Topografia Conceitos Básicos

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UNIVERSIDADE FUMEC 
FACULDADE DE ENGENHARIA E ARQUITETURA 
 
 
 
 
 
T O P O G R A F I A 
CONCEITOS BÁSICOS 
 
 
 
Delson José Carvalho Diniz 
 
 
 
Professores: 
Alejandro Pérez-Duarte Fernandez 
Alexandre Villaça Diniz 
Cláudia Villaça Diniz 
Josiane Andrade Rodrigues Diniz 
Maria Ângela Villaça Diniz 
 
 
 
 
Belo Horizonte 
2013 
Sumário 
 
1. DEFINIÇÃO ....................................................................................................... 3 
1.1. Planta Topográfica ............................................................................................ 3 
1.2. Locação da obra ............................................................................................... 4 
2. APLICAÇÕES DA TOPOGRAFIA ..................................................................... 4 
3. PLANO TOPOGRÁFICO ................................................................................... 8 
4. LIMITAÇÃO DA TOPOGRAFIA ........................................................................ 9 
5. VERTICAIS VERDADEIRAS E APARENTES ................................................. 10 
6. GEODÉSIA ...................................................................................................... 11 
7. LOCALIZAÇÃO DE PONTOS NA SUPERFÍCIE DA TERRA .......................... 11 
7.1. Meridiano Geográfico...................................................................................... 12 
7.2. Paralelo ........................................................................................................... 12 
7.3. Meridiano de Origem ...................................................................................... 13 
7.4. Latitude ........................................................................................................... 13 
7.5. Longitude ........................................................................................................ 13 
8. ORIENTAÇÃO DAS PLANTAS TOPOGRÁFICAS .......................................... 13 
8.1. As Plantas Topográficas ................................................................................. 13 
8.2. Bússolas ......................................................................................................... 14 
8.3. Norte Verdadeiro ou Norte Geográfico ........................................................... 14 
8.4. Norte Magnético ............................................................................................. 15 
9. RUMO E AZIMUTE ......................................................................................... 19 
10. ATUALIZAÇÃO DE RUMOS ........................................................................... 20 
11. MAPAS ISOGÔNICOS E ISOPÓRICOS ......................................................... 21 
12. EXEMPLOS PRÁTICOS ................................................................................. 23 
13. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ................................................................ 28 
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TOPOGRAFIA 
CAPÍTULO 1 - Conceitos Básicos 
1. DEFINIÇÃO 
A Topografia é a ciência que estuda a representação detalhada de um trecho 
limitado da superfície da terra, sem levar em consideração a curvatura resultante de 
sua esfericidade. 
Assim sendo, podemos sempre representar em um plano horizontal a imagem do 
terreno em estudo, com sua forma, limites, bem como todas as particularidades de 
importância, tanto naturais como artificiais. 
Essas particularidades, tais como: rios, cercas, vegetações, estradas, canais, 
cidades, relevos, construções isoladas, etc., serão mais ou menos detalhadas 
conforme a finalidade do trabalho. 
A Topografia, que é baseada na geometria e na trigonometria, tem por objetivo o 
estudo e representação da forma e dimensões da terra. No seu estudo tomaremos 
conhecimento de métodos e instrumentos que nos levarão a duas finalidades 
principais. 
1.1. Planta Topográfica 
A planta topográfica, que é o desenho, em uma determinada escala do trecho da 
superfície da terra em estudo, com todos os seus detalhes. Essa planta 
topográfica nada mais é que a imagem do terreno projetado em um plano 
horizontal, também chamado de plano topográfico. 
OBS: Somente para recordar, sabemos que escala de um desenho é a relação entre 
uma medida qualquer de papel para a medida correspondente no campo. 
Por exemplo: na escala 1:2000 as medidas no campo são 2000 vezes maiores que 
as medidas correspondentes no desenho. 
4 
 
1.2. Locação da obra 
A locação da obra, que é a marcação do terreno da obra de engenharia que foi 
projetada tomando como base a planta topográfica obtida. Nesta fase locaremos 
eixos de paredes, pilares, pontos de eixos de uma estrada, etc. Isto é, 
marcaremos no terreno (ou locaremos) todos os pontos necessários à 
execução de uma obra. 
 
