Capítulo 01- Introdução: Grandezas Físicas, Representação Vetorial e Sistemas de Unidades

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Capítulo 1 
 
Capítulo 1 – Introdução: Grandezas Físicas, 
Representação Vetorial e Sistemas de Unidades 
 
1.1 - Introdução 
 
 
 A Física é uma das ciências mais fundamentais, a qual tenta compreender os fenômenos básicos 
de todo o Universo. Sendo assim, ela é usada por cientistas de diversas áreas, como a Química e as 
Engenharias. A Física está alicerçada em experimentos, sendo, portanto, uma ciência experimental e 
que necessita de medidas. 
 Deste modo, medir grandezas é essencial em Física. Grandezas essas que são as mais variadas 
possíveis, como o comprimento, a massa, o tempo, a pressão, a velocidade, a corrente elétrica, a 
temperatura,entre tantas outras. 
 Qualquer número utilizado para representar quantitativamente um determinado fenômeno físico 
é considerado uma grandeza física. Para medirmos uma grandeza física precisamos compará-la 
com um padrão e também estabelecer unidades para esta comparação. A comparação com o padrão 
é sempre necessária e tal padrão define o que chamamos de unidade da grandeza medida. Como 
exemplo temos o metro como unidade de distância e o o quilograma é a unidade de massa. O 
padrão deve corresponder exatamente a 1 (uma) unidade da grandeza. Existem diversas maneiras de 
se definir uma unidade de medida e o seu padrão, mas o importante é ter em mente que deverá 
haver uma concordância com os cientistas de diversas partes do planeta. Discutiremos mais sobre 
isso na seção seguinte. 
 Devido ao fato de existirem muitas grandezas físicas, fica extremamente difícil a organização de 
todas elas, mas como nem todas são independentes, definimos algumas grandezas como sendo 
grandezas fundamentais, e seus padrões como sendo padrões fundamentais. Como exemplo 
temos a grandeza velocidade, que você irá estudar nos capítulos seguintes. A grandeza velocidade 
não é uma grandeza fundamental, pois ela é definida em termos de duas grandezas fundamentais, 
que são o comprimento e o tempo (e os seus padrões fundamentais), as quais estudaremos neste 
capítulo. Extremo cuidado deve ser tomado na definição dos padrões fundamentais, pois os mesmos 
devem ser devidamente acessíveis e, acima de tudo, invariáveis. Essas exigências são 
importantíssimas na ciência, onde o fator precisão é fundamental. 
 
 
1.2 – O Sistema Internacional de Unidades 
 
 
 O sistema métrico foi estabelecido no ano de 1791 através da Academia de Ciências de França. 
Porém de lá para cá muita coisa mudou, e os padrões passaram a ser definidos de novas maneiras, 
todas elas visando a precisão e a invariabilidade. Em 1971, na 14º Conferência Geral sobre Pesos e 
Medidas, foram estabelecidas as bases do atual Sistema Internacional de Unidades, abreviado por SI 
(do francês Système International). A tabela 1.1 apresenta as unidades de medida para três 
grandezas fundamentais, de um total de sete, as quais serão muito utilizadas nos capítulos seguintes. 
Diversas unidades físicas são derivadas das unidades fundamentais, como no caso da velocidade, 
descrita na seção anterior. 
 
 
 
 
Capítulo 1 
 
Grandeza 
fundamental 
Unidade de 
medida 
Símbolo da 
unidade 
Comprimento metro m 
Massa quilograma kg 
Tempo segundo s 
 
Tabela 1.1 – Algumas grandezas fundamentais do SI e suas respectivas unidades. 
 
 
 Em muitas situações as grandezas físicas resultam em números extremamente grandes, ou então 
extremamente pequenos. Nestes casos convém utilizar a notação científica, a qual usa potências de 
10 em sua representação, como nos exemplos abaixo: 
 
1.240.000.000 m = 1,24.109 m 
 
0,000127 kg = 1,27.10-4 kg 
 
 Muitas vezes é comum o emprego de prefixos quando trabalhamos com medidas grandes ou 
pequenas demais. A tabela 1.2 apresenta os principais prefixos utilizados. 
 
 
 
Fator de 
conversão 
Prefixo Símbolo do 
prefixo 
1024 yotta Y 
1021 zetta Z 
1018 exa E 
1015 peta P 
1012 tera T 
109 giga G 
106 mega M 
103 quilo k 
102 hecto h 
101 deca da 
10-1 deci d 
10-2 centi c 
10-3 mili m 
10-6 micro µµµµ 
10-9 nano n 
10-12 pico p 
10-15 femto f 
10-18 atto a 
10-21 zepto z 
10-24 yocto y 
 
 Tabela 1.2 – Prefixos utilizados na representação de resultados numéricos. 
 
 
 Cada prefixo representa uma potência de 10. Adicionar um prefixo ao lado de uma unidade do SI 
tem o mesmo efeito de multiplicar pelo respectivo fator associado a este prefixo, como representado 
na tabela 1.2 e expresso nos exemplos abaixo: 
 
Capítulo 1 
 
 2,6.103 gramas = 2,6 quilogramas = 2,6 kg 
 
2,27.10-9 segundos = 2,27 nanosegundos = 2,27 ns 
 
 
1.3 – Conversão de Unidades 
 
 
 Em muitas situações é preciso converter uma determinada unidade para outra de uma mesma 
grandeza física. As unidades podem ser tratadas algebricamente, de modo que podem se cancelar 
umas com as outras. Para efetuarmos uma conversão de unidade necessitamos de um fator de 
conversão, que na realidade é um fator igual a 1 (um) e cujo numerador e denominador possuem 
unidades diferentes, mas que no final fornece a unidade desejada. Como exemplo, vamos fazer a 
conversão de 5 minutos para segundos. Neste caso temos 
 
s
s 300
min1
60
min)5()1min)(5(min5 =





==
 
 
 
 Deste modo fica fácil fazer qualquer conversão desejada. As unidades não desejadas sempre se 
cancelarão, restando apenas a unidade desejada. 
 
Exemplo resolvido 1.1 
 Um automóvel desenvolveu de Florianópolis a Porto Alegre uma velocidade média de 95 km/h. 
Determine em metros por segundo o valor desta velocidade média. 
 Resolução: 
 Fazendo a conversão de modo similar ao esquema empregado acima, encontramos 
 
sm
km
h
s
m
h
kmhkmhkm /39,26
3600
100095)1)(/95(/95 =

















==
. 
 Note que o termo 
 
equivale a 1, e que os termos km e h se cancelam, restando apenas as unidades desejadas, ou seja, 
metro por segundo (m/s). Assim sendo, uma velocidade de 95 km/h equivale a 26,39 m/s. 
 
