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Se´ries Nume´ricas Se´ries Nume´ricas Universidade Tecnolo´gica Federal do Parana´ Caˆmpus Francisco Beltra˜o Disciplina: Ca´lculo Diferencial e Integral 3B Prof. Dr. Jonas Joacir Radtke Universidade Tecnolo´gica Federal do Parana´ Ca´lculo Diferencial e Integral 3B Se´ries Nume´ricas Se´ries Nume´ricas A soma dos termos de uma sequeˆncia an e´ denominada de se´rie de termo geral e e´ denotada por ∞� n0 an. Neste caso, an e´ denominado de termo geral da se´rie. Definic¸a˜o Quando Sn converge, dizemos que a se´rie e´ convergente. Quando Sn diverge, dizemos que a se´rie e´ divergente. Propriedades Se � an e � bn sa˜o se´ries convergentes, enta˜o� (an + bn) = � an + � bn� (λan) = λ � an |� an| ≤� |an| caso � |an| for convergente. Universidade Tecnolo´gica Federal do Parana´ Ca´lculo Diferencial e Integral 3B Se´ries Nume´ricas Limite do Termo Geral Teorema A se´rie � an converge enta˜o lim n→∞ |an| = 0. Corola´rio (teste do termo geral) Se lim n→∞ |an| �= 0, enta˜o a se´rie � an diverge. Exemplo Avalie a convergeˆncia das se´ries � n n + 1 e � (−1)nn2 (n + 1)2 . Exemplo (Se´rie Telesco´pica) Encontre o valor de ∞� n=1 1 n(n + 1) . Universidade Tecnolo´gica Federal do Parana´ Ca´lculo Diferencial e Integral 3B Se´ries Nume´ricas Se´ries Geome´tricas Definic¸a˜o ∞� n=0 a0r n (a0 �= 0 e r �= 0) e´ denominada se se´rie geome´trica. Teorema (se´ries geome´tricas) ∞� n=0 a0r n (a0 �= 0) converge se, e somente se |r | < 1. Neste caso, ∞� n=0 a0r n = a0 1− r Exemplo Determine o valor de ∞� n=0 1 22n+3 . Universidade Tecnolo´gica Federal do Parana´ Ca´lculo Diferencial e Integral 3B Se´ries Nume´ricas Exemplo Escreva a dizima 1,2363636... utilizando uma frac¸a˜o. Exerc´ıcio Determine o valor de ∞� n=2 1 e3n+1 . Universidade Tecnolo´gica Federal do Parana´ Ca´lculo Diferencial e Integral 3B Se´ries Nume´ricas Se´ries Alternadas Definic¸a˜o A se´rie � (−1)nan com an positivo e´ denominado de se´rie alternada. Teorema (teste de Leibiniz para se´rie alternada) A se´rie alternada � (−1)nan com lim n→∞ an = 0 e an decrescente (na˜o crescente) e´ convergente. Ale´m disso, o erro de aproximac¸a˜o do valor da se´rie pela soma parcila Sn e´ no ma´ximo |an+1|. Exemplo Avalie a convergeˆncia da se´rie ∞� n=0 (−1)n 2n + 1 . Exerc´ıcio Avalie a convergeˆncia das se´ries ∞� n=1 (−1)n n ln n e ∞� n=0 (−1)n (n − 10,5)2 . Universidade Tecnolo´gica Federal do Parana´ Ca´lculo Diferencial e Integral 3B Se´ries Nume´ricas Se´ries de termos positivos No caso de se´ries de termos positivo, a soma parcial sempre e´ crescente. Assim, se ela for limitada superiormente, sera´ convergente. Teorema (teste da integral) A se´rie � an com an = f (n) onde f e´ uma func¸a˜o cont´ınua, positiva e decrescente para x grande, enta˜o