Carga eletrica e lei de coulomb

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NOTA DE AULA 
PROF. JOSÉ GOMES RIBEIRO FILHO 
 
 
CARGA ELÉTRICA E LEI DE COULOMB 
 
1. INTRODUÇÃO 
 
Quando você arrasta os sapatos ao caminhar sobre um carpete e depois segura uma maçaneta metálica, pode 
sentir uma desagradável descarga provocada pela eletricidade estática. Qual é a causa desse fenômeno e por que em 
um dia seco é mais fácil ocorrer essa descarga do que em um dia úmido? Os átomos que constituem seu corpo são 
mantidos unidos e não se rompem, embora as partículas que constituem esses átomos geralmente se movam com 
velocidades elevadas. Por quê? O que ocorre realmente em um circuito elétrico? Como funcionam um motor e um 
gerador elétricos? E, afinal, o que é a luz? 
As respostas a todas essas perguntas têm como base os princípios de um ramo fundamental da física conhecido 
como eletromagnetismo — o estudo das interações elétricas e magnéticas. Essas interações envolvem partículas que 
possuem uma grandeza chamada carga elétrica, uma propriedade da matéria tão fundamental quanto a massa. O 
estudo dos fenômenos eletromagnéticos ocupará nossa atenção em todos os capítulos desta Disciplina. 
Neste capítulo começamos o estudo do eletromagnetismo examinando a natureza da carga elétrica. 
Mostraremos que a carga elétrica é quantizada e obedece a um princípio de conservação. A seguir, passaremos a 
estudar as interações entre cargas elétricas que estão em repouso em nosso sistema de referência, conhecidas como 
interações eletrostáticas. Essas interações são extraordinariamente importantes: elas mantêm unidos os átomos e as 
moléculas que constituem nosso corpo e são responsáveis por inúmeras aplicações tecnológicas. As interações 
eletrostáticas são descritas por uma relação simples chamada lei de Coulomb e podem ser estudadas de modo mais 
conveniente usando-se o conceito de campo elétrico. Neste capítulo, vamos explorar todos esses conceitos e depois 
aprofundá-los nos capítulos seguintes. 
Um dos primeiros fenômenos de origem eletrostática foi observado pelos gregos e descrito por Tales de Mileto 
por volta do ano 600 a.C. Eles observaram que pedaços de âmbar (elektron em grego), quando atritados com tecidos 
adquiriam a capacidade de atrair pequenas partículas de outros materiais. Como a ciência experimental e dedutiva 
ainda estava longe de ser desenvolvida, o interesse nesse fenômeno sempre permaneceu no campo da lógica e da 
filosofia. A interação entre objetos eletricamente carregados (força eletrostática) só foi quantificada e equacionada no 
século XVIII pelo cientista francês Charles A. Coulomb. 
 
2. PROPRIEDADES DAS CARGAS ELÉTRICAS 
 
Carga elétrica 
Inúmeras experiências simples demonstram a existência de forças eletrostáticas. Por exemplo, após passar um 
pente em seu cabelo, você verificará que o pente atrai pequenos pedaços de papel. A força eletrostática de atração é 
frequentemente forte o bastante para suspender os pedaços. O mesmo efeito ocorre com outros materiais atritados, 
tais como o vidro ou a borracha. 
Uma outra experiência simples é atritar um balão inflado com lã, ou com seu cabelo (Figura 1). Em um dia seco, 
o balão atritado ficará aderido à parede de um cômodo, frequentemente por horas. Quando os materiais se comportam 
dessa maneira, diz-se que estão carregados eletricamente. Você pode dar a seu corpo uma carga elétrica andando sobre 
um tapete de lã ou deslizando em um assento de carro. Você pode então sentir, e remover, a carga em seu corpo 
tocando levemente uma outra pessoa. Nas condições apropriadas, uma faísca visível pode ser vista quando você a toca 
e um pequeno choque é sentido pelas duas pessoas. (Essa experiência funciona melhor em um dia seco, porque a 
umidade excessiva no ar pode fornecer uma via para a carga escapar do corpo carregado.) 
 
 2 
 
 
 
 
 
 
Figura 1 Friccionar um balão em seu 
cabelo em um dia seco torna o balão e 
seu cabelo eletricamente carregados. 
 
 
Experiências demonstram também que há dois tipos de carga elétrica, chamadas por Benjamin Franklin (1706-
1790) de positiva e negativa. A Figura 2 ilustra as interações entre as duas cargas. Uma haste de borracha dura (ou de 
plástico) que seja friccionada com peliça (ou um material acrílico) é suspensa por um fio. Quando uma haste de vidro 
que tenha sido friccionada com seda é aproximada da haste de borracha, esta é atraída para a haste de vidro (Figura 
2a). Se forem aproximadas duas hastes de borracha carregadas (ou duas hastes de vidro carregadas), como na Figura 
2b, a força entre elas é de repulsão. Essa observação demonstra que a borracha e o vidro têm tipos diferentes da carga. 
Usamos a convenção sugerida por Franklin; a carga elétrica na haste de vidro é chamada de positiva e a da haste de 
borracha, de negativa. Com base nessas observações, concluímos que cargas iguais se repelem e cargas diferentes se 
atraem. 
 
