Notas de Aula - Cálculo 2 - aula15 Derivadas Direcionais e Vetor Gradiente

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Aula 15
Derivadas Direcionais e Vetor Gradiente
Seja f(x, y) uma func¸a˜o de 2 varia´veis. Iremos usar a notac¸a˜o D~uf(x0, y0) para:
Derivada direcional de f no ponto (x0, y0), na direc¸a˜o do vetor unita´rio ~u = (a, b).
Quando ~u = (1, 0) ou ~u = (0, 1), obtemos as derivadas parciais em relac¸a˜o a x
ou y, respectivamente.
Interpretac¸a˜o geome´trica
Declive da reta tangente:
D~uf(x0, y0)
Definic¸a˜o (E´ uma generalizac¸a˜o natural das derivadas parciais):
D~uf(x0, y0) = lim
h→0
f(x0 + ha, y0 + hb)− f(x0, y0)
h
,
sempre que este limite existir. Note que se trata de uma derivada de ca´lculo 1:
a derivada da func¸a˜o g(t) = f(x0 + ta, y0 + tb) para t = 0. Note tambe´m que a
distaˆncia do ponto (x0, y0) a (x0, y0) + h~u (veja a figura acima) e´ |h| · ‖~u‖ = |h|,
se e so´ se ‖~u‖ = 1. E´ por esta raza˜o que sempre usaremos vetores ~u unita´rios no
ca´lculo de derivadas direcionais.
Teorema 1. Se f e´ uma func¸a˜o diferencia´vel no ponto (x0, y0), enta˜o D~uf(x0, y0)
existe, para qualquer ~u = (a, b) unita´rio, e
D~uf(x0, y0) = a
∂f
∂x
(x0, y0) + b
∂f
∂y
(x0, y0).
Demonstrac¸a˜o. Por definic¸a˜o,
D~uf(x0, y0) =
d
dt
(
f(x0 + at, y0 + bt)
)
|t=0.
Por consequeˆncia da Regra da Cadeia,
D~uf(x0, y0) =
∂f
∂x
(x0, y0)a+
∂f
∂y
(x0, y0)b.
1
2
Exemplo 1. Calcule a derivada direcional de
f(x, y) = x2 + xy + sen(xy)
no ponto (1, 0), segundo a direc¸a˜o dada pelo aˆngulo θ = pi/3.
Temos que ~u = (cos θ, sen θ) =
(
1
2
,
√
3
2
)
.
∂f
∂x
= 2x+ y + y cos(xy),
∂f
∂y
= x+ x cos(xy).
Como f e´ diferencia´vel (pois e´ o produto, composic¸a˜o e soma de func¸o˜es dife-
rencia´veis ou ainda, pois
∂f
∂x
e
∂f
∂y
sa˜o cont´ınuas), temos
D~uf(1, 0) =
1
2
· ∂f
∂x
(1, 0) +
√
3
2
· ∂f
∂y
(1, 0) =
1
2
· 2 +
√
3
2
· 2 = 1 +
√
3.
No exemplo anterior foram calculadas 3 derivadas de f no ponto (1, 0), segundo
3 direc¸o˜es:
∂f
∂x
(1, 0) = 2,
∂f
∂y
(1, 0) = 2 e D( 1
2 ,
√
3
2
)f(1, 0) = 1 +√3.
Portanto, no ponto (1, 0), a variac¸a˜o de f e´ maior na direc¸a˜o de
(
1
2 ,
√
3
2
)
do que
nas direc¸o˜es segundo os semi-eixos positivos de x e y. Sera´ que, no mesmo ponto
(1, 0), existe uma outra direc¸a˜o segundo a qual a variac¸a˜o de f ainda e´ maior do
que 1 +
√
3 ? Para responder a esta questa˜o vamos introduzir o seguinte:
Vetor Gradiente: ~∇f(x0, y0) =
(
∂f
∂x
(x0, y0),
∂f
∂y
(x0, y0)
)
.
Se f e´ diferencia´vel no ponto (x0, y0), enta˜o, pelo Teorema 1, podemos escrever
D~uf(x0, y0) = ~∇f(x0, y0) · ~u
Questa˜o: Qual a direc¸a˜o de maior crescimento de f (diferencia´vel) no ponto
(x0, y0)?
