nominal de 24 % aa, com 
capitalizações anual, semestral, trimestral, mensal e diária ( considerando o ano 
comercial ), para um período de 1 ano. 
 
O quadro abaixo indica a variação da taxa efetiva em cada uma das situações: 
 
Taxa de Juros 
Nominal 
Período de 
Capitalização 
Número de 
períodos no ano 
Taxa efetiva 
 
24 % aa Anual 1 24,00 % aa 
24 % aa Semestral 2 25,44 % aa 
24 % aa Trimestral 4 26,25 % aa 
24 % aa Mensal 12 26,82 % aa 
24 % aa diária 360 27,11 % aa 
 
- TAXA EFETIVA NOMINAL e TAXA EFETIVA REAL 
 
Para o perfeito entendimento dos conceitos de TAXA EFETIVA NOMINAL e de 
TAXA EFETIVA REAL, é mais vantajoso a análise de um exemplo. 
 
Exemplo: 
 
Um investimento com valor inicial de $ 40.000,00, após um ano, proporcionou o resgate 
de $ 48.000,00. No mesmo período a taxa de inflação foi de 15 %. Determinar: 
 
a) a taxa de juros efetiva nominal 
b) a taxa de juros efetiva real. 
 
Se: 
 
FV = 48.000,00 
PV = 40.000,00, então , J = 8.000,00 ( J = FV – PV ) ou ( J = S – P ) 
 
Como o período foi de um ano, n = 1, então 
 
J = Pi, então 
 
i = 0,20 aa ou 20 % aa 
 
 
A taxa determinada será a TAXA EFETIVA NOMINAL. 
P
J
i 
00,000.40
00,000.8
i
 
 
34 
34 
 
Entretanto, houve uma inflação de 15 %, durante o período do investimento. Desta 
forma, o valor final tem embutido a correção da inflação ( taxa pura de juros ) mais a 
cobertura pelo risco. Desta forma, os 15 % da inflação devem ser subtraídos do resgate, 
para se determinar qual foi o ganho real do investimento. 
 
Sendo: 
 
PV = 40.000,00 
i (inflação ) = 15 % 
n = 1 ano 
 
FV = 40.000 ( 1 + 0,15 )
1
 
FV = 46.000,00 
 
Logo, J = 46.000,00 – 40.000,00 J = 6.000,00 
 
O valor de $ 6.000,00 correspondente à correção do capital investido, pelo índice da 
inflação. 
 
O valor total dos juros auferidos no investimento foi de $ 8.000,00, logo, o juro real foi 
de $ 2.000,00, ou seja o rendimento acima da inflação. 
 
Considerando: 
 
Jr = juro real 
Pva = capital corrigido pela índice da inflação 
ifr = taxa efetiva real 
 
 
 
ifr = 0,0435 aa ou 4,35 % aa 
 
 
Este foi o ganho real do investimento, ou seja o quanto o investimento suplantou a 
inflação. 
 
Pode-se determinar a taxa de juros efetiva real de forma direta, utilizando-se a seguinte 
equação: 
 
in = taxa de juros nominal 
iinf = taxa de inflação 
ifr = taxa de juros real 
 
 
PVa
Jr
ifr 
00,000.46
00,000.2
ifr
 
 
35 
35 
 
 
 
Utilizando os dados do exemplo: 
in = 20 % aa 
iinf = 15 % aa 
ifr = ? % aa 
 
ifr = 4,35 % aa 
 
 
- TAXA DE JUROS BRUTA e TAXA DE JUROS LÍQUIDA 
 
Na maior parte dos investimentos o valor do rendimento sofre a incidência de 
tributação, em especial do Imposto sobre a Renda. Desta forma, o valor bruto sofre uma 
redução. Surgem, então, dois valores distintos: um antes da incidência do tributo, 
denominado valor bruto, outro após a dedução do tributo, denominado de valor líquido. 
A taxa representativa do valor bruto é denominada de TAXA DE JUROS BRUTA, e a 
representativa do valor líquido é denominada de TAXA DE JUROS LÍQUIDA. 
 
Exemplo: 
 
Um investimento no valor de $ 20.000,00, em um prazo de 1 mês, proporcionou um 
rendimento bruto de $ 1.000,00, sendo retidos pelo banco $ 400,00, a título de Imposto 
sobre a Renda. Determinar a taxa de juros bruta e a taxa de juros líquida do 
investimento. 
 
