Capítulo 02- Movimento e Dinâmica da Partícula

Prévia do material em texto

1
 
2- MOVIMENTO E DINÂMICA DA 
PARTÍCULA 
 
 
 
2.1 –Movimento da Partícula 
 A mecânica é a área da Física que estuda as relações entre movimentos, matéria e 
força. 
 A cinemática é um segmento da mecânica que apenas descreve o movimento de 
uma partícula sem se preocupar com a sua causa, ou seja, estuda as propriedades 
geométricas dos movimentos relacionando-as com o tempo. 
 A partir de agora, iremos apresentar uma rápida revisão dos conceitos fundamentais 
empregados na cinemática, e logo após passaremos a caracterizar fisicamente os principais 
movimentos que ocorrem em uma e duas dimensões (plano). 
 
 
2.1.1 – Conceitos Fundamentais 
 
 A) Ponto Material ou Partícula 
 É todo o corpo cujas dimensões não interferem no estudo de determinado fenômeno, 
ou seja, qualquer corpo cujas dimensões sejam desprezíveis em relação às distâncias 
envolvidas no problema. 
 Quando o corpo não puder ser considerado como um ponto material (partícula) ele 
será denominado de corpo extenso. 
 Exemplo: uma bicicleta trafegando numa ciclovia pode ser considerada ponto 
material ao passo que a mesma bicicleta manobrando num pátio de uma residência será 
denominada de corpo extenso. 
 Na cinemática, todo o ponto material (partícula) apresenta massa, entretanto, suas 
dimensões (tamanho) são consideradas desprezíveis. 
 Em virtude de seu tamanho desprezível, um ponto material (partícula) não sofre 
movimento de rotação e nem de vibração de partes, executando apenas movimento de 
translação. 
 
 B) Referencial ou Sistema de Referência. 
 É um conjunto de corpo ou corpos cuja posição é previamente conhecida em relação 
ao qual estudamos as características cinemáticas de uma partícula. 
 Exemplo: sistema cartesiano ortogonal, superfície terrestre e etc. 
 
 C) Repouso, Movimento e Trajetória 
 Uma partícula está em repouso em relação a um dado referencial quando as suas 
coordenadas cartesianas (x,y,z) permanecem inalteradas com o passar do tempo. 
 2
A partícula encontra-se em movimento, relativamente a um referencial, quando 
pelo menos uma de suas coordenadas de posição varia a medida que transcorre o tempo. 
A noção de repouso ou movimento é relativa, pois está relacionada ao referencial 
adotado. Na cinemática, um corpo poderá estar em repouso ou movimento, isto depende do 
referencial adotado. 
Exemplo: Um passageiro sentado no interior de um trem em movimento não 
acelerado observa através da janela, um poste, mover-se e afirma que, o poste está se 
movimentando em relação ao trem. 
Define-se trajetória como sendo a figura geométrica formada pelas sucessivas 
posições (pontos geométricos) que a partícula vai ocupando a medida que transcorre o 
tempo. A trajetória de um móvel pode ser de diversos típicos: retilínea, circular, parabólica, 
elíptica, ou uma curva qualquer. O tipo de trajetória descrita por uma partícula durante o 
intervalo de tempo considerado depende do referencial adotado. 
 Exemplo: Considere um trem em movimento retilíneo mantendo o módulo da sua 
velocidade constante em relação a Terra, conforme ilustra a figura abaixo. 
 
 
 
 
Figura 2.1 – Trajetória descrita pela bola na visão de dois observadores distintos. 
 
A trajetória descrita pela bola abandonada do teto do vagão do trem na figura 2.1 é 
descrita como um segmento retilíneo vertical pelo passageiro parado no interior do vagão. 
Entretanto, esse movimento da bola também é descrito como sendo um arco de parábola 
pelo observador situado no solo o qual acompanhou o que estava ocorrendo no interior do 
trem. 
 
 D) Distância Percorrida 
 A Distância percorrida, d é definida como o comprimento da trajetória descrita por 
uma partícula durante um intervalo de tempo considerado, ou seja, a soma dos valores 
absolutos de todas as variações elementares de posição ocorridas ao longo deste tempo. 
Portanto, o conceito de distância percorrida indica realmente quanto andou a partícula no 
intervalo de tempo considerado. 
 A distância percorrida é uma grandeza escalar, ou seja, não é necessário levarmos 
em consideração direção e sentido desta. 
 A unidade de medida adotada pelo SI para distância, posição e deslocamento, as 
últimas duas serão discutidas a seguir, é o metro (m), definida no capítulo 1 como sendo 
uma das grandezas fundamentais. 
 
 E) Vetor Posição 
 3
 Admita que uma partícula esta em movimento em relação ao sistema de 
coordenadas da figura 2.2. A origem desse sistema é o ponto O e o ponto P representa a 
posição desta partícula num dado instante de tempo t. 
 
 
 
Figura 2.2 – Representação gráfica do vetor posição. 
 
 Define-se o vetor posição, rr como o segmento de reta com origem no ponto O e 
extremidade em P. O vetor rr é escrito em coordenadas cartesianas, em duas dimensões, 
pela expressão (1): 
 
 
jyixr ˆˆ +=r
 (1) 
 
 F) Vetor Deslocamento. 
 Agora, admita que P1 e P2 sejam posições ocupadas por uma partícula ao longo de 
sua trajetória (linha pontilhada) em dois instantes de tempo quaisquer t1 e t2, conforme 
ilustra a figura abaixo. 
 
 
 
Figura 2.3 – Representação gráfica do vetor deslocamento. 
 4
 
Define-se o vetor deslocamento, rr∆ , entre os instantes de tempo t1 e t2, como o 
segmento de reta com origem em P1 e extremidade em P2, ou ainda, como a subtração 
vetorial dos vetores posição 1r
r
 e 2r
r
nos instantes t1 e t2, ou seja: 
 
 rrr
rrr ∆+= 12 
 
 rrr
rrr ∆=− 12 (2) 
 
Exemplo resolvido 2.1 
 Um avião se desloca 4 km para o leste e em seguida 3 km para o norte. Qual será o 
módulo do deslocamento do avião? 
 
 Resolução: 
 
 Na figura 2.4 está ilustrada a trajetória percorrida pelo avião (em vermelho) ao 
longo do sistema de referência adotado. 
 Aplicando a definição de vetor deslocamento, obtemos sua representação gráfica 
dada pelo vetor rr∆ (em azul). 
 
 
 
Figura 2.4 – Trajetória e deslocamento, realizados pelo avião do exercício resolvido 2.1. 
 
 Analisando a figura, constatamos que o módulo do vetor deslocamento é 
determinado a partir da aplicação do teorema de Pitágoras, então: 
 
22222 )3()4( kmkmyxr +=+=∆ r 
 
( ) kmkmr 525 212 ==∆ r 
 5
 
mr 0005=∆ r
 
 
 Há uma diferença significativa entre os conceitos de distância percorrida, d e 
deslocamento. Por exemplo, considere a trajetória arbitrária L, não retilínea, entre as 
posições P1 e P2. 
 
 
 
Figura 2.5 – Diferenciação entre deslocamento e distância percorrida. 
 
 A figura 2.5 mostra claramente que em módulo: rd r∆> . Por outro lado, se a 
trajetória L fosse retilínea, entre P1 e P2, teríamos: rd r∆= . Então, podemos afirmar 
genericamente que para qualquer trajetória teremos: rd r∆≥ . 
 
Exemplo resolvido 2.2 
 Um móvel percorre a trajetória em linha vermelha, descrita na figura abaixo. Ele 
partiu de A no instante t0 = 0, passou B no instante t1, chegou a C no instante t2. Retornando 
e passando novamente por B no instante t3. 
 
 
 
Figura 2.6 – Trajetória seguida pelo móvel do exemplo 2.2. 
 
Determinar: 
A) A distância percorrida, d. 
B) O deslocamento, rr∆ . 
 
Resolução: 
 
 6
 A) A distância percorrida será dada por: 
 
mmmmBCCBBAd 9333 =++=++= 
 
md 9=
 
 
 B) O deslocamento, de acordo como ilustra a figura abaixo, será dado por: 
 
 
 
Figura 2.7 – O deslocamento apresentado pelo móvel do exemplo 2.2. 
 
mmxxxr AB 36 −=−=∆=∆
r
 
 
mx 3=∆
 
 G) VelocidadeEscalar Média, EMv 
 É definida como sendo a razão entre a distância total percorrida, d pelo móvel e o 
intervalo de tempo gasto, ∆t para percorrê-la, portanto, trata-se de uma grandeza escalar. 
 
 
t
d
vEM ∆
=
 (3) 
 
A unidade de medida no SI para velocidade é o metro por segundo (m/s). 
 
Exemplo resolvido 2.3 
Um ônibus está se movimentando em relação ao solo. A duração deste movimento, 
∆t foi de 30 min e a distância percorrida, d durante este tempo foi de 5 km. Qual o valor da 
sua velocidade escalar média? 
 
Resolução: 
 
Convertendo os valores de ∆t e d para unidades do SI: 
 
30 min → 1800 s e 5 km → 5000 m. 
 
Agora, aplica-se a definição dada pela equação (3). 
 
 
s
m
t
d
vEM 1800
5000
=
∆
= 
 7
 
./78,2 smvEM = 
 
 H) Velocidade Média, Mv
r
 
 É definida como sendo a razão entre o vetor deslocamento, rr∆ sofrido pela 
partícula e o intervalo de tempo gasto, ∆t para executá-lo. 
 
 
t
r
vM ∆
∆
=
r
r
 (4) 
 
 Tomando com exemplo a figura 2.8, observamos que o vetor velocidade média, 
mv
r
 
(em azul) tem a mesma direção e o mesmo sentido do vetor deslocamento, rr∆ conforme 
prevê a definição dada pela equação (4). 
 
 
Fig. 2.8 – Representação gráfica do vetor velocidade média. 
 
 O vetor 
mv
r independe da trajetória da partícula uma vez que a velocidade média é 
diretamente proporcional ao vetor deslocamento, que por sua vez depende somente 
exclusivamente dos vetores posição inicial e final, mas não depende da trajetória seguida 
entre esses dois pontos. 
Tomemos como exemplo a figura 2.8. A partícula executa movimento a partir de P1 
até P2, utilizando a trajetória descrita. Agora, imagine que a partícula retorne de P2 para P1. 
Independentemente da trajetória adotada para o retorno, a velocidade média da partícula em 
todo o seu trajeto de ida e volta será nula uma vez que o vetor deslocamento será 
igualmente nulo. 
 