Exemplo resolvido 1.2 
 
 Um determinado intervalo de tempo de vida de uma partícula subatômica numa reação nuclear é 
de aproximadamente 0,23.10-10s. Expresse esse intervalo de tempo em nanosegundos. 
 Resolução: 
 
 Consultando a tabela 1.2, vemos que 1 nanosegundo (1 ns) equivale a 10-9s. Logo, 












km
h
s
m
3600
1000
Capítulo 1 
 
 
 
nsnsnsss 219110 10.3,2023,010.23,010.10.23,010.23,0 −−−−− ====
 
 
 Portanto, o referido intervalo de tempo corresponde a 2,3.10-2ns. 
 
 
1.4 – Padrões de Comprimento, Massa e Tempo 
 
 
 Veremos agora como são definidos os padrões de três grandezas fundamentais do SI. 
 
 
COMPRIMENTO 
 
 A base do sistema métrico estabelecido em 1791 era o metro, definido na época como sendo um 
décimo de milionésimo da distância do pólo norte ao equador. De lá para cá muitas alterações foram 
ocorrendo na definição do metro padrão. Em outubro de 1983 o metro foi redefinido como sendo a 
distância atravessada pela luz no vácuo durante o tempo de 1/299792458 de segundo. Esta definição 
decorre do estabelecimento da velocidade luz no vácuo como sendo justamente 299.792.458 metros 
por segundo. Portanto, o metro foi definido de modo a estar de acordo com a velocidade da luz no 
vácuo. A tabela 1.3 apresenta exemplos de alguns comprimentos característicos aproximados. 
 
 
 
Medida Comprimento (metros) 
Distância da Terra até a galáxia 
mais próxima (Andrômeda) 
2.1022 
Distância até Plutão 6.1012 
Raio médio da Terra 6,4.106 
Altitude do Monte Everest 9.103 
Comprimento de um mosquito 5.10-3 
Diâmetro do átomo de hidrogênio 1.10-10 
Raiodo próton 1.10-15 
 
 Tabela 1.3 – Alguns comprimentos característicos aproximados. 
 
MASSA 
 
 A unidade de massa no SI é o quilograma, definido como sendo a massa de um cilindro feito de 
uma liga de platina-irídio específica. Este cilindro é mantido no Bureau Internacional de Pesos e 
Medidas em Sèvres, próximo a Paris, na França. Muitas cópias precisas deste cilindro foram feitas 
e distribuídas para laboratórios de padronização em vários países, para servirem de aferição de 
outras massas. A tabela 1.4 apresenta alguns exemplos aproximados de massas conhecidas. 
 
 
Objeto Massa (quilogramas) 
Universo conhecido 1.1053 
Sol 2.1030 
Terra 6.1024 
Ser humano 7.101 
Próton 2.10-27 
Capítulo 1 
 
Elétron 9.10-31 
 
 Tabela 1.4 – Exemplos aproximados de massas conhecidas. 
 
 
TEMPO 
 
 Do ano de 1889 até o ano de 1967 o padrão de tempo era definido em termos de uma 
determinada fração do dia solar médio. Um dia solar é definido como sendo o intervalo entre duas 
aparições sucessivas do Sol no ponto mais alto que ele alcança no céu. Porém, no ano de 1967 a 
unidade básica de tempo sofreu uma redefinição com o auxílio de modernos e precisos relógios 
atômicos. Estes relógios utilizam a freqüência característica exibida pelo átomo de césio-133. 
Sendo assim, o segundo é definido atualmente como 9.192.631.770 vezes o período de oscilação da 
radiação do átomo de césio-133. A tabela 1.5 apresenta alguns exemplos aproximados de intervalos 
de tempo característicos. 
 
 
Medida Intervalo de tempo 
(segundos) 
Idade do Universo 5.1017 
Idade da Terra 1,3.1017 
Expectativa média de vida do ser humano 2.109 
Um ano 3,2.107 
Tempo entre batidas do coração humano 8.10-1 
Duração de uma colisão nuclear 1.10-22 
 
 Tabela 1.5 – Exemplos aproximados de intervalos de tempo característicos. 
 
 
 
1.5 – Vetores e Escalares 
 
 
 
 As grandezas físicas que estudaremos podem ser classificadas como escalares ou vetoriais. Uma 
grandeza escalar é uma grandeza que é completamente especificada por um número positivo ou 
negativo, seguido da sua unidade apropriada. Por outro lado, uma grandeza vetorial deve ser 
representada por um vetor, o qual possui um módulo, uma direção e um sentido. Grandezas 
vetoriais são, portanto, aquelas que possuem um módulo, uma direção e um sentido. O módulo 
especifica a quantidade ou tamanho, enquanto que a direção e o sentido indicam a orientação 
espacial do referido vetor. Como exemplos de grandezas vetoriais podemos citar o deslocamento, a 
velocidade, a aceleração e a força. 
 Muitas grandezas físicas não necessitam de uma representação vetorial. Como exemplo de tais 
grandezas escalares podemos citar o tempo, a massa, a temperatura, a pressão, entre outras. Tais 
grandezas ficam completamente especificadas somente por um número (positivo ou negativo) 
seguido de uma unidade de medida. 
 Imagine que você faça um vôo de Porto Alegre para Recife. Para efetuar o referido vôo, o avião 
deve se deslocar do sul para o norte, ou seja, a velocidade de deslocamentio do avião deve ser 
especificada não somente pelo valor numérico (módulo), mas também por uma direção e sentido. 
Ou seja, para especificarmos completamente a velocidade da aeronave, precisamos fornecer o 
módulo a direção e o sentido do vôo, caso contrário, como saber para onde você estará indo a partir 
de Porto Alegre fornecendo apenas um número (módulo)? 
 Neste capítulo estudaremos as propriedades e as regras básicas de operações entre vetores, as 
Capítulo 1 
 
quais serão muito úteis nos estudos posteriores. Começaremos nosso estudo de vetores com uma 
grandeza vetorial bastante simples, que é o deslocamento. O deslocamento, ou mudança de 
posição, é uma grandeza vetorial, sendo então representada por um vetor. O vetor que representa o 
deslocamento é chamado de vetor deslocamento. Imagine uma partícula que sofra um 
deslocamento de A até B, como descrito na figura 1.1(a). Sendo assim, representaremos seu 
deslocamento por uma seta que aponta de A para B. 
 
 
Figura 1.1 – (a) Partícula deslocando-se de A para B. (b) Um determinado vetor pode ser transladado sem que 
seu valor seja alterado. (c) O vetor deslocamento nada informa sobre a trajetória que a partícula seguiu para ir 
de A até B, como as duas possíveis trajetórias marcadas por I e II. 
 
 A seta representada na figura 1.1(a) é uma representação gráfica do vetor deslocamento. Um 
determinado vetor pode ser transladado sem que seu valor seja alterado, desde que o seu módulo, 
sua direção e seu sentido permaneçam os mesmos, como ilustra a figura 1.1(b). O vetor 
deslocamento nada informa sobre a trajetória que a partícula seguiu para ir de A até B. Na figura 
1.1(c) vemos duas possíveis trajetórias de A até B, marcadas por I e II, as quais são totalmente 
diferentes. Porém, em ambos os casos, o vetor deslocamento é o mesmo para ambas as trajetórias. 
Podemos dizer então, que o vetor deslocamento não representa o movimento propriamente dito, 
mas sim o resultado deste movimento. 
 