PV = 20.000,00 
Jb = 1.000,00 ( juro bruto ) 
IR = 400,00 
 
O juro líquido ( Jl ) será o valor do juro bruto menos o Imposto sobre a Renda, logo o 
juro líquido será de 1.000,00 – 400,00 = 600,00 
 
 
 
1
inf1
1




i
ifr
ifr
1
15,01
20,01



ifr
10435,1 ifr
PV
Jb
TaxaBruta 
00,000.20
00,000.1
TaxaBruta
 
 
36 
36 
Taxa bruta = 5 % am 
 
 
 
 
 
 
 
Taxa Líquida = 3 % am 
 
 
 
- TAXA EQUIVALENTE 
 
O conceito de taxa equivalente no regime de capitalização composta é semelhante ao 
visto no regime de juros simples. 
 
Diz-se que duas taxas são equivalentes se, aplicadas em um mesmo capital (PV), 
durante um mesmo intervalo de tempo, produzam montantes (FV) iguais. Normalmente 
os intervalos de tempo considerados serão múltiplos entre si. 
 
Considerando: 
 
PV = valor presente ( capital ) 
FV = valor futuro ( montante ) 
i = taxa de juros original 
iq = taxa de juros equivalente 
n = prazo original 
nq = prazo equivalente ( ou proporcional ) 
 
Então, pela definição, tem-se que: 
 
FV ( 1+iq )
n
q = FV ( 1 + i ) 
n 
 
Como os capitais são iguais, 
entretanto, nq e n são múltiplos, logo, pode-se considerar n = 1, 
então, 
 através de princípios algébricos, pode-se afirmar que: 
 
 
 
nn
q ii
q )1()1( 
)1()1( ii q
n
q 
PV
Jl
aTaxaLíquid 
00,000.20
00,600
aTaxaLíquid
 
 
37 
37 
 
 
que é a equação geral para determinação da taxa equivalente no regime de juros 
compostos. 
 
Entretanto, o conceito pode ser mais facilmente entendido, se forem verificadas duas 
situações distintas: 
 
a) a taxa original (i) pode estar sendo indicada com um período maior do que a 
desejada na taxa equivalente ( iq). Neste caso, tem-se uma relação do maior para 
o menor. 
 
Então, denominando-se a taxa do período maior de ima , e a taxa do período 
menor de ime, pode-se afirmar que: 
 
ima = ( 1 + ime)
n
 - 1 
 
Exemplo: 
 
Considerando uma taxa de juros de 5 % am , qual será a taxa equivalente anual, no 
regime de capitalização composta ? 
 
 ime = 5 % am  0,05 am 
 n = 1 ano  12 meses 
 ima = ? % aa 
ima = ( 1 + ime)
n
 – 1 
 
ima = ( 1 + 0,05 ) 
12
 – 1 
 
ima = 1,7959 – 1 
 
ima = 0,7959 aa ou 79,59 % aa 
 
 
b) a taxa original (i) pode estar sendo indicada com um período menor do que a 
desejada na taxa equivalente ( iq). Neste caso, tem-se uma relação da menor 
para o maior. 
 
Então, denominando-se a taxa do período maior de ima , e a taxa do período 
menor de ime, pode-se afirmar que: 
 
Exemplo: 
 
 Considerando uma taxa de juros de 26,82 % aa, qual será a taxa equivalente mensal, no 
regime de capitalização composta ? 
  1)1(  qnq ii
  1)1(  n mame ii
 
 
38 
38 
 
 ima = 26,82 % aa  0,2682 aa 
 n = 1 ano  12 meses 
 ime = ? % am 
 
 
ime = 1,02 – 1 
 
ime = 0,02 am ou 2 % am 
 
 
 
- VALOR ATUAL e VALOR NOMINAL 
 
O conceito de VALOR ATUAL e de VALOR NOMINAL, no regime de capitalização 
composta é similar ao visto no regime de capitalização simples, alterando somente a 
metodologia. 
 
Por VALOR NOMINAL ( FV ), denomina-se o valor de uma aplicação, investimento, 
título, no vencimento. Lógico que subentende-se a existênciade uma taxa de juros e de 
um prazo. 
 
