Regressao_(Scolforo)

Prévia do material em texto

IF 228 – Dendrometria – Prof. Emanuel Araújo 
_____________________________________________________________________________________ 
FONTE: SCOLFORO, J.R.S.; THIERSCH, C.R. Biometria Florestal: Medição, Volumetria e 
Gravimetria. Lavras: UFLA/FAEPE. 2004. 285 p. 
 
1 
A IDÉIA GERAL DE 
REGRESSÃO 
Muitos profissionais que atuam na área técnica, na administração ou na 
pesquisa florestal necessitam, com freqüência, quantificar variáveis que 
apresentam um alto custo para que sejam determinadas em grande escala. 
Muitas vezes, mesmo com um alto custo, é totalmente inviável a sua 
determinação, já que implicam na restrição da base de dados. Pode-se citar, 
como exemplo, a determinação do volume de árvores, o seu peso de matéria 
seca, a densidade da madeira ou alguma outra característica tecnológica, os 
sortimentos que a árvore pode propiciar e muitas outras possibilidades. Uma 
alternativa que tem sido utilizada com sucesso é fazer uso de modelos de 
regressão nos quais procura-se estimar a variável mais complexa de ser 
determinada (variável dependente) através de uma ou mais variáveis ou, ainda, 
combinação destas, que sejam facilmente determinadas (variáveis 
independentes). 
Assim, esta publicação foi desenvolvida não para estatísticos, mas para 
profissionais que atuam nas áreas técnicas, na pesquisa, manejo, silvicultura, 
ecologia florestal e tecnologia da madeira. Por esta razão, a ênfase nos 
diversos capítulos estará centrada muito mais fortemente em como fazer e 
como analisar do que nos porquês. 
1.1 REGRESSÃO - IDÉIA GERAL 
O conceito de média aritmética de variáveis ou de populações é familiar 
a qualquer profissional que utilize ou que seja exposto a qualquer método 
estatístico. 
As árvores de uma população podem ter seus volumes representados 
pela variável Yi. Para estas, há uma média (Y) acerca da qual os valores 
unitários são distribuídos de alguma maneira (Figura 1.1). Assim, o valor Y de 
um conjunto de unidades pode ser expresso como: 
i Y iY =μ +ε
 
(1) 
IF 228 – Dendrometria – Prof. Emanuel Araújo 
_____________________________________________________________________________________ 
FONTE: SCOLFORO, J.R.S.; THIERSCH, C.R. Biometria Florestal: Medição, Volumetria e 
Gravimetria. Lavras: UFLA/FAEPE. 2004. 285 p. 
 
em que: 
Yi - É o valor da variável de interesse relacionado a i-ésima 
unidade 
Y- É a média aritmética de todos os valores de Y 
i- É a diferença ou desvio dos valores de Y da i-ésima unidade em 
relação à média da população (Yi - Y). A medida estatística que expressa, em 
média, este desvio, em relação à média (Y), é a variância e sua raiz quadrada, 
o desvio padrão. 
 
 
FIGURA 1.1 Representação dos valores individuais de cada população (Yi) 
e suas médias (i) 
Se for estabelecida uma linha ligando as médias das diferentes 
populações (Figura 1.2), ela estará retratando a relação entre Y e X e será 
chamada de função de regressão. Se a relação entre a média de Y (Y) e o 
valor de X é uma linha reta, então o modelo de regressão pode ser escrito 
como: 
Y 0 1μ =β +β X
 (2) 
em que: 
0 - É a constante de regressão, que expressa o seu nível ou a 
interseção em Y 
1 - É o coeficiente de regressão, que expressa a inclinação da 
reta ou a sua forma 
V
al
o
re
s 
in
d
iv
id
u
ai
s 
d
a 
p
o
p
u
la
çã
o
Y
XX1 X2 X3 X4 X5 X6 X7
1
2
3
4
5
6
7
IF 228 – Dendrometria – Prof. Emanuel Araújo 
_____________________________________________________________________________________ 
FONTE: SCOLFORO, J.R.S.; THIERSCH, C.R. Biometria Florestal: Medição, Volumetria e 
Gravimetria. Lavras: UFLA/FAEPE. 2004. 285 p. 
 