 
1.6 – Soma Geométrica de Vetores 
 
 
 As propriedades vetoriais que veremos a seguir valem para quaisquer vetores, independentemente 
da grandeza física que eles representem. Imagine que uma partícula se mova de A para B e depois 
de B para C, como ilustra a figura 1.2(a). Assim sendo, vamos representar estes dois deslocamentos 
por dois vetores deslocamento sucessivos AB e BC. Note na figura 1.2(a) que o deslocamento não 
descreve a trajetória real executada pela partícula. O deslocamento resultante é um único vetor que 
vai de A até C. Note também na figura 1.2(a) que o vetor resultante, que pode ser pensado como a 
soma dos dois deslocamentos parciais (de A para B e depois de B para C) não é uma simples soma 
algébrica usual. 
 
Capítulo 1 
 
 
Figura 1.2 – (a) Partícula se movendo de A para B e depois de B para C, cujos deslocamentos estão representados 
por dois vetores deslocamento sucessivos AB e BC. Note que o deslocamento não descreve a trajetória real 
executada pela partícula e que o vetor resultante não é uma simples soma algébrica usual entre os vetores 
envolvidos. (b) Notação vetorial para os vetores deslocamento AB e BC e para o vetor resultante. 
 
 
 A figura 1.2(b) apresenta uma mudança na representação dos vetores, a qual será utilizada não 
somente no restante deste capítulo, mas também nos estudos que se seguirão em Física, por ser uma 
representação mais usual de grandezas vetoriais. Utilizaremos daqui para a frente uma seta sobre 
um caracter para representar uma grandeza vetorial como em S
r
. Por outro lado, se quisermos 
representar somente o módulo do vetor S
r
, utilizaremos o caracter sem a seta em cima, como em S. 
Convém esclarecer que alguns autores preferem representar um vetor por um caracter em negrito, 
ao invés de uma seta sobre o referido caracter. A equação vetorial que representa a relação entre os 
três vetores da figura 1.2(b) pode ser escrita como 
 
BAS
rrr
+= . (1.1) 
 
 A eq. (1.1) nos diz que o vetor S
r
 é a soma dos vetores A
r
 e B
r
. Porém, devemos tomar cuidado 
com o símbolo “+” de soma, na eq. (1.1), pois ele tem significado diferente daquele usado em 
álgebra usual, já que ele envolve grandezas que possuem módulo, direção e sentido. A figura 1.2(b) 
nos sugere um procedimento de soma geométrica entre vetores. Este procedimento consta de você 
colocar o vetor A
r
 no papel com o seu ângulo verdadeiro e a seguir colocar no papel o vetor B
r
 com 
o seu respectivo ângulo, ambos na mesma escala, porém de modo que a cauda do vetor B
r
 fique na 
ponta do vetor A
r
. Consequentemente, o vetor soma S
r
 será o vetor que liga a cauda do vetor A
r
 até 
a ponta do vetor B
r. 
 Uma soma de vetores é comutativa, ou seja, a ordem é irrelevante, de modo que 
 
ABBA
rrrr
+=+ . (1.2) 
 
A figura 1.3 ilustra a propriedade comutativa da soma vetorial. 
 
 
 
Capítulo 1 
 
 
Figura 1.3 – Ilustração da propriedade comutativa da soma vetorial, como descrito pela eq. (1.2). 
 
 Outro aspecto importante diz respeito à propriedade associativa da soma de vetores, ou seja, 
quando existem mais do que dois vetores envolvidos na soma, podemos agrupá-los em qualquer 
ordem ao somá-los. Podemos representar a propriedade associativa na forma 
 
)()( CBACBA
rrrrrr
++=++ , (1.3) 
 
a qual está representada pela figura 1.4. 
 
 
 
Figura 1.4 – Ilustração da propriedade associativa da soma vetorial, como descrito pela eq. (1.3). 
 
 Somar um vetor - A
r
 tem o mesmo efeito de subtrairmos A
r
. Ou seja, um vetor - Ar tem o mesmo 
módulo, mesma direção, porém sentido contrário ao vetor A
r
, como ilustra a figura 1.5. Podemos 
então dizer que 
 
0)( =−+ AA
rr
. (1.4) 
 
 
 
Figura 1.5 – Os vetores A
r
 e - A
r
 possuem o mesmo módulo e a mesma direção, porém os sentidos são contrários. 
 
 Deste modo, podemos definir a diferença D
r
 entre dois vetores quaisquer A
r
 e B
r
 como sendo 
 
Capítulo 1 
 
)( ABABD
rrrrr
−+=−=
 , (1.5) 
 
ou seja, fazemos a diferença entre os vetores somando o vetor - Ar ao vetor Br . Da mesma forma que 
fazemos na álgebra usual, podemos também reescrever a eq. (1.5) na forma 
 
BAD
rrr
=+ ou ADB
rrr
+= . 
 
 Note que, embora no começo desta seção tenhamos dito que as propriedades vetoriais estudadas 
valem para quaisquer vetores, independentemente da grandeza física que eles representem, 
fisicamente não faz nenhum sentido você somar vetores que representem grandezas físicas 
diferentes. Isto seria o mesmo que, por exemplo, você querer somar uma velocidade de 80km/h com 
um deslocamento de 10km, o que não faz nenhum sentido! 
 
Exemplo resolvido 1.3 
 
 Um viajante percorreu uma distância de 2 km do norte para o sul, e a seguir mais 6 km de oeste 
para leste como indica a figura 1.6. 
 (a) Determine a distância do seu ponto de partida até o ponto final de chegada e calcule o ângulo 
α entre o deslocamento inicial e o deslocamento resultante. 
 (b) Determine o módulo, a direção e o sentido do deslocamento resultante, descrito pelo vetor Rr 
na figura 1.6. 
 
Figura 1.6 – Trajetória descrita pelo viajante e o vetor do deslocamentio resultante, denotado por R
r
. 
 
 
 Resolução: 
 
 (a) A distância do ponto de largada até o ponto de chegada pode ser obtida utilizando-se o 
triângulo retângulo descrito na figura 1.6, onde a hipotenusa é a referida distância a ser obtida. 
Logo, 
kmkmkm 32,6)6()2( 22 =+ . 
 
 O ângulo α pode ser calculado pela função tangente, e deste modo encontramos que 
 
km
km
2
6
tan =α
 , 
 
logo, α = 71,57º. 
 
 (b) O módulo do vetor deslocamento resultante já foi calculado no item (a), ou seja, 6,32 km. A 
direção e o sentido do vetor deslocamento R
r
 é de 71,57º do sul para o leste. Você também pode 
expressar a direção e o sentido utilizando outra referência de direção, ou seja, como 
90º – 71,57º = 18,43º, a direção e o sentido também podem ser expressos como sendo de 18,43º do 
Capítulo 1 
 
leste para o sul. Ambas as respostas estão corretas. 
 