Por VALOR ATUAL ( PV ), denomina-se o valor de uma aplicação, investimento, 
título, antes da data do vencimento. O caso extremo de PV é o valor na data focal zero, 
ou seja, a data inicial. 
 
Considerando o regime de capitalização composta, pode-se indicar que: 
 
 
Logo, 
 
 
 
Obs: 
- no cálculo do valor nominal (FV), n refere-se ao prazo total da operação; no 
caso do cálculo do valor atual (PV ), n refere-se ao prazo de antecipação; 
- o prazo e a taxa devem estar indicado no mesmo período; 
- a taxa, para o cálculo deve ser transformada em taxa unitária ( salvo quando da 
utilização da HP-12C ). 
  1)1(  n mame ii
  1)2682,01(12 mei
niPVFV )1( 
ni
FV
PV
)1( 

 
 
39 
39 
 
Exemplo: 
 
 Gastaldo efetua uma compra, com valor à vista de $ 2.000,00. Considerando que optou 
por pagar a prazo, daqui a 2 meses, qual será o valor devido, sabendo-se que a taxa de 
juros cobrada é de 6 % am ? 
 
a) solução algébrica 
 
 
PV n i FV 
2.000,00 2 m 6 % am 
 0,06 am 
? 
 
 
 FV = $2.247,20 
- os conceitos de valor nominal e valor atual são, tratando-se de somente uma 
parcela, idênticos aos conceitos de valor presente e valor futuro. 
 
b) utilizando a HP-12C 
 
PV n i PMT FV 
 
-2.000,00 2 6,00 0,00 2.247,20 
 
 
Exemplo: 
 
Utilizando os dados e o resultado do exemplo anterior, qual será o valor que Gastaldo 
deverá pagar se efetuar o pagamento 15 dias antes do vencimento, e na época a taxa de 
juros de mercado for de 7 % am ? 
 
a) solução algébrica 
 
FV n i PV 
2.247,20 15 dias 
 0,5 m 
7 % am 
 0,07 am 
? 
 
 
 
Logo, PV = $ 2.172,47 
 
Antecipando o pagamento 15 dias, utilizando uma taxa de 7 % am, pagará $ 2.172,47. 
 
b) utilizando a HP-12C 
 
 
niPVFV )1( 
2)06,01(00,000.2 FV
ni
FV
PV
)1( 

5,0)07,01(
20,247.2

PV
0344,1
20,247.2
PV
 
 
40 
40 
FV n i PMT PV 
 
-2.247,20 0,5 7,00 0,00 2.172,45 
 
( a diferença é em razão de arredondamento, sendo desprezível ). 
 
 
Da mesma forma como foi demonstrado no regime de capitalização composta, um 
financiamento pode ser dividido em diversas parcelas, gerando, em cada um dos 
vencimentos, um valor que, descapitalizados e somados, serão iguais ao valor presente 
na data focal zero. Visando harmonizar os conceitos, os valores nos vencimentos serão 
representados por PMT ( payment ). 
 
 
 
 
 
Onde estão sendo consideradas, para facilidade de compreensão, as seguintes condições: 
 
a) os valores das parcelas são iguais ou, no máximo proporcionais; 
b) inexiste o pagamento de parcelas intermediárias; 
c) a taxa de juros é igual para todo o período de tempo considerado. 
 
 
Exemplo: 
 
 Juraldo comprou um automóvel, em 4 parcelas iguais, mensais, sem entrada, utilizando, 
no financiamento, uma taxa de juros de 7 % am . Sabendo-se que o valor à vista do 
automóvel era de $ 10.000,00, determinar o valor das parcelas, considerando que o 
primeiro pagamento somente ocorrerá 1 mês após a compra. 
 
a) solução algébrica 
 
 
PV n i FV PMT 
10.000,00 4 7 % am 
 0,07 am 
0,00 ? 
 
Obs: o valor de FV = 0 indica que não haverá saldo final 
 
 
ni
PMT
i
PMT
i
PMT
i
PMT
PV
)1(
...
)1()1()1( 321 







4321 )1()1()1()1( i
PMT
i
PMT
i
PMT
i
PMT
PV








4321 )07,01()07,01()07,01()07,01(
00,000.10








PMTPMTPMTPMT
 
 
41 
41 
 
Colocando-se PMT em evidência e resolvendo os denominadores, tem-se que: 
 
Então, 
 
10.000,00 = PMT ( 0,9346 + 0,8734 + 0,8163 + 0,7629 ) 
10.000,00 = 3,3872 PMT 
 
PMT = $ 2.952,29 
 
- pelo financiamento pagará 4 parcelas de $ 2.952,29. 
 
b) Utilizando a HP-12C 
 
PV n i FV PMT 
 
- 10.000,00 4 7,00 0,00 2.952,28 
 
- a diferença é em razão de arredondamento. 
 