 I) Velocidade Instantânea, vr 
 8
 É a velocidade real que o móvel possui em cada ponto de sua trajetória. É definida 
como sendo o limite quando o intervalo de tempo tende para zero do vetor velocidade 
média. 
 
 =v
r
 lim Mv
r
 (5) 
 0→∆t 
 
A velocidade instantânea também pode ser interpretada como sendo a taxa de 
variação do vetor posição em função do tempo. 
 
 
dt
rd
v
r
r
= (6) 
 
 Em termos das componentes de rv , no plano, têm-se que: 
 
 j
dt
ydi
dt
xdjvivv yx ˆˆˆˆ +=+=
r
 (7) 
 
 Observe o que acontece com o vetor velocidade média quando toma-se o limite ∆t 
→ 0 na figura 2.8. O ponto P1 fica cada vez mais próximo do ponto P2. Nesta situação, o 
vetor deslocamento, rr∆ torna-se tangente à curva, ou seja, assume a mesma direção e 
sentido do vetor velocidade instantânea, vr . Sendo assim, pode-se concluir que: O vetor 
velocidade instantânea é sempre tangente a trajetória do móvel em qualquer ponto desta, 
conforme ilustra a figura 2.9 para os pontos P1 e P2. 
 
 
Figura 2.9 – Representação gráfica do vetor velocidade instantânea. 
 
 Na cinemática, quando a palavra “velocidade” é empregada, geralmente, ela 
apresenta o significado de velocidade instantânea. 
 
 9
Exemplo resolvido 2.4 
 Um brinquedo a controle remoto está em movimento ao longo de uma trajetória 
num plano. A posição onde se encontra o operador é a origem do sistema de referência que 
é o plano cartesiano x-y. As coordenadas de posição do brinquedo, ao longo do plano, estão 
variando em função do tempo de acordo com as seguintes equações: 
 
22 )/5,0(3 tsmmx −= 
 
33 )/25,0()/2( tsmtsmy −= 
 
A) Calcule as coordenadas do brinquedo e a distância entre o operador e o brinquedo no 
instante t = 1 s. 
B) Calcule o vetor deslocamento e o vetor velocidade média no intervalo de tempo t = 0 s e 
t = 1 s. 
C) Deduza uma equação horária para o vetor velocidade instantânea do brinquedo. 
D) Calcule o valor do vetor velocidade instantânea quando t = 1 s. Expresse o resultado 
usando componentes e em termos de módulo, direção e sentido. 
 
Resolução: 
 
A) No instante t = 1 s, o valor das coordenadas é o seguinte: 
 
mssmmx 5,2)1.()/5,0(3 22 =−= 
 
mssmssmy 75,1)1).(/25,0()1.()/2( 33 =−= 
 
myemx 75,15,2 ==
 
 
 O operador está na origem, ou seja, suas coordenadas são: x = 0 e y = 0. Portanto o 
valor da distância entre o operador e o brinquedo no instante t =1 s é dado pelo cálculo do 
módulo do vetor deslocamento, rr∆ entre estas duas posições: 
 
[ ] 2122 )075,1()05,2( −+−=∆ mmrr 
 
mr 05,3=∆r
 
 
B) Expressaremos o vetor deslocamento, no item anterior apenas calculamos seu módulo, 
em termos de suas coordenadas cartesianas. A equação geral para a posição em função do 
tempo é dada pela seguinte expressão: 
 
jyixr ˆˆ +=r 
 
[ ] [ ] jtsmtsmitsmmr ˆ)/25,0()/2(ˆ)/5,0(3 3322 −+−=r 
 10
 
Para o instante t = 0, o vetor posição assume a seguinte expressão: 
 
[ ] [ ] jsmsmismmr ˆ0.)/25,0(0)./2(ˆ0)./5,0(3 33220 −+−=r 
 
[ ] imr ˆ30 =r 
 
Para o instante t = 1 s, o vetor posição assume a seguinte expressão: 
 
[ ] [ ] jssmssmissmmr ˆ)1()/25,0()1()/2(ˆ)1()/5,0(3 33221 −+−=r 
 
[ ] [ ] jmimr ˆ75,1ˆ5,21 +=r 
 
Agora, utilizando a sua definição, calcula-se o vetor deslocamento entre os instantes 
de tempo desejados: 
 
=−=∆ 01 rrr
rrr [ ] [ ] [ ] imjmim ˆ3ˆ75,1ˆ5,2 −+ 
 
[ ] [ ] jmimr ˆ75,1ˆ5,0 +−=∆ r
 
 
 A partir do observador, o brinquedo se desloca 0,5 m no sentido negativo do eixo x 
e 1,75 m no sentido positivo do eixo y. 
 Obtêm-se o valor do vetor velocidade média, entre os instantes considerados, 
aplicando a sua definição, ou seja: 
 
[ ] [ ]
01
ˆ75,1ˆ5,0
−
+−
=
∆
∆
=
s
jmim
t
r
vM
r
r
 
 
[ ] [ ] jsmismvM ˆ/75,1ˆ/5,0 +−=r 
 
C) A dedução da equação horária para o vetor velocidade instantânea é obtida a partir do 
cálculo das componentes desse vetor, ou seja: 
 
( ) j
dt
dyi
dt
dxjyix
dt
d
dt
rd
v ˆˆˆˆ +=+==
r
r
 
 
O valor da componente de vr em função de t na direção x é dada por: 
 
( ) ( )
dt
td
smm
dt
d
tsmm
dt
d
dt
dx
vx
2
222 /5,03)/5,0(3 −=−== 
 ( )tsmvx 2/1−= 
 11
 
O valor da componente de vr em função de t na direção y é dada por: 
 
[ ] 3333 /25,0)/2()/25,0()/2( t
dt
d
smt
dt
d
smtsmtsm
dt
d
dt
yd
v y −=−== 
 
( ) ( ) 23/75,0/2 tsmsmv y −= 
 
 Portanto, a equação da horária do vetor velocidade assuma o seguinte padrão: 
 
( )[ ] ( ) ( )[ ] jtsmsmitsmv ˆ/75,0/2ˆ/1 232 −+−=r
 
 
 D) Substituindo o valor do tempo na equação anterior, obtêm-se o vetor velocidade 
instantânea em termos de coordenadas cartesianas. 
 ( )[ ] ( ) ( )( )[ ] jssmsmissmv ˆ1/75,0/2ˆ1/1 2321 −+−=r 
 
( ) ( ) jsmismv ˆ/25,1ˆ/11 +−=r 
 
 Chamamos sua atenção para o fato de que o valor do vetor velocidade instantânea e 
bem diferente do valor obtido para o vetor velocidade média no item B em um dado 
intervalo de tempo. 
 O cálculo do vetor velocidade instantânea em termos de módulo, direção e sentido é 
obtidoda seguinte forma: 
 Da expressão anterior obtêm-se os valores de suas componentes: 
 
smv x /11 −= e smv y /25,11 = 
 
 Como estas componentes são ortogonais entre si, veja figura 2.10, e o vetor 
velocidade instantânea é o resultado da soma vetorial dessas componentes, temos que: 
 
( ) ( )[ ] 21222121211 )/25,1(/1 smsmvvv yx +−=+=r 
 
smv /6,11 =
r
 
 
 12
 
Figura 2.10 – Representação gráfica do vetor velocidade instantânea v1. 
 
Da figura constamos que: 
 
º1
1
11 7,39
/25,1
/1
tantan −=





−=








=
−−
sm
sm
v
v
y
xθ 
 
O ângulo θ vale -39,7º em relação ao eixo vy. Agora, lembrando que o 1v
r
 apresenta 
direção tangente a posição de 1r
r
, concluímos que o eixo vx está paralelo ao eixo do x 
positivo, sendo assim: 
 
°=°+= 7,12990º7,39α
 
 
 Portanto, o vetor velocidade 1v
r
 apresenta módulo igual a 1,6 m/s e está posicionado 
a 129,7° do sentido crescente do eixo x. 
A figura 2.11 mostra a representação gráfica em conjunto dos vetores posição, rr e 
velocidade instantânea, vr para os instantes de tempo t = 0 e t = 1 s a partir dos resultados 
obtidos no problema 2.4. Note que vr é perpendicular ao vetor posição rr e tangente a 
trajetória nos pontos considerados. O vetor 1vr está 129,7° do eixo x positivo ao passo que o 
vetor 0v
r
 está 90° do mesmo eixo. 
 13
 
 
Figura 2.11 – Representação gráfica dos vetores posição r0, r1 e r2 e vetores velocidade instantânea v1 e 
v0. 
 
 J) Aceleração Média, Ma
r
 
 Define-se o vetor aceleração média como sendo a razão entre o vetor variação de 
velocidade, vr∆ e o tempo gasto, ∆t nesta variação. 
 
 
12
12
tt
vv
t
v
aM
−
−
=
∆
∆
=
rrr
r
 (8) 
 
A unidade de mediada no SI para aceleração é o metro por segundo ao quadrado 
(m/s2). 
A aceleração média é uma grandeza vetorial que apresenta a mesma direção e 
sentido do vetor variação de velocidade, vr∆ , conforme ilustra a figura abaixo. 
 
 14
 
 
Figura 2.12 – Representação gráfica dos vetores: A) aceleração média e B) variação de velocidade. 
 
 Na figura 2.12.A, uma partícula está se movendo ao longo de uma trajetória curva 
(em vermelho). Os vetores 1v
r
 e 2v
r
 assumem a direção e sentido da velocidade instantânea 
da partícula nos pontos considerados de sua trajetória. As duas velocidades podem possuir 
módulos e direções diferentes. 
A aceleração média é uma grandeza vetorial que apresenta a mesma direção e 
sentido do vetor variação de velocidade vr∆ a ser obtido a partir da soma vetorial dos 
vetores 1v
r
 e 2v
r
, conforme ilustra a figura 2.12.B. 
 
 L) Aceleração Instantânea 
 É a aceleração real que o móvel possui em cada ponto de sua trajetória. É definida 
como sendo o limite quando o intervalo de tempo tende para zero, da aceleração média. 
 