 
 
 
 
 
Figura 2 (a) Uma haste de borracha 
carregada negativamente, suspensa por 
um fio, é atraída por uma haste de vidro 
carregada positivamente, (b) Uma haste 
de borracha carregada negativamente é 
repelida por outra haste de borracha 
carregada negativamente. 
 
Sabemos que somente dois tipos de carga elétrica existem porque toda a carga desconhecida que se observa 
experimentalmente ser atraída por uma carga positiva é repelida também pela carga negativa. Nunca foi observado um 
corpo carregado que fosse repelido ou atraído tanto por uma carga positiva como por uma carga negativa. 
Outra característica importante da carga elétrica é que a carga resultante em um sistema isolado sempre é 
conservada. Quando dois corpos inicialmente neutros são carregados ao ser esfregados entre si, não é criada carga no 
processo. Os corpos tornam-se carregados porque elétrons são transferidos de um corpo para o outro. Um corpo ganha 
uma quantidade de carga negativa dos elétrons transferidos para ele enquanto o outro perde uma quantidade igual de 
carga negativa e, consequentemente, fica com uma carga positiva. Para o sistema isolado de dois corpos, nenhuma 
transferência de carga ocorre por intermédio da fronteira do sistema. A única mudança é que a carga foi transferida 
entre os dois membros do sistema. Por exemplo, quando uma haste de vidro é friccionada com seda, como na Figura 3, 
a seda ganha uma carga negativa cuja magnitude é igual à da carga positiva na haste de vidro porque elétrons 
negativamente carregados são transferidos do vidro para a seda. Do mesmo modo, quando a borracha é friccionada 
com peliça, elétrons são transferidos da peliça para a borracha. Um corpo não carregado contém um número enorme 
de elétrons (da ordem de 1023). Entretanto, para cada elétron negativo também está presente um próton positivamente 
carregado; logo, um corpo não carregado não tem nenhuma carga resultante de um ou de outro sinal. 
 3 
 
 
 
 
Figura 3 Quando uma haste de vidro é friccionada 
contra a seda, elétrons são transferidos do vidro para 
a seda. Por causa da conservação de carga, cada 
elétron adiciona carga negativa à seda e uma carga 
positiva igual é deixada na haste. 
 
Quantização da carga elétrica 
No século XVIII, a carga elétrica era considerada como um fluido contínuo. Entretanto, no início do século XX, 
Robert Millikan (1868-1953) descobriu que o fluido elétrico não era contínuo e, sim, que a carga elétrica era constituída 
por um múltiplo inteiro de uma carga fundamental e, ou seja, a carga q de um certo objeto pode ser escrita como q = 
ne, com n = 1, 2, 3,......onde e possui o valor de 1,60.10-19 C, sendo considerada uma das constantes fundamentais da 
natureza. Podemos então dizer que a carga elétrica existe em pacotes discretos ou, em termos modernos, é 
“quantizada”, não podendo assumir qualquer valor. Outras experiências da época de Millikan mostraram que o elétron 
tem carga -e e o próton +e, o que assegura que um átomo neutro tem o mesmo número de
prótons e elétrons. A Tabela 
1 sumariza as cargas e massas das partículas atômicas. 
 
Tabela 1 Principais propriedades dos constituintes de um átomo. 
 
Certas expressões de uso coloquial, como "a carga contida em uma esfera", "a quantidade de carga transferida" 
e ''a carga que um elétron possui", dão a impressão de que a carga é uma substância. (Na verdade, usamos algumas 
expressões semelhantes neste capítulo.) É preciso ter em mente, porém, que a carga não é uma substância, e sim uma 
propriedade das partículas, como a massa. 
 
Unidade SI 
A unidade SI de carga é o Coulomb (C). Ele é definido em termos da unidade de corrente elétrica, o ampère (A), 
como a carga que passa por um determinado ponto em 1 segundo quando uma corrente de 1 ampère está fluindo 
através daquele ponto.Veremos mais detalhes em capítulos posteriores. 
 
Corpos neutros 
Todos os objetos da natureza contém cargas, porém na maioria das vezes não conseguimos percebê-las. Isto se 
deve ao fato de que os objetos contém quantidades iguais dos dois tipos de cargas: cargas positivas e cargas negativas. 
Assim, a igualdade leva ao equilíbrio de cargas e dizemos que os objetos são eletricamente neutros, ou seja, não 
possuem uma carga líquida. Se este equilíbrio é desfeito, dizemos que um corpo está eletrizado, ou seja, uma carga 
líquida existirá e ele poderá interagir eletricamente. 
 