- DESCONTO RACIONAL ou “por dentro” 
 
O conceito de desconto no regime de capitalização composta é análogo ao conceito 
de desconto em capitalização simples. O que altera é a metodologia de cálculo. 
 
O DESCONTO RACIONAL ou “por dentro” é a diferença entre o valor 
presente (PV) e o valor futuro (FV) de um título. 
 
Sendo: 
 
PV = valor presente de um título ( antes do vencimento ) ( valor atual ) 
FV = valor futuro de um título ( valor nominal ) 
ir = taxa de desconto racional 
n = prazo de antecipação 
Dr = desconto racional 
 
Dr = FV – PV 
Então 
 
 
Exemplo: 
 







3108,1
1
2250,1
1
1449,1
1
07,1
1
00,000.10 PMT
  
 rr
n
r
i
iFV
Dr



1
11
 
 
42 
42 
Um título no valor de $ 3.000,00, foi quitado 30 dias antes do vencimento, através de 
uma taxa de desconto racional de 5 % am . Determinar o valor do desconto (Dr) e o 
valor descontado racional ( PVr ) ( considerando o regime de capitalização composta ). 
 
a) solução algébrica 
 
FV n i PVr Dr 
3.000,00 30 dias 
 1 mês 
5 % am 
 0,05 am 
? ? 
 
 
 
Dr = $ 142,86 
 
 
 
 
PV = $ 2.857,14 
 
Conferindo: FV = PV + Dr 
 FV = 2.857,14 + 142,86  FV = $ 3.000,00 
 
 
b) utilizando a HP-12C 
 
- para o cálculo utilizando a HP-12C, determina-se o valor presente ( valor 
descontado racional ) e em seguida, o valor do desconto, por subtração. 
 
FV n i PMT PV 
 
- 3.000,00 1 5,00 0,00 2.857,14 
 
 Determinado PV, efetua-se o cálculo de Dr: 
 
Dr = FV – PV 
Dr = 3.000,00 – 2.857,14 
 
Dr = $ 142,86 
 
  
n
n
i
iFV
Dr
)1(
11



 
1
1
)05,01(
1)05,01(00,000.3


Dr
 
05,1
105,100,000.3 
Dr
05,1
05,000,000.3 x
Dr 
ni
FV
PV
)1( 

1)05,01(
00,000.3

PV
 
 
43 
43 
- DESCONTO COMERCIAL ou “por fora” 
 
O conceito de DESCONTO COMERCIAL, no regime de capitalização composta, 
determina que este consiste na aplicação sucessiva do conceito de desconto 
comercial simples, ou seja, considerando um período n de antecipação ( n maior do 
que um ), efetua-se o desconto comercial simples no primeiro período e determina-
se o valor descontado; sobre este valor descontado repete-se a operação, de maneira 
sucessiva, até o último instante. O resultado final é denominado de valor 
descontado comercial composto ( PVc) e a diferença obtida, em relação ao valor 
inicial, de desconto comercial composto ( Dc ). 
 
Sintetizando o conceitos através de expressões, tem-se que: 
 
 
 
 
Onde: 
 
PVc = valor descontado comercial 
FV = valor nominal ou valor futuro 
Dc = desconto comercial 
n = prazo de antecipação 
ic = taxa de desconto comercial 
 
Exemplo: 
 Um título com valor de $ 5.000,00, no vencimento, é descontado 45 dias antes do 
vencimento, a uma taxa de desconto comercial de 6 % am. Determinar o valor do 
desconto e o valor descontado comercial. 
 
a) solução algébrica 
 
FV n i PVc Dc 
5.000,00 45 dias 
 1,5 meses 
6 % am 
 0,06 am 
? ? 
 