 
 
FIGURA 1.2 Ilustra a relação linear entre as médias de Y e X 
O modelo (2) expressa, portanto, as mudanças na média com mudanças 
em X. Um dos pontos cruciais em regressão é encontrar esta relação. 
Substituindo (2) em (1), tem-se: 
0 1 iY     
 (3) 
Esta expressão (3) retrata não mais as mudanças da média em relação 
a X, mas sim as mudanças em Yi associadas às mudanças de Xi. 
No caso das populações serem caracterizadas por mais de uma variável 
X, por exemplo, X1 e X2, a média (Y) é associada a cada combinação de 
valores destas variáveis e funcionalmente relacionadas a elas como: 
Y 0 1 1 2 2 iX X      
 (4) 
Então, substituindo (4) em (1), tem-se: 
0 1 1 2 2 iY X X     
 (5) 
Para modelos desta natureza, se as faixas dos valores de Y em torno da 
sua média é semelhante para todos os pontos na superfície de regressão ou 
todas as combinações de variáveis independentes, então a variância é dita 
ser homogênea. Se a faixa dos valores de Y não é semelhante em todos os 
pontos, a variância é heterogênea. 
Y
X
IF 228 – Dendrometria – Prof. Emanuel Araújo 
_____________________________________________________________________________________ 
FONTE: SCOLFORO, J.R.S.; THIERSCH, C.R. Biometria Florestal: Medição, Volumetria e 
Gravimetria. Lavras: UFLA/FAEPE. 2004. 285 p. 
 
A idéia geral da regressão foi desenvolvida a partir de várias populações 
que implicou em um valor de X para cada uma das populações ou, ainda, uma 
população para cada possível combinação dos valores para diferentes valores 
de X. No entanto, é mais comum pensar em termos de uma população sendo 
caracterizada por um valor de Y e um ou mais valores de X. 
1.2 MODELO MATEMÁTICO 
O usuário de regressão tem normalmente dois objetivos. O primeiro 
consiste em encontrar um modelo para representar a relação funcional entre 
Y e X. O segundo consiste em testar hipóteses entre a variável dependente e 
uma ou mais variáveis independentes. 
Então, para que esta relação funcional seja ajustada, é preciso uma 
amostra onde tanto os valores de X como os valores de Y sejam 
determinações. Pode-se, então, utilizando o método de ajuste linear ou não-
linear, quando for o caso, obter a estimativa dos parâmetros da regressão (is). 
Entre as várias modalidades de representar Y em função de X, pode-se 
considerar os modelos lineares e não-lineares. 
1.2.1 Modelos lineares 
Os modelos lineares são aqueles em que os parâmetros estão na forma 
aditiva. Podem ser linear simples se associado a variável dependente (Y) 
existir uma única variável independente (X) ou linear múltiplo quando 
associado a variável dependente existem duas ou mais variáveis 
independentes (X’s). 
Os métodos para promover a estimativa dos parâmetros são 
normalmente os mínimos quadrados ordinários ou a máxima verossimilhança. 
Quando existe autocorrelação entre resíduos, uma alternativa é utilizar a 
regressão em 2 ou 3 estágios. 
Exemplos de modelos lineares 
a) Simples 
 
0 1 iY X    
 
 
2
0 1 iY Dap H    
 
 
0 1 i
1
Y
H
    
 
 
b) Múltiplos 
 
0 1 1 2 2 iY X X     
 
 
2 2
0 1 2 3 iY Dap Dap H DapH      
 
 
2
0 1 2 iY Dap Dap     
 
IF 228 – Dendrometria – Prof. Emanuel Araújo 
_____________________________________________________________________________________ 
FONTE: SCOLFORO, J.R.S.; THIERSCH, C.R. Biometria Florestal: Medição, Volumetriae 
Gravimetria. Lavras: UFLA/FAEPE. 2004. 285 p. 
 
1.2.2 Modelos não lineares 
Os modelos não-lineares são aqueles em que pelo menos um dos 
parâmetros não esteja na forma aditiva. Eles podem ser linearizáveis por 
transformações, principalmente as logarítmicas, ou não serem linearizáveis, 
quando não existirem propriedades que permitam tal ação. Os métodos para 
promover as estimativas dos parâmetros são iterativos podendo-se destacar 
Marquardt, Gauss-Newton e o Gradiente. 
 