Condutores e isolantes 
Podemos classificar os materiais de acordo com a facilidade com a qual as cargas elétricas se movem em seu 
interior. Os bons-condutores ou simplesmente condutores são materiais nos quais as cargas elétricas se movem com 
facilidade, como os metais (como o cobre dos fios elétricos), o corpo humano e a água de torneira. Os maus-condutores, 
também conhecidos como isolantes, são materiais nos quais as cargas não podem se mover, como os plásticos (usados 
para isolar fios elétricos), a borracha, o vidro e a água destilada. 
Como exemplo de um mau-condutor, citamos um tapete de fibras em um dia seco. Quando você esfrega os pés 
no tapete, o atrito de seus sapatos com as fibras produz cargas elétricas que permanecem em seu corpo, pois elas não 
 4 
podem escoar através das fibras isolantes. Quando você toca a seguir um objeto condutor como uma maçaneta 
metálica, ocorre uma rápida transferência de carga elétrica e você sente um choque. 
 
 
 
Todos os metais são bons condutores, enquanto muitos materiais não-metálicos são isolantes. No interior de 
um metal como o cobre, um ou mais elétrons de cada átomo se destacam e podem mover-se livremente através do 
material, do mesmo modo que as moléculas de um gás podem mover-se livremente através dos espaços entre os grãos 
de um balde de areia. O movimento desses elétrons negativos produz a transferência da carga elétrica através do metal. 
Os elétrons restantes permanecem ligados aos núcleos carregados positivamente, os quais, por sua vez, permanecem 
relativamente fixos no interior do metal. Em um isolante não existe praticamente nenhum elétron livre, e a carga 
elétrica não pode ser transferida através do material. 
Os semicondutores são materiais com propriedades elétricas intermediárias entre as dos condutores e as dos 
maus-condutores, como o silício (usado nos microcircuitos dos computadores) e o germânio. Os supercondutores são 
condutores perfeitos, ou seja, materiais nos quais as cargas se movem sem encontrar nenhuma resistência. Nos 
próximos capítulos vamos discutir apenas os condutores e maus-condutores. 
 
3. LEI DE COULOMB 
 
Descoberta 
Em 1784, o físico francês Charles Augustin de Coulomb (1736-1806) realizou experimentos com uma balança de 
torção (Figura 4) e mediu as atrações e repulsões elétricas entre duas esferas eletricamente carregadas e deduziu a lei 
que governa a eletrostática: 
A força elétrica exercida por um corpo carregado sobre outro depende diretamente do produto do módulo das 
cargas e inversamente do quadrado da distância que os separa. 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 4 A balança de torção de 
Coulomb, que foi utilizada para 
estabelecer a lei do inverso do 
quadrado para a força eletrostática 
entre duas cargas. 
A lei de Coulomb 
Em termos matemáticos: 
∝ 1 2
2
q q
F ,
r
 
Introduzindo a constante de proporcionalidade, k, a expressão matemática para a Lei de Coulomb fica: 
 5 
= 1 2
2
kq q
F .
r (1)
 
Note que a Lei de Coulomb assemelha-se a lei da gravitação de Newton, F = Gm1m2/r
2. As duas equações 
descrevem leis do tipo inverso do quadrado que envolvem uma propriedade de partículas, massa em um caso, carga no 
outro. Entretanto, as forças gravitacionais são sempre atrativas, enquanto as forças eletrostáticas podem ser atrativas 
ou repulsivas, dependendo dos sinais das duas cargas. A diferença resulta do fato de que existe apenas um tipo de 
massa, mas existem dois tipos de carga elétrica. 
A constante k é definida por: 
=
πε0
1
k ,
4
 
onde 
ε0 = 8,85418781762.10
-12C2/Nm2, é a constante de permissividade elétrica do vácuo, e k = 8,99.109 N.m2/C2. Portanto 
podemos escrever a lei de Coulomb como 
=
πε
1 2
2
0
q q1
F .
4 r (2)
 
 
Forma vetorial da lei de Coulomb 
Até aqui consideramos apenas o módulo da força entre duas cargas, determinada de acordo com a lei de 
Coulomb. A força, sendo um vetor, também tem propriedades direcionais. 
 
 
 
 
 
 
Figura 5 Sentido das forças 
eletrostáticas entre duas cargas 
elétricas (a) de sinal positivo, (b) de 
sinal negativo e (c) de sinais 
opostos. (Fonte: Halliday 8ed.) 
 
No caso da lei de Coulomb o sentido da força é determinado pelo sinal relativo das duas cargas elétricas. A força 
de atração ou de repulsão entre as cargas puntiformes em repouso atua ao longo da linha que as une (ver Figura 5). 
 
 
 
 
Figura 6 Forças entre as cargas q1 e q2 de 
mesmo sinal. 
 
