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Se´ries Nume´ricas
Se´ries Nume´ricas
Universidade Tecnolo´gica Federal do Parana´
Caˆmpus Francisco Beltra˜o
Disciplina: Ca´lculo Diferencial e Integral 3B
Prof. Dr. Jonas Joacir Radtke
Universidade Tecnolo´gica Federal do Parana´ Ca´lculo Diferencial e Integral 3B
Se´ries Nume´ricas
Se´ries Nume´ricas
A soma dos termos de uma sequeˆncia an e´ denominada de se´rie
de termo geral e e´ denotada por
∞�
n0
an. Neste caso, an e´
denominado de termo geral da se´rie.
Definic¸a˜o
Quando Sn converge, dizemos que a se´rie e´ convergente. Quando
Sn diverge, dizemos que a se´rie e´ divergente.
Propriedades
Se
�
an e
�
bn sa˜o se´ries convergentes, enta˜o�
(an + bn) =
�
an +
�
bn�
(λan) = λ
�
an
|� an| ≤� |an| caso � |an| for convergente.
Universidade Tecnolo´gica Federal do Parana´ Ca´lculo Diferencial e Integral 3B
Se´ries Nume´ricas
Limite do Termo Geral
Teorema
A se´rie
�
an converge enta˜o lim
n→∞ |an| = 0.
Corola´rio
(teste do termo geral) Se lim
n→∞ |an| �= 0, enta˜o a se´rie
�
an diverge.
Exemplo
Avalie a convergeˆncia das se´ries
� n
n + 1
e
� (−1)nn2
(n + 1)2
.
Exemplo
(Se´rie Telesco´pica) Encontre o valor de
∞�
n=1
1
n(n + 1)
.
Universidade Tecnolo´gica Federal do Parana´ Ca´lculo Diferencial e Integral 3B
Se´ries Nume´ricas
Se´ries Geome´tricas
Definic¸a˜o
∞�
n=0
a0r
n (a0 �= 0 e r �= 0) e´ denominada se se´rie geome´trica.
Teorema
(se´ries geome´tricas)
∞�
n=0
a0r
n (a0 �= 0) converge se, e somente se
|r | < 1. Neste caso,
∞�
n=0
a0r
n =
a0
1− r
Exemplo
Determine o valor de
∞�
n=0
1
22n+3
.
Universidade Tecnolo´gica Federal do Parana´ Ca´lculo Diferencial e Integral 3B
Se´ries Nume´ricas
Exemplo
Escreva a dizima 1,2363636... utilizando uma frac¸a˜o.
Exerc´ıcio
Determine o valor de
∞�
n=2
1
e3n+1
.
Universidade Tecnolo´gica Federal do Parana´ Ca´lculo Diferencial e Integral 3B
Se´ries Nume´ricas
Se´ries Alternadas
Definic¸a˜o
A se´rie
�
(−1)nan com an positivo e´ denominado de se´rie alternada.
Teorema
(teste de Leibiniz para se´rie alternada) A se´rie alternada
�
(−1)nan com
lim
n→∞
an = 0 e an decrescente (na˜o crescente) e´ convergente. Ale´m disso, o erro
de aproximac¸a˜o do valor da se´rie pela soma parcila Sn e´ no ma´ximo |an+1|.
Exemplo
Avalie a convergeˆncia da se´rie
∞�
n=0
(−1)n
2n + 1
.
Exerc´ıcio
Avalie a convergeˆncia das se´ries
∞�
n=1
(−1)n
n ln n
e
∞�
n=0
(−1)n
(n − 10,5)2 .
Universidade Tecnolo´gica Federal do Parana´ Ca´lculo Diferencial e Integral 3B
Se´ries Nume´ricas
Se´ries de termos positivos
No caso de se´ries de termos positivo, a soma parcial sempre e´
crescente. Assim, se ela for limitada superiormente, sera´
convergente.
Teorema
(teste da integral) A se´rie
�
an com an = f (n) onde f e´ uma
func¸a˜o cont´ınua, positiva e decrescente para x grande, enta˜o a
se´rie converge se, e somente se, a integral
� ∞
A
f (x) dx converge
para algum A. Ale´m disso, o erro cometido pela aproximac¸a˜o do
valor da se´rie S pelo soma parcial SN e´ no ma´ximo
� ∞
N
f (x) dx.
