TeoriaEstrut1_20091_aula05

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Universidade Federal de AlagoasUniversidade Federal de Alagoas
Centro de Tecnologia
C d E h i Ci ilCurso de Engenharia Civil
Teoria das Estruturas ITeoria das Estruturas I
Aula 05Aula 05
ProfProf FlávioFlávio BarbozaBarboza de Limade LimaProf. Prof. FlávioFlávio BarbozaBarboza de Limade Lima
Aula 05Aula 05
‰‰ Determinação geométrica das estruturas planasDeterminação geométrica das estruturas planas
‰‰ Cálculo das reações de apoio em estruturas isostáticasCálculo das reações de apoio em estruturas isostáticas
Determinação Geométrica das Estruturas PlanasDeterminação Geométrica das Estruturas Planas
B i l i l tB i l i l tBarras vinculares equivalentesBarras vinculares equivalentes
Apoio simples, ou Apoio do 1º gêneroApoio simples, ou Apoio do 1º gênero
Apoio duplo, Apoio do 2º gênero, Articulação ou RótulaApoio duplo, Apoio do 2º gênero, Articulação ou Rótula
Apoio do 3º gênero ou EngasteApoio do 3º gênero ou Engaste
Determinação Geométrica das Estruturas PlanasDeterminação Geométrica das Estruturas Planas
TreliçasTreliças
bb‰‰ SendoSendo bb oo númeronúmero dede barras,barras, incluindoincluindo asas barrasbarras vincularesvinculares
equivalentes,equivalentes, ee nn oo númeronúmero dede nósnós dede umauma treliçatreliça plana,plana, aa
condiçãocondição necessárianecessária parapara queque aa estruturaestrutura tenhatenha aa suasua posiçãoposiçãocondiçãocondição necessárianecessária parapara queque aa estruturaestrutura tenhatenha aa suasua posiçãoposição
determinadadeterminada éé::
b = 2 nb = 2 n
Determinação Geométrica das Estruturas PlanasDeterminação Geométrica das Estruturas Planas
TreliçasTreliças
Classificação quanto à sua determinação geométricaClassificação quanto à sua determinação geométricaClassificação quanto à sua determinação geométricaClassificação quanto à sua determinação geométrica
b < 2b < 2 Treliça indeterminada (mó el)Treliça indeterminada (mó el)b < 2 nb < 2 n Treliça indeterminada (móvel)Treliça indeterminada (móvel)
b = 2 nb = 2 n Treliça determinadaTreliça determinada
b > 2 nb > 2 n Treliça superdeterminadaTreliça superdeterminada
TreliçasTreliças
Determinação Geométrica das Estruturas PlanasDeterminação Geométrica das Estruturas Planas
TreliçasTreliças
ExemploExemplo 44
n = 14n = 14n 14n 14
b = 29b = 29
b > 2 nb > 2 n
Treliça superdeterminadaTreliça superdeterminadab = 29b = 29 ç pç p
CC
Determinação Geométrica das Estruturas PlanasDeterminação Geométrica das Estruturas Planas
ChapasChapas
‰‰ ParaPara esseesse estudo,estudo, seráserá consideradaconsiderada umauma chapachapa aa estruturaestrutura ouou oo
conjuntoconjunto dede peçaspeças estruturaisestruturais responsávelresponsável pelapela posiçãoposição dede trêstrês ouou
maismais pontospontos emem seuseu domíniodomínio
Treliça geometricamenteTreliça geometricamenteTreliça geometricamente Treliça geometricamente 
Determinada (Determinada (n = 7 e b = 14n = 7 e b = 14))
“Chapa” de treliça“Chapa” de treliça
A chapa possui, dessa forma, três graus de mobilidade no planoA chapa possui, dessa forma, três graus de mobilidade no plano
CC
Determinação Geométrica das Estruturas PlanasDeterminação Geométrica das Estruturas Planas
ChapasChapas
