plano tangente e aproximação linear NUNO

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Aula 13
Plano Tangente e Aproximac¸a˜o Linear
Se f(x) e´ uma func¸a˜o de uma varia´vel, diferencia´vel no ponto x0, enta˜o a equac¸a˜o
da reta tangente a` curva y = f(x) no ponto (x0, f(x0)) e´ dada por:
y − f(x0) = f ′(x0)(x− x0) ⇔ y = f(x0) + f ′(x0)(x− x0)
Considere agora uma func¸a˜o de duas varia´veis f(x, y) e o correspondente gra´fico,
a superf´ıcie z = f(x, y). Por analogia, o natural para a equac¸a˜o do plano tangente
ao gra´fico de f(x, y) no ponto (x0, y0, f(x0, y0)) seria:
z = f(x0, y0) +
∂f
∂x
(x0, y0)(x− x0) + ∂f
∂y
(x0, y0)(y − y0).
De fato, suponhamos que, no ponto (x0, y0), existem as derivadas parciais de
f(x, y). Sejam ~v1 e ~v2 vetores tangentes a`s curvas de intersec¸a˜o da superf´ıcie z =
f(x, y) com os planos y = y0 e x = x0, respectivamente. Enta˜o, por definic¸a˜o, os
declives de ~v1 e ~v2 sa˜o dados por
∂f
∂x (x0, y0) e
∂f
∂y (x0, y0), respectivamente. Como
os vetores ~v1 e ~v2 pertencem aos planos y = 0 e x = 0, respectivamente, obtemos:
~v1 =
(
1, 0,
∂f
∂x
(x0, y0)
)
~v2 =
(
0, 1,
∂f
∂y
(x0, y0)
)
1
2
Estes 2 vetores devera˜o pertencer ao plano tangente, e um seu vetor normal sera´
enta˜o dado por ~n = ~v1 × ~v2 :
~n =
∣∣∣∣∣∣∣
~i ~j ~k
1 0 ∂f∂x (x0, y0)
0 1 ∂f∂y (x0, y0)
∣∣∣∣∣∣∣ =
(
−∂f
∂x
(x0, y0),−∂f
∂y
(x0, y0), 1
)
.
Assim, a equac¸a˜o do plano tangente a` superf´ıcie z = f(x, y) no ponto (x0, y0, f(x0, y0))
devera´ ser dada por:
−∂f
∂x
(x0, y0)(x− x0)− ∂f
∂y
(x0, y0)(y − y0) + z − f(x0, y0) = 0
ou
z = f(x0, y0) +
∂f
∂x
(x0, y0)(x− x0) + ∂f
∂y
(x0, y0)(y − y0)︸ ︷︷ ︸
L(x,y)→ Aproximac¸a˜o Linear
como hav´ıamos intu´ıdo. Daqui a pouco vamos dar uma condic¸a˜o para que fac¸a
sentido falarmos de plano tangente. Por ora observe que a existeˆncia das 2 derivadas
parciais apenas da˜o uma regularidade do gra´fico de f(x, y) nas direc¸o˜es do eixo do
x e do eixo do y.
O plano tangente e´ o gra´fico da func¸a˜o L(x, y) que chamaremos de Aproximac¸a˜o
Linear de f(x, y), perto do ponto (x0, y0). Heuristicamente, L(x, y) e´ a func¸a˜o
linear que melhor aproxima f(x, y) em torno do ponto (x0, y0). Ou, dito de outra
maneira, perto do ponto (x0, y0) o gra´fico da func¸a˜o f(x, y) confunde-se com o plano
tangente no ponto (x0, y0). Usualmente escrevemos
f(x, y) ≈ L(x, y)
ou seja
f(x, y) ≈ f(x0, y0) + ∂f
∂x
(x0, y0)(x− x0) + ∂f
∂y
(x0, y0)(y − y0).
Mais uma vez, daqui a pouco daremos a condic¸a˜o que garante que a aproximac¸a˜o
anterior e´ boa para todo o ponto (x, y) pro´ximo de (x0, y0).
Exemplo 1. Calcule o plano tangente ao elipso´ide 2x2 + 3y2 + z2 = 9 no ponto
(1, 1, 2).