Exemplos de modelos não-lineares 
a) Linearizáveis 
 
1 2
0V Dap H
  
 
 
0 1 2lnV ln lnDap lnH   
 ou 
0 1 1 2 2Y X X   
 
 
1
0Y X
 
 
 
0 1lnY ln lnX  
 ou 
0 1Y X  
 
 
b) Não-linearizáveis 
 
X
0 1Y   
 
 1KI (1 m)W A(1 e )   
1.3 FORMA DOS MODELOS 
Um dos cuidados maiores que os usuários de regressão devem ter é o 
conhecimento da forma matemática dos modelos e, também, das relações 
funcionais da amostra que será utilizada para promover o ajuste dos modelos. 
a) Linha reta - 
0 1Y X  
 
 
 
0 e 1 positivos
0 positivo
1 negativo
X X
Y Y
IF 228 – Dendrometria – Prof. Emanuel Araújo 
_____________________________________________________________________________________ 
FONTE: SCOLFORO, J.R.S.; THIERSCH, C.R. Biometria Florestal: Medição, Volumetria e 
Gravimetria. Lavras: UFLA/FAEPE. 2004. 285 p. 
 
 
 
X
Y
X
Y
0 negativo
1 positivo
0 = 0
1 positivo
IF 228 – Dendrometria – Prof. Emanuel Araújo 
_____________________________________________________________________________________ 
FONTE: SCOLFORO, J.R.S.; THIERSCH, C.R. Biometria Florestal: Medição, Volumetria e 
Gravimetria. Lavras: UFLA/FAEPE. 2004. 285 p. 
 
b) Parábola de 2o grau - 
2
0 1 2Y X X   
 
 
c) Hipérbole - 
0 1
1
Y
X
  
 
 
d) Polinômio de 3o grau - 
2 3
0 1 2 3Y X X X    
 
 
 
X
Y
X
Y
2 negativo 2 positivo
b
b
aa
b positivo b negativo
X
Y
X
Y
a
a
a - Valor assintótico correspondente a 0
3 positivo 3 negativo 3 positivo
X
Y
IF 228 – Dendrometria – Prof. Emanuel Araújo 
_____________________________________________________________________________________ 
FONTE: SCOLFORO, J.R.S.; THIERSCH, C.R. Biometria Florestal: Medição, Volumetria e 
Gravimetria. Lavras: UFLA/FAEPE. 2004. 285 p. 
 
e) Modelo linear - 
0 1 10Y log X  
 
 
f) Modelo exponencial - 
X
0 1Y   
 
 
Se linearizado, o modelo assume a forma 
0 1lnY ln lnX  
 ou 
0 1Y X  
 e sua forma será exatamente a da reta (a). 
 
g) Modelo monomolecular: Wt = A (1 - b e-kt) 
 
h) Modelo autocatalístico ou logística: Wt = A / (1 + be-kt) 
1 positivo
2 negativo
Y
X
Y
X
Y
XK = altura da curva
wt = A(1-be )
t
-Kt
A
w
(assintota)
IF 228 – Dendrometria – Prof. Emanuel Araújo 
_____________________________________________________________________________________ 
FONTE: SCOLFORO, J.R.S.; THIERSCH, C.R. Biometria Florestal: Medição, Volumetria e 
Gravimetria. Lavras: UFLA/FAEPE. 2004. 285 p. 
 
 
i) Modelo de GOMPERTZ: Wt = A ktbee  
 
j) Modelo de Chapman e Richards: Wt = A (1 - b e-kt)1/(1-m) 
 
em que: 
W = tamanho do organismo no tempo t; 
A = valor assintótico que o organismo pode atingir; 
t
m
w
(assintota)
A
wt = A
(0,5 de w)
-Kt
(1+ be )
K
m (0.368 w)
w
A
(assintota)
t
K
-be
wt = Ae
-Kt
m (variável em relação
 a w)
A
w
(assintota)
t
K
0
wt = A (1-be )-Kt 1- m
1
IF 228 – Dendrometria – Prof. Emanuel Araújo 
_____________________________________________________________________________________ 
FONTE: SCOLFORO, J.R.S.; THIERSCH, C.R. Biometria Florestal: Medição, Volumetria e 
Gravimetria. Lavras: UFLA/FAEPE. 2004. 285 p. 
 
k = medida relativa da taxa de crescimento do organismo ou altura da curva; 
b = é usualmente sem importância biológica, refletindo somente a escolha 
do tempo zero; 
m = retrata o ponto de inflexão. 
 
