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Aula 15 Derivadas Direcionais e Vetor Gradiente Seja f(x, y) uma func¸a˜o de 2 varia´veis. Iremos usar a notac¸a˜o D~uf(x0, y0) para: Derivada direcional de f no ponto (x0, y0), na direc¸a˜o do vetor unita´rio ~u = (a, b). Quando ~u = (1, 0) ou ~u = (0, 1), obtemos as derivadas parciais em relac¸a˜o a x ou y, respectivamente. Interpretac¸a˜o geome´trica Declive da reta tangente: D~uf(x0, y0) Definic¸a˜o (E´ uma generalizac¸a˜o natural das derivadas parciais): D~uf(x0, y0) = lim h→0 f(x0 + ha, y0 + hb)− f(x0, y0) h , sempre que este limite existir. Note que se trata de uma derivada de ca´lculo 1: a derivada da func¸a˜o g(t) = f(x0 + ta, y0 + tb) para t = 0. Note tambe´m que a distaˆncia do ponto (x0, y0) a (x0, y0) + h~u (veja a figura acima) e´ |h| · ‖~u‖ = |h|, se e so´ se ‖~u‖ = 1. E´ por esta raza˜o que sempre usaremos vetores ~u unita´rios no ca´lculo de derivadas direcionais. Teorema 1. Se f e´ uma func¸a˜o diferencia´vel no ponto (x0, y0), enta˜o D~uf(x0, y0) existe, para qualquer ~u = (a, b) unita´rio, e D~uf(x0, y0) = a ∂f ∂x (x0, y0) + b ∂f ∂y (x0, y0). Demonstrac¸a˜o. Por definic¸a˜o, D~uf(x0, y0) = d dt ( f(x0 + at, y0 + bt) ) |t=0. Por consequeˆncia da Regra da Cadeia, D~uf(x0, y0) = ∂f ∂x (x0, y0)a+ ∂f ∂y (x0, y0)b. 1 2 Exemplo 1. Calcule a derivada direcional de f(x, y) = x2 + xy + sen(xy) no ponto (1, 0), segundo a direc¸a˜o dada pelo aˆngulo θ = pi/3. Temos que ~u = (cos θ, sen θ) = ( 1 2 , √ 3 2 ) . ∂f ∂x = 2x+ y + y cos(xy), ∂f ∂y = x+ x cos(xy). Como f e´ diferencia´vel (pois e´ o produto, composic¸a˜o e soma de func¸o˜es dife- rencia´veis ou ainda, pois ∂f ∂x e ∂f ∂y sa˜o cont´ınuas), temos D~uf(1, 0) = 1 2 · ∂f ∂x (1, 0) + √ 3 2 · ∂f ∂y (1, 0) = 1 2 · 2 + √ 3 2 · 2 = 1 + √ 3. No exemplo anterior foram calculadas 3 derivadas de f no ponto (1, 0), segundo 3 direc¸o˜es: ∂f ∂x (1, 0) = 2, ∂f ∂y (1, 0) = 2 e D( 1 2 , √ 3 2 )f(1, 0) = 1 +√3. Portanto, no ponto (1, 0), a variac¸a˜o de f e´ maior na direc¸a˜o de ( 1 2 , √ 3 2 ) do que nas direc¸o˜es segundo os semi-eixos positivos de x e y. Sera´ que, no mesmo ponto (1, 0), existe uma outra direc¸a˜o segundo a qual a variac¸a˜o de f ainda e´ maior do que 1 + √ 3 ? Para responder a esta questa˜o vamos introduzir o seguinte: Vetor Gradiente: ~∇f(x0, y0) = ( ∂f ∂x (x0, y0), ∂f ∂y (x0, y0) ) . Se f e´ diferencia´vel no ponto (x0, y0), enta˜o, pelo Teorema 1, podemos escrever D~uf(x0, y0) = ~∇f(x0, y0) · ~u Questa˜o: Qual a direc¸a˜o de maior crescimento de f (diferencia´vel) no ponto (x0, y0)? Seja θ o aˆngulo entre os vetores ~∇f(x0, y0) e ~u. Enta˜o