Obseve que a nossa superf´ıcie na˜o vem dada como o gra´fico de uma func¸a˜o de
2 varia´veis f(x, y) (ela vem dada como a superf´ıcie de n´ıvel 9 de uma func¸a˜o de
3 varia´veis F (x, y, z)). Por enquanto, a gente so´ sabe calcular planos tangentes a
superf´ıcies que sejam gra´ficos de uma func¸a˜o de 2 varia´veis, enta˜o comec¸amos por
escrever a nossa superf´ıcie nesta forma:
2x2 + 3y2 + z2 = 9⇔ z = ±
√
9− 2x2 − 3y2.
Como estamos interessados no que se passa pro´ximo do ponto (1, 1, 2) consideramos
a parte do elipso´ide acima do plano xy:
z =
√
9− 2x2 − 3y2 = f(x, y).
∂f
∂x
=
−2x√
9− 2x2 − 3y2 ,
∂f
∂y
=
−3y√
9− 2x2 − 3y2 ,
∂f
∂x
(1, 1) = −1, ∂f
∂y
(1, 1) = −3
2
.
3
Assim a equac¸a˜o do plano tangente a` nossa superf´ıcie no ponto (1, 1, 2) e´:
z = 2 + (−1)(x− 1) +
(
−3
2
)
(y − 1) ⇔ z = 9
2
+ x− 3
2
y.
Mais tarde no curso, resolveremos este mesmo exerc´ıcio de outra maneira (sem
necessidade de resolver a equac¸a˜o da superf´ıcie).
Exemplo 2. Sabendo que o plano tangente ao gra´fico de f(x, y) no ponto (1, 1) e´
2x− 3y + 4z = 5,
quanto valem f(1, 1), ∂f∂x (1, 1) e
∂f
∂y
(1, 1) ?
2x− 3y + 4z = 5 ⇔ z = 5
4
− 1
2
x +
3
4
y.
Logo,
∂f
∂x
(1, 1) = −1
2
e
∂f
∂y
(1, 1) =
3
4
.
Como f(1, 1) = L(1, 1),
f(1, 1) =
5
4
− 1
2
+
3
4
=
3
2
(tambe´m poder´ıamos ter obtido este valor, apo´s centrar a equac¸a˜o do plano tangente
em x0 = 1 e y0 = 1).
Exemplo 3. Utilizando a aproximac¸a˜o linear de f(x, y) =
√
x2 + y2 no ponto
(3, 4), calcule um valor aproximado para
√
3, 012 + 3, 992.
Note que, por continuidade da func¸a˜o f(x, y) no ponto (3, 2), sabemos que
f(3, 01; 3, 99) ≈ f(3, 4) = 5. So´ que agora, usando aproximac¸a˜o linear, vamos
obter uma aproximac¸a˜o melhor.
∂f
∂x
(3, 4) =
x√
x2 + y2
∣∣∣∣∣
(3,4)
=
3
5
= 0, 6
∂f
∂y
(3, 4) =
y√
x2 + y2
∣∣∣∣∣
(3,4)
=
4
5
= 0, 8.
f(3, 01; 3, 99) ≈ f(3, 4) + ∂f
∂x
(3, 4)× 0, 01 + ∂f
∂y
(3, 4)× (−0, 01)√
3, 012 + 3, 992 ≈ 5 + 0, 6× 0, 01 + 0, 8× (−0, 01)
≈ 5− 0, 002 = 4, 998.
Diferenciabilidade
O conceito de Diferenciabilidade de f(x, y) no ponto (x0, y0), expressa a condic¸a˜o
em que o erro = f(x, y)−L(x, y) e´ pequeno para todo o (x, y) pro´ximo de (x0, y0).
Formalmente, temos
erro = f(x, y)− f(x0, y0)− ∂f
∂x
(x0, y0)(x− x0)− ∂f
∂y
(x0, y0)(y − y0),
4
sempre que as derivadas parciais de f(x, y), no ponto (x0, y0), existam. Neste caso,
dizemos que f(x, y) e´ diferencia´vel no ponto (x0, y0) se pudermos escrever
erro = ε1(x, y)(x− x0) + ε2(x, y)(y − y0),
onde ε1(x, y) e ε1(x, y) sa˜o func¸o˜es que convergem para 0 quando (x, y)→ (0, 0).