 
1.7 – Componentes de um Vetor e Vetores Unitários 
 
 
 O método geométrico da soma de vetores que estudamos na seção 1.6 nem sempre é o 
procedimento mais adequado e também o mais prático, principalmente em situações que envolvam 
muita precisão e também as três dimensões do espaço. Estudaremos agora uma técnica bem mais 
sofisticada, a qual envolve álgebra e um sistema cartesiano de coordenadas. Trabalharemos com um 
sistema de coordenadas retangulares de modo que os eixos x e y sejam traçados no plano da página 
e que o eixo z aponte para fora do plano da página, numa direção perpendicular a este plano. Ambos 
os eixos têm uma origem comum, porém, vamos nos deter somente a uma representação 
bidimensional, de modo que o eixo z será ignorado neste nosso estudo inicial. A técnica que 
estudaremos é conhecida como o método das componentes. 
 A componente de um vetor nada mais é do que a projeção deste vetor sobre um dos eixos do 
sistema de coordenadas. A figura 1.7(a) apresenta as componentes Fx e Fy de um vetor F
r
qualquer. 
Fx é a componente na direção x enquanto que Fy é a componente na direção y. A projeção de um 
determinado vetor ao longo de um eixo pode ser obtida traçando-se linhas perpendiculares que 
partem das extremidades do vetor (a ponta e a cauda) até o eixo considerado para fazer a projeção, 
como ilustra a figura 1.7(a). 
 
 
Figura 1.7 – (a) Decomposição de um vetor em suas componentes ortogonais. (b) As componentes de um vetor 
formam os catetos de um triângulo retângulo onde o próprio vetor é a hipotenusa deste triângulo. 
 
 A projeção de um vetor no eixo x origina a sua componente x, enquanto que a projeção de um 
vetor no eixo y origina a sua componente y. Este procedimento de determinar as componentes de 
um vetor é chamado de decomposição do vetor em componentes. Se o vetor F
r
 fosse invertido na 
figura 1.7(a), as suas componentes também o seriam. Caso o vetor Fr fosse transladado, de modo 
que não fosse alterado a sua direção e sentido, as suas componentes não sofreriam nenhuma 
alteração. Geralmente um vetor possui três componentes, porém, no nosso caso estamos 
desconsiderando, por questão de simplicidade, o eixo z, de modo que a componente Fz seja nula na 
figura 1.7(a). 
 A figura 1.7(b) mostra que as componentes de um vetor formam os catetos de um triângulo 
retângulo, onde o próprio vetor é a hipotenusa deste triângulo. Assim sendo, podemos obter 
Capítulo 1 
 
geometricamente as componentes do vetor F
r
 a partir do triângulo retângulo, de modo que 
 
θcosFFx = (1.6a) 
 
e 
 
θsenFFy = , (1.6b) 
 
onde θ é o ângulo formado pelo vetor F
r
 com o sentido positivo do eixo x, e F é o módulo do vetor 
F
r
. Podemos também proceder o caminho inverso, e “reconstruir” o vetor F
r
 apartir de suas 
componentes. Para isso basta colocarmos as componentes da ponta até a cauda, e então 
completamos o triângulo retângulo com a hipotenusa, que é o vetor que desejamos obter. 
 Se conhecemos as componentes x e y de um determinado vetor F
r
, podemos expressá-lo em 
termos da notação módulo-ângulo (F e θ) usando as equações 
 
22
yx FFF += (1.7) 
 
e 
 
x
y
F
F
=θtan
. (1.8) 
 
Se a situação envolver as três dimensões precisaremos de dois ângulos e das três componentes Fx, 
Fy e Fz para expressarmos o vetor na notação módulo-ângulo. 
 
 
Exemplo resolvido 1.4 
 
 Um helicóptero parte de um heliporto na direção nordeste, como indicado na figura 1.8. O 
helicóptero percorre uma distância de 400 km nesta direção, num ângulo de 31º com a direção norte, 
como indicado na figura 1.8. Determine em quais distâncias ao norte e a leste o referido helicóptero 
se encontra quando estiver percorrido os 400 km. 
 
Figura 1.8 – Ilustração da trajetória de vôo do helicóptero descrito no problema resolvido 1.4. O ponto H se 
refere ao ponto no qual o helicóptero se encontra após ter percorrido 400km em direção nordeste. 
Capítulo 1 
 
 
 Resolução: 
 
 O problema fornece o módulo do vetor deslocamento (400 km), e também a direção e o sentido 
do mesmo através do ângulo de 31º. Para acharmos as distâncias ao norte e a leste nas quais o 
referido helicóptero seencontra quando estiver percorrido os 400 km, quando ele se encontra no 
ponto H, basta calcular as componentes deste vetor nas direções x e y, as quais chamaremos de Hx e 
Hy, respectivamente para leste e norte, como indica a figura 1.8. Basta prestar atenção no ângulo 
dado para a escolha das funções seno e cosseno adequadas ao cálculo de Hx e Hy. Assim, temos 
kmsenkmH
km
H
x
x 02,206º31.400
400
º31sen ==→=
 
e 
kmkmH
km
H
y
y 87,342º31cos.400
400
º31cos ==→= . 
 
 Assim, o helicóptero se encontra a 206,02 km ao leste e a 342,87 km para o norte do heliporto, 
após percorrer 400 km para nordeste. 
 
 OBSERVAÇÃO IMPORTANTE: Note que neste problema você utilizou as mesmas relações 
expressas nas eqs. (1.6a) e (1.6b), porém, com a função seno para o cálculo na direção x e a função 
cosseno para a direção y. Se você tivesse escolhido o ângulo de 90º – 31º = 59º com a direção x, na 
figura 1.8, você utilizaria este ângulo e também a função seno para a componente y e a função 
cosseno para a direção x. Logo, a escolha da função seno ou cosseno para o cálculo da componene 
de um vetor na direção x, por exemplo, depende de que ângulo estamos utilizando. O que sempre 
prevalece são as definições de seno e cosseno, ou seja, seno envolve cateto oposto e hipotenusa, 
enquanto que a função cosseno envolve o cateto adjacente e hipotenusa. 
 
Exemplo resolvido 1.5 
 
 (a) Determine as componentes do vetor Pr na figura 1.9(a), sendo o seu módulo igual a 2,00 m e 
com β = 47º. 
 (b) Determine as componentes do vetor Tr na figura 1.9(b), sendo o seu módulo igual a 3,50 m e 
com γ = 40º. 
 
 
Figura 1.9 – Vetores (a) P
r
 e (b) T
r
 conforme descritos, respectivamente, nos itens (a) e (b) do problema 
resolvido 1.5. 
 
Capítulo 1 
 
 
 Resolução: 
 
 (a) Procedendo a decomposição de componentes do vetor, tal como ilustrado na figura 1.7(a), e 
utilizando as eqs. (1.6a) e (1.6b), temos as componentes do vetor Pr , as quais resultam em 
 
mmP
m
P
x
x 36,1º47cos.00,2
00,2
ºcos47 cos ==→==β
 
e 
msenmP
m
P
y
y 46,1º47.00,2
00,2
ºsen47 sen ==→==β
. 
 