a se´rie converge se, e somente se, a integral � ∞ A f (x) dx converge para algum A. Ale´m disso, o erro cometido pela aproximac¸a˜o do valor da se´rie S pelo soma parcial SN e´ no ma´ximo � ∞ N f (x) dx. Exemplo Avalie a convergeˆncia da se´rie � n en2 . Universidade Tecnolo´gica Federal do Parana´ Ca´lculo Diferencial e Integral 3B Se´ries Nume´ricas Exerc´ıcio Avalie a convergeˆncia da se´rie � 1 n ln n . Definic¸a˜o As se´ries � 1 np sa˜o denominadas de p-se´ries. Teorema (p-se´ries) � 1 np converge se, e somente se, p > 1. Exemplo Avalie a convergeˆncia da se´rie � 1� (n + 1)3 . Universidade Tecnolo´gica Federal do Parana´ Ca´lculo Diferencial e Integral 3B Se´ries Nume´ricas Teorema (teste da comparac¸a˜o) Se as se´ries � an e � bn sa˜o de termos positivos com an ≤ bn enta˜o: Se � an =∞, temos que � bn =∞; Se � bn converge, temos que � an tambe´m converge. Ale´m disso,∞� n=n0 an ≤ ∞� n=n0 bn. Exemplo Avalie a convergeˆncia da se´rie ∞� n=1 1 n(n + 1) . Exerc´ıcio Avalie a convergeˆncia da se´rie ∞� n=1 −e−n n . Universidade Tecnolo´gica Federal do Parana´ Ca´lculo Diferencial e Integral 3B Se´ries Nume´ricas Teorema (teste de comparac¸a˜o forma limite) Se as se´ries � an e � bn sa˜o de termos positivos com lim n→∞ an bn = L �=∞. Enta˜o temos Se L �= 0, enta˜o as se´ries � an e � bn, ambas convergem ou ambas divergem. Se L = 0 e � bn converge, enta˜o � an tambe´m converge. Se L = 0 e � an diverge, enta˜o � bn tambe´m diverge. Exemplo Avalie a convergeˆncia da se´rie ∞� n=1 1 n(n + 1) . Exerc´ıcio Avalie a convergeˆncia da se´rie ∞� n=1 ???. Universidade Tecnolo´gica Federal do Parana´ Ca´lculo Diferencial e Integral 3B Se´ries Nume´ricas Testes da Raiz e da Raza˜o Para verificar a convergeˆncia das se´ries sem caracter´ısticas especiais, os testes da raiz e da raza˜o sa˜o os mais usados. Teorema (teste da raiz) Se r = lim n �|an| enta˜o temos que Se r < 1 a se´rie � an converge. Se r > 1, enta˜o a se´rie � an diverge. Se r = 1, o teste na˜o e´ conclusivo. Exemplo Avalie a convergeˆncia da se´rie ∞� n=1 en n2 . Exerc´ıcio Avalie a convergeˆncia da se´rie ∞� n=1 ???. Universidade Tecnolo´gica Federal do Parana´ Ca´lculo Diferencial e Integral 3B Se´ries Nume´ricas Teorema (teste da raza˜o) Se r = lim ����an+1an ���� enta˜o temos que Se r < 1 a se´rie � an converge. Se r > 1, enta˜o a se´rie � an diverge. Se r = 1, o teste na˜o e´ conclusivo. Exemplo Avalie a convergeˆncia da se´rie ∞� n=1 n2 n! . Exerc´ıcio Avalie a convergeˆncia da se´rie ∞� n=1 � (−1)n + 0,5 n �n . Dica: Aplique o teste da raza˜o, considerando o caso de n ser para e n ser ı´mpar. Universidade Tecnolo´gica Federal do Parana´ Ca´lculo Diferencial e Integral 3B Se´ries Nume´ricas Exerc´ıcio Determine uma expressa˜o simples para a soma sn dos n primeiros termos de cada se´rie: (a) sn = 1 2 · 3 + 1 3 · 4 + 1 4 · 5 + 1 5 · 6 + . . .