2. APLICAÇÕES DA TOPOGRAFIA 
Engenharia Civil 
Estradas 
 Reconhecimento 
 Exploração 
 Locação 
 Controle de execução 
 Medição 
 
Aeroportos 
 Obtenção da planta topográfica 
 Locação da obra 
 Nivelamento da obra 
 Controle permanente da pista 
 
Hidráulica 
 Obtenção da planta topográfica 
 Estudo do potencial hidráulico 
 Estudo das bacias de acumulação 
 Canais de irrigação - locação e nivelamento 
 Controle de cheias 
 Locação e controle na construção de barragens 
5 
 
Portos 
 Obtenção da planta topográfica 
 Locação da obra portuária 
 Controle das marés 
 Estudo de canais 
 
Construção Civil 
 Obtenção da planta topográfica 
 Locação de obras 
 Acompanhamento durante a construção 
 Verificação após o término da obra (controle de recalques, etc.) 
 
Engenharia Elétrica 
 Obtenção da planta topográfica de faixas de domínio 
 Locação de linhas de transmissão, subestações, etc. 
 Locação e nivelamento de equipamentos 
 
Engenharia Mecânica 
 Obtenção da planta topográfica 
 Locação e nivelamento de equipamentos 
 Controle periódico 
 
Engenharia Sanitária e Urbanismo 
 Obtenção da planta topográfica 
 Locação e nivelamento de redes de água e esgoto 
 Drenagens 
 Retificação de cursos d'agua 
 Levantamento de áreas para urbanização 
 Cadastro de cidades 
 
 
 
6 
 
Engenharia de Minas 
 Obtenção da planta topográfica - Através da topografia subterrânea 
 Locação de galerias e poços 
 
Arquitetura 
 Obtenção da planta topográfica 
 Uso de planta planialtimétrica para projetos 
 Cálculo de áreas e volumes 
Geologia 
 Obtenção da planta topográfica 
 Demarcação de jazidas 
 Prospecção de galerias 
 
Quando estudamos um determinado assunto, é fundamental que saibamos da 
importância e da sua utilização no nosso trabalho. Podemos dizer que a 
topografia é aplicada em todos os segmentos ligados a engenharia. Todas as 
vezes que vamos projetar uma obra de engenharia, arquitetura ou agronomia se 
faz necessário o prévio levantamento topográfico do local onde a mesma será 
construída, daí a importância da topografia. Fazer o levantamento topográfico 
consiste em realizar todas as operações necessárias para obtermos a planta 
topográfica, isto é, a medição de ângulos e distâncias (tanto horizontais como 
verticais) e a execução de cálculos e desenhos para a representação fiel, no papel, 
dos elementos contidos no terreno. 
 
Todas as vezes que vamos projetar uma obra de engenharia deveremos utilizar a 
planta topográfica do local onde será executada a mesma. Temos a 
necessidade de conhecermos a topografia para podermos tirar, da referida 
planta, todos os dados técnicos necessários a um bom projeto. 
 
Sempreque executarmos uma obra de engenharia se faz necessário o 
conhecimento dos métodos topográficos para locar, isto é, marcar no terreno todos 
os pontos do projeto já elaborado, necessários à execução da obra, como eixos de 
paredes, pilares, estradas, etc. 
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No quadro 1 mostramos os pontos de utilização da topografia na execução de 
qualquer obra de engenharia. 
 
Quadro 1 – Fluxograma descritivo da topografia. 
 
Fonte: Autoria própria. 
8 
 
3. PLANO TOPOGRÁFICO 
Como vimos anteriormente, todo terreno, pela TOPOGRAFIA, é considerado 
projetado ortogonalmente em um plano horizontal imaginário (evidentemente, todas 
as verticais serão paralelas entre si e normais ao plano). Escolhemos para esse fim 
um plano tangente ao esferóide terrestre, estando o ponto de tangência no interior 
da área a ser desenhada, na qual chamaremos de PLANO TOPOGRÁFICO. Fica 
assim estabelecida a hipótese de PLANO TOPOGRÁFICO. 
 
Na figura 1 abaixo podemos observar como é feita a representação de um terreno 
por meio da TOPOGRAFIA. 
 
Figura 1 – Representação topográfica do terreno. 
Fonte: www.Teachengeneering.org 
Na parte inferior temos a chamada representação topográfica do terreno. 
9 
 
Consideremos agora, na figura 2, os seguintes elementos: 
 
Figura 2 – Representação do esferóide terrestre. 
Fonte: Autoria própria. 
APB  trecho do esferóide terrestre 
H plano horizontal tangente do esferóide terrestre no ponto P, ou PLANO 
TOPOGRÁFICO. 
PC = R  raio médio da terra (média entre o raio equatorial e o raio polar). 
Para cálculos topográficos consideramos o valor R = 6.366.193 m (alguns 
autores usam o valor arredondado de 6.370 km). 
 