 (b) Na figura 1.9(b) vemos que o eixo x não está na horizontal, assim como o eixo y também não 
está na vertical. Porém os mesmos são ortogonais, de modo que podemos usar as relações seno e 
cosseno sem nenhum problema. Note que, se quisermos utilizar o ângulo γ dado no problema, 
devemos empregar a função cos γ para a componente y do vetor T
r
 e a função sen γ para a 
componente x do vetor T
r
. Assim as componentes do vetor T
r
 valem 
 
 
msenmT
m
T
x
x 25,2º40.50,3
50,3
ºsen40 sen ==→==γ
 
e 
mmT
m
T
y
y 68,2º40cos.50,3
50,3
ºcos40 cos ==→==γ
. 
 
 
 
 
 
 Em diversas situações muitas grandezas vetoriais são expressas em termos dos vetores unitários. 
Um vetor unitário é um vetor que não possui dimensão, não possui unidade e tem módulo 
exatamente igual a 1, sendo usado para especificar uma direção particular. Um vetor unitário torna-
se bastante prático para descrever uma determinada direção e sentido no espaço. Utilizaremos os 
vetores unitários para apontar o sentido positivo dos eixos x, y e z, os quais são respectivamente 
chamados de iˆ , jˆ e kˆ . Note que para um vetor unitário utilizamos o “chapéu” acima dos 
caracteres i, j e k e não uma seta, como na notação dos demais vetores. 
 Os vetores unitários iˆ , jˆ e kˆ são vetores mutuamente perpendiculares, como mostra a figura 
1.10. O sistema mostrado na figura 1.10 é também chamado de sistema de coordenadas 
dextrogiro, com os vetores unitários iˆ , jˆ e kˆ definindo as direções e os sentidos. 
 
 
 
Capítulo 1 
 
Figura 1.10 – Representação dos vetores unitários iˆ , jˆ e kˆ , com as respectivas direções e sentidos. 
 
 
 Podemos utilizar os vetores unitários para representar outros vetores, como o vetor F
r
 da figura 
1.7. Neste caso, em termos dos vetores unitários, expressamos o vetor F
r
 como 
 
jFiFF yx ˆˆ +=
r
. (1.9) 
 
Neste caso as grandezas iFx ˆ e jFy ˆ são vetores e são chamadas de componentes vetoriais de F
r
. 
As grandezas Fx e Fy são chamadas de componentes escalares de F
r
. 
 
 
 
1.8 – Soma de Vetores Componente a Componente 
 
 
 Além da soma geométrica de vetores, que você estudou na seção 1.6, é possível somar vetores 
componente a componente, ou seja, através da soma dos componentes eixo a eixo. Imaginemos a 
seguinte equação para uma soma vetorial: 
 
 
BAS
rrr
+= , (1.10) 
 
a qual nos diz que o vetor S
r
 é igual a BA
rr
+ . Deste modo podemos dizer que cada uma das 
componentes de S
r
 deverá ser igual as componentes de BA
rr
+ , ou seja, 
 
xxx BAS += , (1.11) 
 
yyy BAS += e (1.12) 
 
zzz BAS += . (1.13) 
 
 
 Assim sendo, para somarmos vetores devemos decompor os mesmos em suas componentes 
escalares, combiná-las de acordo com o eixo (x, y ou z), combinar as respectivas componentets 
obtidas e recompor o vetor resultante, que no caso acima é o vetor S
r
. Para a subtração de vetores 
vale a mesma lógica empregada acima, o que se justifica pelo fato de uma subtração poder ser 
escrita como uma soma, como mostramos através da eq. (1.5) na seção 1.6. Após a recomposição do 
vetor S
r
, o mesmo pode ser escrito em termos dos vetores unitários como 
 
kSjSiSS zyx ˆˆˆ ++=
r
. (1.14) 
 
 
 
Exemplo resolvido 1.6 
 
Capítulo 1 
 
 A figura 1.11 mostra três vetores, A
r
, B
r
 e C
r
, com os valores das respectivas componentes nos 
eixos x e y. Determine o vetor soma CBAS
rrrr
++= e represente-o graficamente. 
 
 
Figura 1.11 – Representação dos vetores A
r
, B
r
 e C
r
, com os valores das suas componentes nos eixos x e y. 
 
 Resolução: 
 
 Observando a figura 1.11, podemos extrair as componentes de cada um dos três vetores em 
questão, ou seja, 
 
 
jmimA ˆ)2(ˆ)8,7( −=
r
, 
 
 
jmimB ˆ)1,3(ˆ)4,4( +=r
 e 
 
 
jmimC ˆ)6,4(ˆ)4,2( +−=
r
. 
 
 Fazendo a soma componente a componente, encontramos 
 
 
mmmmCBAS xxxx 8,94,24,48,7 =−+=++=
 e 
 
mmmmCBAS yyyy 7,56,41,32 =++−=++=
. 
 
 Deste modo, o vetor soma CBAS
rrrr
++= , em termos da notação de vetores unitários, é dado por 
 
 
jmimS ˆ)7,5(ˆ)8,9( +=
r
. 
 
 Podemos também representar o vetor S
r
 através da notação módulo-ângulo discutida na seção 
1.7, na qual expressamos o vetor em termos do seu módulo e de sua direção e sentido por 
intermédio de um ângulo conhecido. Assim sendo, o módulo do vetor S
r
 pode ser calculado usando 
o raciocício empregado na discussão da figura 1.7 com o auxílio das eqs. (1.7) e (1.8). Temos então 
que 
 
mmmSSS yx 34,11)7,5()8,9( 2222 =+=+=
 e 
 
Capítulo 1 
 
º18,30
8,9
7,5
arctantan =





=→=
m
m
S
S
x
y θθ
. 
 
 Note que este ângulo é medido em relação ao eixo x, já que utilizamos um raciocínio de acordo 
com a eq. (1.8) e a figura 1.7. Procure se certificar disto! 
 A representação gráfica é apresentada na figura 1.12. 
 
 
Figura 1.12 – Representação do vetor S
r
. 
 
 
 
 
Exemplo resolvido 1.7 
 Determine o módulo do deslocamento BA
rr
−3 dos seguintes vetores deslocamento: 
 mkjiA )ˆ2ˆ2ˆ4( −+=
r
 e mkjiB )ˆ3ˆ3ˆ1( −+=r . 
 
 Resolução: 
 
 Fazendo BAR
rrr
−= 3 , então temos que 
 
 mkjimkjiR )ˆ3ˆ3ˆ1()ˆ2ˆ2ˆ4(3 −+−−+=r 
 mkjiR ]ˆ)36(ˆ)36(ˆ)112[( +−+−+−=r 
 mkjiR )ˆ3ˆ3ˆ11( −+=r .O módulo de R
r
, denotado por R, é dado pela eq. (1.7), porém com 3 componentes. Assim 
sendo, 
 
 mmmmRRRR zyx 79,11)3()3()11( 222222 =−++=++= . 
 