‰‰ AA condiçãocondição parapara queque umauma treliça,treliça, excluindoexcluindo--sese asas ligaçõesligações
externasexternas (barras(barras vinculares)vinculares) sejaseja umauma “chapa”,“chapa”, éé dadadada porpor::
b 2b 2 33b = 2 n b = 2 n -- 33
Treliça como chapa Treliça como chapa ((n = 7 e b = 11n = 7 e b = 11))2 graus de liberdade2 graus de liberdade
2 graus de liberdade2 graus de liberdade 3 graus de liberdade3 graus de liberdade
Determinação Geométrica das Estruturas PlanasDeterminação Geométrica das Estruturas Planas
CCChapasChapas
‰‰ NasNas estruturasestruturas constituídasconstituídas porpor chapaschapas ee vínculos,vínculos, sãosão necessáriosnecessários
umum ouou maismais vínculosvínculos equivalentesequivalentes aa trêstrês barrasbarras vincularesvinculares,, parapara
queque aa suasua posiçãoposição sejaseja fixafixa
‰‰ SendoSendo cc oo númeronúmero dede chapaschapas abertasabertas dada estruturaestrutura ee bb oo númeronúmero dede
barrasbarras vincularesvinculares equivalentesequivalentes,, aa condiçãocondição necessárianecessária parapara queque aa
t tt t jj t i tt i t d t i dd t i d ééqueque aa estruturaestrutura sejaseja geometricamentegeometricamente determinadadeterminada éé::
b 3b 3b = 3 cb = 3 c
Determinação Geométrica das Estruturas PlanasDeterminação Geométrica das Estruturas Planas
ChapasChapas
Classificação quanto à sua determinação geométricaClassificação quanto à sua determinação geométricaClassificação quanto à sua determinação geométricaClassificação quanto à sua determinação geométrica
b < 3b < 3 E t t i d t i d ( ó l)E t t i d t i d ( ó l)b < 3 cb < 3 c Estrutura indeterminada (móvel)Estrutura indeterminada (móvel)
b = 3 cb = 3 c Estrutura determinadaEstrutura determinada
b > 3 cb > 3 c Estrutura superdeterminadaEstrutura superdeterminada
ChapasChapas
Determinação Geométrica das Estruturas PlanasDeterminação Geométrica das Estruturas Planas
ChapasChapas
ExemplosExemplos 11
c = 1c = 1 b = 3b = 3 b = 3 cb = 3 c
(2)
b = 3b = 3
(1)
c = 1c = 1 b = 3b = 3 b = 3 cb = 3 c
Estrutura determinadaEstrutura determinada
b = 3b = 3
22
c = 1c = 1 b = 3b = 3 b = 3 cb = 3 ccc b 3b 3 b 3 cb 3 c
Estrutura determinadaEstrutura determinada
ChapasChapas
Determinação Geométrica das Estruturas PlanasDeterminação Geométrica das Estruturas Planas
ChapasChapas
ExemplosExemplos 33
(2)
(2) (2)
c = 2c = 2 b = 6b = 6 b = 3 cb = 3 cc = 2c = 2 b = 6b = 6 b = 3 cb = 3 c
Estrutura determinadaEstrutura determinada
ChapasChapas
Determinação Geométrica das Estruturas PlanasDeterminação Geométrica das Estruturas Planas
ChapasChapas
ExemplosExemplos 44
(3) Continuidade = 3 barras 
c = 1c = 1 b = 9b = 9 b > 3 cb > 3 c
(3) (3)
c = 1c = 1 b = 9b = 9 b > 3 cb > 3 c
Estrutura superdeterminadaEstrutura superdeterminadaEstrutura superdeterminadaEstrutura superdeterminada
grau = 6grau = 6
Determinação Estática das Estruturas PlanasDeterminação Estática das Estruturas Planas
Estruturas em treliçasEstruturas em treliças
Classificação quanto à sua determinação estáticaClassificação quanto à sua determinação estáticaClassificação quanto à sua determinação estáticaClassificação quanto à sua determinação estática
b < 2b < 2 Treliça hipostáticaTreliça hipostáticab < 2 nb < 2 n Treliça hipostáticaTreliça hipostática