Podemos representar a força eletrostática em termos vetoriais como: 
=
πε

1 2
12 122
0 12
q q1 ˆF r ,
4 r (3)
 
onde 

12F é a força exercida sobre a partícula 1 pela partícula 2, r12 representa o módulo do vetor 

12r , e 12rˆ indica o vetor 
unitário do sentido de 

12r (Figura 6). Ou seja, 
=

12
12
12
r
rˆ
r (4)
 
De acordo com a terceira lei de Newton, a força exercida sobre a partícula 2 pela partícula 1, 

21F , é oposta a 

12F , 
e pode ser expressa como: 
=
πε

1 2
21 212
0 21
q q1 ˆF r ,
4 r (5)
 
Como 21rˆ possui sentido oposto ao vetor 12rˆ , temos que: 
 6 
= −
 
12 21F F (6) 
 
Princípio da superposição 
Outra semelhança entre a força gravitacional e a força eletrostática é que ambas obedecem ao princípio de 
superposição. Em um sistema com n partículas carregadas as partículas interagem independentemente, aos pares, e a 
força que age sobre uma das partículas, a partícula 1, por exemplo, é dada pela soma vetorial 
= + + +
   
resultante 12 13 14F F F F ... (7) 
onde, por exemplo, 

14F é a força que age sobre a partícula 1 devido à presença da partícula 4. 
 
Condutores Esféricos 
Se um excesso de cargas é depositado em uma casca esférica feita de material condutor, a carga em excesso se 
distribui uniformemente na superfície (externa) da casca. Assim, por exemplo, se colocamos elétrons em excesso em 
uma casca esférica metálica esses elétrons se repelem mutuamente e se espalham pela superfície externa até ficarem 
uniformemente distribuídos. Este é o arranjo que maximiza as distâncias entre todos os pares de elétrons em excesso. 
Nesse caso, de acordo com o primeiro teorema das cascas, a casca passa a atrair ou repelir uma carga externa como se 
todo o excesso de cargas estivesse concentrado no centro da casca. 
Quando removemos cargas negativas
de uma casca esférica metálica, as cargas positivas resultantes também se 
distribuem uniformemente na superfície da casca. Assim, por exemplo, se removemos n elétrons, passam a existir n 
cargas positivas (átomos nos quais está faltando um elétron) distribuídas uniformemente na superfície externa da casca. 
De acordo com o primeiro teorema das cascas, a casca neste caso também passa a atrair ou repelir uma carga externa 
como se todo o excesso de cargas estivesse concentrado no centro. 
 
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 
 
01.Uma bola positivamente carregada, pendurada em um fio, é aproximada de um corpo não condutor. A bola é atraída 
pelo corpo. A partir desse experimento não é possível determinar se o corpo está carregado negativamente ou neutro. 
Por que não? Que experimento adicional o ajudaria a decidir-se entre essas duas possibilidades? 
Resolução: 
A atração entre a bola e o corpo poderia ser uma atração entre cargas opostas ou uma atração entre um corpo 
carregado e um corpo neutro, devido à polarização das moléculas do corpo neutro. Dois experimentos adicionais 
possíveis ajudariam a determinar se o corpo está carregado. Primeiramente, uma bola sabidamente neutra poderia ser 
trazida para perto do corpo - se a bola for atraída pelo corpo, o corpo estará carregado negativamente. Outra 
possibilidade seria trazer uma bola sabidamente carregada negativamente para perto do corpo - se a bola for repelida 
pelo corpo, o corpo estará carregado negativamente. Se a bola for atraída, estará neutro. 
 
02.Por que sentimos uma vibração nos dedos quando tocamos a tela da televisão? 
Resolução: 
O bombardeio de elétrons responsável pela formação de imagens acaba por estabelecer uma carga negativa que 
recobre toda a tela do aparelho. Ao tocarmos nela, reagimos como um fio-terra, que retira a eletricidade do televisor. 
Dessa forma, os elétrons saltam para os dedos, produzindo pequenas faíscas que provocam essa sensação parecida com 
cócegas. É mais fácil observar o mesmo efeito aproximando a cabeça da tela: os cabelos, fortemente atraídos pela carga 
negativa, ficam literalmente em pé. 
 
03.Em Força Eletrostática cuja fórmula F= k.q1.q2/d
2 serve para dois corpos carregados. Qual seria a fórmula que calcula 
a atração de dois corpos sendo um deles neutro e outro carregado? Porque um corpo neutro tem q = 0 e não poderia 
usar a mesma formula, pois a força também daria zero, o que não é verdade porque notamos uma força de atração 
entre os corpos. 
Resolução: 
O "corpo" neutro é composto por partículas, não é? A presença de uma carga nas vizinhanças, acaba por "polarizar", 
mesmo que levemente, o "corpo" neutro. Sugiro pesquisar sobre o "Efeito Casimir" e as "Forças de Van der Waals". 
 
