Notas de Aula - Cálculo 2 - aula13   Plano Tangente e Aproximação Linear
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Notas de Aula - Cálculo 2 - aula13 Plano Tangente e Aproximação Linear


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Aula 13
Plano Tangente e Aproximac¸a\u2dco Linear
Se f(x) e´ uma func¸a\u2dco de uma varia´vel, diferencia´vel no ponto x0, enta\u2dco a equac¸a\u2dco
da reta tangente a` curva y = f(x) no ponto (x0, f(x0)) e´ dada por:
y \u2212 f(x0) = f \u2032(x0)(x\u2212 x0) \u21d4 y = f(x0) + f \u2032(x0)(x\u2212 x0)
Considere agora uma func¸a\u2dco de duas varia´veis f(x, y) e o correspondente gra´fico,
a superf´\u131cie z = f(x, y). Por analogia, o natural para a equac¸a\u2dco do plano tangente
ao gra´fico de f(x, y) no ponto (x0, y0, f(x0, y0)) seria:
z = f(x0, y0) +
\u2202f
\u2202x
(x0, y0)(x\u2212 x0) + \u2202f
\u2202y
(x0, y0)(y \u2212 y0).
De fato, suponhamos que, no ponto (x0, y0), existem as derivadas parciais de
f(x, y). Sejam ~v1 e ~v2 vetores tangentes a`s curvas de intersec¸a\u2dco da superf´\u131cie z =
f(x, y) com os planos y = y0 e x = x0, respectivamente. Enta\u2dco, por definic¸a\u2dco, os
declives de ~v1 e ~v2 sa\u2dco dados por
\u2202f
\u2202x (x0, y0) e
\u2202f
\u2202y (x0, y0), respectivamente. Como
os vetores ~v1 e ~v2 pertencem aos planos y = 0 e x = 0, respectivamente, obtemos:
~v1 =
(
1, 0,
\u2202f
\u2202x
(x0, y0)
)
~v2 =
(
0, 1,
\u2202f
\u2202y
(x0, y0)
)
1
2
Estes 2 vetores devera\u2dco pertencer ao plano tangente, e um seu vetor normal sera´
enta\u2dco dado por ~n = ~v1 × ~v2 :
~n =
\u2223\u2223\u2223\u2223\u2223\u2223\u2223
~i ~j ~k
1 0 \u2202f\u2202x (x0, y0)
0 1 \u2202f\u2202y (x0, y0)
\u2223\u2223\u2223\u2223\u2223\u2223\u2223 =
(
\u2212\u2202f
\u2202x
(x0, y0),\u2212\u2202f
\u2202y
(x0, y0), 1
)
.
Assim, a equac¸a\u2dco do plano tangente a` superf´\u131cie z = f(x, y) no ponto (x0, y0, f(x0, y0))
devera´ ser dada por:
\u2212\u2202f
\u2202x
(x0, y0)(x\u2212 x0)\u2212 \u2202f
\u2202y
(x0, y0)(y \u2212 y0) + z \u2212 f(x0, y0) = 0
ou
z = f(x0, y0) +
\u2202f
\u2202x
(x0, y0)(x\u2212 x0) + \u2202f
\u2202y
(x0, y0)(y \u2212 y0)\ufe38 \ufe37\ufe37 \ufe38
L(x,y)\u2192 Aproximac¸a\u2dco Linear
como hav´\u131amos intu´\u131do. Daqui a pouco vamos dar uma condic¸a\u2dco para que fac¸a
sentido falarmos de plano tangente. Por ora observe que a existe\u2c6ncia das 2 derivadas
parciais apenas da\u2dco uma regularidade do gra´fico de f(x, y) nas direc¸o\u2dces do eixo do
x e do eixo do y.
O plano tangente e´ o gra´fico da func¸a\u2dco L(x, y) que chamaremos de Aproximac¸a\u2dco
Linear de f(x, y), perto do ponto (x0, y0). Heuristicamente, L(x, y) e´ a func¸a\u2dco
linear que melhor aproxima f(x, y) em torno do ponto (x0, y0). Ou, dito de outra
maneira, perto do ponto (x0, y0) o gra´fico da func¸a\u2dco f(x, y) confunde-se com o plano
tangente no ponto (x0, y0). Usualmente escrevemos
f(x, y) \u2248 L(x, y)
ou seja
f(x, y) \u2248 f(x0, y0) + \u2202f
\u2202x
(x0, y0)(x\u2212 x0) + \u2202f
\u2202y
(x0, y0)(y \u2212 y0).