Exemplo
Avalie a convergeˆncia da se´rie
� n
en2
.
Universidade Tecnolo´gica Federal do Parana´ Ca´lculo Diferencial e Integral 3B
Se´ries Nume´ricas
Exerc´ıcio
Avalie a convergeˆncia da se´rie
� 1
n ln n
.
Definic¸a˜o
As se´ries
� 1
np
sa˜o denominadas de p-se´ries.
Teorema
(p-se´ries)
� 1
np
converge se, e somente se, p > 1.
Exemplo
Avalie a convergeˆncia da se´rie
� 1�
(n + 1)3
.
Universidade Tecnolo´gica Federal do Parana´ Ca´lculo Diferencial e Integral 3B
Se´ries Nume´ricas
Teorema
(teste da comparac¸a˜o) Se as se´ries
�
an e
�
bn sa˜o de termos positivos
com an ≤ bn enta˜o:
Se
�
an =∞, temos que
�
bn =∞;
Se
�
bn converge, temos que
�
an tambe´m converge. Ale´m disso,∞�
n=n0
an ≤
∞�
n=n0
bn.
Exemplo
Avalie a convergeˆncia da se´rie
∞�
n=1
1
n(n + 1)
.
Exerc´ıcio
Avalie a convergeˆncia da se´rie
∞�
n=1
−e−n
n
.
Universidade Tecnolo´gica Federal do Parana´ Ca´lculo Diferencial e Integral 3B
Se´ries Nume´ricas
Teorema
(teste de comparac¸a˜o forma limite) Se as se´ries
�
an e
�
bn sa˜o de
termos positivos com lim
n→∞
an
bn
= L �=∞. Enta˜o temos
Se L �= 0, enta˜o as se´ries � an e � bn, ambas convergem ou ambas
divergem.
Se L = 0 e
�
bn converge, enta˜o
�
an tambe´m converge.
Se L = 0 e
�
an diverge, enta˜o
�
bn tambe´m diverge.
Exemplo
Avalie a convergeˆncia da se´rie
∞�
n=1
1
n(n + 1)
.
Exerc´ıcio
Avalie a convergeˆncia da se´rie
∞�
n=1
???.
Universidade Tecnolo´gica Federal do Parana´ Ca´lculo Diferencial e Integral 3B
Se´ries Nume´ricas
Testes da Raiz e da Raza˜o
Para verificar a convergeˆncia das se´ries sem caracter´ısticas especiais, os testes
da raiz e da raza˜o sa˜o os mais usados.
Teorema
(teste da raiz) Se r = lim n
�|an| enta˜o temos que
Se r < 1 a se´rie
�
an converge.
Se r > 1, enta˜o a se´rie
�
an diverge.
Se r = 1, o teste na˜o e´ conclusivo.
Exemplo
Avalie a convergeˆncia da se´rie
∞�
n=1
en
n2
.
Exerc´ıcio
Avalie a convergeˆncia da se´rie
∞�
n=1
???.
Universidade Tecnolo´gica Federal do Parana´ Ca´lculo Diferencial e Integral 3B
Se´ries Nume´ricas
Teorema
(teste da raza˜o) Se r = lim
����an+1an
���� enta˜o temos que
Se r < 1 a se´rie
�
an converge.
Se r > 1, enta˜o a se´rie
�
an diverge.
Se r = 1, o teste na˜o e´ conclusivo.
Exemplo
Avalie a convergeˆncia da se´rie
∞�
n=1
n2
n!
.
Exerc´ıcio
Avalie a convergeˆncia da se´rie
∞�
n=1
�
(−1)n + 0,5
n
�n
. Dica: Aplique
o teste da raza˜o, considerando o caso de n ser para e n ser ı´mpar.
Universidade Tecnolo´gica Federal do Parana´ Ca´lculo Diferencial e Integral 3B
Se´ries Nume´ricas
Exerc´ıcio
Determine uma expressa˜o simples para a soma sn dos n primeiros
termos de cada se´rie:
(a) sn =
1
2 · 3 +
1
3 · 4 +
1
4 · 5 +
1
5 · 6 + . . .+
1
(n + 1)(n + 2)
+ . . .