04.Determine o número de elétrons que deverá ser fornecido a um condutor metálico, inicialmente neutro, para que 
fique eletrizado com carga elétrica igual a –1,0 C. 
Dado: carga elementar e = 1,6 · 10–19 C 
Resolução: 
A carga elétrica de qualquer corpo pode ser expressa sempre da seguinte forma: 
 7 
Q = ± ne em que: n = 1, 2, 3... e e é a carga elementar. 
Assim: 
–1,0 = – n · 1,6 · 10–19 
n = 1,0 / 1,6 · 10–19 = 0,625 · 1019 
n = 6,25 · 1018 elétrons 
 
05.Durante uma aula de Física, uma aluna de longos cabelos loiros começa a penteá-los usando pente de plástico. Após 
passar o pente pelos cabelos, nota que ele atrai pequenos pedaços de papel que se encontram sobre sua carteira. 
Admirada, ela pergunta ao professor Gomes qual a explicação para tal fato. O professor pede que os demais alunos se 
manifestem. Cinco deles deram respostas diferentes, qual acertou a explicação? 
Aluno A — O pente é um bom condutor elétrico. 
Aluna B — O papel é um bom condutor elétrico. 
Aluno C — Os pedaços de papel já estavam eletrizados. 
Aluna D — O pente ficou eletrizado por atrito no cabelo. 
Aluno E — Entre o pente e os pedaços de papel ocorre atração gravitacional. 
Resolução: 
O pente ficou eletrizado devido ao atrito com o cabelo. Resposta: aluna D 
 
06.Três pequenas esferas metálicas A, B e C idênticas estão eletrizadas com cargas +3q, –2q e +5q, respectivamente. 
Determine a carga de cada uma após um contato simultâneo entre as três. 
Resolução: 
Q = (+3q) + (–2q) + (+5q) / 3 
QA = QB = QC = + 2q 
Resposta: + 2q 
 
07.Três pequenas esferas condutoras, M, N e P, idênticas estão eletrizadas com cargas + 6q, + q e – 4q, 
respectivamente. Uma quarta esfera, Z, igual às anteriores, encontra-se neutra. Determine a carga elétrica adquirida 
pela esfera Z, após contatos sucessivos com M, N e P, nessa ordem. 
Resolução: 
Como os condutores são idênticos, após o contato entre dois deles cada um fica com metade da soma algébrica das 
suas cargas iniciais. 
Assim, no contato entre Z e M, temos: 
*antes 
QZ = 0 
QM = + 6q 
*após 
Q’Z = + 3q 
Q’M = + 3q 
No contato entre Z e N, temos: 
*antes 
Q’Z = + 3q 
QN = + q 
*após 
Q’’ Z = + 2q 
Q’N = + 2q 
Finalmente, no contato entre Z e P, temos: 
*antes 
Q’’ Z = + 2q 
QP = – 4q 
*após 
Q’’’ Z = – q 
Q’P = – q 
Portanto, após os contatos sucessivos de Z com M, N e P, sua carga elétrica Q’’’ Z é dada por: Q’’’ Z = – q 
 
08.Em uma esfera metálica oca, carregada positivamente, são encostadas esferas metálicas menores, presas a cabos 
isolantes e inicialmente descarregadas. 
 8 
 
O Professor Gomes pede que você determine os sinais das cargas que passam para as esferas menores, I e II. 
Resolução: 
As cargas elétricas se distribuem na superfície externa da esfera oca. 
A esfera I toca a face interna da esfera oca, que está eletricamente neutra. 
A esfera I não adquire carga elétrica. 
A esfera II toca a face externa, onde estão distribuídas as cargas elétricas positivas. A esfera II perde elétrons para essa 
superfície e torna-se eletricamente positiva. 
 
09.Duas partículas A e B, eletrizadas com cargas de mesmo sinal e respectivamente iguais a QA e QB, tal que QA = 9 QB, 
são fixadas no vácuo a 1,0 m de distância uma da outra. Determine o local, no segmento que une as cargas A e B, onde 
deverá ser colocada uma terceira carga C, para que ela permaneça em repouso. 
Resolução: 
Inicialmente, façamos um esquema da situação: 
 
Como as cargas A e B têm o mesmo sinal, as forças de interação que agirão sobre a terceira carga terão a mesma 
direção, mas sentidos opostos, não importando qual o seu sinal. Uma vez que essa terceira carga deve ficar em repouso, 
os módulos das forças que agem sobre ela devem ser iguais (resultante nula). 
Assim: 
( )
( )
=
−
=
−
A B
22
B B
22
k Q q k Q q
x 1 x
9 Q Q
x 1 x
 
x2 = 9 (1 – x)2 
x = 3 (1 – x) 
x = 0,75m 
A carga C deve ser colocada a 0,75 m de A e a 0,25 m de B. 
Nota: 
• A equação x2 = 9 (1 – x)2 admite uma outra solução, que não satisfaz às condições do problema. Ela corresponde a um 
ponto fora do segmento que une A e B, em que as forças têm mesmo módulo e mesmo sentido e, portanto, não se 
equilibram. 
 