Mais uma vez, daqui a pouco daremos a condic¸a\u2dco que garante que a aproximac¸a\u2dco
anterior e´ boa para todo o ponto (x, y) pro´ximo de (x0, y0).
Exemplo 1. Calcule o plano tangente ao elipso´ide 2x2 + 3y2 + z2 = 9 no ponto
(1, 1, 2).
Obseve que a nossa superf´\u131cie na\u2dco vem dada como o gra´fico de uma func¸a\u2dco de
2 varia´veis f(x, y) (ela vem dada como a superf´\u131cie de n´\u131vel 9 de uma func¸a\u2dco de
3 varia´veis F (x, y, z)). Por enquanto, a gente so´ sabe calcular planos tangentes a
superf´\u131cies que sejam gra´ficos de uma func¸a\u2dco de 2 varia´veis, enta\u2dco comec¸amos por
escrever a nossa superf´\u131cie nesta forma:
2x2 + 3y2 + z2 = 9\u21d4 z = ±
\u221a
9\u2212 2x2 \u2212 3y2.
Como estamos interessados no que se passa pro´ximo do ponto (1, 1, 2) consideramos
a parte do elipso´ide acima do plano xy:
z =
\u221a
9\u2212 2x2 \u2212 3y2 = f(x, y).
\u2202f
\u2202x
=
\u22122x\u221a
9\u2212 2x2 \u2212 3y2 ,
\u2202f
\u2202y
=
\u22123y\u221a
9\u2212 2x2 \u2212 3y2 ,
\u2202f
\u2202x
(1, 1) = \u22121, \u2202f
\u2202y
(1, 1) = \u22123
2
.
3
Assim a equac¸a\u2dco do plano tangente a` nossa superf´\u131cie no ponto (1, 1, 2) e´:
z = 2 + (\u22121)(x\u2212 1) +
(
\u22123
2
)
(y \u2212 1) \u21d4 z = 9
2
+ x\u2212 3
2
y.
Mais tarde no curso, resolveremos este mesmo exerc´\u131cio de outra maneira (sem
necessidade de resolver a equac¸a\u2dco da superf´\u131cie).
Exemplo 2. Sabendo que o plano tangente ao gra´fico de f(x, y) no ponto (1, 1) e´
2x\u2212 3y + 4z = 5,
quanto valem f(1, 1), \u2202f\u2202x (1, 1) e
\u2202f
\u2202y
(1, 1) ?
2x\u2212 3y + 4z = 5 \u21d4 z = 5
4
\u2212 1
2
x +
3
4
y.
Logo,
\u2202f
\u2202x
(1, 1) = \u22121
2
e
\u2202f
\u2202y
(1, 1) =
3
4
.
Como f(1, 1) = L(1, 1),
f(1, 1) =
5
4
\u2212 1
2
+
3
4
=
3
2
(tambe´m poder´\u131amos ter obtido este valor, apo´s centrar a equac¸a\u2dco do plano tangente
em x0 = 1 e y0 = 1).
Exemplo 3. Utilizando a aproximac¸a\u2dco linear de f(x, y) =
\u221a
x2 + y2 no ponto
(3, 4), calcule um valor aproximado para
\u221a
3, 012 + 3, 992.
Note que, por continuidade da func¸a\u2dco f(x, y) no ponto (3, 2), sabemos que
f(3, 01; 3, 99) \u2248 f(3, 4) = 5. So´ que agora, usando aproximac¸a\u2dco linear, vamos
obter uma aproximac¸a\u2dco melhor.
\u2202f
\u2202x
(3, 4) =
x\u221a
x2 + y2
\u2223\u2223\u2223\u2223\u2223
(3,4)
=
3
5
= 0, 6
\u2202f
\u2202y
(3, 4) =
y\u221a
x2 + y2
\u2223\u2223\u2223\u2223\u2223
(3,4)
=
4
5
= 0, 8.
f(3, 01; 3, 99) \u2248 f(3, 4) + \u2202f
\u2202x
(3, 4)× 0, 01 + \u2202f
\u2202y
(3, 4)× (\u22120, 01)\u221a
3, 012 + 3, 992 \u2248 5 + 0, 6× 0, 01 + 0, 8× (\u22120, 01)
\u2248 5\u2212 0, 002 = 4, 998.
Diferenciabilidade
O conceito de Diferenciabilidade de f(x, y) no ponto (x0, y0), expressa a condic¸a\u2dco
em que o erro = f(x, y)\u2212L(x, y) e´ pequeno para todo o (x, y) pro´ximo de (x0, y0).