b = 2 nb = 2 n Treliça isostáticaTreliça isostática
b > 2 nb > 2 n Treliça hiperestáticaTreliça hiperestática
Determinação Estática das Estruturas PlanasDeterminação Estática das Estruturas Planas
Estruturas em chapasEstruturas em chapas
Classificação quanto à sua determinação estáticaClassificação quanto à sua determinação estática
b < 3b < 3 E t t hi tátiE t t hi táti
Classificação quanto à sua determinação estáticaClassificação quanto à sua determinação estática
b < 3 cb < 3 c Estrutura hipostáticaEstrutura hipostática
b = 3 cb = 3 c Estrutura isostáticaEstrutura isostática
b > 3 cb > 3 c Estrutura hiperestáticaEstrutura hiperestática
Cálculo de reações de apoioCálculo de reações de apoio
‰‰ Sabemos que um corpo está em equilíbrio quando a resultante de todasSabemos que um corpo está em equilíbrio quando a resultante de todas‰‰ Sabemos que um corpo está em equilíbrio quando a resultante de todasSabemos que um corpo está em equilíbrio quando a resultante de todas
as forças que nele atuam é nulaas forças que nele atuam é nula
‰‰ Com isso a força resultante F e o momento resultante M devem se anular,Com isso a força resultante F e o momento resultante M devem se anular,‰‰ Com isso a força resultante F e o momento resultante M devem se anular,Comisso a força resultante F e o momento resultante M devem se anular,
resultando, considerando as três dimensões no espaço, nas seguintesresultando, considerando as três dimensões no espaço, nas seguintes
equações de equilíbrio:equações de equilíbrio:
∑∑
∑∑
==
==
00
00
yy
xx
MF
MF
x
y
z
∑∑
∑∑
== 00 zz
yy
MF
z
Particularizando para o caso de estruturas planas com carregamento plano:Particularizando para o caso de estruturas planas com carregamento plano:
∑∑∑ 000 MFF
y
∑∑∑ === 000 zyx MFF x
Cálculo de Reações de apoioCálculo de Reações de apoio
‰‰ A correta aplicação das equações e equilíbrio necessita da completaA correta aplicação das equações e equilíbrio necessita da completa
especificação de todas as forças externas atuantes sobre a estruturaespecificação de todas as forças externas atuantes sobre a estrutura
Di d li é ã á i dDi d li é ã á i d‰‰ Diagrama de corpo livre é a representação esquemática do corpo com asDiagrama de corpo livre é a representação esquemática do corpo com as
forças atuantes, substituindoforças atuantes, substituindo--se os vínculos por forças que correspondem se os vínculos por forças que correspondem 
às reações de apoioàs reações de apoio
‰‰ Se faz necessário estabelecer uma convenção de sinais para a direção e Se faz necessário estabelecer uma convenção de sinais para a direção e 
sentido das forças, bem como sentido de giro em relação a um pólo emsentido das forças, bem como sentido de giro em relação a um pólo em
qualquer ponto da estruturaqualquer ponto da estruturaqualquer ponto da estruturaqualquer ponto da estrutura
y
+
Inicialmente admiteInicialmente admite--se um sentido para as reações e após aplicado as se um sentido para as reações e após aplicado as 
x
equações de equilíbrio caso resulte negativo basta inverter o sentidoequações de equilíbrio caso resulte negativo basta inverter o sentido
Cálculo de Reações de apoio Cálculo de Reações de apoio -- ExemplosExemplos
Exemplo 1 Exemplo 1 –– Viga biViga bi--apoiada com carga concentradaapoiada com carga concentrada