 
 
 
 
 
 
IF 228 – Dendrometria – Prof. Emanuel Araújo 
_____________________________________________________________________________________ 
FONTE: SCOLFORO, J.R.S.; THIERSCH, C.R. Biometria Florestal: Medição, Volumetria e 
Gravimetria. Lavras: UFLA/FAEPE. 2004. 285 p. 
 
2 
REGRESSÃO LINEAR 
2.1 REGRESSÃO LINEAR SIMPLES - MÉTODO DOS MÍNIMOS 
QUADRADOS 
Diz-se que uma regressão é linear simples, se associada à variável 
dependente, existe uma única variável independente. 
2.1.1 Regressão linear do ponto de vista algébrico 
Para demonstrar como é obtido o ajuste, utilizar-se-á do modelo de Spurr. 
i
2
10 H Dap V 
, 
Este modelo pode ser redefinido como: 
iii X b a Y 
 (1) 
onde: 
Y  valor observado 
a + bXi  propicia a estimativa 
i  erro envolvido no processo estimativo 
 
Omitindo o índice de Y e X para fins de simplificação tem-se: 
bX - a - Y i 
 (2) 
O método dos mínimos quadrados consiste na minimização da soma dos 
quadrados dos desvios. Portanto a expressão (2) sujeita a este conceito assume 
a seguinte forma: 
  22i bX - a -Y 
 (3) 
A minimização é obtida através da derivada da função (3) em relação aos 
parâmetros a serem estimados de tal forma que: 
 bX - a -Y 2 
a
2
i 


 (-1) (4) 
 bX - a -Y 2 
b
2
i 


 (-X ) (5) 
IF 228 – Dendrometria – Prof. Emanuel Araújo 
_____________________________________________________________________________________ 
FONTE: SCOLFORO, J.R.S.; THIERSCH, C.R. Biometria Florestal: Medição, Volumetria e 
Gravimetria. Lavras: UFLA/FAEPE. 2004. 285 p. 
 
Igualando as expressões (4) e (5) a zero e dividindo por -2 tem-se: 
 
 




 0 X bX - a -Y 
 0 bX - a -Y 
 





 0 Xb - Xa -Y X
 0 Xb - na -Y 
2
 





 XY Xb Xa
 Y Xb na
2
 
Resolvendo a expressão (10) em relação a (a) tem-se: 
 (12) 
ou 
 (13) 
Substituindo (12) em (11) tem-se: 
 (14) 
 
XY X b 
n
X
b - 
n
YX 2
2


 (15) 
 





 








 

n
YX
 -XYn
X
 - X b
2
2
 (16) 
 
n
X
 - X
n
YX
 -XY 
 b
2
2 



 (17) 
 
As expressões (13) e (17) possibilitam obter a estimativa dos parâmetros 
da regressão. No entanto, é necessário conhecer se a função está bem ajustada 
ou não. Para tal, é necessário conhecer as medidas de precisão da regressão, 
fato obtido através da tabela de análise de variância. 
Sabe-se que, a soma do quadrado total (SQTotal) é igual a soma do 
quadrado da regressão (SQreg) mais a soma do quadrado do resíduo ou erro 
(SQerro). 
Assim novamente a partir da equação da reta, tem-se: 
n
X
 b - 
n
Y
 a


 
--
Xb - Y a 
XY Xb X 
n
X
 b - 
n
Y 2 










 





 
(
6) 
(
7) (
8) 
(
9) (
10) 
(
11) 
IF 228 – Dendrometria – Prof. Emanuel Araújo 
_____________________________________________________________________________________ 
FONTE: SCOLFORO, J.R.S.; THIERSCH, C.R. Biometria Florestal: Medição, Volumetria e 
Gravimetria. Lavras: UFLA/FAEPE. 2004. 285 p. 
 
bX a Y
^

 (1) 
__
Xb - Y a 
 (2) 
bX Xb - Y Y
_ _^

 (3) 
)X - (X b Y Y
__^

, multiplicando esta expressão por -1 e somando Y, tem-
se: (4) 
)X - (X b Y - Y Y - Y
__^