 
 
 
 
1.9 – Multiplicação de Vetores 
 
Capítulo 1 
 
 
 
 São três as possibilidade de multiplicação de vetores: 
 
− Multiplicação de um vetor por um escalar; 
− Multiplicação de um vetor por um outro vetor → produto escalar ou produto vetorial. 
 
 
MULTIPLICAÇÃO DE UM VETOR POR UM ESCALAR 
 
 A multiplicação de um vetor F
r
 por um escalar e resultará sempre num novo vetor. O módulo do 
vetor resultante será o produto do módulo do vetor F
r
, F, multiplicado pelo valor absoluto do 
escalar e. A direção do vetor resultante será a mesma do vetor F
r
, porém o seu sentido será o 
mesmo de F
r
 se o escalar e for positivo, e contrário ao do vetor F
r
 se o escalar e for negativo. 
 
MULTIPLICAÇÃO DE UM VETOR POR UM OUTRO VETOR 
 
 A multiplicação de um vetor por um outro vetor pode se dar de duas maneiras, produzindo dois 
resultados distintos. Uma das maneiras irá produzir um escalar, que é o chamado produto escalar, 
enquanto que a outra maneira irá resultar em um outro vetor, que é o chamado produto vetorial. 
Estudaremos agora cada uma das duas maneiras. 
 
Produto escalar 
 
 O produto escalar de dois vetores quaisquer A
r
 e B
r
, tal como ilustrados na figura 1.13(a), pode 
ser escrito como BA
rr
⋅ , resultando numa grandeza escalar. O produto escalar BA
rr
⋅ pode ser definido 
como 
 
αcosABBA =⋅
rr
, (1.15) 
 
onde A é o módulo do vetor A
r
, B é o módulo do vetor B
r
, e o ângulo α é o ângulo entre as direções 
A
r
 e B
r
. 
 
 
 
 
Figura 1.13 – (a) Representação do produto escalar de dois vetores, de acordo com a eq. (1.15). (b) Ambos os 
vetores possuem componentes ao longo da direção positiva do outro vetor, ou seja, o vetor A
r
 possui uma 
componente Acosα α α α na direção positiva do vetor B
r
, enquanto que o vetor B
r
 possui uma componente Bcosα α α α na 
direção positiva do vetor A
r
. 
 
 
Capítulo 1 
 
 
 Note na figura 1.13(a) que existem dois ângulos entre os vetores A
r
 e B
r
, ou seja, o ângulo α e o 
ângulo 360º - α. Como os seus cossenos são iguais, tanto faz a escolha de um ou outro ângulo para 
utilizar a eq. (1.15). Da eq. (1.15) vemos que existem apenas escalares no lado direito, ou seja, o 
produto escalar BA
rr
⋅ de dois vetores resulta numa grandeza escalar. O valor desta grandeza escalar 
pode ser um número positivo, negativo ou nulo. Podemos também dizer que o produto escalar de 
dois vetores é dado pela multiplicação do módulo de um vetor pela componente do outro vetor na 
direção positiva do primeiro vetor, como ilustra a figura 1.13(b). Note na figura 1.13(b) que ambos 
os vetores possuem componentes ao longo da direção positiva do outro vetor, ou seja, o vetor Ar 
possui uma componente Acosα na direção positiva do vetor B
r
, enquanto que o vetor B
r
 possui uma 
componente Bcosα na direção positiva do vetor A
r
. 
 Da eq. (1.15) vemos que se o ângulo entre os dois vetores for 0º, o produto escalar entre eles será 
máximo, enquanto que se α = 90º o produto escalar de ambos será nulo. 
 A lei comutativa também pode ser aplicada no caso de um produto escalar, ou seja, 
 
ABBA
rrrr
⋅=⋅ . (1.16) 
 
 Se a notação estiver expressa em termos dos vetores unitários, o produto escalar BA
rr
⋅ de dois 
vetores resulta em 
 
)ˆˆˆ()ˆˆˆ( kBjBiBkAjAiABA zyxzyx ++⋅++=⋅
rr
 , 
 
o que facilmente pode ser mostrado (tente você fazer em casa como exercício) ser igual a 
 
zzyyxx BABABABA ++=⋅
rr
. (1.17) 
 
Exemplo resolvido 1.8 
 A partir da figura 1.14, calcule o produto escalar FE
rr
⋅ , sendo o módulos dos vetores E
r
 e F
r
 
respectivamente iguais a 5 e 6. 
 
 
 
Figura 1.14 – Vetores E
r
 e F
r
, com módulos respectivamente iguais a 5 e 6. 
 
 Resolução: 
Capítulo 1 
 
 
 Analisando a figura 1.14, vemos que o ângulo entre os vetores E
r
 e F
r
 é igual a 
120° - 62° = 58°. 
 Aplicando a eq. (1.15), com α = 58°, encontramos 
 
 
.90,1558cos).6).(5(cos =°==⋅ αEFFE rr 
 
 Neste exercício você também poderia encontrar o produto escalar entre E
r
 e F
r
 decompondo 
ambos os vetores e empregando a eq. (1.17), o que conduziria ao mesmo resultado encontrado 
acima. O exemplo resolvido 1.9 utiliza a eq. (1.17) num procedimento similar. 
 
 
Exemplo resolvido 1.9 
 
 Determine o ângulo entre os seguintes vetores: 
 
 kjiA ˆ2ˆ4ˆ3 ++=
r
 e kjiB ˆ2ˆ3ˆ3 −+−=r . 
 
 Resolução: 
 
 Como temos as componentes dos vetores, vamos calcular o produto escalar de ambos com a 
combinação das eqs. (1.15) e (1.17), ou seja 
 
zzyyxx BABABAABBA ++==⋅ αcos
rr
. 
 
 Assim, nosso objetivo é encontrar o ângulo α na eq. acima. Logo, 
 
 
1)2)(2()3)(4()3)(3( −=−++−=++ zzyyxx BABABA , 
 
39,5)2()4()3( 222222 =++=++= zyx AAAA e 
 
69,4)2()3()3( 222222 =−++−=++= zyx BBBB . 
 
 Deste modo, o ângulo α entre os vetores resulta em 
 
69,4.39,5
1
cos
−
=
++
=
AB
BABABA zzyyxxα , 
portanto, 
 
°= 27,92α . 
 
 
 
 
 
Capítulo 1 
 
Produto vetorial 
 
 O produto vetorial de dois vetores quaisquer A
r
 e B
r
 pode ser escrito como BA
rr
× , resultando 
numa grandeza vetorial, ao contrário do produto escalar estudado anteriormente. Logo, o produto 
vetorial BA
rr
× resulta num terceiro vetor C
r
, cujo módulo pode ser definido como 
 
αABsenC = , (1.18) 
 
onde α é o menor ângulo entre os dois vetores A
r
 e B
r
. O produto vetorial também é chamado de 
produto cruz, devido à notação BA
rr
× . Assim sendo, o produto vetorial de dois vetores quaisquer A
r
 
e B
r
, o qual resulta num terceiro vetor C
r
, pode ser escrito como 
 
 BAC
rrr
×= . (1.19) 
 
 Da eq. (1.18), vemos que se A
r
 e B
r
 foram vetores paralelos (α = 0º) ou antiparalelos 
(α = 180º), teremos BA r
r
× = 0. Da mesma equação vemos que o módulo BAC
rr
×=
 será máximo 
quando os vetores A
r
 e B
r
 foram perpendiculares entre si, ou seja, quando α = 90º. 
 O vetor C
r
, resultante do produto BA
rr
× , é um vetor perpendicular ao plano formado pelos 
vetores A
r
 e B
r
, como ilustra a figura 1.15(a). 
 