 =a
r
 lim Ma
r
 (9) 
 0→∆t 
 
A aceleração instantânea também pode ser compreendida como sendo a taxa de 
variação da velocidade instantânea com o tempo, ou seja: 
 
 
 
dt
vd
a
r
r
= (10) 
 
 Em termos das componentes de vr no plano: 
 
 j
dt
vd
i
dt
vdjaiaa yxyx ˆˆˆˆ +=+=
r
 (11) 
 
 Como cada componente de vr é dada pela derivada temporal da respectiva 
coordenada de posição, pode-se dizer que: 
 15
 
 j
dt
yd
i
dt
xd
a ˆˆ 2
2
2
2
+=
r
 (12) 
 
 A definição mais precisa da equação (10) mostra que pode existir aceleração 
diferente de zero quando houver qualquer variação do vetor velocidade, incluindo apenas 
variação da direção sem variação do módulo ou variação simultânea de ambos. 
 Na maioria dos movimentos acelerados, o conceito vetorial de aceleração 
instantânea é empregado para representar a palavra “aceleração”, especialmente nas 
equações horárias desses movimentos. 
 O vetor aceleração instantânea é uma grandeza vetorial onde sua direção e sentido é 
destacado na figura abaixo. 
 
 
 
Figura 2.13 – Representação gráfica do vetor aceleração instantânea nos pontos P1 e P2 de uma 
trajetória qualquer. 
 
 Na figura 2.13.A, verifica-se que o vetor aceleração instantânea, ar é perpendicular 
a direção dos vetores velocidade instantânea 1v
r
e 2v
r
 nos pontos considerados. Além disso, 
seu sentido é sempre direcionado para o lado interno da trajetória curva. Portanto, quando 
um móvel estiver se movimentando ao longo de uma trajetória curva ele sempre sofrerá a 
ação de uma aceleração. 
 Na figura 2.13.B, quando 0→∆t , o ângulo α, entre os vetores 1v
r
 e 2v
r
, também 
tende a zero o que faz com que o vetor vr∆ seja aproximadamente perpendicular a direção 
dos vetores 1v
r
 e 2v
r
, conforme ilustra a figura 2.13.B. Isso deve-se ao fato de que 1v
r
 e 
2v
r
estão variando suas direções sem variarem seus módulos. Uma situação do cotidiano que 
evidencia este fenômeno é o fato de que quando estamos no interior de um ônibus e este 
começa a fazer uma curva sem alterar o valor da velocidade, você tende a ser empurrado 
para fora da trajetória desta curva uma vez que o ônibus experimenta uma aceleração ar no 
sentido oposto. 
 
 16
 
Exemplo resolvido 2.5. 
 Utilizando as equações que descrevem o comportamento da velocidade em função 
do tempo no movimento do brinquedo a controle remoto do exercício 2.4, determinaremos 
as seguintes grandezas: 
 A) Calcule as componentes do vetor aceleração média entre os instantes de tempo t 
= 0 e t = 1 s. 
 B) Determine o vetor aceleração instantânea quando t = 1 s. 
 C) Expresse o resultado anterior em termos de módulo, direção e sentido. 
 
Resolução: 
 
 A) A equação para o vetor velocidade em função do tempo é a seguinte, veja 
exemplo 2.4: 
 ( )[ ] ( ) ( )[ ] jtsmsmitsmjvivv yx ˆ/75,0/2ˆ/1ˆˆ 232 −+−=+=r 
 
Para o instante t = 0: 
 ( )[ ] ( ) ( )[ ] ( ) jsmjsmsmismv ˆ/2ˆ0./75,0/2ˆ0./1 2320 =−+−=r 
 
Para o instante t = 1 s: 
 ( )[ ] ( ) ( )( )[ ] ( ) ( ) jsmismjssmsmissmv ˆ/25,1ˆ/1ˆ1/75,0/2ˆ1./1 2321 +−=−+−=r 
 
 Agora, para expressar o módulo do vetor velocidade média em termos de suas 
componentes, utilizamos os valores obtidos na equação anterior, ou seja; 
 Na direção x, temos que: smv x /11 −= e 00 =xv . Portanto, aplicando a definição 
dada pela equação (8): 
 
sm
sm
tt
vv
t
v
a xxxM /101
0/1
01
01
−=
−
−−
=
−
−
=
∆
∆
= 
 
 Na direção y, temos que: smv y /25,11 = e smv y /20 = . Portanto, aplicando a 
definição dada pela equação (8): 
 
sm
smsm
tt
vv
t
v
a
yy
yM /75,001
/2/25,1
01
01
−=
−
−
=
−
−
=
∆
∆
= 
 
 A resposta obtida é a seguinte: 
 
smaesma yMxM /75,0/1 −=−= 
 
 17
B) O vetor aceleração instantânea pode será obtido a partir da aplicação da equação (10) e 
(11), respectivamente, ou seja: 
 
 ( )[ ] ( ) ( )[ ] jtsmsm
dt
ditsm
dt
dj
dt
vd
i
dt
vd
dt
vd
a
yx
ˆ/75,0/2ˆ/1ˆˆ 232 −+−=+==
r
r
 
 
( ) ( ) j
dt
td
smi
dt
td
sma ˆ/75,0ˆ/1
2
32
−−=
r
 
 ( ) ( ) jtsmisma ˆ/5,1ˆ/1 32 −−=r . 
 
Para o instantet = 1 s, o vetor aceleração instantânea assume a seguinte forma: 
 ( ) ( ) jsmisma ˆ/5,1ˆ/1 221 −−=r 
 
C) Da mesma forma que foi determinado para a velocidade instantânea do exercício 
resolvido 2.4 em termos de módulo, direção e sentido, temos que: 
 Da expressão anterior, obtida no item B deste exercício, deduzimos: 
 
 
2
1 /1 sma x −= e sma y /5,11 −= 
 
 Como estas componentes são ortogonais entre si, veja figura 2.14, temos que o 
módulo do vetor aceleração instantânea será dado pela soma vetorial dessas componentes: 
 
( ) ( ) 2122222121211 )/5,1(/1  −+−=+= smsmaaa yxr 
 
2
1 /80,1 sma =
r
 
 
 
 18
 
 
Figura 2.14 – Representação gráfica do vetor aceleração instantânea a1. 
 
Da figura constamos que: 
 
º1
1
11 3,56
/1
/5,1
tantan =





=







=
−−
sm
sm
a
a
x
yγ 
 
O ângulo γ vale -56,3º em relação ao eixo – ax. Agora, tomando a distância do vetor 
1a
r
 em relação ao eixo ax, temos: 
 
°=°+°+= 3,2369090º3,56β
 
 
 Portanto, o vetor aceleração 1a
r
 apresenta módulo igual a 1,80 m/s2 e está 
posicionado a 236,3° do sentido crescente do eixo x. 
A figura 2.15 mostra a representação gráfica em conjunto dos vetores posição, rr , 
velocidade instantânea, vr e aceleração instantânea, ar para os instantes de tempo t = 0 e t = 
1 s a partir dos resultados obtidos nos problemas 2.4 e 2.5. Note que o vetor ar varia sua 
posição é módulo em relação aos demais vetores e aponta para o lado de dentro (côncavo) 
da trajetória. Note que a direção de vr é diferente da direção do vetor ar nos dois pontos da 
trajetória analisados. O vetor 1ar está 263,3° do eixo x positivo ao passo que o vetor 0ar está 
180° do mesmo eixo. 
 
 
 19
 
 
 
Figura 2.15 – Representação gráfica dos vetores posição r0, r1 e r2, velocidade instantânea v1 e v0 e 
aceleração instantânea a1 e a2. 
 
 
2.1.2 - Movimento em uma Dimensão 
 Os movimentos mais simples estudados pela cinemática da partícula são os que 
ocorrem em trajetória retilínea. Entre eles, destacam-se o movimento uniforme e o 
movimento uniformemente variado. 
 
2.1.2.1 – Introdução 
 Consideraremos que uma partícula, p está executando um movimento retilíneo 
acelerado e que sua posição é registrada em um determinado instante de tempo e ilustrada 
na figura abaixo. 
 
 
 
 
 
Figura 2.16 – Representação dos vetores posição, x, velocidade, v e aceleração, a em um movimento 
retilíneo acelerado de uma partícula p. 
 
 20
 Como se trata de um movimento na direção do eixo das abscissas (x), temos que os 
vetores posição, deslocamento, velocidade e aceleração têm a mesma direção o que permite 
expressar os sentidos destes vetores em termos dos seus sinais algébricos em relação ao 
referencial adotado. 
 O valor algébrico do vetor posição é dado pela letra x. Os valores de x, a partir da 
origem (marco 0), são positivos quando a partícula encontra-se a direita do eixo e negativos 
quando a partícula encontra-se a esquerda do referido eixo. Na figura 2.14, x = 3,5 m. 
 O valor algébrico de vr , a partir da origem, é positivo quando a partícula estiver no 
sentido positivo do eixo e negativo se estiver a esquerda deste. 
 O valor algébrico de ar será positivo quando o vetor aceleração apontar no sentido 
positivo do eixo e será considerado negativo quando apontar no sentido oposto do eixo. 
Note que a partícula da figura anterior apresenta valores de x e v positivos e o valor da 
aceleração a é negativo. 
 Os movimentos retilíneos podem ser classificados da seguinte maneira. 
 A) progressivo: o valor algébrico da velocidade é positivo o que fisicamente 
significa que o móvel está andando no sentido positivo de sua trajetória. 
 B) regressivo (retrógrado): o valor algébrico da velocidade é negativo o que 
fisicamente significa que o móvel está andando no sentido negativo de sua trajetória. 
 C) acelerados: neste movimento ar e vr têm o mesmo sentido, o que determina 
sinais algébricos idênticos para o módulo estes vetores, ou seja, o movimento é acelerado 
quando a velocidade aumenta em módulo. 
 D) retardados: neste movimento ar e vr têm sentidos opostos, o que determina sinais 
algébricos distintos para o módulo destes vetores, ou seja, o movimento é retardado quando 
a velocidade diminui em módulo. 
 
 
2.1.2.2 – Movimento Retilíneo Uniforme (MRU) 
 Uma partícula encontra-se em MRU quando a trajetória de seu movimento é 
retilínea e o seu vetor velocidade, vr é constante e diferente de zero. Sendo assim, o MRU é 
o movimento que não apresenta aceleração. 
Em um movimento uniforme a velocidade escalar média e a velocidade média 
calculadas em um instante de tempo qualquer sempre serão iguais ao valor da velocidade 
instantânea da partícula. Além disso, em um movimento uniforme a partícula sempre 
percorrerá distâncias iguais em tempos iguais. 
 
