Lista de Exercícios - Cálculo 2 - 4   Derivadas Parciais (parte 2)
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Lista de Exercícios - Cálculo 2 - 4 Derivadas Parciais (parte 2)


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Lista 9 de Ca´lculo Diferencial e Integral Aplicado II e Ca´lculo Aplicado II 2008-2 28
LISTA 9
1. Calcule todas as derivadas parciais de terceira ordem da func¸a\u2dco de produc¸a\u2dco Q = 4K3/4L1/4.
Use o teorema de Schwarz para acelerar o processo.
2. Uma func¸a\u2dco z = f(x1, . . . , xn) e´ harmo\u2c6nica se ela satisfaz a equac¸a\u2dco de Laplace
\u22022z
\u2202x21
+
\u22022z
\u2202x22
+ . . .+
\u22022z
\u2202x2n
= 0. Mostre que a func¸a\u2dco z = f(x, y) = x3 \u2212 3xy2 e´ harmo\u2c6nica.
Quais das func¸o\u2dces dos exerc´\u131cios 3. a 8. satisfazem a equac¸a\u2dco de Laplace?
3. z = f(x, y) = ln
\u221a
x2 + y2
4. z = f(x, y) = x2 \u2212 y2.
5. z = f(x, y) = y3 + 3x2y.
6. z = f(x, y, z) = ex sen y + ey sen z.
7. z = f(x, y) = arctan(x/y)
8. z = f(x, y) = ln(x/y).
9. Verifique que v = sen (k x) · sen (ak t) satisfaz a equac¸a\u2dco da onda \u2202
2v
\u2202t2
= a2
\u22022v
\u2202x2
.
10. No estudo da penetrac¸a\u2dco da geada em uma rodovia, a temperatura T no instante t e a` profun-
didade x pode ser dada aproximadamente por T = T0 e\u2212\u3bb·x sen (\u3c9 t \u2212 \u3bbx), em que T0, \u3c9 e \u3bb
sa\u2dco constantes. Mostre que T satisfaz a equac¸a\u2dco unidimensional do calor :
\u2202T
\u2202t
= k
\u22022T
\u2202x2
, com
k = 2\u3bb2/w.
EXERCI´CIO OPCIONAL
11. O objetivo deste exerc´\u131cio e´ examinar uma func¸a\u2dco de classe C1 para a qual a tese do teorema de
Schwarz falha: as derivadas parciais mistas na\u2dco sa\u2dco iguais. Seja
z = f(x, y) =
\uf8f1\uf8f2\uf8f3
x3y \u2212 xy3
x2 + y2
se (x, y) 6= (0, 0),
0 se (x, y) = (0, 0).
(a) Prove que f se anula sobre os eixos x e y. Conclua enta\u2dco que (\u2202f/\u2202x)(0, 0) e (\u2202f/\u2202y)(0, 0)
sa\u2dco iguais a zero.
(b) Calcule \u2202f/\u2202x e \u2202f/\u2202y para pontos (x, y) 6= (0, 0) e conclua que (\u2202f/\u2202x)(0, y) = \u2212y e
(\u2202f/\u2202y)(x, 0) = x.
(c) Mostre que
\u22022f
\u2202y\u2202x
(0, 0) =
\u2202
\u2202y
(
\u2202f
\u2202x
)
(0, 0) = lim
y\u21920
\u2202f
\u2202x (0, y)\u2212 \u2202f\u2202x (0, 0)
y \u2212 0 = \u22121.
(d) Mostre que
\u22022f
\u2202x\u2202y
(0, 0) =
\u2202
\u2202x
(
\u2202f
\u2202y
)
(0, 0) = lim
x\u21920
\u2202f
\u2202y (x, 0)\u2212 \u2202f\u2202y (0, 0)
x\u2212 0 = +1
e conclua que as derivadas parciais mistas de f na\u2dco sa\u2dco iguais em (0, 0).
(e) Calcule (\u22022f/\u2202x\u2202y)(x, y) para (x, y) 6= (0, 0).
(f) Use o item anterior para mostrar que (\u2202f2/\u2202x\u2202y)(x, x) = 0 para x > 0.
(g) Conclua que (\u22022f/\u2202x\u2202y)(x, y) e´ descont´\u131nua na origem (0, 0) e assim f na\u2dco e´ uma func¸a\u2dco
de classe C2. Logo a hipo´tese do teorema de Schwarz (a saber, f e´ uma func¸a\u2dco de classe C2)
na\u2dco se verifica.
RESPOSTAS DA LISTA 09
1. Q
K
= 3K\u22121/4L1/4; Q
L
= K3/4L\u22123/4; Q
KK
= \u2212(3/4)K\u22125/4L1/4 ; Q
LL
= \u2212(3/4)K3/4L\u22127/4;
Q
KKK
= (15/16)K\u22129/4L1/4; Q
LLL
= (21/16)K3/4L\u221211/4; Q
KL
= Q
LK
= (3/4)3K\u22121/4L\u22123/4;
Q
KLK
= Q
LKK
= Q
KKL
= \u2212(3/16)3K\u22125/4L\u22123/4; Q
KLL
= Q
LKL
= Q
LLK
= \u2212(9/16)3K\u22121/4L\u22127/4
3. Sim 4. Sim 5. Na\u2dco 6. Sim 7. Sim 8. Na\u2dco