 
Figura 1.15 – Procedimento prático para se determinar a direção e o sentido do vetor resultante no produto 
vetorial (a) BA
rr
× e (b) AB
rr
× . 
 
 
 A figura 1.15(a) também ilustra um procedimento prático para se determinar a direção e o 
sentido do vetor resultante C
r
, que é conhecido como regra da mão direita. Note que é necessário 
tal procedimento uma vez que existem dois sentidos possíveis para uma direção ortogonal a um 
plano, no nosso caso aqui formado pelos vetores A
r
 e B
r
. O procedimento do uso da regra da mão 
direita consiste em dispor os vetores A
r
 e B
r
 de modo a fazer com que coincidam as suas caudas, 
porém sem que mudem as suas orientações. A seguir faça com que o vetor A
r
 sofra um giro 
(rotação) em torno de um eixo ortogonal ao plano formado pelos vetores A
r
 e B
r
 até que o vetor A
r
 
se sobreponha ao vetor B
r
, sendo que este giro deverá ser feito no menor ângulo possível entre os 
vetores A
r
 e B
r
. Assim sendo, você deve simplesmente colocar a sua mão direita em torno deste 
eixo ortogonal, demodo tal que os seus dedos possam girar o vetor A
r
 em direção ao vetor B
r
 no 
menor ângulo possível, e o seu polegar direito esticado irá apontar na direção e no sentido do vetor 
Capítulo 1 
 
resultante C
r
, como ilustra a figura 1.15(a). 
 A ordem do produto vetorial é importante, de modo que 
 
ABBA
rrrr
×≠× , (1.20) 
 
como ilustra a figura 1.15(b), na qual temos o produto vetorial ABD
rrr
×= . Note nas figuras 1.15(a) 
e 1.15(b) que temos 
 
)( ABBA
rrrr
×−=× , (1.21) 
 
de modo que DC
rr
−= , ou seja, o produto vetorial não é comutativo. Procure analisar com a regra 
da mão direita as figuras 1.15(a) e 1.15(b) para se familiarizar com esta regra. 
 O produto vetorial, em termos da notação de vetores unitários, pode ser escrito como 
 
)ˆˆˆ()ˆˆˆ( kBjBiBkAjAiABA zyxzyx ++×++=×
rr
, (1.22) 
 
o qual poderá ser expandido com base na lei distributiva, ou seja, com cada componente do vetor Ar 
sendo multiplicada vetorialmente por cada uma das componentes do vetor B
r
. Como exemplo, em 
uma das partes da expansão do produto da eq. (1.22) temos que 
 
0)ˆˆ(ˆˆ =×=× jjBAjBjA yyyy , 
 
já que 0ˆˆ =× jj , visto que ambos os vetores são paralelos, logo α = 0° na eq. (1.18). É possível 
facilmente mostrar que o produto vetorial descrito na eq. (1.22) irá resultar, após a expansão dos 
termos, em 
 
kABBAjABBAiABBABA yxyxxzxzzyzy ˆ)(ˆ)(ˆ)( −+−+−=×
rr
. (1.23) 
 
Como exercício, demonstre a eq. (1.23). O produto vetorial também pode ser representado 
utilizando-se um determinante. O produto vetorial também pode ser representado por um 
determinante. Assim sendo, o produto BA
rr
× pode ser expresso como 
 
zyx
zyx
BBB
AAA
kji
BA
ˆˆˆ
=×
rr
. (1.24) 
 
Você poderá também calcular o produto vetorial da eq. (1.22) usando o determinante da eq. (1.24) e 
chegar no mesmo resultado dado pela eq. (1.23). 
 
Exemplo resolvido 1.10 
 
 Dados os seguintes vetores 
 jiA ˆ3ˆ2 −=
r
 e 
 kiB ˆ2ˆ3 +−=
r
, 
 
Capítulo 1 
 
determine o vetor BAR
rrr
×= . 
 
 Resolução: 
 
 Montando a operação, teremos 
 )ˆ2ˆ3()ˆ3ˆ2( kijiBAR +−×−=×= r
rr
. 
 Como os vetores estão expressos na notação de vetores unitários, podemos neste caso utilizar a 
propriedade distributiva dada pela eq. (1.23). Neste caso, 
 
 kjikjiR ˆ9ˆ4ˆ6ˆ)]3)(3(0[ˆ)]2)(2(0[ˆ]0)2)(3[( −−−=−−−+−+−−=r 
 Logo, o vetor BAR
rrr
×= é dado por 
 kjiR ˆ9ˆ4ˆ6 −−−=r . 
 
 
Exemplo resolvido 1.11 
 
 Na figura 1.16 o vetor C
r
 tem módulo igual a 8 unidades e está localizado no eixo x. O vetor D
r
 
tem módulo igual a 5 unidades e se localiza no plano xy, formando um ângulo de 25° com o eixo x, 
como ilustra a figura 1.16. Calcule o produto DC
rr
× . 
 
 
Figura 1.16 – Ilustração dos vetores C
r
 e D
r
 do exemplo resolvido 1.11 e o vetor E
r
 resultante do produto 
DC
rr
× . 
 
 Resolução: 
 
 Podemos calcular o produto DC
rr
× de duas maneiras: utilizando a eq. (1.18) e a regra da mão 
direita para determinar a direção e o sentido do vetor resultante, ou então determinar o vetor 
resultante através do uso da eq. (1.23), como fizemos no exemplo resolvido 1.10. Utilizaremos a 
Capítulo 1 
 
primeira maneira neste exercício, deixando claro que ambas conduzem ao mesmo resultado. 
 
 Da eq. (1.18) temos que o módulo do produto DC
rr
× , denotado por E, é dado por 
 
βDsenCE .= , 
 
com β = 25°. Logo, 
90,16255.8. =°== senDsenCE β . 
 A direção de DCE
rrr
×= é o eixo z, já que os vetores Cr e Dr se localizam nos eixos do plano xy. 
O sentido de E
r
 é dado pela regra da mão direita, a qual resulta que o referido vetor aponta na 
direção positiva do eixo z, conforme indica a figura 1.16. Veja como esta regra é aplicada. Note 
também que o módulo do vetor E
r
 na figura 1.16 é claramente maior que os demais vetores, o que 
está de acordo com o resultado encontrado no cálculo feito acima. 
 
 
1.10 – Exercícios - Lista 1 
 
1 – Um protótipo de veículo automotor com propulsão a jato desenvolveu uma velocidade de 
1200km/h. Converta esse resultado para m/s. Resposta: 333,33m/s. 
 