A) Equação horária do MRU. 
 Define-se equação horária como sendo uma função que relaciona individualmente 
os valores de posição, velocidade e aceleração com os correspondentes valores de tempo 
gasto na execução do movimento. 
 A figura abaixo destaca dois instantes distintos do MRU progressivo que uma 
partícula p está executando. 
 
 21
 
 
Figura 2.17 – Representação esquemática do MRU progressivo executado por uma partícula p. 
 
 Da figura, define-se: 
 t0 – instante inicial 
 t – instante final 
 x0 – posição inicial 
 x – posição final 
 v – velocidade 
 
 Agora, aplicando o conceito de velocidade média ao deslocamento ∆x sofrido pela 
partícula p num instante de tempo ∆t, temos: 
 
 
0
0
tt
xx
t
x
vM
−
−
=
∆
∆
= (13) 
 
 Considerando que no MRU, vM = v temos que: 
 
 ( )00 ttvxx −+= (14) 
 
Lembrando que t0 = 0 temos que a equação (14) assume a seguinte forma: 
 
 
vtxx += 0 (15) 
 
A equação (15) nos fornece o valor da posição em função do tempo de uma 
partícula que executa um MRU. 
 
B) Diagramas gráficos do MRU 
 Discutiremos agora a forma dos diagramas horários da posição e velocidade para 
uma partícula em MRU. Para tanto, trabalharemos apenas com t ≥ 0. Iniciaremos nossa 
atividade analisando o comportamento do gráfico da posição em função do tempo. 
 
 
 
 22
 
 
Figura 2.18 – Uma das possíveis representações gráficas do comportamento de x-t para uma partícula 
executando MRU, a) para v > 0 e b) para v< 0. 
 
 De acordo com a figura 2.18, podemos concluir, analisando ambos os gráficos, que 
a partícula começa seu movimento a direita do ponto de origem, portanto, sua posição 
inicial é positiva. O gráfico A mostra que o comportamento de x-t é representado por uma 
reta ascendente o que nos leva a concluir que o módulo da velocidade é constante e 
positivo. Por outro lado, o gráfico B mostra que o comportamento de x-t é representado por 
uma reta descendente o que nos leva a concluir que o módulo da velocidade é constante é 
negativo. 
 O comportamento linear de x-t para o MRU, progressivo ou regressivo, está em 
acordo com a equação (15) uma vez que ela é uma função linear de x em função de t. 
 O comportamento da velocidade em função do tempo (v-t) de um MRU pode ser 
expresso pelas seguintes respostas gráficas. 
 
 
 
Figura 2.19 - Uma das possíveis representações gráficas do comportamento de v-t para uma partícula 
executando MRU, a) para v > 0 e b) para v< 0. 
 
 Lembremos que no MRUo vetor velocidade é constante e não nulo. Logo, terá seu 
comportamento representado por uma reta paralela ao eixo t. Conforme mostra a figura, 
esta reta está acima do eixo t quando v > 0, gráfico A e está abaixo do eixo t quando v < 0, 
gráfico B. 
 23
Exemplo resolvido 2.6 
Uma partícula está em movimento uniforme e a sua equação horária da posição é 
dada por: 
 
tx 72 −= 
 
em unidades do SI. 
 Determinar: 
a) O valor da posição inicial. 
b) O valor da velocidade. 
c) O tipo de MRU 
 
Resolução: 
 
a) Façamos t = 0 na equação horária da posição e encontraremos o valor da posição inicial, 
então: 
 
mx 40.72 =−= 
 
mx 20 = 
 
b) Utilizando o conceito de velocidade instantânea, teremos: 
 
70)72( −=−== t
dt
d
dt
dx
v 
 
smv /7−=
 
 
c) Analisando o sinal da velocidade, negativo, concluímos que o movimento é regressivo. 
 
Exemplo resolvido 2.7 
Os móveis A e B, no instante t = 0 estão a 15 m um do outro. Suas trajetórias são 
coincidentes e suas velocidades têm valor absoluto indicado na figura. 
 
 
 
Figura 2.20 – Móvel A e B movimentando-se em MRU. 
 Determinar: 
a) A equação horária da posição para os móveis A e B. 
b) O instante e o local do encontro. 
 24
Resolução: 
 a) A equação horária do movimento depende do ponto a ser adotado como origem 
do movimento. Arbitraremos a posição ocupada pelo móvel A como ponto de origem para 
o movimento. Desta forma, teremos: 
 
Para o móvel A: x0 = 0 m e vA = 4 m/s. 
 
Para o móvel B: x0 = 15 m e vB = - 6 m/s. 
 
 Agora, empregando a equação (15) para as condições anteriores, teremos: 
 
Equação horária para o móvel A: )(4 mtxA = 
 
Equação horária para o móvel A: )(615 mtxB −= 
 
 b) Os móveis encontrar-se-ão quando suas equações horárias de posição 
coincidirem. Portanto: 
 
 
BA xx = 
 
tt 6154 −= 
 
1510 =t 
 
st 5,1=
 
 
Exemplo resolvido 2.8 
 Um móvel em MRU tem a respectiva função horária dada pelo gráfico abaixo. 
 
 
 
Figura 2.21 – Gráfico de x-t para o móvel do exemplo resolvido 2.8. 
 
 Escrever a equação horária do movimento. 
 25
 
Resolução: 
 Analisando o gráfico, quando t0 = 0, x0 = 10 m e quando t = 5 s, x = 20 m. 
 Utilizando a definição de velocidade média, obtemos: 
 
sm
t
x
vM /25
10
)05(
)1020(
==
−
−
=
∆
∆
= 
 
 Lembrando que no MRU, vM = v = 2 m/s. 
 
 Agora, empregando a equação (15) para as condições apresentadas pelo gráfico, 
temos que: 
 
)(210 mtx +=
 
 
 
 
2.1.2.3 – Movimento Retilíneo Uniformemente Variado (MRUV) 
 Uma partícula encontra-se em MRUV quando a trajetória de seu movimento é 
retilínea e o seu vetor velocidade, vr varia uniformemente em função do tempo. Sendo 
assim, o MRUV é o movimento que apresenta vetor aceleração, ar constante e diferente de 
zero. 
Em um movimento uniformemente variado, o vetor aceleração média em qualquer 
intervalo de tempo é igual ao vetor aceleração instantânea em qualquer instante de tempo 
dentro do intervalo de tempo considerado. Esta particularidade resulta numa mesma taxa de 
variação para a velocidade da partícula que executa esse tipo de movimento. 
Uma das muitas aplicações deste movimento ocorre quando analisamos a queda de 
corpos na superfície terrestre, quando o atrito com o ar pode ser desconsiderado. Ele 
também encontra aplicações em situações artificiais ou tecnológicas, como no caso de um 
caça a jato sendo catapultado de um porta-aviões. 
 
A) Equações horárias do MRUV. 
 A figura abaixo destaca dois instantes distintos do MRUV acelerado que uma 
partícula p está executando ao longo do eixo x. 
 
 
 
Figura 2.22 – Representação esquemática do MRUV acelerado executado por uma partícula p. 
 
 
Da figura, define-se: 
 26
 t0 – instante inicial 
 t – instante final 
 x0 – posição inicial 
 x – posição final 
 v0 – velocidade inicial 
 v - velocidade final. 
 a – aceleração. 
 
 Aplicando o conceito de aceleração média, aM, equação (8), a variação de 
velocidade, ∆v sofrida pela partícula p durante um instante de tempo ∆t, obtêm-se: 
 
0
0
tt
vv
t
v
aM
−
−
=
∆
∆
= 
 
( ) 00 vvttaM −=− 
 
 Porém, no MRUV temos que aM = a e se consideráramos t0 = 0, temos: 
 
 
tavv += 0 (16) 
 
A equação (16) nos fornece o valor da velocidade em função do tempo para uma 
partícula que executa um MRUV e é denominada de equação horária da velocidade. 
A velocidade média, equação (4), aplicada ao movimento da partícula da figura 2.20 
onde t0 = 0, assume a seguinte forma: 
 
 
t
xx
t
x
vM
0−
=
∆
∆
= (17) 
 
 Outra definição possível para a velocidade média, válida somente para a partícula 
que está executando um MRUV, é a seguinte: a velocidade média durante qualquer 
intervalo de tempo de um MRUV é simplesmente a média aritmética desde o início até o 
instante final deste movimento. Para o intervalo de tempo de 0 a t: 
 
 
2
0 vvvM
+
= (18) 
 
 Substituir a equação (16) na equação (18) resulta em: 
 
 
22 0
00 tav
tavv
vM +=
++
= (19) 
 
 Agora, igualando as equações (17) e (19), obtêm-se: 
 
 27
20
0 tav
t
xx
+=
−
 
 
 
2
00 2
1
tatvxx ++=
 (20) 
 
A equação (20) nos fornece o valor da posição em função do tempo para uma 
partícula que executa um MRUV e é denominada de equação horária da posição. 
Em muitas questões envolvendo o estudo do MRUV, se faz necessário obter uma 
equação que relacione posição, velocidade e aceleração. Para obtê-la, inicialmente, isola-se 
t na equação (16) e logo após, a substitui na equação (20), resultando em: 
 
2
00
00 2
1





 −
+




 −
+=
a
vv
a
a
vv
vxx 
 
a
vvvv
a
vvv
a
vvvv
a
a
vvv
xx
2
2.2
2
1. 200
22
00
2
2
00
22
00
0
+−
+
−
=







 +−
+








−
=− 
 
 
( ) 20220022000 2222 vvvvvvvvvxxa −=+−+−=− 
 
 
( )0202 2 xxavv −+= (21) 
 
 Uma outra equação relevante no MRUV é aquela em que a posição e obtida em 
termos da velocidade e tempo, ou seja, quando o valor da aceleração não é conhecido. Para 
tanto, se igualam as equações (17) e (18), multiplicando-se por t ambos os lados da 
expressão. Ao proceder desta maneira, encontra-se: 
 
t
vv
xx
2
0
0
+
=− 
 
 
t
vv
xx 




 +
+=
2
0
0 (22) 
 
 Observação: Aplicando a definição de velocidade instantânea, dada pela equação 
(6), na equação (20), obtemos a equação (16), ou seja: 
 
2
00
2
00 2
1
2
1
t
dt
d
at
dt
d
vx
dt
d
tatvx
dt
d
dt
xd
v ++=





++== 
 
tavv += 0 
 28
 Onde x0 e v0 independem do tempo. 
 