60kN 60kN
2m4m RVBRVA
BA
x
y
+ kNRxRxxR
M
VBVAVB
A
40006046
0
=∴=+−
=∑
kNRxRxxR
M
VAVBVA
B
20006026
0
=∴=++−
=∑
BA
60kN
Diagrama de Diagrama de 
corpo livrecorpo livre
40kN20kN
pp
Cálculo de Reações de apoio Cálculo de Reações de apoio -- ExemplosExemplos
Exemplo 2 Exemplo 2 –– Viga biViga bi--apoiada com carga uniformemente distribuídaapoiada com carga uniformemente distribuída
3kN/m R=3x6=18kN
A
6m
3m 3m RVBRVA
B
x
y
+ kNRxxR
M
VBVB
A
901836
0
=∴=−
=∑
kNRxxR
M
VAVA
B
901836
0
=∴=+−
=∑
Diagrama de Diagrama de 
corpo livrecorpo livre
3kN/m
BApp
9kN9kN
Cálculo de Reações de apoio Cálculo de Reações de apoio -- ExemplosExemplos
Exemplo 3 Exemplo 3 –– Viga biViga bi--apoiada com carga parcialmente distribuídaapoiada com carga parcialmente distribuída
6kN/m R=6x4=24kN
2m
RVA
A
2m RVB
B
4m 4m
x
y
+ kNRxxR
M
VBVB
A
1602446
0
=∴=−
=∑
kNRxxR
M
VAVA
B
802426
0
=∴=+−
=∑
Diagrama de Diagrama de 
corpo livrecorpo livre
6kN/m
BApp
16kN8kN
Cálculo de Reações de apoio Cálculo de Reações de apoio -- ExemplosExemplos
Exemplo 4 Exemplo 4 –– Viga biViga bi--apoiada com carga triangularmente distribuídaapoiada com carga triangularmente distribuída
6kN/m 18kN
2
6x6R ==
2m
RVA
A
RVB
B
6m 4m
x
y
+ kNRxxR
M
VBVB
A
12018246
0
=∴=−−
=∑
kNRxxR
M
VAVA
B
601826
0
=∴=+−
=∑
Diagrama de Diagrama de 
corpo livrecorpo livre
6kN/m
BApp
12kN6kN
Cálculo de Reações de apoio Cálculo de Reações de apoio -- ExemplosExemplos
30kN.m30kN.m
Exemplo 5 Exemplo 5 –– Viga biViga bi--apoiada com carga momento concentradaapoiada com carga momento concentrada
2m RVA
A
RVB
B
4m
x
y
+ kNRxR
M
VBVB
A
50306
0
=∴=−
=∑
kNRxR
M
VAVA
B
50306
0
−=∴=+−
=∑
Diagrama de Diagrama de 
corpo livrecorpo livre
30kN.m
A Bpp
5kN
5kN
Cálculo de Reações de apoio Cálculo de Reações de apoio -- ExemplosExemplos
MA
Exemplo 6 Exemplo 6 –– Viga engastada ou em balanço com carga concentradaViga engastada ou em balanço com carga concentrada
20kN 20kN
A B
A
RVA
4m
x
y
+ kNRR
Y
VAVA 20020
0
=∴=−
=∑
mkNMMx
M
AA
A
.800204
0
=∴=+−
=∑
Diagrama de Diagrama de 
corpo livrecorpo livre A B
80kN.m
20kN
pp
20kN
Cálculo de Reações de apoio Cálculo de Reações de apoio -- ExemplosExemplos
MA
Exemplo 7 Exemplo 7 –– Viga engastada ou em balanço com carga distribuída uniformeViga engastada ou em balanço com carga distribuída uniforme
5kN/m
R=5x4=20kN
RVA 2m
A B
A
4m
x
y
+ kNRR
Y
VAVA 20020
0
=∴=−
=∑
mkNMMx
M
AA
A
.400220
0
=∴=+−
=∑
BA
40kN.m
Diagrama de Diagrama de 
corpo livrecorpo livre
5kN/m
BA
20kN
pp
Cálculo de Reações de apoio Cálculo de Reações de apoio -- ExemplosExemplos
10kN.mMA
Exemplo 8 Exemplo 8 –– Viga engastada ou em balanço com carga momentoViga engastada ou em balanço com carga momento
10kN.m
RVA
A B
A
4m
x
y
+ 000
0
=∴=+
=∑
VAVA RR
Y
mkNMM
M
AA
A
.10010
0
=∴=+−
=∑
BA
40kN.m
Diagrama de Diagrama de 
corpo livrecorpo livre
5kN/m
BA
20kN
pp
Cálculo de Reações de apoio Cálculo de Reações de apoio -- ExemplosExemplos
Exemplo 9 Exemplo 9 –– Viga biViga bi--apoiada com balanço e carga uniformemente distribuídaapoiada com balanço e carga uniformemente distribuída
7,5kN/m R=7,5x8=60kN
2m
2m
A
6m
4m RVBRVA
B
x
y
+ kNRxxR
M
VBVB
A
4006046
0
=∴=−
=∑
kNRxxR
M
VAVA
B
2006026
0
=∴=+−
=∑
Diagrama de Diagrama de 
corpo livrecorpo livre A
7,5kN/m
pp
40kN20kN
B