 (5) 
, multiplicando esta expressão (6) por  e elevando-a ao 
quadrado tem-se: 
 (7) 
 
(8) 
Desenvolvendo especificamente (9), tem-se: 
) X - (X b )Y - Y ( 2-
__

 (10) 
como: 
2
_
__
)X - (X 
)Y -(Y )X - (X 
 b



 (11) 
)Y -(Y )X - (X )X - (X b
__
2
_

 (12) 
Substituindo (12) em (10), tem-se: 
 )X - (X b 2 2
_
2 
 (13) 
Esta expressão é similar a: 
 )Y - Y( 2 2
_^

 (14) 
Voltando a expressão (8) e substituindo 
 )Y - Y( )Y -(Y 2
_^_

 por (14) tem-se: 
2
_^
2
_^
2
_
2
^
)Y - Y( )Y - Y( 2 )Y - Y ( )Y - Y( 
 (15) 
 )Y - Y( )Y - Y ( )Y - Y( 2
_^
2
_
2
^

 (16) 
)Y - Y( )Y - Y ( )Y - Y(
_^_^

 )Y - Y( - )Y -(Y )Y - Y( 
2
_^_
2
^







2
_^_^_
2
_
2
^
)Y - Y( )Y - Y( )Y -(Y 2 )Y - Y ( )Y - Y( 
)Y - Y( )Y - Y ( 2-
_^_

IF 228 – Dendrometria – Prof. Emanuel Araújo 
_____________________________________________________________________________________ 
FONTE: SCOLFORO, J.R.S.; THIERSCH, C.R. Biometria Florestal: Medição, Volumetria e 
Gravimetria. Lavras: UFLA/FAEPE. 2004. 285 p. 
 
 )Y - Y( )Y - Y ( )Y - Y( 2
_^
2
^
2
_

 (17) 
Assim, a Análise de Variância assume a forma, mostrada na Tabela 2.1. 
 
TABELA 2.1 Tabela de análise de variância (ANAVA) 
onde: 
FV: fonte de variação 
GL: graus de liberdade 
SQ: soma de quadrado 
QM: quadrado médio 
n : número de observações 
p : número de variável(is) independente(s) 
 
Como para análise de uma única regressão, o F será sempre um valor 
altamente significativo, independente da regressão estar ou não bem ajustada 
ao conjunto de dados, é necessário trabalhar com as medidas de precisão, as 
quais são obtidas de ANAVA, e apresentadas a seguir: 
 
a) Coeficiente de Determinação (R2) 
Esta medida de precisão varia entre 0 e 100 %, sendo que, quanto mais 
próxima de 100 % mais eficiente é a equação ajustada. 
 
n
Y
 - Y
n
YX
 -XY b
 R
2
2
2







 


 
 
 
 
n
Y
 - Y
n
YX
 -XY 
n/X - X
n/YX -XY 
 R
2
2
22
2







 











 
FV GL SQ QM F 
 
Reg YX 
 
P 
 
 
 
 
 
 
 
 
2
_^
)Y - Y(
 
 
SQReg/GL reg 
 
 
 
 
 
 
 
erro QM
reg QM
 
 
Erro 
 
n-p-1 
 
 
 
 
 
 
 
 
2
^
)Y - Y(
 
 
SQErro/GL erro 
 
Total 
 
n-1 
 
 
 
 
 
 
2
_
)Y - Y(
 
 
IF 228 – Dendrometria – Prof. Emanuel Araújo 
_____________________________________________________________________________________ 
FONTE: SCOLFORO, J.R.S.; THIERSCH, C.R. Biometria Florestal: Medição, Volumetria e 
Gravimetria. Lavras: UFLA/FAEPE. 2004. 285 p. 
 