 
B) Diagramas gráficos do MRU 
 Discutiremos agora a forma dos diagramas horários da posição, velocidade e 
aceleração para uma partícula em MRUV. Para tanto, trabalharemos apenas comt ≥ 0. 
 Iniciaremos nossa atividade analisando o comportamento do gráfico da posição em 
função do tempo, dado pela equação (20). Conforme ilustra a figura 2.23, a representação 
gráfica de x-t será uma parábola, cuja concavidade para cima (gráfico A) ou para baixo 
(gráfico B) depende do sinal do coeficiente da equação (20) que é uma equação de segundo 
grau. Em outras palavras, depende se a > 0 (positiva) ou a < 0 (negativa). 
 
 
 
Figura 2.23 - Uma das possíveis representações gráficas do comportamento de x-t para uma partícula 
executando MRU, a) para a > 0 e b) para a< 0. 
 
 O comportamento da velocidade em função do tempo (v-t) de um MRUV pode ser 
expresso pelas seguintes respostas gráficas. 
 
 
 
 29
Figura 2.24 – Uma das possíveis representações gráficas do comportamento de v-t para uma partícula 
executando MRUV, a) para a > 0 e b) para a< 0. 
 
 De acordo com a figura 2.24, o gráfico A mostra que o comportamento de v-t é 
representado por uma reta ascendente o que nos leva a concluir que o módulo da aceleração 
é constante e positivo. Por outro lado, o gráfico B mostra que o comportamento de v-t é 
representado por uma reta descendente o que nos leva a concluir que o módulo da 
aceleração é constante é negativo. 
 O comportamento linear de v-t para o MRUV, acelerado ou retardado, está em 
acordo com a equação (16) uma vez que ela é uma função linear de v em função de t. 
 O ponto marcado como t1 nos gráficos de x-t e v-t representa nestes gráficos o ponto 
da trajetória onde a velocidade do móvel inverte o seu sinal. 
 Finalizando, temos os gráficos de a-t para uma partícula executando MRUV. 
 
 
 
Figura 2.25 – Uma das possíveis representações gráficas do comportamento de a-t para uma partícula 
executando MRUV, a) para a > 0 e b) para a< 0. 
 
 
 Lembremos que no MRUV o vetor aceleração é constante e não nulo. Logo, terá seu 
comportamento representado por uma reta paralela ao eixo t. Conforme mostra a figura, 
esta reta está acima do eixo t quando a > 0, gráfico A e está abaixo do eixo t quando a < 0, 
gráfico B. 
 
Exemplo resolvido 2.9 
 A velocidade de um automóvel reduz-se de 45 m/s para 25 m/s enquanto percorre 
uma distância de 700 m. 
 a) Calcule a aceleração do automóvel, admitindo que o mesmo esteja executando 
um MRUV. 
 b) Determine o tempo total transcorrido para o móvel reduzir sua velocidade de 25 
m/s e atingir a velocidade de repouso. 
 
Resolução: 
 
 30
A) Como desconhecemos o tempo gasto na redução de velocidade, utilizaremos a equação 
(21) que relaciona velocidade final e inicial, variação de posição e aceleração durante a 
execução do movimento. O problema nos fornece os seguintes dados: 
 
v = 25 m/s, v0 = 45 m/s e x-x0 = 700m. 
 
 Agora, isolando a aceleração na equação (21) e aplicando os valores destacados, 
obtemos: 
( )
( ) ( )
mx
smsm
xx
vv
a
7002
/45/25
2
22
0
2
0
2
−
=
−
−
= 
 
2/1 sma −=
 
 
B) Atingindo o repouso, a velocidade final do veículo é nula. Como ele está executando um 
MRUV e sua aceleração foi determinada no item anterior, devemos utilizar uma expressão 
que relacione velocidade inicial, velocidade final, aceleração e tempo. Esta é a equação 
(16). Então, isolando o tempo nesta equação, temos: 
 
( )
2
0
/1
/250
sm
sm
a
vv
t
−
−
=
−
= 
 
st 25=
 
 
Exemplo resolvido 2.10 
 Um ciclista A inicia uma corrida em linha reta a partir do repouso, acelerando 1 
m/s2 constantemente. Nesse instante passa por ele um outro ciclista B, com velocidade 
constante de 10 m/s no mesmo sentido que o ciclista A. 
 A) Após a largada, qual o tempo gasto pelo ciclista A para alcançar o ciclista B? 
 B)Qual o valor da velocidade do ciclista A ao alcançar o ciclista B? 
 
Resolução: 
 
A) O ciclista A apresenta aceleração constante ao longo do movimento, portanto, ele está 
executando um MRUV ao passo que o ciclista B está executando um MRU, pois ele 
mantém sua velocidade constante ao longo do movimento. 
 Agora, tomemos a posição comum inicial como origem da posição, o instante 
correspondente como origem dos tempos e orientemos a trajetória no sentido do movimento 
dos dois ciclistas. 
 Passamos agora a montagem das equações horárias para a posição de ambos os 
ciclistas. 
 
Ciclista A 
 Utilizando a equação (20), onde temos x0 = 0, v0 = 0 e a = 1 m/s2, temos: 
 
 31
( ) ( ) 2222200 /5.0/12121 tsmtsmtatvxxA ==++= 
 
Ciclista B 
Utilizando a equação (15), onde temos x0 = 0, v = 10 m/s, temos: 
 
( ) tsmvtxxB /100 =+= 
 
 No instante de encontro, te, ambos os ciclistas terão percorrido distância iguais, ou 
seja: 
 
AB xx = 
 
( ) ( ) 22/5.0/10 ee tsmtsm = 
 ( ) ( ) 0/10/5.0 22 =− ee tsmtsm 
 ( ) ( ) 0/10/5.0 22 =− ee tsmtsm 
 ( ) ( ) 020/5.0 2 =− sttsm ee 
 
 A equação anterior fornece duas soluções que são interpretadas fisicamente da 
seguinte maneira: 
 
0=et → Instante inicial marca o primeiro encontro de ambos, ou seja, quando o ciclista 
B passa pelo ciclista A com velocidade constante. 
 
ste 20= → A resposta da questão A, ou seja, é o instante de tempo que o ciclista A 
alcança o ciclista B. 
 
B) Utilizando a equação (16), e lembrando que a velocidade inicial do ciclista A é nula, 
parte do repouso, e do fato de que foram percorridos 20 s para A, alcançar B, temos que: 
 
ssmtavvA 20./1
2
0 =+= 
 
smvA /20= 
 
Exemplo resolvido 2.11 
 A função horária da velocidade de uma partícula está representada no gráfico v-t da 
figura 2.23. Determine: 
A) A aceleração do movimento. 
B) A equação horária da velocidade. 
 32
C) A equação horária da posição, admitindo que a posição inicial da partícula seja 10 m. 
 
 
 
 
Figura 2.26 – Gráfico de v-t para o móvel do exemplo resolvido 2.11. 
 
Resolução: 
 Primeiramente, devemos identificar que tipo de movimento a partícula está 
executando. Analisando o comportamento do gráfico de v-t, observamos que a velocidade 
está variando uniformemente em função do tempo (resposta linear), portanto, a partícula 
está executando um MRUV partindo do repouso. 
 
A) A Aceleração para este tipo de movimento é dada a partir da sua definição, ou seja: 
 
t
v
a
∆
∆
= 
 
Agora, tomando dois pontos quaisquer que integram a reta do gráfico v-t acima, obtemos: 
 
08
0/80
−
−
=
∆
∆
=
s
sm
t
v
a 
 
2/10 sma =
 
 
B) A função horária da velocidade é dada a partir do emprego da equação (16), onde v0 = 0 
(veja gráfico quando t = 0), e a constante. Então: 
 
tavv += 0 
 ( )tsmv 2/10=
 
 
C) A função horária da posição é dada pelo emprego da equação (20), lembrando que x0 = 
10 m, v0 = 0 e a = 10 m/s2. Então: 
 33
 
2
00 2
1
tatvxx ++= 
 ( ) 22/510 tsmmx +=
 
 
 
2.1.2.4 – Corpos em Queda Livre 
 
A) Introdução: 
 Resultados experimentais comprovam que vários corpos quando lançados no vácuo 
(ausência de matéria) nas proximidades da superfície terrestre (altitudes bem inferiores ao 
valor do raio do globo terrestre) sofrem a mesma aceleração durante o movimento. Esta 
aceleração é denominada de aceleração da gravidade e o seu valor independe das 
características dos corpos, como, por exemplo: constituição, dimensão e massa. 
 O primeiro registro deste fenômeno é atribuído ao cientista Galileu Galilei, em 
virtude do resultado experimental por ele obtido no lendário experimento da queda de 
corpos, veja figura 2.27. Reza a lenda que Galileu Galilei registrou o tempo de queda de 
dois corpos de massa diferentes quando soltos simultaneamente do alto da famosa torre 
inclinada da cidade de Pisa. Segundo seu relato, os corpos atingiram o solo 
aproximadamente ao mesmo tempo, o que é possível somente se ambosos corpos 
experimentaram a mesma aceleração durante a queda. 
 
 
 
Figura 2.27 – Ilustração da lendária experiência de queda dos corpos realizada por Galileu Galilei na 
torre de Pisa. 
 
 A aceleração da gravidade e é representada pela letra g. Ela é uma grandeza vetorial, 
que próximo a superfície terrestre assume, em módulo, o valor de aproximadamente 9,8 
m/s2, direção vertical (radial) e sentido apontando para o centro da Terra. O valor adotado 
para g é medido a 45° de latitude e ao nível do mar. 
 O valor da aceleração da gravidade terrestre é dependente da altitude e da 
localização em que um corpo está em relação a superfície terrestre. Por exemplo: no 
 34
equador g = 9,78 m/s2, nos pólos geográficos este valor sobe para g = 9,83 m/s2. Na 
superfície da Lua, g = 1,6 m/s2. Próximo à superfície do Sol, g = 270 m/s2. 
 Define-se queda livre como o movimento que um corpo executa, nas proximidades 
da superfície terrestre, sob influência apenas da aceleração da gravidade (ação do atrito do 
ar é desprezível), independentemente de seu movimento inicial. Nesta situação, corpos 
lançados para cima ou para baixo e aqueles abandonados em repouso executam movimento 
de queda livre. 
 Como o movimento de queda livre é um movimento caracterizado por apresentar 
um vetor aceleração constante ele pode ser caracterizado como um caso particular de um 
MRUV acelerado ou retardado. 
 