+ 1 (n + 1)(n + 2) + . . . (b) sn = ln 1 2 + ln 2 3 + ln 3 4 + ln 4 5 + . . .+ ln n n + 1 + . . . (c) sn = 1− 1 2 + 1 4 − 1 8 + 1 16 − 1 32 + . . . (−1)n 2n + . . . (d) sn = 9 100 + 9 1002 + 9 1003 + 9 1004 + . . .+ 9 100n + . . . (e) sn = 1 + 2 + 3 + 4 + . . .+ n + . . . Respostas: (a) n 2n + 4 ; (b) − ln(n + 1); (c) 2 3 � 1− � −1 2 �n� ; (d) 1 11 � 1− 1 100n � ; (e) n(n + 1) 2 Universidade Tecnolo´gica Federal do Parana´ Ca´lculo Diferencial e Integral 3B Se´ries Nume´ricas Exerc´ıcio Determine, caso exista, a soma de cada uma das se´ries do exerc´ıcio anterior. Respostas: (a) s = 1/2; (b) div.; (c) s = 2/3; (d) s = 1/11; (e) div. Exerc´ıcio Deixa-se cair uma bola da altura de a metros. Cada vez que a bola atinge o solo, apo´s cair de uma altura h metros, ela volta a subir 0,75h metros. Determine a distaˆncia total percorrida pela bola. Resposta: 7a metros Exerc´ıcio Expresse a d´ızima perio´dica 1,2373737... como uma se´rie infinita e expresse sua soma como raza˜o p/q. Resposta: 1225 990 Universidade Tecnolo´gica Federal do Parana´ Ca´lculo Diferencial e Integral 3B Se´ries Nume´ricas Exerc´ıcio Encontre uma expressa˜o simples para a n-e´sima soma parcial da se´rie ∞� n=1 (−1)n. Resposta: sn = 1 + (−1)n 2 Exerc´ıcio A figura abaixo mostra os quatro primeiros termos de uma se´rie infinita de quadrados. O quadrado exterior tem uma a´rea de 4m2 e cada um dos outros e´ obtido ligando-se os pontos me´dios dos lados do quadrado anterior. Encontre a soma das a´reas detodos os quadrados. Resposta: 8m2 Universidade Tecnolo´gica Federal do Parana´ Ca´lculo Diferencial e Integral 3B Se´ries Nume´ricas Exerc´ıcio Diga se as se´ries indicadas convergem ou na˜o, justificando sua resposta: (a) sn = � 5(−1)n n (b) sn = � 2n+1 5n (c) sn = � ln 1 n (d) sn = � 1√ 2n (e) sn = � cos(nπ) 5n (f) sn = �� 1 + 5 n �n (g) sn = � n3 2n (h) sn = � 1 n + 50 (i) sn = � n2e−n (j) sn = � 10√ n5 + 6 (k) sn = � (n + 3)! 3!n!3n (l) sn = � 1 (ln 2)n Universidade Tecnolo´gica Federal do Parana´ Ca´lculo Diferencial e Integral 3B Se´ries Nume´ricas (m) sn = � √n n2 + 1 (n) sn = � (2− n)n3 (o) sn = � (−1)n (2n + 1)! (p) sn = � 1 (−n)3 (q) sn = � 8√ n + 1 (r) sn = � (n + 1)! (n + 3)! (s) sn = � 1 n7n (t) sn = � 7(−1)n 8n (u) sn = � 2n (2n)! (v) sn = � 1 n √ n (x) sn = � (n + 1)(n + 2) n! (y) sn = �� n 3n + 1 �n Respostas: (a) conv.; (b) conv.; (c) div.; (d) conv.; (e) conv.; (f) div.; (g) conv.; (h) div.; (i) conv.; (j) conv.; (k) conv.; (l) conv.; (m) conv.; (n) div.; (o) conv.; (p) conv.; (q) div.; (r) conv.; (s) conv.; (t) conv.; (u) conv.; (v) conv.; (x) conv.; (y) conv. Universidade Tecnolo´gica Federal do Parana´ Ca´lculo Diferencial e Integral 3B
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