4. LIMITAÇÃO DA TOPOGRAFIA 
Com a localização de dois pontos sobre o esferóide terrestre, ponto P e Q, e se 
levarmos em consideração a forma esférica da terra, a distância real entre eles 
seria o arco PQ. Quando substituímos a superfície esférica da terra pelo plano 
topográfico H, o ponto Q é projetado em Q' sobre H. A distância entre os dois 
pontos passa a ser PQ' = T, medida no plano horizontal H. 
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Sempre que medirmos a distância horizontal entre dois pontos, cometeremos um 
erro por substituirmos o arco pela tangente T. Esse erro pode ser calculado, e para T 
= 50 km o seu valor é aproximadamente 1 m, valor considerado pequeno em 
função dos erros humanos e de aparelhagem. 
 
Podemos então, limitar o campo de ação da topografia a um círculo de 50 km de raio, 
dentro do qual o erro acima citado é considerado desprezível. Se considerarmos o 
caso de uma estrada, uma linha de transmissão de energia elétrica, um oleoduto, 
etc., onde estudamos faixas muito estreitas da superfície da terra, as operações 
topográficas não têm limites. O levantamento poderia ser dividido em vários 
trechos AB, BC, CD, que poderiam ser estudados rebatidos a partir de B num 
plano BC. 
 
 
Figura 3 – Limite de atuação da topografia. 
Fonte: Autoria própria. 
O desenho final, que em vez de ser uma planta obtida convencionalmente seria um 
rebatimento de plantas sucessivas. 
 
5. VERTICAIS VERDADEIRAS E APARENTES 
Com a hipótese de plano topográfico (PT) outro problema surge. A linha que passa 
pelo centro da terra C e pelo ponto Q e fura o plano topográfico em Q' (projeção Q 
nesse plano) é a vertical verdadeira (VV) de Q. 
 
Entretanto de Q' (projeção de Q) podemos traçar a normal ao plano topográfico 
obtendo a chamada vertical aparente (VA) do ponto Q. Podemos verificar na figura 
2 que, para o ponto Q (projetado em Q' no PT) temos a VV e VA. Pela figura, 
sendo PC = 6.370 km a distância PQ' seria em torno de 4.000 km. 
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Considerando S no meio de PQ'(PS = 2.000 Km) e traçando a VA e VV verificamos 
que elas se aproximam. 
 
À medida que S se desloca na direção P (ponto de tangência), mais a VV se 
aproxima de VA. Se chegarmos ao limite da topografia (círculo de raio mais ou 
menos de 50 km), na prática, vemos que a vertical verdadeira pode ser 
considerada coincidente com a vertical aparente. 
 
Concluindo, os dois problemas que surgem pela substituição da superfície esférica 
da terra por um plano topográfico, ou seja, na medição de uma distância horizontal 
e verticais verdadeiras ou aparentes são desprezíveis. 
A influência no caso de diferença de nível entre dois pontos será estudada 
oportunamente no assunto do relevo terrestre. 
 
6. GEODÉSIA 
Quando temos uma área de grande extensão, por exemplo, um estado ou um país 
que não caberia evidentemente, dentro de um círculo de 50 km de raio, não 
podemos usar a Topografia. Em tais casos utilizamos a Geodésia. 
 
Poderemos então definir a Geodésia como sendo “A ciência que estuda a 
representação detalhada de um trecho limitado da superfície da terra, levando em 
consideração a curvatura resultante da sua esfericidade”. 
O desenho do terreno obtido por meio da Geodésia tem a denominação de carta 
geográfica ou geodésica. 
 