(b) sn = ln
1
2
+ ln
2
3
+ ln
3
4
+ ln
4
5
+ . . .+ ln
n
n + 1
+ . . .
(c) sn = 1− 1
2
+
1
4
− 1
8
+
1
16
− 1
32
+ . . .
(−1)n
2n
+ . . .
(d) sn =
9
100
+
9
1002
+
9
1003
+
9
1004
+ . . .+
9
100n
+ . . .
(e) sn = 1 + 2 + 3 + 4 + . . .+ n + . . .
Respostas:
(a)
n
2n + 4
; (b) − ln(n + 1); (c) 2
3
�
1−
�
−1
2
�n�
;
(d)
1
11
�
1− 1
100n
�
; (e)
n(n + 1)
2
Universidade Tecnolo´gica Federal do Parana´ Ca´lculo Diferencial e Integral 3B
Se´ries Nume´ricas
Exerc´ıcio
Determine, caso exista, a soma de cada uma das se´ries do exerc´ıcio
anterior.
Respostas:
(a) s = 1/2; (b) div.; (c) s = 2/3; (d) s = 1/11; (e) div.
Exerc´ıcio
Deixa-se cair uma bola da altura de a metros. Cada vez que a bola
atinge o solo, apo´s cair de uma altura h metros, ela volta a subir
0,75h metros. Determine a distaˆncia total percorrida pela bola.
Resposta: 7a metros
Exerc´ıcio
Expresse a d´ızima perio´dica 1,2373737... como uma se´rie infinita e
expresse sua soma como raza˜o p/q.
Resposta:
1225
990
Universidade Tecnolo´gica Federal do Parana´ Ca´lculo Diferencial e Integral 3B
Se´ries Nume´ricas
Exerc´ıcio
Encontre uma expressa˜o simples para a n-e´sima soma parcial da se´rie
∞�
n=1
(−1)n.
Resposta: sn =
1 + (−1)n
2
Exerc´ıcio
A figura abaixo mostra os quatro
primeiros termos de uma se´rie
infinita de quadrados. O quadrado
exterior tem uma a´rea de 4m2 e
cada um dos outros e´ obtido
ligando-se os pontos me´dios dos
lados do quadrado anterior.
Encontre a soma das a´reas detodos os quadrados.
Resposta: 8m2
Universidade Tecnolo´gica Federal do Parana´ Ca´lculo Diferencial e Integral 3B
Se´ries Nume´ricas
Exerc´ıcio
Diga se as se´ries indicadas convergem ou na˜o, justificando sua
resposta:
(a) sn =
� 5(−1)n
n
(b) sn =
� 2n+1
5n
(c) sn =
�
ln
1
n
(d) sn =
� 1√
2n
(e) sn =
� cos(nπ)
5n
(f) sn =
��
1 +
5
n
�n
(g) sn =
� n3
2n
(h) sn =
� 1
n + 50
(i) sn =
�
n2e−n
(j) sn =
� 10√
n5 + 6
(k) sn =
� (n + 3)!
3!n!3n
(l) sn =
� 1
(ln 2)n
Universidade Tecnolo´gica Federal do Parana´ Ca´lculo Diferencial e Integral 3B
Se´ries Nume´ricas
(m) sn =
� √n
n2 + 1
(n) sn =
�
(2− n)n3
(o) sn =
� (−1)n
(2n + 1)!
(p) sn =
� 1
(−n)3
(q) sn =
� 8√
n + 1
(r) sn =
� (n + 1)!
(n + 3)!
(s) sn =
� 1
n7n
(t) sn =
� 7(−1)n
8n
(u) sn =
� 2n
(2n)!
(v) sn =
� 1
n
√
n
(x) sn =
� (n + 1)(n + 2)
n!
(y) sn =
�� n
3n + 1
�n
Respostas: (a) conv.; (b) conv.; (c) div.; (d) conv.; (e) conv.; (f)
div.; (g) conv.; (h) div.; (i) conv.; (j) conv.; (k) conv.; (l) conv.;
(m) conv.; (n) div.; (o) conv.; (p) conv.; (q) div.; (r) conv.; (s)
conv.; (t) conv.; (u) conv.; (v) conv.; (x) conv.; (y) conv.
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