D~uf(x0, y0) = ~∇f(x0, y0) · ~u = ‖~∇f(x0, y0)‖ ‖~u‖ cos θ = ‖~∇f(x0, y0)‖ cos θ e´ ma´ximo quando θ = 0, isto e´, quando ~u tem mesma direc¸a˜o e sentido de ~∇f(x0, y0): ~u = ~∇f(x0, y0) ‖~∇f(x0, y0)‖ . Ale´m disso, a maior taxa de crescimento de f no ponto (x0, y0) e´ ||~∇f(x0, y0)||. (O vetor ~∇f(x0, y0) da´ a direc¸a˜o de maior crescimento e o seu comprimento da´ a taxa de maior crescimento no ponto (x0, y0)). 3 Exemplo 2. No exemplo anterior, qual a direc¸a˜o de maior crescimento de f no ponto (1, 0)? E qual a maior taxa de variac¸a˜o de f nesse ponto? ~∇f(1, 0) = ( ∂f ∂x (1, 0), ∂f ∂y (1, 0) ) = (2, 2) ~u = ~∇f(1, 0) ||~∇f(1, 0)|| = 1√ 4 + 4 (2, 2) = ( 1√ 2 , 1√ 2 ) → direc¸a˜o de maior crescimento de f no ponto (1, 0). ||~∇f(1, 0)|| = 2√2 → maior taxa de variac¸a˜o de f no ponto (1, 0). Curvas de Nı´vel de f(x, y) f(x, y) = k (1) A variac¸a˜o de f ao longo de cada curva de n´ıvel e´ zero (f e´ constante em cada curva de n´ıvel); (2) Por outro lado, ~∇f(x0, y0) aponta na direc¸a˜o de maior crescimento de f . Isto nos leva a crer que ~∇f(x0, y0) e´ ortogonal a` curva de n´ıvel no ponto (x0, y0). De fato, por (1), D~tf(x0, y0) = 0 ⇔ ~∇f(x0, y0) · ~t = 0, onde ~t e´ um vetor tangente a` curva de n´ıvel de f no ponto (x0, y0). A ana´lise que fize´mos anteriormente (derivadas direcionais e direc¸a˜o/taxa de maior crescimento) se extendem naturalmente para func¸o˜es de n varia´veis. Por exemplo, se F (x, y, z) e´ diferencia´vel enta˜o o vetor ~∇F (x0, y0, z0) = ( ∂F ∂x (x0, y0, z0), ∂F ∂y (x0, y0, z0), ∂F ∂z (x0, y0, z0) ) aponta na direc¸a˜o de maior crescimento de F no ponto (x0, y0, z0). Superf´ıcie de Nı´vel de F (x, y, z) S : F (x, y, z) = k 4 Obs.: Anteriormente consideramos superf´ıcies que eram dadas pelo gra´fico de uma func¸a˜o de duas varia´veis: S : z = f(x, y) Agora estamos considerando a superf´ıcie de uma outra maneira: como su- perf´ıcie de n´ıvel de uma func¸a˜o de 3 varia´veis: S : F (x, y, z) = k Como anteriormente, o vetor ~∇F (x0, y0, z0) e´ perpendicular a` superf´ıcie de n´ıvel S no ponto (x0, y0, z0) (veja a Figura seguinte). ~∇F ⊥ S Ou seja, o vetor ~n = ~∇F (x0, y0, z0) e´ um vetor normal ao plano tangente a S : F (x, y, z) = k no ponto (x0, y0, z0). Equac¸a˜o cartesiana do plano tangente a S : F (x, y, z) = k no ponto (x0, y0, z0): ∂F ∂x (x0, y0, z0) · (x− x0) + ∂F ∂y (x0, y0, z0) · (y − y0) + ∂F ∂z (x0, y0, z0) · (z − z0) = 0 Exemplo 3. Seja S o elipso´ide dado por x2 + y2 4 + z2 9 = 3. Determine o plano tangente a S no ponto (1, 2, 3). Ja´ resolvemos este exerc´ıcio anteriormente (Aula 13), pore´m naquele momento so´ sab´ıamos determinar plano tangente