 
PVc = FV ( 1-ic )
n
 PVc = 5.000,00 ( 1 – 0,06 )1,5 
 
PVc = 5.000,00 x 0,9114 PVc = $ 4.557,00 
 
 
Dc = FV [1 – (1 – ic )
n
 ] Dc = 5.000,00 [ 1 – (1 – 0,06) 1,5 ] 
n
ciFVPVc )1( 
 nciFVDc )1(1 
 
 
44 
44 
 
Dc = 5.000,00 [ 1 – (0,94)1,5 ] Dc = 5.000,00 [ 1 – 0,9114 ] 
 
Dc = $ 443,00 
 
Efetuandoa conferência: 
 
FV = PVc + Dc 
FV = 4.557,00 + 443,00 
 
FV = 5.000,00 
 
 
 
45 
45 
 
MATEMÁTICA FINANCEIRA (Parte II) 
 
 
Conjuntos de Capitais Equivalentes. 
 
A Matemática Financeira foi desenvolvida a partir do princípio financeiro de valor do 
dinheiro no tempo. Para apresentar este princípio, vamos considerar as seguintes 
alternativas: 
 
a) podemos dispor de $ 100.000,00 hoje, ou 
b) temos a receber $ 100.000,00, daqui a um ano. 
 
 
A escolha racional será a alternativa A, porque podemos, por exemplo, aplicar este 
dinheiro a 10 % ao ano e daqui a um ano teremos $ 110.000,00. 
 
Portanto, $ 100.000,00, hoje, valem mais que $ 100.000,00 daqui a um ano. 
 
Para entendermos com mais profundidade o princípio financeiro de valor do dinheiro no 
tempo, analisemos outra situação. 
 
Temos $ 100.000,00 hoje e, além disso, temos a receber $ 100.000,00 daqui a um ano. 
No raciocínio contábil, podemos dizer que nosso patrimônio, nossa riqueza, é de $ 
200.000,00. O raciocínio financeiro é diferente. Para medirmos nossa riqueza, temos 
duas alternativas: 
 
Alternativa A 
Consiste em medirmos nossa riqueza no VALOR FUTURO 
$ 100.000,00 x 1,10 ( 10 % de juros ao ano ) = $ 110.000,00 
Mais o valor que temos a receber daqui a um ano = $ 100.000,00 
Valor da nossa riqueza daqui a um ano = $ 210.000,00 
 
Alternativa B 
Consiste em medirmos nossa riqueza no VALOR PRESENTE 
O valor que temos disponível hoje = $ 100.000,00 
Mais o valor que vamos receber daqui a um ano 
( $ 100.000,00 / 1,10 ) ( 10 % de juros ao ano ) = 
 
$ 90.909,09 
Valor da nossa riqueza hoje $ 190.909,09 
 
A implicação prática do princípio financeiro de valor do dinheiro no tempo é que, antes 
de efetuarmos qualquer cálculo financeiro, precisamos posicionar os valores a receber e 
a pagar em suas respectivas datas de recebimento e de pagamento. 
 
Um aspecto de fundamental importância deve sempre enfocado: 
 
 Somente é possível a análise de valores no tempo, se for adotada uma 
mesma data para análise ( data focal ). Devemos considerar que o princípio 
financeiro estará sempre condicionado a utilização de uma taxa de juros. 
 
 
 
46 
46 
 
 Data focal é a data que se considera como base de comparação dos valores 
referidos a datas diferentes. Também é chamada data de avaliação ou data de 
referência. 
 
Nas operações de desconto, é freqüente a necessidade de antecipar ou de prorrogar 
títulos nas operações financeiras. As vezes queremos substituir um título por outro ou 
por vários. Podemos também ter vários títulos que queremos substituir por um único ou 
por vários. 
 
Tais questões dizem respeito, de modo geral, à comparação de valores diferentes 
referidos a datas diferentes, considerando-se uma dada taxa de juros. 
 
Na prática, estas comparações são feitas utilizando-se o critério de juros 
compostos. 
 
 
Exemplo: 
 
Certa pessoa tem uma nota promissória a receber com valor nominal de $ 15.000,00, 
que vencerá em dois anos. Além disto, possui $ 20.000,00 hoje, que irá aplicar à taxa de 
2 % ao mês, durante dois anos. Considerando que o custo de oportunidade do capital 
hoje, ou seja, a taxa de juros vigentes no mercado, é de 2 % ao mês, pergunta-se: 
 
a) Quanto possui hoje ? 
b) Quanto possuirá daqui a um ano ? 
c) Quanto possuirá daqui a dois anos ? 
 