Ou seja, estamos exigindo que o erro va´ para 0 com uma ordem superior a 1,
independentemente da maneira como (x, y) se aproxima de (x0, y0).
Na˜o e´ fa´cil mostrar se uma func¸a˜o e´ ou na˜o diferenciave´l num determinado ponto,
usando a definic¸a˜o. Seria muito bom ter um crite´rio simples de diferenciabilidade,
isto e´, condic¸o˜es de simples verificac¸a˜o que garantissem diferenciabilidade. Temos:
Teorema 1 (Crite´rio de Diferenciabilidade). Se
∂f
∂x
(x, y) e
∂f
∂y
(x, y) existirem e
forem func¸o˜es cont´ınuas no ponto (x0, y0), enta˜o f e´ diferencia´vel no ponto (x0, y0).
Usualmente, na literatura, a condic¸a˜o do teorema anterior (existeˆncia e conti-
nuidade das derivadas parciais de 1a ordem) e´ resumida na forma: C1. Portanto,
o teorema anterior pode ser escrito da seguinte maneira:
C1 ⇒ Diferenciabilidade.
Embora a gente tenha dado a definic¸a˜o de diferenciabilidade para func¸o˜es de 2
varia´veis, a mesma definic¸a˜o se estende de maneira clara para func¸o˜es de n varia´veis,
assim como o teorema anterior.
Para func¸o˜es de uma varia´vel,
f(x) diferencia´vel no ponto x0 ⇔ f ′(x0) existe (Verifique!)
Para func¸o˜es de duas varia´veis, a existeˆncia de
∂f
∂x
(x0, y0) e
∂f
∂y
(x0, y0) na˜o ga-
rante a diferenciabilidade de f(x, y) no ponto (x0, y0). (Veja o exemplo a seguir e
o exerc´ıcio 1).
Na figura abaixo e´ exibido o gra´fico de uma func¸a˜o f(x, y). f(x, y) e´ nula no
eixo do x e no eixo do y, em particular as derivadas parciais de f(x, y) na origem
existem e sa˜o iguais a zero. No entanto, f(x, y) NA˜O E´ DIFERENCIA´VEL na
origem (veja o que se passa na direc¸a˜o y = x, por exemplo). Neste caso, NA˜O faz
sentido falar que o plano tangente ao gra´fico de f(x, y), na origem, e´ z = 0.
Quando uma func¸a˜o na˜o for diferencia´vel num ponto, diremos que o plano tan-
gente e a aproximac¸a˜o linear na˜o esta˜o definidos (ou na˜o existem), nesse ponto.
Repare que, nos exemplos 1 e 3, as func¸o˜es sa˜o diferencia´veis no ponto em questa˜o
(pelo teorema acima), e, neste caso, o plano tangente e a aproximac¸a˜o linear esta˜o
bem definidos nesse ponto.
Note que
diferenciabilidade⇒ continuidade.
5
Proposic¸a˜o:
(1) Polinoˆmios sa˜o func¸o˜es diferencia´veis em todo o seu domı´nio D = R2.
(2) O produto e o quociente de func¸o˜es diferencia´veis sa˜o func¸o˜es diferencia´veis
(nos pontos do seu domı´nio).
(3) A composic¸a˜o de func¸o˜es diferencia´veis e´ uma func¸a˜o diferencia´vel (nospontos do seu domı´nio).
Por exemplo, por esta proposic¸a˜o, a func¸a˜o
f(x, y) =
sen (x2 + y3)
x2 + y2
e´ uma func¸a˜o diferencia´vel em todos os pontos de R2 − (0, 0).
Exerc´ıcio 1) Considere a func¸a˜o
f(x, y) =

xy
x2 + y2
, (x, y) 6= (0, 0)
0, (x, y) = (0, 0).
(1) Mostre que fx(0, 0) e fy(0, 0) existem, mas f na˜o e´ diferencia´vel em (0, 0).
(2) Explique por que fx e fy na˜o sa˜o cont´ınuas em (0, 0).
Exerc´ıcio 2) Encontre o plano tangente a` superf´ıcie S no ponto (2, 1, 3), sabendo
que as curvas
r1(t) = (2 + 3t, 1− t2, 3− 4t + t2),
r2(u) = (1 + u
2, 2u3 − 1, 2u + 1)
esta˜o contidas em S.