10.Quatro pequenas esferas de massa m estão carregadas com cargas de mesmo valor absoluto q, sendo duas negativas 
e duas positivas, como mostra a figura. As esferas estão dispostas formando um quadrado de lado a e giram numa 
trajetória circular de centro O, no plano do quadrado, com velocidade de módulo constante v. 
Suponha que as únicas forças atuantes sobre as esferas sejam devidas à interação eletrostática. A constante de 
permissividade elétrica é ε0. 
Todas as grandezas (dadas e solicitadas) estão em unidades SI. Determine a expressão do módulo da força eletrostática 
resultante F que atua em cada esfera e indique sua direção. 
 9 
 
Resolução: 
a) Cada uma das quatro cargas elétricas está sujeita a três forças exercidas pelas outras três cargas. 
 
Devido à simetria, podemos observar que as forças resultantes em cada carga têm intensidades iguais. Por exemplo, 
considerando a carga nominada por A, temos: 
 
Observe que: 
( )
= =
=
=
 

AB DA 2
CA 2 2
qq
F F k
a
qq qq
F k k
a .2a 2
 
Somando os vetores 

BAF e 

DAF , temos: 
= + =
=
=
2 2 2 2
BA DA BA
BA
2
S F F 2F
S 2F
qq
S 2k
a
 
A força resultante de A é dada por: 
 10 
= −
 = − 
 
=
πε
  −
=     πε  
2 2
2
0
2
2
0
qq qq1
F 2k k
a 2 a
qq1
F 2 k
2 a
Como:
1
k
4
Então:
2 2 1 1 q
F
2 4 a
 
 
EXERCÍCIOS PARA RESOLVER 
 
01.Temos “n” esferas condutoras idênticas e neutras. Uma outra esfera, igual às outras, encontra-se carregada com 
uma carga “q”. Encontre a carga final dessa esfera após contatos sucessivos com as “n” esferas neutras. 
 
02.Dispomos de quatro pequenas esferas metálicas com as seguintes cargas elétricas: 
 
 
 
As quatro esferas são idênticas. O número e representa a carga elementar. 
a)Se juntássemos as quatro esferas dentro de uma caixa quadrada, com fundo liso, isolante, como mostra a figura 
abaixo, após minutos onde estariam as esferas e com que carga elétrica? 
 
 
 
b)Voltando à situação inicial de cargas, seria possível deixar três delas neutras? Justifique sua resposta descrevendo a 
situação. 
c)E deixar todas positivas, seria possível? 
 
03.Por que as experiências em eletrostática não funcionam bem em dias úmidos? 
 
04.Duas cargas pontuais livres +q e +4q estão à distância L uma da outra. Uma terceira carga é colocada de forma que o 
sistema inteiro esteja em equilíbrio. 
a) Encontre o sinal, o módulo e a localização da terceira carga. 
b) Mostre que o equilíbrio é instável. 
 
05. Em um dia seco, logo após lavar seus cabelos para remover a oleosidade natural e secá-los completamente, penteie 
seus cabelos com um pente de plástico. Pequenos pedaços de papel serão atraídos pelo pente. Explique por quê. 
 
06.Os elétrons e prótons de um átomo de hidrogênio são separados por uma distância de cerca de 5,3.10-11 m. Encontre 
as magnitudes de força elétrica e a força gravitacional entre duas partículas. 
 
07. Considere 1L de Hidrogênio gasoso, nas CNTP. 
a) Estime a carga positiva total contida nas moléculas. 
b) Suponha que toda a carga positiva possa ser separada da negativa, e mantidas a 1 m de distância. 
Trate ambas as distribuições de carga como pontuais e estime a força de atração eletrostática entre elas. 
 
 11 
08.Cargas q, 2q, e 3q são colocadas nos vértices de um triângulo equilátero de lado a, como indicado na figura abaixo. 
Uma carga Q, de mesmo sinal que as outras três, é colocada no centro do triângulo. Obtenha a força resultante sobre Q 
(em módulo, direção e sentido). 
 
09.Deve-se dividir uma certa carga Q em duas partes,(Q–q) e q. Qual é a relação entre Q e q se as duas partes, colocadas 
a uma dada distância uma da outra, devem ter uma repulsão de Coulomb máxima? 
 
10.Suponha que de cada átomo de um metal seja possível retirar 1 elétron. Considere um bloco de massa m. Sendo M a 
massa molecular do metal, qual seria a carga Q deste bloco se retirássemos todos os elétrons mencionados? De a 
resposta em função do numero de Avogadro NA. 
 
11. A água tem uma massa por mol de 18,0 g/mol, e cada molécula de água (H2O) tem 10 elétrons, 
a) Quantos elétrons existem em um litro (1,00.10-3 m3) de água? 
b) Qual a carga resultante de todos estes elétrons? 
 
12. Dois objetos são idênticos e pequenos o suficiente para que seus tamanhos possam ser ignorados em comparação 
com a distância entre eles, que é de 0,200 m. No vácuo, cada objeto possui uma carga diferente, e eles se atraem com 
uma força de 1,20 N. Os objetos são postos em contato e, assim, a carga resultante é dividida igualmente e, então, são 
levados de volta às suas posições iniciais. Agora descobre-se que os objetos se repelem com uma força cujo módulo é 
igual ao módulo da força de atração inicial. Qual a carga inicial sobre cada objeto? Observe que existem duas respostas. 
 