Para a resolução, vamos considerar que: 
 
 X seja a quantia que possui na data zero ( hoje ) 
 Y seja a quantia que possuirá na data 12 meses ( daqui a um ano ) 
 Z seja a quantia que possuirá na data 24 meses ( daqui a dois anos ). 
 
Temos então: 
 
a) Hoje ( X ) 
 
 
X = 20.000,00 + 9.325,82 
 
X = $ 29.325,82 
 
 
b) Daqui a um ano ( na data 12 meses ) (Y) 
 
24)02,1(
00,000.15
00,000.20 X
 
 
47 
47 
 
 
Y = 25.364,84 + 11.827,40 
 
Y = $ 37.192,24 
 
c) Daqui a dois anos ( na data 24 meses ) (Z) 
 
 
Z = 32.168,74 + 15.000,00 
 
Z = $ 47.168,74 
 
Desta forma, podemos afirmar que a pessoa possui hoje $ 29.325,82. Ela possuirá $ 
37.192,24 daqui a um ano e $ 47.168,74 daqui a dois anos. 
 
EQUAÇÃO DE VALOR 
 
A equação de valor permite que sejam igualados capitais diferentes, referidos a datas 
diferentes, para uma mesma data focal, desde que seja fixada uma certa taxa de juros. 
 
Em outras palavras, 
 
 A equação de valor pode ser obtida igualando-se em uma data focal as 
somas dos valores atuais e/ou montantes dos compromissos que formam a 
alternativa em análise. 
 
 
Exemplo: 
 
Consideremos o exemplo anterior. As expressões de primeiro grau em X, Y e Z são 
equações de valor. 
 
Assim, o valor Y = 37.192,24, calculado na data focal 12, é composto de duas parcelas: 
 
$ 25.364,84, que é o montante de $ 20.000,00 à taxa de juros compostos de 2 % am. , e 
$ 11.827,40, que é o valor atual ou valor presente de $ 15.000,00 à taxa de juros 
compostos de 2 % am. 
 
O valor Z = 47.168,74 foi obtido através de uma equação de valor, com a qual passamos 
diretamente da data focal zero para a data 24. 
 
Podemos pensar em uma nova equação de valor, em que usemos o valor Y = 37.192,24, 
referido à data focal 12 e, daí, passemos à data focal 24. 
 
Nestas condições, temos: 
12
12
)02,1(
00,000.15
)02,1(00,000.20 Y
00,000.15)02,1(00,000.20 24 Z
 
 
48 
48 
 
Z’ = 47.168,74 
 
Podemos concluir que, usando a taxa de juros compostos a que se referem as aplicações 
de capital, as equações de valor Z e Z’ dão resultados iguais. Logo, a solução deste 
problema de comparação de capitais no regime de juros compostos não depende da data 
focal considerada. 
 
Lembre-se: esta propriedade não é válida para o regime de juros simples. 
 
Uma das grandes vantagens do regime de juros compostos é nos permitir que uma 
comparação feita em uma data focal permaneça válida em qualquer outra data 
focal. 
 
CAPITAIS EQUIVALENTES 
 
Diz-se que dois ou mais capitais, com datas de vencimento determinadas, são 
equivalentes quando, levados para uma mesma data focal à mesma taxa de juros, 
tiverem valores iguais. 
 
Seja um conjunto de valores nominais e suas respectivas datas de vencimento: 
 
Capital Data de vencimento 
C1 1 
C2 2 
C3 3 
... ... 
Cn n 
 
 
A representação destes capitais no tempo é a seguinte: 
 
 
 C1 C2 C3 ... Cn 
 
 
 
 
 0 1 2 3 n 
 
 
Adotando-se uma taxa de juros i, estes capitais serão equivalentes na data focal zero, se: 
 
 
 
12)02,1(24,192.37'Z
n
n
i
C
i
C
i
C
i
C
V
)1(
....
)1()1()1( 3
3
2
2
1
1








 
 
49 
49 
 
Indicamos os valores por V, já que estes são valores atuais à taxa de juros i, na data 
focal zero. 
 