 
   







 








 









n
Y
 - Y 
n
X
 - X
n/YX XY
 
 R
2
2
2
2
2
2
 
ou ainda: 
Reg2
Total
SQ 
R = 
SQ 
 
Esta medida de precisão expressa o quanto as variações da variável 
dependente são explicadas pela(s) variável(is) independente(s). 
O coeficiente de determinação (R2 ) deve ser corrigido ou ajustado em 
função do número de parâmetros envolvidos no modelo, como: 
R2 =    
 
   
   
   
2 2Erro
Total
n -1 n -1SQ
1- ou R =1- 1-R
n-p -1 SQ n-p -1
 
Intimamente ligado ao coeficiente de determinação está o coeficiente de 
correlação (R) que pode ser obtido como: 
2R R 
 
ou: 
   







 








 






 


n
Y
 - Y 
n
X
 - X
n
YX
 -XY 
 R
2
2
2
2
2
 
O coeficiente de correlação, expressa e permite verificar a correlação entre 
variáveis independentes e também a correlação entre variável independente e a 
dependente. Do ponto de vista de eficiência, é interessante que exista uma alta 
correlação entre a variável independente e a dependente e uma baixa ou 
inexistente correlação entre as variáveis independentes. 
O coeficiente de correlação varia entre –1 e +1 e pode assumir os 
comportamentos mostrados na Figura 2.1. 
 
IF 228 – Dendrometria – Prof. Emanuel Araújo 
_____________________________________________________________________________________ 
FONTE: SCOLFORO, J.R.S.; THIERSCH, C.R. Biometria Florestal: Medição,Volumetria e 
Gravimetria. Lavras: UFLA/FAEPE. 2004. 285 p. 
 
 
FIGURA 2.1 Correlação positiva entre variável independente e a 
dependente (a), Correlação negativa entre variável 
independente e a dependente (b), Inexistência de correlação 
entre variáveis independente e dependente(c) e Inexistência 
de correlação entre variáveis independentes(d) 
A situação mostrada na Figura 2.1(a) é bastante desejável e retrata que o 
aumento de uma implica no aumento da outra. A situação mostrada em 2.1(b) 
também é bastante desejável e retrata que o aumento de uma variável implica 
na diminuição da outra. A situação mostrada na Figura 2.1(c) expressa que o 
ajuste de modelos não é desejável já que a variável independente não explica 
as variações na variável dependente. Neste caso o uso da média aritmética é 
suficiente para retratar o fenômeno. Já a situação mostrada na Figura 2.1(d) é 
bastante desejável se X1 e X2 forem correlacionadas com a variável dependente. 
Este fato expressa que o fenômeno é perfeitamente explicado através de modelo 
matemático. 
 
b) Erro Padrão dos Resíduos (SYX) 
Esta medida de precisão expressa o quanto em termos médios os valores 
observados variam em relação aos valores estimados. É partir deste valor que 
se consegue o intervalo de confiança. A unidade de SYX, é a mesma unidade da 
variável dependente Y. Quanto mais próximo de zero este valor, mais eficiente 
tende a ser a regressão. 
YX ErroS QM
 
 YXYX
S
S % .100
Y
 
No caso da variável dependente sofrer algum tipo de transformação, por exemplo (lnV; 
d
D
;
H
), o erro padrão dos resíduos deve ser retransformado, recalculando-se 
Yˆ
na unidade 
da variável observada. Então ele é calculado como: 


 
 2
YX(Transformado)
(Y Y)
S
n p 1
 
R + 1
X X
YY
R - 1
Y
X
R 0
X1
R 0
X2
(a) (b) (c) (d)
IF 228 – Dendrometria – Prof. Emanuel Araújo 
_____________________________________________________________________________________ 
FONTE: SCOLFORO, J.R.S.; THIERSCH, C.R. Biometria Florestal: Medição, Volumetria e 
Gravimetria. Lavras: UFLA/FAEPE. 2004. 285 p. 
 

YX(Transformado)
YX(Transformado)
S
S % .100
Y
 
 
c) Soma de quadrados da predição 
É um critério importante para seleção de modelos lineares. Para 
implementá-lo deve-se observar a seqüência: 
1) Apagar a i-ésima observação (Yi) do conjunto de dados e ajustar o 
modelo para os n-1 observações restantes. 
2) Utilizando o modelo ajustado em 1, deve-se estimar 
ˆ
i(i)Y
 para aquela observação 
que foi apagada em 1. 
3) O erro de predição ao quadrado para a observação apagada é obtido 
por 
 
 
ˆ
2
i i(i)Y - Y
 
4) Esse procedimento deve ser realizado para cada uma das observações 
do conjunto de dados. 
5) Pode-se obter então a soma dos valores de quadrado da predição. 
Quanto menor for esta soma, menor o erro de predição da equação e 
melhor o seu desempenho.