Seja θ o aˆngulo entre os vetores ~∇f(x0, y0) e ~u. Enta˜o
D~uf(x0, y0) = ~∇f(x0, y0) · ~u = ‖~∇f(x0, y0)‖ ‖~u‖ cos θ = ‖~∇f(x0, y0)‖ cos θ
e´ ma´ximo quando θ = 0, isto e´, quando ~u tem mesma direc¸a˜o e sentido de
~∇f(x0, y0):
~u =
~∇f(x0, y0)
‖~∇f(x0, y0)‖
.
Ale´m disso, a maior taxa de crescimento de f no ponto (x0, y0) e´ ||~∇f(x0, y0)||.
(O vetor ~∇f(x0, y0) da´ a direc¸a˜o de maior crescimento e o seu comprimento da´ a
taxa de maior crescimento no ponto (x0, y0)).
3
Exemplo 2. No exemplo anterior, qual a direc¸a˜o de maior crescimento de f no
ponto (1, 0)? E qual a maior taxa de variac¸a˜o de f nesse ponto?
~∇f(1, 0) =
(
∂f
∂x (1, 0),
∂f
∂y (1, 0)
)
= (2, 2)
~u =
~∇f(1, 0)
||~∇f(1, 0)|| =
1√
4 + 4
(2, 2) =
(
1√
2
,
1√
2
)
→ direc¸a˜o de maior crescimento de
f no ponto (1, 0).
||~∇f(1, 0)|| = 2√2 → maior taxa de variac¸a˜o de f no ponto (1, 0).
Curvas de Nı´vel de f(x, y)
f(x, y) = k
(1) A variac¸a˜o de f ao longo de cada curva de n´ıvel e´ zero (f e´ constante em
cada curva de n´ıvel);
(2) Por outro lado, ~∇f(x0, y0) aponta na direc¸a˜o de maior crescimento de f .
Isto nos leva a crer que ~∇f(x0, y0) e´ ortogonal a` curva de n´ıvel no ponto (x0, y0).
De fato, por (1),
D~tf(x0, y0) = 0 ⇔ ~∇f(x0, y0) · ~t = 0,
onde ~t e´ um vetor tangente a` curva de n´ıvel de f no ponto (x0, y0).
A ana´lise que fize´mos anteriormente (derivadas direcionais e direc¸a˜o/taxa de
maior crescimento) se extendem naturalmente para func¸o˜es de n varia´veis. Por
exemplo, se F (x, y, z) e´ diferencia´vel enta˜o o vetor
~∇F (x0, y0, z0) =
(
∂F
∂x
(x0, y0, z0),
∂F
∂y
(x0, y0, z0),
∂F
∂z
(x0, y0, z0)
)
aponta na direc¸a˜o de maior crescimento de F no ponto (x0, y0, z0).
Superf´ıcie de Nı´vel de F (x, y, z)
S : F (x, y, z) = k
4
Obs.: Anteriormente consideramos superf´ıcies que eram dadas pelo gra´fico de
uma func¸a˜o de duas varia´veis: S : z = f(x, y)
Agora estamos considerando a superf´ıcie de uma outra maneira: como su-
perf´ıcie de n´ıvel de uma func¸a˜o de 3 varia´veis: S : F (x, y, z) = k
Como anteriormente, o vetor ~∇F (x0, y0, z0) e´ perpendicular a` superf´ıcie de n´ıvel
S no ponto (x0, y0, z0) (veja a Figura seguinte).
~∇F ⊥ S
Ou seja, o vetor ~n = ~∇F (x0, y0, z0) e´ um vetor normal ao plano tangente a
S : F (x, y, z) = k no ponto (x0, y0, z0).
Equac¸a˜o cartesiana do plano tangente a S : F (x, y, z) = k no ponto
(x0, y0, z0):
∂F
∂x
(x0, y0, z0) · (x− x0) + ∂F
∂y
(x0, y0, z0) · (y − y0) + ∂F
∂z
(x0, y0, z0) · (z − z0) = 0
Exemplo 3. Seja S o elipso´ide dado por
x2 +
y2
4
+
z2
9
= 3.
Determine o plano tangente a S no ponto (1, 2, 3).