Exemplo: 
 
Consideremos os valores nominais seguintes: 
 
Capital ( $ ) Datas de Vencimento ( anos ) 
1.100,00 1 
1.210,00 2 
1.331,00 3 
1.464,10 4 
1.610,51 5 
 
Admitindo-se uma taxa de juros compostos de 10 % aa, verificar se os capitais são 
equivalentes: 
 
a) na data focal zero; 
b) na data focal 3. 
 
 
a) Calculemos os valores atuais na data focal zero: 
 
 
 
 
 
 
 
O que fizemos foi deslocar os capitais das suas datas de vencimento, para a data 
focal zero, conforme indica o fluxo abaixo:00,000.1
)10,1(
00,100.1
)1( 11
1
1 


i
C
V
00,000.1
)10,1(
00,210.1
)1( 22
2
2 


i
C
V
00,000.1
)10,1(
00,331.1
)1( 33
3
3 


i
C
V
00,000.1
)10,1(
00,464.1
)11( 44
4
4 


C
V
00,000.1
)10,1(
51,610.1
)1( 55
5
5 


i
C
V
 
 
50 
50 
 
 
 
 
 
 
 
 C1 C2 C3 C4 C5 
 
0 1 2 3 4 5 
 
 
Logo, podemos concluir que: 
 
V1 = V2 = V3 = V4 = V5 
 
Como os capitais são equivalentes a esta taxa de juros, isto quer dizer que o possuidor 
de dois ou mais destes capitais, ficará indiferente quanto aos valores nominais. Em 
outras palavras, 
 
 a pessoa fica indiferente a possuir $ 1.100,00 em 1 ano ou $ 1.464,10 daqui a 4 
anos, desde que a taxa de juros seja de 10 % aa. ( não deve ser levado em conta o 
custo de oportunidade ). 
 
b) Calculemos os valores atuais na data focal 3 
 
 
 
 
 
 
 
O que fizemos foi deslocar os capitais para a data focal 3, conforme indica o fluxo 
abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
 C1 C2 C3 C4 C5 
00,331.1)10,1(00,100.1)1(1' 221  iCV
00,331.1)10,1(00,210.1)1(2' 112  iCV
00,331.1)10,1(00,331.1)1(3' 003  iCV
00,331.1
)10,1(
10,464.1
)1(
4'
11
4 


i
C
V
 
 
51 
51 
 0 
1 2 3 4 5 
 
 
Então, verificamos que: 
 
V’1 = V’2 = V’3 = V’4 = V’5 
 
Ou seja, os capitais dados, que se demonstrou serem equivalentes na data focal zero, 
também o são na data focal 3. 
 
 
 Uma vez constatada a equivalência para uma certa data focal, a mesma 
permanecerá válida para qualquer outra data focal. 
 
 
FLUXO DE CAIXA – Pagamento Único 
 
 
A expressão pagamento único abrange os cálculos em que há somente um pagamento e 
um recebimento. 
 
 Considere o seguinte exemplo: 
 
 Uma empresa toma emprestados em uma instituição financeira $ 200.000,00, e 
irá devolvê-lo após três meses, tendo contratado uma taxa de juros de 4,0 % ao mês. 
Qual o valor que deverá pagar ao banco para quitar sua dívida ? 
 
. Para a resolução deste tipo de problema, convém elaborarmos um diagrama 
do fluxo de caixa, que para o exemplo é o seguinte: 
 
 PV = 200.000,00 
 
 
 
 0 1 2 3 
 
 FV = ? 
 
- por convenção, indicaremos com seta para cima os recebimentos, e com 
seta para baixo os pagamentos. Observe que não há pagamento ou 
recebimentos nas datas 1 e 2. 
 
 
 
 
52 
52 
 
 
Logo, a empresa deverá pagar a importância de $ 224.972,80, para quitar sua 
dívida, na data do vencimento ( data 3 ). 
 
 
 
 
 
Utilizando a HP-12C 
 
PV i n PMT FV 
 
200.000,00 4,0 3 0 - 224.972,80 
 
Observação: 
 
Os cálculos financeiros que envolvem fluxos de caixa tipo pagamento único, quando 
utilizada a calculadora financeira ( HP-12C ), podem ser resumidos da seguinte forma: 
 
- vamos estar trabalhando com quatro variáveis, a saber: 
PV ( valor presente ) 
FV ( valor futuro ) 
n ( prazo ) 
i ( taxa de juros ) 
 
 Se conhecermos três das quatro variáveis, basta alimentar o programa com os 
dados das três variáveis e solicitar o cálculo da quarta variável, observando o seguinte: 
 