a superf´ıcies que eram gra´ficos de func¸o˜es de duas varia´veis f(x, y), ou seja, S : z = f(x, y). Por isso, tivemos de resolver a equac¸a˜o de superf´ıcie em ordem a z. Agora na˜o e´ necessa´rio fazer isto, pois ja´ sabemos determinar planos tangente a superf´ıcies de n´ıvel. S pode ser vista como a superf´ıcie de n´ıvel k = 3 da func¸a˜o F (x, y, z) = x2 + y2 4 + z2 9 . Vetor normal: ~∇F (1, 2, 3) = ( 2x, y 2 , 2z 9 ) ∣∣∣ (x,y,z)=(1,2,3) = ( 2, 1, 2 3 ) . Equac¸a˜o do plano tangente a S : F (x, y, z) = 3 no ponto (1, 2, 3): 2(x− 1) + 1(y − 2) + 2 3 (z − 3) = 0 ⇔ 2x+ y + 2 3 z = 6. Note que deu o mesmo plano encontrado anteriormente, claro, mas desta maneira foi muito mais fa´cil pois na˜o tivemos de resolver a equac¸a˜o da superf´ıcie em ordem 5 a z. No entanto, se fizessemos isso, sabemos que podemos escrever S na forma z = f(x, y) (na parte superior). Sem calcular explicitamente f(x, y), quanto valem ∂f ∂x (2, 1) e ∂f ∂y (2, 1) ? Como 2x+ y + 2 3 z = 6 ⇔ z = 9− 3x− 3 2 y, temos que ∂f ∂x (2, 1) = −3 e ∂f ∂y (2, 1) = −3 2 . Exemplo 4. Seja C a curva dada pela intersec¸a˜o das superf´ıcies: S1 : z = x 2 + y2 e S2 : 4x 2 + y2 + z2 = 9. Calcule a parametrizac¸a˜o da reta tangente a C no ponto (−1, 1, 2). (A ideia na˜o e´ parametrizar C, porque na˜o e´ necessa´rio e, neste caso, e´ dif´ıcil.) Vamos relacionar os 3 vetores: ~v → vetor diretor da reta tangente a C; ~n1 → vetor normal a S1 no ponto (−1, 1, 2); ~n2 → vetor normal a S2 no ponto (−1, 1, 2). O vetor ~v e´ tangente a C, e como C esta´ contida em S1, ~v e´ tangente a S1, logo ~v ⊥ ~n1. Analogamente, podemos concluir que ~v ⊥ ~n2. Assim, podemos tomar ~v = ~n1 × ~n2. Como achar ~n1 e ~n2 ? S1 : z = x 2 + y2 ⇔ x2 + y2 − z︸ ︷︷ ︸ F (x,y,z) = 0 ~∇F (x, y, z) = (2x, 2y,−1) ~n1 = ~∇F (−1, 1, 2) = (−2, 2,−1) S2 : 4x 2 + y2 + z2︸ ︷︷ ︸ G(x,y,z) = 9 ~∇G(x, y, z) = (8x, 2y, 2z) ~n2 = ~∇G(−1, 1, 2) = (−8, 2, 4). ~v = ~n1 × ~n2 = ∣∣∣∣∣∣ ~i ~j ~k −2 2 −1 −8 2 4 ∣∣∣∣∣∣ = (10, 16, 12). Uma parametrizac¸a˜o da reta tangente e´ enta˜o dada por: t~v + (−1, 1, 2) = (−1 + 10t, 1 + 16t, 2 + 12t), ∀t ∈ R. 6 Exerc´ıcio 1) Considere os pontos A(2, 3), B(3, 4), C(1, 4) e D(3, 5). Considere ainda,D ~ABf(A) = 3 e D ~ACf(A) = 26. Determine o valor de D ~ADf(A). Exerc´ıcio 2) Calcule o plano tangente a S no ponto (0, 0, 1), onde S e´ definida pela equac¸a˜o yz = log(x+ z). [Dica: Considere S como superf´ıcie de n´ıvel.] Exerc´ıcio 3) Considere S a superf´ıcie dada pela equac¸a˜o y = x2 + z2. Calcule os pontos (x0, y0, z0) ∈ S nos quais o plano tangente e´ paralelo ao plano x+2y+3z = 1.
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