Formalmente, temos
erro = f(x, y)\u2212 f(x0, y0)\u2212 \u2202f
\u2202x
(x0, y0)(x\u2212 x0)\u2212 \u2202f
\u2202y
(x0, y0)(y \u2212 y0),
4
sempre que as derivadas parciais de f(x, y), no ponto (x0, y0), existam. Neste caso,
dizemos que f(x, y) e´ diferencia´vel no ponto (x0, y0) se pudermos escrever
erro = \u3b51(x, y)(x\u2212 x0) + \u3b52(x, y)(y \u2212 y0),
onde \u3b51(x, y) e \u3b51(x, y) sa\u2dco func¸o\u2dces que convergem para 0 quando (x, y)\u2192 (0, 0).
Ou seja, estamos exigindo que o erro va´ para 0 com uma ordem superior a 1,
independentemente da maneira como (x, y) se aproxima de (x0, y0).
Na\u2dco e´ fa´cil mostrar se uma func¸a\u2dco e´ ou na\u2dco diferenciave´l num determinado ponto,
usando a definic¸a\u2dco. Seria muito bom ter um crite´rio simples de diferenciabilidade,
isto e´, condic¸o\u2dces de simples verificac¸a\u2dco que garantissem diferenciabilidade. Temos:
Teorema 1 (Crite´rio de Diferenciabilidade). Se
\u2202f
\u2202x
(x, y) e
\u2202f
\u2202y
(x, y) existirem e
forem func¸o\u2dces cont´\u131nuas no ponto (x0, y0), enta\u2dco f e´ diferencia´vel no ponto (x0, y0).
Usualmente, na literatura, a condic¸a\u2dco do teorema anterior (existe\u2c6ncia e conti-
nuidade das derivadas parciais de 1a ordem) e´ resumida na forma: C1. Portanto,
o teorema anterior pode ser escrito da seguinte maneira:
C1 \u21d2 Diferenciabilidade.
Embora a gente tenha dado a definic¸a\u2dco de diferenciabilidade para func¸o\u2dces de 2
varia´veis, a mesma definic¸a\u2dco se estende de maneira clara para func¸o\u2dces de n varia´veis,
assim como o teorema anterior.
Para func¸o\u2dces de uma varia´vel,
f(x) diferencia´vel no ponto x0 \u21d4 f \u2032(x0) existe (Verifique!)
Para func¸o\u2dces de duas varia´veis, a existe\u2c6ncia de
\u2202f
\u2202x
(x0, y0) e
\u2202f
\u2202y
(x0, y0) na\u2dco ga-
rante a diferenciabilidade de f(x, y) no ponto (x0, y0). (Veja o exemplo a seguir e
o exerc´\u131cio 1).
Na figura abaixo e´ exibido o gra´fico de uma func¸a\u2dco f(x, y). f(x, y) e´ nula no
eixo do x e no eixo do y, em particular as derivadas parciais de f(x, y) na origem
existem e sa\u2dco iguais a zero. No entanto, f(x, y) NA\u2dcO E´ DIFERENCIA´VEL na
origem (veja o que se passa na direc¸a\u2dco y = x, por exemplo). Neste caso, NA\u2dcO faz
sentido falar que o plano tangente ao gra´fico de f(x, y), na origem, e´ z = 0.
Quando uma func¸a\u2dco na\u2dco for diferencia´vel num ponto, diremos que o plano tan-
gente e a aproximac¸a\u2dco linear na\u2dco esta\u2dco definidos (ou na\u2dco existem), nesse ponto.
Repare que, nos exemplos 1 e 3, as func¸o\u2dces sa\u2dco diferencia´veis no ponto em questa\u2dco
(pelo teorema acima), e, neste caso, o plano tangente e a aproximac¸a\u2dco linear esta\u2dco
bem definidos nesse ponto.
Note que
diferenciabilidade\u21d2 continuidade.
5
Proposic¸a\u2dco:
(1) Polino\u2c6mios sa\u2dco func¸o\u2dces diferencia´veis em todo o seu dom\u131´nio D = R2.
(2) O produto e o quociente de func¸o\u2dces diferencia´veis sa\u2dco func¸o\u2dces diferencia´veis
(nos pontos do seu dom\u131´nio).
(3) A composic¸a\u2dco de func¸o\u2dces diferencia´veis e´ uma func¸a\u2dco diferencia´vel (nos