B) Equações Horárias: 
 As equações desenvolvidas para o MRUV podem ser aplicadas para o movimento 
de queda livre. Para tanto, devemos considerar que o movimento de queda livre ocorre na 
direção vertical, assim usa-se y em vez de x, e que o vetor g têm sentido contrário ao eixo y 
positivo. Assim, considera-se ay = -g, em que o sinal negativo significa que a aceleração do 
corpo ocorre para baixo. Desta forma, executando essas alterações nas equações (16), (20), 
(21) e (22), obtemos as equações para o movimento de queda livre. 
 
 
tgvv −= 0 (23) 
 
 
2
00 2
1
tgtvyy −+=
 (24) 
 
 
( )0202 2 yygvv −−= (25) 
 
 
t
vv
yy 




 +
+=
2
0
0 (26) 
 
 Observação: O valor de g sempre será dado pelo seu módulo ao invés de - 9,8m/s2. 
O sinal (-) significa que o sentido da aceleração é contrário ao que adotamos como sentido 
positivo e ele já esta sendo levado em conta nas equações de queda livre. 
 Algumas considerações devem ser registradas a respeito do lançamento vertical de 
um corpo na superfície terrestre, são elas: 
 - Durante a subida de um corpo, o vetor velocidade apresenta diminuição uniforme 
de seu módulo e sentido oposto a gr , caracterizando um movimento uniformemente 
retardado. Durante a descida, vr apresenta aumento uniforme de seu módulo e mesmo 
sentido que gr , caracterizando um movimento uniformemente acelerado. 
 - No ponto mais alto da trajetória, 0=vr . 
 - O tempo gasto na subida é igual ao tempo gasto na queda. 
 - Os módulos das velocidades, tanto na subida como na descida, em pontos de 
mesma altitude, são iguais. 
 
 
 35
Exemplo resolvido 2.12 
 Um corpo em queda vertical no vácuo, conforme ilustra a figura 2.28, a partir do 
repouso, possui uma velocidade V após percorrer uma distância h. Para a velocidade ser 3 
V, qual distância deverá ser percorrida pelo corpo? 
 
 
 
Figura 2.28 – Diagrama esquemático do problema resolvido 2.12. 
 
Resolução: 
 
 Note que o tempo é uma variável que não foi mencionada no contexto da questão. 
Portanto, devemos utilizar a equação (25) para os dois eventos propostos. Ela relaciona os 
dados fornecidos pelo problema com o que esta sendo questionado. 
 
Para o primeiro evento, temos: v0 = 0 e ∆y = h, então: 
 
hgV 22 −= 
 
Para o segundo evento, temos: v0 = 0 e ∆y = y, então: 
 
( ) ygV 23 2 −= 
 
Agora, dividindo a equação do segundo evento pela obtida para o primeiro, temos: 
 
h
y
=9 
 
A resposta será: 
 
hy 9=
 
 
 
 36
Exemplo resolvido 2.13 
 Um turista arremessa uma moeda de baixo para cima do topo da torre de Pisa. A 
moeda abandona a sua mão com uma velocidade de 10 m/s em um ponto que coincide com 
a extremidade superior da torre movendo-se, a partir deste instante, em queda livre. Quando 
a moeda retorna, ela passa novamente pelo ponto de lançamento e continua seu movimento. 
Na torre, g = 9,8 m/s2. Determine: 
A) A posição da moeda 2 s depois de deixar o ponto de lançamento. 
B) A velocidade da moeda quando estiver a 3 m do ponto de lançamento. 
C) A altura máxima atingida pela moeda. 
D) A aceleração no ponto mais alto de sua trajetória. 
 
Resolução: 
 Antes de começarmos a resolução propriamente dita, devemos notar que a origem 
do movimento ocorre no ponto de lançamento da moeda. As sucessivas posições ocupadas 
pela moeda ao longo de sua trajetória vertical são positivas para pontos localizados acima 
da origem (sentido positivo do eixo y) e negativas para pontos localizados abaixo da origem 
(sentido negativo do eixo y). 
 A posição inicial da moeda, y0 será nula, moeda parte da origem, e sua velocidade 
inicial, v0 será 10 m/s. 
 
A) A posição em qualquer instante de tempo da trajetória da moeda será dada pela equação 
(24). Aplicando a equação para t = 2 s, obtemos: 
 
( )22200 2./8,9.2
12./10
2
1
ssmssmtgtvyy −=−+= 
 
my 4,0=
 
 
 A interpretação física da resposta anterior é a seguinte: a moeda, quando t = 2 s, esta 
a 0,4 m da origem e ainda não passou pelo ponto de altura máxima de sua trajetória. 
 
B) A velocidade em qualquer posição y da trajetória da moeda é dada pela aplicação da 
equação (25): 
 
( ) ( ) ( ) 22220202 /2,413./8,9.2/102 smmsmsmyygvv =−=−−= 
 
smv /4,6±=
 
 
 A interpretação física deste resultado é a seguinte: os dois valores encontrados para 
v correspondem a velocidade da moeda quando ela passa pela posição 3 m durante a sua 
subida e durante a sua queda. A velocidade durante a ascensão é igual a + 6,4 m/s ao passo 
que durante a descida é – 6,4 m/s. 
 
 37
C) A medida que a moeda ascende na sua trajetória, sua velocidade vai diminuindo até se 
tornar nula, ou seja, até a moeda parar e começar a cair. Durante a queda a velocidade da 
moeda inverte seu sentido e passa a aumentar uniformemente em função do tempo. 
 A altura máxima atingida pela moeda, durante a execução de sua trajetória, ocorre 
no momento em que a sua velocidade se anula. Portanto, o valor da altura máxima pode ser 
calculado de duas maneiras. 
 
Primeira maneira: 
O primeiro modo consiste em empregar a equação (25) e substituir os seguintes valores: v = 
0, y0 = 0, então: 
 
( ) ( )ysmsm 22 /8,92/100 −= 
 
2
22
/6,19
/100
sm
smy
−
−
= 
 
my 1,5=
 
 
Segunda maneira: 
O segundo modo consiste em determinar o tempo para o qual v = 0 aplicando a equação 
(23) e a seguir substituir este valor de t na equação (24) para obter a posição neste instante. 
Então: 
 ( ) Mtsmsm 2/8,9/100 −= 
 
s
sm
sm
tM 02,1/8,9
/10
2 =
−
−
= 
 
Agora, substituindo o valor de tM na equação (24) obtemos: 
 
( ) 22 02,1./8,9
2
102,1./10 ssmssmy −= 
 
my 1,5=
 
 
D) A aceleração vale g, ou seja, 9.8 m/s2, caso contrário, não haveria variação do vetor 
velocidade da moeda durante o seu movimento de queda livre. 
 
 
2.1.3 - Movimento no Plano 
 
 Muitos movimentos do nosso cotidiano ocorrem em duas ou trêsdimensões. Entre 
esses, podemos incluir desde os menos usuais como: o movimento de satélites, em órbita ao 
 38
redor da Terra, lançamento de um míssil e o movimento de partículas em torno de campos 
elétricos e magnéticos, até os mais usuais como: o movimento de uma bola de futebol 
chutada por um jogador, o movimento do carro de uma montanha-russa ao longo de uma 
curva ou o vôo de um pássaro circulando um campo aberto. 
 A descrição desses movimentos é obtida de maneira eficiente quando aplicada a 
cinemática vetorial. Portanto, neste ponto, colocaremos em prática as definições vetoriais 
de: deslocamento, velocidade e aceleração, tratados no item 2.1.1, em conjunto com os 
conceitos cinemáticos adquiridos no estudo dos movimentos unidimensionais, item 2.1.2. 
Nosso principal objetivo é descrever o movimento e não analisar as suas causas. Porém, a 
linguagem que utilizaremos aqui será uma ferramenta essencial para capítulos posteriores 
quando aplicaremos as leis de Newton para estudar a relação entre força e movimento. 
 Entre os movimentos bidimensionais a serem estudados estão o movimento de 
projéteis e o movimento circular de uma partícula. 
 
2.1.3.1 – Lançamento Oblíquo no Vácuo (Movimento de um Projétil) 
 
A)Introdução: 
 Um projétil pode ser considerado como qualquer corpo lançado com velocidade 
inicial e que segue uma trajetória determinada exclusivamente pela ação da aceleração da 
gravidade em conjunto com a aceleração produzida pela resistência do ar. 
 Com o objetivo de simplificarmos a análise desse tipo de movimento, começaremos 
com um modelo idealizado. Nesse modelo, o projétil é representado como uma partícula 
que sofreu um lançamento obliquo, partindo da superfície terrestre, percorrendo uma 
determinada trajetória com aceleração igual a aceleração da gravidade e apresentando um 
curto alcance, quando comparado, por exemplo, ao alcance de um míssil. Nessas 
circunstâncias, poderemos desprezar os efeitos da resistência do ar e a curvatura de rotação 
da Terra. 
 A figura abaixo ilustra a trajetória descrita por um projétil sujeito às condições 
impostas no parágrafo anterior. O projétil parte da origem do sistema, ponto A, com uma 
velocidade inicial 0v
r
. O vetor velocidade, vr vai se modificando ao longo do tempo, tanto 
em módulo como direção, veja todos os pontos assinalados da figura. Esta mudança do 
vetor v
r
 é resultado da presença da aceleração gr ao longo do sentido negativo do eixo y. 
Por outro lado, a componente x do vetor vr permanece constante durante a execução do 
movimento, pois não há aceleração atuando nesta direção. Nota-se ainda que a componente 
y da velocidade é nula no ponto mais alto da trajetória. Dessa forma, analisando fisicamente 
o movimento, podemos concluir que: o movimento de um projétil é uma combinação de 
dois movimentos distintos: movimento com velocidade constante ao longo do eixo x e 
movimento vertical com aceleração constante ao longo do eixo y. 
 39
v
E
D
C
B θ
θ = − θ
0
θ
g
g
g
vY
vY
vY v
v
v
v0Y
Y 
X 
v0X
g
θ
0A
v0
h
R
gv0X
v0X =
v0X
v0X
 
 
Figura 2.29 – Trajetória de um corpo lançado com velocidade inicial 0v
r
formando um ângulo θθθθ0 acima 
da horizontal. A distância R é o alcance horizontal e h é a altura máxima. 
 