Ja´ resolvemos este exerc´ıcio anteriormente (Aula 13), pore´m naquele momento
so´ sab´ıamos determinar plano tangente a superf´ıcies que eram gra´ficos de func¸o˜es
de duas varia´veis f(x, y), ou seja, S : z = f(x, y). Por isso, tivemos de resolver
a equac¸a˜o de superf´ıcie em ordem a z. Agora na˜o e´ necessa´rio fazer isto, pois ja´
sabemos determinar planos tangente a superf´ıcies de n´ıvel.
S pode ser vista como a superf´ıcie de n´ıvel k = 3 da func¸a˜o F (x, y, z) = x2 +
y2
4
+
z2
9
.
Vetor normal: ~∇F (1, 2, 3) =
(
2x,
y
2
,
2z
9
) ∣∣∣
(x,y,z)=(1,2,3)
=
(
2, 1,
2
3
)
.
Equac¸a˜o do plano tangente a S : F (x, y, z) = 3 no ponto (1, 2, 3):
2(x− 1) + 1(y − 2) + 2
3
(z − 3) = 0 ⇔ 2x+ y + 2
3
z = 6.
Note que deu o mesmo plano encontrado anteriormente, claro, mas desta maneira
foi muito mais fa´cil pois na˜o tivemos de resolver a equac¸a˜o da superf´ıcie em ordem
5
a z. No entanto, se fizessemos isso, sabemos que podemos escrever S na forma
z = f(x, y) (na parte superior).
Sem calcular explicitamente f(x, y), quanto valem
∂f
∂x
(2, 1) e
∂f
∂y
(2, 1) ?
Como
2x+ y +
2
3
z = 6 ⇔ z = 9− 3x− 3
2
y,
temos que
∂f
∂x
(2, 1) = −3 e ∂f
∂y
(2, 1) = −3
2
.
Exemplo 4. Seja C a curva dada pela intersec¸a˜o das superf´ıcies:
S1 : z = x
2 + y2 e S2 : 4x
2 + y2 + z2 = 9.
Calcule a parametrizac¸a˜o da reta tangente a C no ponto (−1, 1, 2).
(A ideia na˜o e´ parametrizar C, porque na˜o e´ necessa´rio e, neste caso, e´ dif´ıcil.)
Vamos relacionar os 3 vetores:
~v → vetor diretor da reta tangente a C;
~n1 → vetor normal a S1 no ponto (−1, 1, 2);
~n2 → vetor normal a S2 no ponto (−1, 1, 2).
O vetor ~v e´ tangente a C, e como C esta´ contida em S1, ~v e´ tangente a S1, logo
~v ⊥ ~n1. Analogamente, podemos concluir que ~v ⊥ ~n2. Assim, podemos tomar
~v = ~n1 × ~n2.
Como achar ~n1 e ~n2 ?
S1 : z = x
2 + y2 ⇔ x2 + y2 − z︸ ︷︷ ︸
F (x,y,z)
= 0
~∇F (x, y, z) = (2x, 2y,−1)
~n1 = ~∇F (−1, 1, 2) = (−2, 2,−1)
S2 : 4x
2 + y2 + z2︸ ︷︷ ︸
G(x,y,z)
= 9
~∇G(x, y, z) = (8x, 2y, 2z)
~n2 = ~∇G(−1, 1, 2) = (−8, 2, 4).
~v = ~n1 × ~n2 =
∣∣∣∣∣∣
~i ~j ~k
−2 2 −1
−8 2 4
∣∣∣∣∣∣ = (10, 16, 12).
Uma parametrizac¸a˜o da reta tangente e´ enta˜o dada por:
t~v + (−1, 1, 2) = (−1 + 10t, 1 + 16t, 2 + 12t), ∀t ∈ R.
6
Exerc´ıcio 1) Considere os pontos A(2, 3), B(3, 4), C(1, 4) e D(3, 5). Considere
ainda,D ~ABf(A) = 3 e D ~ACf(A) = 26. Determine o valor de D ~ADf(A).
Exerc´ıcio 2) Calcule o plano tangente a S no ponto (0, 0, 1), onde S e´ definida
pela equac¸a˜o
yz = log(x+ z).
[Dica: Considere S como superf´ıcie de n´ıvel.]
Exerc´ıcio 3) Considere S a superf´ıcie dada pela equac¸a˜o y = x2 + z2. Calcule os
pontos (x0, y0, z0) ∈ S nos quais o plano tangente e´ paralelo ao plano x+2y+3z = 1.