 PV e FV – precisamos entrar com um valor positivo e outro negativo para que o 
programa “entenda” que um valor é recebimento e o outro é pagamento, caso contrário, 
o programa não consegue efetuar o cálculo, emitindo uma mensagem de erro ( error 5 ) 
 
 n e i – precisamos alimentar a calculadora com prazo e taxa de juros expressos na 
mesma unidade de tempo. Podemos fazer cálculos envolvendo prazos em dias e taxa 
diária;prazo em meses e taxa mensal; prazo em anos e taxa anual e assim por diante; 
mas não conseguiremos fazer um cálculo correto se alimentarmos o programa da 
calculadora com uma taxa anual e o prazo em meses, por exemplo. Se tivermos essa 
situação, devemos primeiro converter a taxa anual em mensal, utilizando o conceito de 
taxas equivalentes, para depois alimentarmos o programa da calculadora com prazo e 
taxa expressos em meses. 
 
Exemplo: 
 
80,972.224$
12486,1000.200
)04,1(000.200
)1(
3




FV
xFV
FV
iPVFV n
 
 
53 
53 
Uma empresa toma emprestados em um banco $ 200.000,00. Para quitar o débito três 
meses após, a empresa irá pagar o montante de $ 224.972,80. Qual a taxa de juros 
praticada pelo banco ? 
 
Utilizando a HP-12C 
 
 
 
PV FV n PMT i 
 
CHS 
-200.000,00 
 224.972,80 3 0 4,00 
 
 
CHS – significa mudar de sinal ( change signal ) 
 
Descrevendo os passos necessários para o cálculo: 
 
Digitar Visor Significado 
f clear fin 0,00 Zera memória financeira 
f 2 0,00 Mantém o visor com 2 casas decimais 
200000 CHS PV - 200.000,00 Armazena o valor presente 
224972,80 FV 224.972,80 Armazena o valor futuro 
3 n 3,00 Armazena o número de períodos 
i 4,00 Taxa de juros mensal calculada 
 
A taxa deverá ser interpretada como sendo mensal, já que o período é indicado em 
meses. 
 
 
FLUXO DE CAIXA TIPO UNIFORME 
 
Em várias situações, poderá ser visualizada a condição na qual um investidor ou mesmo 
um devedor, efetue depósitos ou pagamento iguais, em intervalos de tempos iguais. 
Nestes casos, muitas vezes se faz necessário indicar qual o valor que será formado 
através do tempo, ou mesmo qual é o valor correspondente em uma determinada data. 
 
Para simplificar, utilizaremos um exemplo: 
 
Exemplo: 
 
O Sr. Jacintus Prejus decidiu aplicar mensalmente $ 3.000,00, durante quatro meses, à 
taxa de juros de 3,0 % ao mês. A primeira aplicação será efetuada um mês após a 
decisão, que foi tomada no instante zero. Qual será o valor que o Sr. Jacintus Prejus terá 
no banco no instante quatro ? 
 
- neste caso, o que queremos determinar é o valor futuro da série de 
aplicações 
 
 
 
54 
54 
Representaremos o valor da aplicação mensal de $ 3.000,00 por PMT ( payment, 
prestação, parcela ). 
 
Desta forma, temos que: 
 
PMT = $ 3.000,00 
n = 3 ( onde n será o número de parcelas ) 
i = 3,0 % ao mês 
FV = ? 
 
 
Indicando o processo através de um fluxo de caixa, temos que: 
 
 
 
 
 3.000,00 3.000,00 3.000,00 3.000,00 
 
 0 1 2 3 4 
 FV = ? 
 
O raciocínio é simples, basta que desloquemos os capitais de suas datas, para a data 
quatro. Cada um no valor de $ 3.000,00 representa uma parcela, na realidade é um valor 
presente. 
 
Desta forma, podemos determinar três valores futuros: 
 
Sabendo-se que 
 
 
 
Não haverá necessidade de calcular o valor futuro da última parcela, já que a data 
focal é a data do seu próprio encaixe. 
 
Desta forma, o valor da última parcela será: 
 
 
 
Então, o valor total será a soma dos valores futuros. 
 
FV = 3.183,62 + 3.121,20 + 3.060,00 + 3.000,00 
 
FV = $ 12.364,82, que será