13. Bons condutores elétricos, como os metais, são em geral também bons condutores de calor; isolantes elétricos, 
como a madeira, são maus condutores de calor. Explique a razão pela qual deveria existir uma relação entre a condução 
elétrica e a condução térmica desses materiais. 
 
14. Um núcleo é constituído por prótons e nêutrons. Isso mostra que, além da força elétrica e da força gravitacional, 
deve existir outro tipo de interação. Explique. 
 
15.A vida seria diferente se o elétron fosse carregado positivamente e o próton fosse carregado negativamente? A 
escolha dos sinais tem algum significado sobre as interações físicas e químicas? Explique. 
 
16.Uma esfera metálica descarregada está suspensa com um fio de náilon. Quando um bastão de vidro carregado 
positivamente é colocado próximo da esfera, ela é atraída e se move em direção ao bastão. Porém, se a esfera toca o 
bastão, ela repentinamente se afasta dele. Explique por que ela é inicialmente atraída e a seguir repelida. 
 
17.Os elétrons livres de um metal são atraídos pela força de gravidade da Terra. Então, por que eles não se acumulam 
na base de um condutor, tal como a sedimentação de partículas no fundo de um rio? 
 
18.Que semelhanças existem entre uma força elétrica e uma força gravitacional? Quais são as diferenças mais 
relevantes entre essas forças? 
 
19.A força elétrica entre um elétron e um próton, entre dois elétrons ou entre dois prótons é muito mais intensa do que 
a força gravitacional entre uma dessas partículas e qualquer outra. Contudo, embora o Sol e os planetas contenham 
prótons e elétrons, é a força gravitacional que mantém um planeta em sua órbita em torno do Sol. Explique essa 
aparente contradição. 
 
20.Quando você puxa uma fita de plástico transparente de um rolo e tenta posicioná-la com precisão sobre uma folha 
de papel, a fita geralmente enrola e adere em um local que você não deseja. Por quê? 
 
21.Uma esfera metálica tem uma carga de + 8,0 μC. Qual é a carga resultante depois de 6,0.1013 elétrons terem sido 
colocados sobre ela? 
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22. Uma placa contém uma carga de -3,0 μC, enquanto um bastão contém uma carga de +2,0 μC. Quantos elétrons 
devem ser transferidos da placa para o bastão, de modo que os dois objetos tenham a mesma carga? 
 
23.O objeto A é metálico e eletricamente neutro. Ele é carregado por indução de modo a adquirir uma carga de -3,0.10-6 
C. O objeto B é idêntico ao objeto A e também é eletricamente neutro. Ele é carregado por indução de modo a adquirir 
uma carga de +3,0.1016 C. Encontre a diferença de massa entre os objetos carregados e diga qual tem a maior massa. 
 
24.Uma esfera condutora suspensa por um cordão é atraída para um bastão carregado positivamente. A esfera tem 
necessariamente uma carga negativa? Outra esfera condutora suspensa é repelida pelo bastão carregado 
positivamente. Essa esfera tem necessariamente carga positiva? 
 
25.Explique, de um ponto de vista atômico, por que a carga geralmente é transferida por elétrons. 
 
26.Duas esferas pequenas de massa m estão suspensas por fios de comprimento  , que são conectados em um ponto 
comum. Uma esfera tem carga Q e a outra tem carga 2Q. Suponha que são pequenos os ângulos θ1 e θ2 que os fios fazem 
com a vertical. 
a)Como se relacionam θ1 e θ2 . 
b)Mostre que a distância r entre as esferas é dada por 
 
=  
 
�
1/32
e4k Qr
mg
 
 
27.Penduram-se duas bolinhas semelhantes, de massa m, a fios de seda de comprimento L; as bolinhas têm cargas 
iguais q conforme a Figura. Suponha que θ seja tão pequeno que se possa substituir tgθ por seu equivalente 
aproximado, senθ. A essa aproximação, mostre que, para o equilíbrio 
 
=  πε 
1/3
2
0
q L
x
2 mg
 
 
 
28.Uma carga puntiforme positiva q está localizada sobre o eixo Oy no ponto y = a e uma carga puntiforme negativa -q 
está localizada sobre o eixo Oy no ponto y = -a. Uma carga puntiforme negativa -Q está localizada
em algum ponto sobre 
o eixo Ox. 
a) Faça um diagrama do corpo livre mostrando as forças que atuam sobre a carga -Q. 
b) Determine os componentes x e y da força resultante da ação das cargas q e -q sobre -Q. (Sua resposta deve envolver 
somente k, q, Q, a e a coordenada x da terceira carga.) 
c) Qual é a força resultante sobre a carga -Q quando ela está na origem (x = 0)? 
d) Faça um gráfico do componente y da força resultante sobre -Q em função de x para valores de x compreendidos 
entre -4a e +4a. 
 