2 – Foi encontrado em uma mina de diamante uma enorme pedra com um volume de 20,4cm3. 
Expresse seu volume em m3. Resposta: 20,4.10-6m3. 
 
3 – Algumas pessoas têm o costume de expressar a altura de animais de criação em “mãos”. Por que 
este procedimento não deve ser utilizado? 
 
4 – Converta as seguintes grandezas, de acordo com o indicado: 
 
a) 6.10-4m (em mm); 
b) 8.10-5s (em µs); 
c) 97.102g (em kg). 
 
 Resposta: (a) 0,6mm, (b) 80µs e (c) 9,7kg. 
 
5 – Uma lata de refrigerante expressa no seu rótulo um volume de 0,350 litros.. Converta este valor 
para centímetros cúbicos, sabendo que 1 litro = 1000cm3. Resposta: 350cm3. 
 
6 – A massa específica do ouro é de 19,3g/cm3. Converta este valor para kg/m3. 
Resposta: 19,3.103kg/m3. 
 
7 – O jato Concorde, atualmente fora de operação, ainda é o avião comercial mais rápido até hoje 
fabricado, podendo viajar a 1400mi/h. Sabendo que 1 milha = 1609,34m, converta este valor de 
velocidade para (a) m/s e (b) km/h. Resposta: (a) 625,86m/s e (b) 2253,08km/h. 
 
8 – Determine a soma dos dois vetores A
r
 e B
r
, ambos pertencentes ao plano xy e que possuem as 
Capítulo 1 
 
seguintes componentes: 
 
 jiA ˆ4ˆ3 +=
r
 e 
 jiB ˆ3ˆ6 −=r . 
 
 Resposta: ji ˆ1ˆ9 + . 
 
9 – Um objeto em movimento sofre 3 deslocamentos consecutivamente, dados por: 
 
 mkjiD )ˆ2ˆ3ˆ2(1 −+=
r
, 
 mkjiD )ˆ3ˆ5,1ˆ8,1(2 +−=
r
 e 
 mkjiD )ˆ5,2ˆ1ˆ5,1(3 +−−=
r
. 
 
 Ache (a) as componentes do deslocamento total e (b) o seu respectivo módulo. Resposta: (a) 
miˆ3,2 , mjˆ5,0 , mkˆ5,3 e (b) 4,22m. 
 
10 – Um escoteiro faz uma caminhada numa floresta com o auxílio de uma bússola em duas etapas, 
denominadas A e B. Inicialmente (etapa A) ele caminha 17km exatamente entre a direção sul e leste, 
depois descansa e a seguir retoma a caminhada (etapa B) fazendo 32km para o norte numa direção 
que faz 50° com o leste. 
 (a) Determine as componentes de cada um dos dois deslocamentos realizados, imaginando que o 
seu sistema de coordenadas esteja com o eixo y na direção sul para norte e o eixo x na direção oeste 
para leste. Resposta: Ax = 12,02km, Ay = -12,02km, Bx = 20,57km e By = 24,51km 
 (b) Obtenha as componentes do deslocamento total realizado pelo escoteiro. Resposta: kmiˆ59,32 
e kmjˆ49,12 . 
 
11 – Uma pessoa patinando numa pista de gelo realiza uma trajetória circular que possui um raio de 
3m. Determine (a) o módulo do deslocamento quando a pessoa percorre metade do circulo, (b) a 
respectiva distância percorrida neste caso e (c) o módulo do deslocamento supondo uma volta 
completa na referida trajetória circular. Resposta: (a) 6m, (b) 9,42m e (c) 0. 
 
12 – Um determinado vetor possui uma componente x igual a -12 unidades e uma componente y 
com 37 unidades. Determine o módulo e a direção deste vetor. Resposta: 38,9 unidades e 107,97° 
medidos a partir do sentido positivo do eixo x. 
 
13 – Uma pessoa realiza uma caminhada seguindo as trajetórias descritas na figura 1.17. Determine 
o vetor deslocamento total realizado por esta pessoa. O sistema de eixos coordenados xy na figura 
1.17 serve de referência. Resposta: mji )ˆ170ˆ74,24( − ou módulo de 171,79m e ângulo de 278,28° 
a partir do sentido positivo do eixo x. 
Capítulo 1 
 
 
 
Figura 1.17 – Ilustração das trajetórias referentes ao problema 13. O sistema de eixos coordenados xy serve 
apenas de referência.14 – Um vetor D
r
 possui componentes nas direções x e y respectivamente iguais a -6,92cm e 
12,78cm. Um outro vetor E
r
 tem componentes nas direções x e y respectivamente iguais a 11,1cm e 
-7,5cm. Sendo 042 =+− FED
rrr
, calcule o vetor F
r
. Resposta: cmji )ˆ95,6ˆ28,7( − . 
 
15 – A figura 1.18 ilustra três vetores deslocamento, onde os módulos dos vetores D
r
, E
r
 e F
r
 
valem respectivamente 17cm, 36cm e 27cm. Determine (a) o vetor deslocamento resultante em 
termos dos vetores unitários, (b) o módulo e (c) a direção deste vetor. Resposta: (a) 
cmji )ˆ39,24ˆ52,45( + , (b) 51,64cm e (c) 28,18° com o eixo x. 
 
 
Figura 1.18 – Ilustração dos três vetores deslocamento descritos no problema 15. 
 
 
16 – Determine o módulo, a direção e o sentido dos seguintes vetores representados pelas suas 
componentes: 
 (a) Cx = 4,32cm e Cy = -3,45cm 
 (b) Dx = -5,25cm e Dy = 2,27cm 
 
 Resposta: (a) 5,53cm e 321,39° e (b) 5,72cm e 156,62°. 
 
17 – Escreva em termos da notação de vetores unitários o vetor indicado na figura 1.19, cujo 
módulo vale 2,7cm. Resposta: cmjiA )ˆ45,2ˆ14,1( +=
r
. 
 
Capítulo 1 
 
 
 
Figura 1.19 – Ilustração do vetor descrito no problema 17, com o seu respectivo ângulo em relação ao eixo x. 
 
 
18 – Para os vetores A
r
 e B
r
 indicados na figura 1.20, cujos módulos valem, respectivamente, 30cm 
e 48cm, determine o produto escalar BA
rr
⋅ . Resposta: -150,52cm2. 
 
 
 
Figura 1.20 – Vetores A
r
 e B
r
 descritos no problema 18, com seus respectivos ângulos. 
 
 
19 – Dados os vetores A
r
 e B
r
 representados na figura 1.21, cujos módulos valem, respectivamente, 
20cm e 30cm, determine o módulo, a direção e o sentido do produto vetorial (a) BA r
r
× e (b) AB
rr
× . 
Resposta: (a) 424,26cm2 e direção e sentido para dentro da página (-z) e (b) 424,26cm2 e e direção 
e sentido para fora da página (+z). 
 
 
 
Figura 1.21 – Vetores A
r
 e B
r
 descritos no problema 19.