7. LOCALIZAÇÃO DE PONTOS NA SUPERFÍCIE DA TERRA 
Para melhor entender o estudo do posicionamento geográfico de ponto na 
superfície da terra, vamos observando na figura 4, definir alguns elementos de 
importância. 
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Figura 4 – Localização de pontos na superfície terrestre. 
Fonte: Autoria Própria. 
7.1. Meridiano Geográfico 
De um ponto A da superfície da terra é o plano vertical que passa por este ponto e 
pelos pólos Norte e Sul verdadeiros ou geográficos. 
7.2. Paralelo 
De um ponto A da superfície da terra é o plano que passa pelo ponto e é paralelo ao 
plano do Equador. 
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7.3. Meridiano de Origem 
O meridiano de origem ou, de Greenwich é o meridiano que passa pelo observatório 
de Greenwich, na Inglaterra e é considerado internacionalmente, como origem da 
medição de longitudes. 
7.4. Latitude 
De um ponto qualquer (A) sobre a superfície da Terra é o ângulo que a vertical 
verdadeira de A forma com o plano do equador. As latitudes são consideradas a 
partir do Equador, positivas de 0° a 90° Norte e negativas de 0º a 90º Sul. 
7.5. Longitude 
De um ponto qualquer (A) sobre a superfície da terra é o ângulo diedro formado pelo 
meridiano de origem com o meridiano que passa pelo ponto A. São marcadas a 
partir do meridiano de origem de 0° a 180° Este (positivo) ou de 0° a 180º 
Oeste (negativo). 
 
OBS: as latitudes e longitudes são chamadas de coordenadas geográficas e define 
a posição exata de um ponto qualquer sobre o esferóide terrestre. 
 
8. ORIENTAÇÃO DAS PLANTAS TOPOGRÁFICAS 
8.1. As Plantas Topográficas 
As plantas topográficas (como também as cartas geodésicas e mapas 
cartográficos) são orientadas em relação à direção do norte verdadeiro (direção 
imutável) ou norte magnético (direção variável). Sempre procuramos 
colocar a vertical do papel de desenho na direção do NV. Como única exceção, 
podemos citar a planta de situação dos projetos arquitetônicos, nos quais colocamos 
a via pública na horizontal ou vertical do papel, inclinando a posição da direção 
norte. 
Também nas plantas cadastrais onde constam as coordenadas U.T.M. a vertical do 
papel coincide com o chamado norte da quadrícula. 
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8.2. Bússolas 
As bússolas são aparelhos constituídos por uma agulha imantada apoiada em um 
pino de sustentação e que gira livremente no centro de um limbo graduado. O ponto 
norte da agulha apontará para um ponto, denominado norte magnético próximo ao 
norte verdadeiro. 
8.3. Norte Verdadeiro ou Norte Geográfico 
É invariável, imutável, é o ponto em que o eixo de rotação da terra em torno de si 
mesma fura o globo terrestre no Hemisfério Norte (ponto geográfico de latitude 900Norte). 
Se considerarmos um ponto qualquer A sobre a superfície da terra e se imaginarmos 
a interseção do meridiano verdadeiro de A com o plano topográfico 
(materializado pelo plano do papel) teremos a direção do norte verdadeiro NV. 
 
Figura 5 – Identificação dos meridianos 
Fonte: Autoria Própria. 
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8.4. Norte Magnético 
Se colocarmos uma bússola no ponto A, podemos imaginar um plano vertical 
passando pelo eixo longitudinal da bússola, que chamamos de meridiano 
magnético do ponto A. A sua interseção com o plano do papel nos dará a direção 
do norte magnético. Esta direção é variável, pois o NM gira em torno do NV. 
 
O ângulo formado pela direção do NV com a direção do NM é chamado de 
declinação magnética (d), e é um ângulo variável. 
 
Figura 6 – Declinação magnética. 
Fonte: Autoria própria. 
 
Podemos considerar as seguintes variações da declinação magnética: 
 
Variações de 1a Ordem 
 
 Geográficas 
 Seculares 
OBS: tem grande importância nos trabalhos da topografia. 
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Para melhor entendermos tais variações, imaginemos um observador colocado no 
infinito e sobre o eixo de rotação da Terra. Ele veria o globo terrestre conforme a 
figura 7, isto é, veria o NV e o Equador. Se imaginarmos o NM girando em torno do 
NV, podemos fazer as seguintes observações. 
Variação Geográfica (ver figura 7) 
Se fixarmos o tempo, a declinação magnética varia conforme a posição geográfica 
do ponto considerado sobre a superfície da Terra. 
 Para o ponto A, a declinação magnética seria dA e o NM, para quem 
está em A, seria à esquerda do NV. 
 Para o ponto B, a declinação magnética seria dB e também o NM 
estaria à esquerda do NV. 
 Para o ponto C, a declinação seria dC e seria nula. 
 Para o ponto D, a declinação seria dD e o NM estaria à direita do NV. 
 
 
Figura 7 – Variação Geográfica. 
Fonte: Autoria própria 
 
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Observamos que os quatro valores são diferentes, bem como a posição relativa do 
NV e NM. Como NM pode estar à esquerda ou à direita do NV, devemos adotar uma 
convenção. 
 