B) Equações Horárias: 
 Agora, passamos a descrever as equações horárias para o movimento de um projétil. 
De acordo como o sistema de referência x-y adotado na figura 2.29, temos que ga y
rr
−= 
(como o movimento de queda livre unidimensional) e 0=xa
r (a resistência do ar é 
desprezada). Além disso, quando t = 0, o projétil parte da origem (x0 = 0 e y0 = 0) com 
velocidade inicial 0v
r
, ponto A na figura 2.29. O vetor 0v
r
 faz um ângulo θ0 com a 
horizontal, sendo assim, podemos escrever o vetor 0v
r
 em termos de suas componentes ao 
longo do eixo x e y, para isso, utilizamos as relações trigonométricas para um triângulo 
retângulo, ou seja: 
 
-Para a componente de 0v
r
 ao longo do eixo x: 
 
0
0
0cos
v
v x
=θ 
 
 000 cosθvv x = (27) 
 
-Para a componente de 0v
r
 ao longo do eixo y: 
 
0
0
0
v
v
sen
y
=θ 
 
 40
 000 θsenvv y = (28) 
 
 Substituindo a expressão (28) na equação (23), obtemos as equações horárias para a 
velocidade, ou seja: 
 
- Na direção x: 
 
xx vv 0= 
 
 00 cosθvvx = (29) 
 
- Na direção y: 
 
tgvv yy −= 0 
 
 
tgsenvvy −= 00 θ (30) 
 
 O vetor vr , em coordenadas cartesianas, em qualquer ponto e instante da trajetória 
do projétil é dado pela equação (7): 
 
j
dt
ydi
dt
xdjvivv yx ˆˆˆˆ +=+=
r
 
 
 Substituindo a expressão (27) na equação (15) e a expressão (28) na equação (24), 
lembrando que: x0 = 0 e y0 = 0, se obtém as equações horárias para a posição, ou seja: 
 
- Na direção x: 
 
tvxx x00 += 
 
 
( ) tvx 00 cosθ= (31) 
 
- Na direção y: 
 
2
00 2
1
tgtvyy y −+= 
 
 
( ) 200 2
1
tgtsenvy −= θ
 (32) 
 
A posição vetorial do projétil, em qualquer ponto de sua trajetória é dado pelo cálculo do 
vetor r
r
 que é definido pela equação (1). 
 
 41
jyixr ˆˆ +=r 
 
 A figura 2.29 sugere que a trajetória descrita pelo projétil, ao longo de seu 
movimento, seja do tipo parabólico. Sendo assim, podemos modelar matematicamente esta 
trajetória, por meio de uma parábola, se isolarmos t na equação (31) e substituirmos seu 
valor na equação (32). Efetuando as operações necessárias, obtemos: 
 
 
( ) 2
0
22
0
0
cos2
x
v
g
xtgy








−=
θ
θ
 (33) 
 
 A equação (33) é válida para 0 < θ0 < pi/2. Observe que a equação (33) assume a 
forma genérica: y = bx- cx2, que é a forma matemática de uma expressão parabólica que 
passa através da origem do sistema. Desta forma, está provado matematicamente que a 
trajetória de um projétil é do tipo parabólico, sendo completamente especificada se 
conhecermos os valores de v0 e θ0. 
 
C) Alcance Horizontal e Altura Máxima: 
 Existem dois pontos especiais ao longo da trajetória do projétil da figura 2.29 que 
devem ser destacados. O ponto mais elevado da trajetória, denominado por h, ponto C da 
figura, de coordenadas planares (R/2; h), e o ponto E, denominado por R, de coordenadas 
(R; 0) que marca a posição em que o projétil atinge o eixo x. A distância R é denominada de 
alcance horizontal do projétil, e h é sua altura máxima. Em virtude da simetria da trajetória, 
o projétil está em sua altura máxima h quando sua posição horizontal x é metade de seu 
alcance R. 
 Podemos determinar uma expressão para h, isolando o tempo t na equação (30) e 
lembrando que no ponto mais elevado da trajetória vy = 0: 
 
 
g
senv
t 00
θ
= (34) 
 
 Agora, substituindo a equação (34) na equação (32) e trocando y por h, obtemos: 
 
( ) ( ) ( )
g
senv
g
senv
g
senv
g
g
senv
senvh
2
002
00
2
0000
00 2
1
2
1 θθθθθ −=





−





= 
 
 
g
senvh
2
0
22
0 θ
=
 (35) 
 
 De acordo com a equação anterior, a altura h depende diretamente da velocidade e 
do ângulo iniciais de lançamento. 
 O alcance R é a distância horizontal percorrida no dobro do tempo, dado pela 
equação (34), necessário para alcançar o topo, isto é, em um tempo 2t. Utilizando a equação 
(31) e fazendo x = R e t = 2t, temos: 
 42
 
( ) ( )
g
senv
g
senv
vtvR 00
2
000
0000
cos22
cos2cos θθθθθ === 
 
 Empregando a seguinte identidade matemática: sem (2θ) = 2 sem θ cos θ, R pode 
ser expresso da seguinte forma: 
 
 
( )
g
senv
R 0
2
0 2θ
=
 (36) 
 
 De acordo com a equação anterior, o alcance horizontal R depende diretamente da 
velocidade e do ângulo iniciais de lançamento. 
 
Exemplo resolvido 2.14 
 Uma bola de golfe é lançada da borda de um aclive com uma velocidade horizontal 
de 12 m/s, conforme ilustra a figura 2.30. Determine: 
A) A posição da bola depois de transcorrido 1 s do lançamento. 
B) O valor do deslocamento sofrido pela bola quando t = 1 s. 
C) O vetor velocidade, em coordenadas cartesianas, depois de transcorrido 1 s. 
 
 
 
Figura 2.30 – Trajetória percorrida pela bola de golfe do exercício resolvido 2.14. 
 
Resolução: 
De acordo com o sistema de coordenadas, dado pela figura 2.14, a origem do movimento 
está no ponto x0 = 0 e y0 =0. A velocidade inicial vale: v0 = v0x= 12 m/s e v0y = 0. 
A) Utilizando as equações (31) e (32) e lembrando que v0x = vo cos θ0 e v0y = v0 sen θ0, 
temos que quando t = 1 s as coordenadas x e y são: 
 43
( ) mssmtvtvx x 121./12.cos 000 ==== θ 
 
( ) ( ) mssmtgtvtgtsenvy y 9,41./8,9.2
10
2
1
2
1 222
0
2
00 −=−=−=−= θ 
 
x = 12 m e y = - 4,9 m. 
 
B) O módulo do vetor rr , veja a figura, é dado pela seguinte expressão: 
 
( ) ( ) ( )[ ] 21222122 9,412 mmyxr +=+=r 
 
 
mr 96,12=r
 
 
C) Lembrando que v0 = v0x= 12 m/s e v0y = 0. As expressões que fornecem a velocidade em 
função do tempo são dadas pelas equações (29) e (30), portanto, para t = 1 s temos: 
 
smvvv xx /12cos 000 === θ 
 
smssmtgvtgsenvv yy /8,91./8,90
2
000 −=−=−=−= θ 
 
Portanto, para t = 1 s, o vetor vr é dado por: 
 
( ) ( ) jsmismjvivv yx ˆ/8,9ˆ/12ˆˆ −+=+=r 
 
Exemplo resolvido 2.15 
 Uma partícula é lançada a partir do solo obliquamente, atingindo altura máxima de 
10 m e alcance horizontal de 40 m. Determinar: 
A) O ângulo de lançamento. 
B) A velocidade inicial da partícula 
 
Resolução: 
 
A) O problema nos fornece o valor de h e R. Comparando as equações (35) e (36) notamos 
que ambas dependem das mesmas variáveis, ou seja, da velocidade e do ângulo iniciais de 
lançamento. Procederemos da seguinte maneira: 
 A altura máxima será dada por: 
 
g
senvh
2
0
22
0 θ
= 
 
0
22
02 θsenvgh = 
 
 44
222
0
22
0 /196/6,19.10 smsmmsenv ==θ (i) 
 
 O alcance horizontal é dado por: 
 
( )
g
senv
R 0
2
0 2θ
= 
 
( )020 2θsenvgR = 
 
( ) 222020 /392/8,9.402 smsmmsenv ==θ (ii) 
 
 Agora, dividindo membro a membro a expressão (ii) por (i): 
 
( )
22
22
0
22
0
0
2
0
/196
/3922
sm
sm
senv
senv
=
θ
θ
 
 
 Aplicando a seguinte identidade matemática: sen(2θ0) = 2.sen θ0.cos θ0 na 
expressão anterior, obtemos que: 
 
( ) ( )
( ) ( ) 2
cos2
00
00
=
θθ
θθ
sensen
sen
 
 
( ) 1tan 0 =θ 
 
O que nos fornece o seguinte valor para o ângulo de lançamento: 
 
°= 450θ 
 
B) Aplicando o valor de °= 450θ na expressão (i) ou (ii), obtemos o valor da velocidade 
inicial. 
 
22
0
22
0 /196 smsenv =θ 
 
22
2
2
0 /1962
2
smv =







 
 
smv /8,190 = 
 
 
 
 45
2.1.3.2 – Movimento Circular Uniforme (MCU) 
 Conforme foi discutido no item L dos conceitos fundamentais, quando uma 
partícula se move ao longo de uma trajetória curva e a direção do vetor velocidade varia 
sem variar em módulo, então, esta partícula estará experimentando uma aceleração 
perpendicular a sua trajetória com sentido para o lado interno da curvatura, veja a figura 
2.11. 
 Se esta partícula estiver se movimentando ao longo de uma trajetória circular 
exibindo as características cinemáticas discutidas no parágrafo anterior, dizemos que ela 
está em movimento circular uniforme (MCU). Um satélite movendo-se em uma órbita 
circular, o movimento das pás de um ventilador e um patinador descrevendo uma 
circunferência em uma pista com velocidade constante são alguns exemplos desse 
movimento. 
 Anteriormente, definimos aceleração como sendo a taxa de variação da velocidade 
em função do tempo (equação 10). Está é a definição universal de aceleração. Nesta seção, 
iremos deduzir especificamente uma expressão para a aceleração no movimento circular 
uniforme. 
 A figura 2.31-A mostra uma partícula se movimentando em MCU ao longo de uma 
circunferência de raio R com centro O. A partícula gasta um intervalo de tempo ∆t para se 
mover de P1 a P2. A variação do vetor velocidade v
r∆ durante esse intervalo de tempo é 
indicada pela figura 2.31-B. 
 