29.Três pequenas bolas idênticas de isopor (m = 2,00 g) são suspensas de um ponto fixo por três linhas não condutoras, 
cada uma com um comprimento de 50,0 cm e com massa insignificante. No equilíbrio, as três bolas formam um 
triângulo equilátero com lados de 30,0 cm. Qual é a carga comum q em cada bola? 
 
30.Quatro cargas pontuais idênticas (q = +10,0µC) estão localizadas nos vértices de um retângulo, como mostra a Figura. 
As dimensões do retângulo são L = 60,0 cm e W= 15,0 cm. Calcule a magnitude e a direção da força elétrica resultante 
exercida na carga situada no vértice esquerdo inferior pelas outras três cargas. 
 13 
 
31. Um próton e um elétron são mantidos em posições fixas sobre o eixo x. O próton está em x = -d, enquanto o elétron 
está em x = +d. Eles são soltos simultaneamente, e a única força que afeta seus movimentos é a força eletrostática de 
atração que cada um aplica ao outro. Qual partícula alcança primeiro a origem? Explicite seu raciocínio. 
 
32. Dois objetos pequenos, A e B, estão fixos e separados por 3,00 cm no vácuo. O objeto A tem uma carga de + 2,00 μC, 
e o objeto B uma carga de -2,00 μC Quantos elétrons devem ser removidos de A e colocados em B para fazer com que a 
força eletrostática que atua sobre cada objeto seja uma força de atração com um módulo de 68,0 N? 
 
33. Três cargas são fixas em um sistema de coordenadas x, y. Uma carga de +18 μC está sobre o eixo y em y = +3,0 m. 
Uma carga de -12μC está na origem. Por último, uma carga de +45 μC está sobre o eixo x em x = 3,0 m. Determine o 
módulo, a direção e o sentido da força eletrostática resultante sobre a carga em x = +3,0 m. Especifique a direção em 
relação ao eixo -x. 
 
34. Uma carga pontual de -0,70 μC está presa a um vértice de um quadrado. Uma carga idêntica está presa ao vértice 
diagonalmente oposto. Uma carga pontual q é presa a cada um dos vértices que sobraram. A força resultante que atua 
sobre qualquer uma das duas cargas q é nula. Encontre o módulo e o sinal algébrico de q. 
 
35. Há quatro cargas, cada uma com um módulo de 2,0 μC. Duas são positivas e duas são negativas. As cargas estão 
fixadas aos vértices de um quadrado de 0,30 m de lado, uma em cada vértice, de tal maneira que a força resultante 
sobre qualquer carga aponta em direção ao centro do quadrado. Determine o módulo da força eletrostática resultante 
experimentada por qualquer uma das cargas. 
 
36. Uma carga +q está localizada na origem, enquanto uma carga idêntica está localizada sobre o eixo x em x = +0,50 m. 
Uma terceira carga de +2q está localizada sobre o eixo x em um lugar tal que a força eletrostática resultante sobre a 
carga na origem dobra, permanecendo sua direção e seu sentido inalterados. Onde deveria estar localizada a terceira 
carga? 
 
37. Nos vértices de um triângulo equilátero de lado L = 3,0 cm, são fixadas cargas q pontuais e iguais. Considerando q = 
3,0 μC, determine o módulo da força, em N, sobre uma carga pontual q0 = 2,0 μC, que se encontra fixada no ponto 
médio do triângulo. 
Dado: K = 9 · 109 (SI) 
 
38. Duas cargas pontuais positivas, q1 e q2 = 4q1, são fixadas a uma distância d uma da outra. Uma terceira carga 
negativa q3 é colocada no ponto P entre q1 e q2, a uma distância x da carga q1, conforme mostra a figura. 
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a) Calcule o valor de x para que a força sobre a carga q3 seja nula. 
b) Verifique se existe um valor de q3 para o qual tanto a carga q1 como a q2 permanecem em equilíbrio, nas posições do 
item a, sem necessidade de nenhuma outra força além das eletrostáticas entre as cargas. Caso exista, calcule este valor 
de q3; caso não exista, responda “não existe” e justifique. 
 
39.Duas partículas eletrizadas com cargas elétricas iguais a Q estão fixas nos vértices opostos A e C de um quadrado de 
lado ℓ. A força de repulsão entre elas tem intensidade Fe (figura a). Quando colocadas nos vértices adjacentes A e B, a 
força de repulsão passa a ter intensidade F’e (figura b). 
 
 
Qual a relação que existe entre F’e e Fe? 
 
40.Duas esferas condutoras, de massa m, bem pequenas, estão igualmente carregadas .Elas estão suspensas num 
mesmo ponto, por dois longos fios de seda, de massas desprezível e de comprimentos iguais a L. As cargas das esferas 
são tais, que elas estarão em equilíbrio quando a distância entre elas é igual a a (a << L). Num instante posterior uma 
das esferas é descarregada. Qual será a nova distância b (b << L) entre as esferas, quando após se tocarem o equilíbrio 
entre elas for novamente restabelecido?