 
Figura 8 – Declinação magnética ocidental e declinação magnética oriental. 
Fonte: Autoria própria 
 
Variação Secular (ver figura 9) 
Em um ponto fixo sobre a superfície da Terra, a declinação varia com o tempo. 
Consideremos a figura, na qual, seguindo o mesmo raciocínio da figura anterior, 
vamos agora considerar um ponto fixo P sobre a superfície da terra e deixar o tempo 
correr, isto é, o NM girar em torno do NV. 
 
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Figura 9 – Variação Secular. 
Fonte: Autoria própria 
 
Inicialmente o NM estaria na posição 1 e a declinação seria d1 ocidental. Com o 
passar do tempo, o NM iria ocupar a posição 2 e a declinação seria d2 ocidental, 
até chegar à posição 4 de declinação nula. A partir deste ponto, a declinação iria 
crescer até o ponto 5 de declinação d5 que seria o valor máximo oriental. 
Continuando, iria decrescer no sentido oriental até o ponto 6 de d = 0 novamente, e 
assim por diante. 
 
OBS: Estas duas variações, a geográfica e a secular são importantes para o 
trabalho de topografia com aplicação na engenharia. 
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Variações Secundárias 
 
 Mensal 
 Diária 
 Local 
 
OBS: tem pouca importância para a Topografia. 
9. RUMO E AZIMUTE 
Se considerarmos dois pontos sobre a superfície da Terra P e Q, chamamos de 
alinhamento PQ à interseção do plano vertical que passa por P e Q com o 
plano topográfico e é representado em planta pela reta PQ. 
Chamamos de Rumo do alinhamento PQ ao ângulo formado pelo mesmo com a 
direção norte e contado de 00 a 900 em cada quadrante NE, SE, SO, NO e seria 
rumo magnético se considerarmos o norte magnético e rumo verdadeiro se 
considerarmos o norte verdadeiro. 
Chamamos de Azimute do alinhamento PQ ao ângulo formado pelo mesmo com a 
direção norte e contado de 00 a 3600 no sentido horário. Seria azimute 
magnético se considerarmos o norte magnético e azimute verdadeiro se 
considerarmos o norte verdadeiro. 
Existem bússolas que têm graduações para fornecer rumos e outras azimutes. A 
transformação é bastante simples. 
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Figura 10 – Rumos e Azimutes. 
Fonte: Curso de topografia - Lélis Espartel-1980 
 
10. ATUALIZAÇÃO DE RUMOS 
Quando fazemos um levantamento topográfico, nosso trabalho de campo tem as 
direções definidas a partir do norte magnético, marcado pela bússola. 
As direções de diferentes alinhamentos estão posicionadas por algum dos sistemas: 
rumos ou azimutes, sendo neste caso chamados de MAGNÉTICOS ao estar 
definidos a partir do norte magnético. 
Sabendo que o norte magnético sofre variações ao longo do tempo, é fundamental 
levar em conta as variações na declinação. Se precisarmos posicionar esses 
alinhamentos novamente em alguma data posterior a que foi medida, precisamos 
então atualizá-los. Esta correção coincide com a variação da declinação do período. 
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Por outro lado, se mudamos de lugar, também precisaremos levar em conta a 
variação geográfica da declinação. 
Mas, se trabalharmos com rumos e azimutes verdadeiros, quer dizer, medidos a 
partir do norte verdadeiro não haverá necessidade de correção. 
 
11. MAPAS ISOGÔNICOS E ISOPÓRICOS 
Para a obtenção da declinação e também para sua variação anual, podemos usar 
os mapas ou cartas magnéticas. Na figura 11 temos o mapa isogônico. 
Poderíamos definir linha ou curva isogônica como sendo o lugar dos pontos 
que tinham a mesma declinação na data da elaboração do mapa. A isogônica, 
portanto nos fornece declinação magnética no local que desejamos para o ano 
da carta (no nosso exemplo, janeiro de 1965). 
 
Na figura 12 temos o mapa isopórico. Poderíamos definir linha ou curva isopórica 
como sendo o lugar dos pontos que tinham a mesma variação anual de 
declinação. 
 
Com as curvas isogônicas podemos obter a declinação em qualquer local na data 
do mapa e com as curvas isopóricas podemos obter a variação anual de 
declinação magnética e fazer a correção para qualquer data. 
 