 
 
Figura 2.31 – Diagrama vetorial de uma partícula em MCU. A) Composição vetorial nos pontos P1 e P2. 
B) Representação gráfica do vetor ∆∆∆∆v entre pontos P1 e P2 da trajetória circular da letra A. 
 
 O deslocamento angular sofrido pela partícula, designado por ∆θ, nas figuras 
2.31)A e 2.31)B são iguais porque 1v
r
 é perpendicular a linha OP1 e 2v
r
 é perpendicular à 
linha OP2. Portanto, os triângulos OP1P2 (figura 2.31-A) e Op1p2 (figura 2.31-B) são 
semelhantes. 
 As razões entre lados correspondentes são iguais, portanto podemos dizer que: 
 
 r
R
v
v
rr ∆=∆ 1 (37) 
 
 46
 
 O valor da aM (aceleração média) durante o intervalo de tempo ∆t é dado pela 
aplicação da equação (8) a questão, ou seja: 
 
t
r
R
v
t
v
aM ∆
∆
=
∆
∆
=
1
 
 
 O módulo da aceleração instantânea no ponto P1 é obtido com uso das equações (9) 
e (10) aplicado ao limite desta expressão quando o ponto P2 tende a se superpor ao ponto 
P1, ou seja: 
 
t
r
R
v
t
r
R
v
a
tt ∆
∆
=





∆
∆
=
→∆→∆ 0
11
0
limlim 
 
 Porém, o limite (∆r/∆t) é a velocidade v1 no ponto P1. Mas P1 pode ser qualquer 
ponto da trajetória, de modo que podemos remover o índice inferior e escrever a expressão 
para designar o valor da aceleração que a partícula irá sofrer em qualquer ponto de sua 
trajetória, ou seja: 
 
 
R
v
ac
2
=
 (38) 
 
 O índice “c” na aceleração da equação (38) significa a inicial da palavra centrípeda, 
derivada do grego que significa: “que se dirige para o centro”. 
 A figura 2.32 nos apresenta a relação entre os vetores vr e ca
r
 para uma partícula 
executando um MCU no sentido horário (mesmo sentido do movimento dos ponteiros de 
um relógio). Sendo assim, podemos concluir que: No MCU, o módulo do vetor ca
r
 é dado 
pela equação (38) e sua direção e sentido são dados conforme está representado na figura 
2.32, ouseja, sua direção será sempre perpendicular ao vetor vr apontando para o centro do 
círculo de reio R. 
 
 
 
 47
Figura 2.32 – O vetor v é tangente à circunferência em cada ponto da trajetória e o vetor aceleração é 
dirigido radialmente para o centro da circunferência. 
 
 Em muitas das situações é conveniente descrever o MCU de uma partícula em 
termos do período de revolução T, o qual é definido como sendo o tempo necessário para 
que a partícula complete uma volta inteira, ou seja, complete uma revolução. A velocidade 
da partícula pode ser definida como sendo igual à circunferência da trajetória circular 
dividida pelo período, ou seja: 
 
 
T
r
v
pi2
=
 (39) 
 
 Quando substituímos esse resultado na equação (38), obtemos a aceleração 
centrípeda em termos do período de revolução, ou seja: 
 
 2
24
T
R
ac
pi
=
 (40) 
 
 Nesta seção, apresentou-se o MCU como um exemplo de um caso no qual as leis 
vetoriais são essenciais para compreender o movimento bidimensional. A medida que 
avançarmos no conteúdo do curso, técnicas vetoriais mais gerais serão empregadas na 
descrição de situações em que a aceleração possui tanto coordenadas radiais (centrípetas), 
devidas a variação da direção do vetor velocidade, quanto tangenciais, devidas a variação 
modular do vetor velocidade, em relação a trajetória circular descrita por uma partícula. 
 
Exemplo resolvido 2.15 
 Uma roda-gigante, com raio de 15 m, esta em torno de um eixo horizontal que passa 
pelo seu centro. A velocidade de a velocidade de uma passageira em um ponto de sua 
periferia vale 6 m/s. Determine a ar da passageira: 
A) No ponto superior da trajetória 
B) No ponto inferior da trajetória 
C) O tempo transcorrido para que a roda-gigante execute uma revolução. 
 
Resolução: 
 
 De acordo com a figura 2.33, o movimento da roda-gigante, com raio de 15 m, se dá 
em relação ao eixo horizontal que passa pelo seu centro (ponto O). Desta forma, o ponto O 
será a origem do eixo y para a aceleração. A trajetória descrita pela roda-gigante é circular e 
sua velocidade de “giro”, em torno deste eixo, é constante e igual a 6 m/s. Estas 
características classificam o movimento como sendo circular uniforme (MCU). 
 48
 
 
Figura 2.33 – Figura do exercício resolvido 2.15. 
 
A) De acordo com o que foi acima discutido, neste movimento ca
r
 sempre terá direção 
radial apontando para o centro da circunferência em qualquer ponto da trajetória, 
independente da direção e sentido assumida por vr . Portanto, no ponto superior da 
trajetória, car tem sentido direcionado ao longo do eixo ay crescente. Sendo assim, seu valor 
algébrico será positivo. O valor da aceleração será dado pela equação (38), ou seja: 
 
( )
m
sm
R
v
ac 15
/6 22
== 
 
2/4,2 smac = 
 
B) No ponto inferior, o valor de ac permanece o mesmo apenas seu valor algébrico e que é 
modificado em virtude do vetor ca
r
ter sentido direcionado ao longo do eixo ay decrescente, 
então: 
 
2/4,2 smac −= 
 
C) O tempo transcorrido será dado pelo uso da equação (39): 
 
( )
sm
m
v
rT
/6
1522 pipi
== 
 
sT 7,15=
 
 49
2.2 – Dinâmica da Partícula 
 
 Nas seções anteriores descrevemos movimentos de partículas baseados nas 
definições de posição, velocidade e aceleração, ou seja, adotamos a cinemática como 
linguagem de caracterização sem maiores preocupações. 
 A partir de agora passamos a nos preocupar em responder questões relativas ao 
movimento de uma partícula para as quais a cinemática não nos fornece resposta, 
questionamentos do tipo: qual mecanismo gera mudanças no movimento? Por que alguns 
corpos aceleram a taxas mais elevadas que outros? 
 As respostas a esses e outros questionamentos nos conduzem ao estudo da dinâmica. 
A dinâmica estuda, essencialmente, as relações existentes entre o movimento e a força que 
o produziu. Portanto, para analisarmos os princípios da dinâmica usaremos as grandezas 
deslocamento, velocidade e aceleração juntamente com dois novos conceitos, força e 
massa. Esses princípios podem ser reunidos em um conjunto de três leis da dinâmica 
conhecidas como leis de Newton. 
 As leis de Newton formam o alicerce da nossa compreensão cotidiana sobre o 
movimento e suas causas. Entretanto, essas leis apresentam limitações e falham quando 
tentam explicar a dinâmica de partículas atômicas (efeitos quânticos) e de objetos se 
movimentando a velocidades próximas a velocidade da luz (efeitos relativísticos). 
 
2.2.1 – O Conceito de Força. 
 As compreensões básicas do conceito de força provem do resultado de experiências 
diárias por nos realizadas. Quando se empurra ou puxa um corpo, se aplica uma força sobre 
o próprio. O conceito de força nos fornece uma descrição quantitativa da interação entre 
dois corpos ou entre o corpo e seu ambiente. Uma força é exercida quando se joga ou se 
chuta uma bola, quando uma mola é esticada ou quando se bloqueia uma bola durante uma 
partida de vôlei. Nesses exemplos, a palavra força está associada ao resultado da atividade 
muscular e a alguma mudança no estado de movimento de um corpo. Contudo, a aplicação 
de forças nem sempre é a garantia de que um corpo vai entrar em movimento. Por exemplo, 
um grande bloco de pedra em repouso pode ser empurrado por várias pessoas e mesmo 
assim, não modificar o seu estado de origem. 
 Ao longo dessa seção, estaremos lidando com a relação entre a força aplicada sobre 
um corpo e a mudança produzida por essa sobre o estado de movimento ou repouso desse 
corpo. Nos exemplos anteriores, a aplicação de uma força está diretamente associada à 
atividade muscular. As forças provenientes desse tipo de atividade integram uma classe de 
forças denominadas de forças de contato. 
 Outra classe de forças são as denominadas de forças de longo alcance (forças de 
campo) onde não existe contato físico entre os corpos que estão interagindo. A força 
gravitacional existente entre dois corpos é um exemplo desse tipo de forças. A ação da 
força gravitacional é responsável pelo movimento de queda livre de corpos na superfície 
terrestre, e pela manutenção das órbitas planetárias de nosso sistema solar. Outro exemplo 
comum de força de longo alcance é a força elétrica que uma carga elétrica exerce sobre 
outra carga elétrica, por exemplo: a atração existente entre um próton e um elétron e vice-
versa. Um terceiro exemplo de força de longo alcance é a força magnética que um imã 
exerce sobre um pedaço de ferro ou sobre outro imã. 
 50
 A distinção entre forças de contato e de longo alcance é recomendada para uma 
melhor compreensão dos fenômenos macroscópicos, porém, verifica-se a nível atômico, 
que todas as forças classificadas como sendo de contato são devidas a forças de campo do 
tipo elétricas. 
 Retornaremos a falar sobre força na seção referente a segunda lei de Newton, lá 
definiremos quantitativamente força em termos dos conceitos de massa e aceleração. 
 
2.2.2 – Primeira lei de Newton (Princípio da Inércia). 
 Denominamos por “Lei” ou “Princípio” a toda proposição que se admite como 
verdadeira, sem, contudo ser evidente por si mesma (como nos axiomas), nem admitir uma 
demonstração matemática direta (como os teoremas). 
 A lei física deve ser sugerida pela observação da natureza e deve ter verificação 
indireta, através de suas conseqüências, que devem estar de acordo com a experiência. 
 Anteriormente a Galileu Galilei (1564-1642), prevalecia o pensamento de 
Aristóteles de Estagira (384–322 A.C.) que associava a idéia de força a movimento. Assim, 
de acordo com