LISTA 05 PROVA 1 2015 DERIVADA DIRECIONAL E GRADIENTE

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INSINSTITUTO FEDERAL DE, CIÊNCIA E TECNOLOGIA DE SANTA CATARINA 
CAMPUS FLORIANÓPOLIS 
DEPARTAMENTO ACADÊMICO LINGUAGEM, TECNOLOGIA, EDUCAÇÃO E CIÊNCIAS 
CURSOS DE GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA 
PROF: ANTONIO JOAO 
DISCIPLINA: CÁLCULO VETORIAL
 ESTUDANTE: DATA: 
MATEMÁTICA -IFSC Prof. Antônio João – anttoniojoao@gmail.com 
LISTA 05 - P1 - DERIVADA DIRECIONAL E GRADIENTE 
1. Calcular, usando a definição, a derivada direcional do campo escalar 𝑓 𝑥,𝑦 no ponto e na direção
𝑣 = 𝑖 + 𝑗. 
𝑎) 𝑓 𝑥, 𝑦 = 2𝑥2 + 2𝑦2 em 𝑃 1,1 .
𝑏) 𝑓 𝑥,𝑦 = 2𝑥 + 2𝑦 em 𝑃 −1,2 . 
𝑐) 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑒𝑥+𝑦 em 𝑃 0,1 .
Nos exercícios 2 a 6, calcular, usando a definição, a derivada direcional no ponto e direção indicados: 
2. 𝑓 𝑥,𝑦 = 𝑥2 − 𝑦2,𝑃 1, 2 , na direção de 𝑣 = 2𝑖 + 2𝑗.
3. 𝑓 𝑥,𝑦, 𝑧 = 𝑥𝑦 + 𝑧,𝑃 2, 1, 0 , na direção do eixo positivo doz 𝑧.
4. 𝑓 𝑥,𝑦 = 2𝑥 + 3𝑦,𝑃 −1,2 , na direção da reta 𝑦 = 2𝑥.
5. 𝑓 𝑥,𝑦 = 2 − 𝑥2 − 𝑦2,𝑃 1, 1 , na direção do vetor tangente unitário à curva 𝐶: 𝑟 𝑡 =< 𝑡, 𝑡2 > em
𝑃 1, 1 . 
6. 𝑓 𝑥,𝑦, 𝑧 = 2𝑥 + 3𝑦 − 𝑧,𝑃 1, 1,−1 , na direção do eixo positivo do 𝑦.
Nos exercícios 7 a 17, calcular o gradiente do campo escalar dado. 
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Nos exercícios 18 a 24, representar geometricamente o campo gradiente definido pela função dada: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
25. Seja 𝑓 𝑥,𝑦 = 2𝑥2 + 5𝑦2. Representar geometricamente ∇𝑓 𝑥0,𝑦0 , sendo 𝑥0,𝑦0 dado por 
𝑎) 1, 1 𝑏 −1, 1 𝑐) 
1
2
, 3 
26. Dados 𝐴 1,
3
2
 e 𝐵 
1
2
, 2 e a função 𝑓 𝑥,𝑦 = ln 𝑥𝑦, determinar o ângulo formado pelos vetores 
∇𝑓 𝐴 e ∇𝑓 𝐵 . 
28. Determinar e representar graficamente um vetor normal à curva dada no ponto indicado: 
 
 
 
 
 
29. Determinar um vetor normal à superfície dada no ponto indicado e representá-lo geometricamente: 
 
 
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GABARITO