Quando um ponto está entre curvas isogônicas ou isopóricas devemos fazer a 
interpolação gráfica para termos valores mais exatos. 
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Figura 11 - CARTA ISOGÔNICA. 
Fonte - OBSERVATÓRIO NACIONAL – MEC 
 
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Figura 12 - CARTA ISOPÓRICA 
Fonte - OBSERVATÓRIO NACIONAL – MEC 
 
12. EXEMPLOS PRÁTICOS 
Ex.1 Uma cidade, tinha em 1947, a declinação de 18º 20’ ocidental. Sendo a 
variação média anual de declinação 9’ ocidental, determinar a declinação 
atual. 
 
a) Período 
Tempo = 2013 - 1947 = 66 anos 
 
 
24 
 
b) Variação total (1947 a 2013) 
V.T. = 9' oc. x 66 anos = 9º 54’ ocidental 
 
c) Declinação em 2013 
d 2013 = (18° 20' + 9° 54') ocidental 
d 2013 = 28º 14’ ocidental 
 
 
Figura 13 – Declinação. 
Fonte: Autoria própria. 
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Ex.2 No ponto P a declinação em 1951 era 20° 17' Oriental. Sendo a variação anual 
de 8' Ocidental, determinar a declinação atual. 
 
a) Período 
Tempo = 2013 - 1951 = 62 anos 
b) Variação total (1951 a 2013) 
V.T. = 8’ oc. x 62 = 8º 16’ Ocidental 
c) Declinação em 2013 
d 2013 = (20° 17' - 8º 16’) oriental 
d 2013 = 12º 01’ Oriental 
 
 
 
Figura 14 – Declinação. 
Fonte: Autoria própria. 
26 
 
 
Ex.3 O rumo magnético do eixo AB de uma avenida, era em 1968 76° 18' 49" NO. A 
declinação no local na mesma data era 1° 30' Oriental. Sendo a variação média 
anual da declinação 10' Ocidental, determinar: 
 
a) a declinação em 2013 
b) o rumo verdadeiro em 1968 
c) o rumo magnético em 2013 
d) o rumo verdadeiroem 2013 
e) o ano de declinação nula 
 
a) Declinação magnética em 2013 
 
Tempo: 2013 - 1968 = 45 anos 
 
V.T. = 10’ oc. x 45 = 7° 30' Ocidental 
 
d 2013 = (7° 30' - 1° 30') Ocidental 
d 2013 = 6º Ocidental 
 
b) Rumo verdadeiro em 1968 
 
Rv = 76º 18' 49" NO – 1º30' = 74º 48' 49" NO 
 
OBS: Como a direção do NV é imutável e a direção do eixo da avenida 
também, o rumo verdadeiro é o mesmo em qualquer data. 
 
c) Rumo magnético em 2013 
Rm 2013 = 76º 18' 49" NO – 7º 30’ = 68º 48’ 49” NO 
 
d) R u m o v e r d a d e i r o e m 2 0 1 3 
 Ver observação no item b 
 
e) Ano de declinação nula 
O NM tem um deslocamento no sentido ocidental de 10' por ano. Para percorrer 1º30' 
ou 90', necessitou de 9 anos, quando o NM coincidiu com o NV. Portanto em 1977 a 
declinação foi nula. 
 
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1º30’/10’ = 9 anos 
1968 + 9 anos = 1977  d = 0 
 
Figura 15 – Rumos e Declinação magnética 
Fonte: Autoria própria. 
28 
 
13. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 
 
BORGES, Alberto de Campos. Exercícios de topografia. São Paulo: E. Blücher, 1977. 
p.192. 
 
BORGES, Alberto de Campos. Topografia: aplicada à engenharia civil: 2. ed. São Paulo: 
E. Blücher, 1977. p.191. 
 
BORGES, Alberto de Campos. Topografia: aplicada à engenharia civil: 2. ed.. São Paulo: 
E. Blücher,1992. p.232. 
 
CASACA, João Martins; MATOS, João Luís de; DIAS, José Miguel Baio. Topografia geral: 
6. ed. Lisboa: ed.Lidel, 2005. cap. XVII, p.388. 
 
CORDINI, Jucilei. Topografia contemporânea: planimetria. 3. ed.. Florianópolis: UFSC, 
2007. cap. XXVI, p.321. 
 
FITZ, Paulo Roberto. Geoprocessamento sem complicação. São Paulo: Oficina de 
Textos, 2008. p.160. 
 
FONSECA, Rômulo Soares. Elementos de desenho topográfico. São Paulo: McGraw-Hill, 
1973. p.192.