Aula 3 de Probabilidade e Estatística

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Aula 3
 
População
 Conjunto de objetos, itens ou eventos com alguma 
característica ou propriedade comum mensurável, 
ordenável ou comparável.
Este conjunto pode ser finito ou infinito.
Exemplos:
turma de alunos
torcedores de um time
peças usinadas em um torno 
carros 
 
Amostras
Um subconjunto da população selecionado de acordo 
com um método de amostragem.
Exemplo: Para um estudo sobre a praticidade dos CLPs, 
foram pesquisadas 50 empresas no estado de SC.
 
Amostragem
● Aleatória
 O conjunto dos elementos da população são 
enumerados e a amostra é escolhida através de um 
sorteio, sem repetição.
 
Amostragem
● Proporcional estratificada
 Diz-se estratificada, pois divide a população em k 
subgrupos denominados estratos. Assim:
Proporcional, pois 
N=N1+N 2+...+N k
n=n1+n2+...+nk
n
N
=
n i
N i
 
Amostragem
● Sistemática
Dada uma população naturalmente ordenada:
● Calcula-se o intervalo da amostragem , aproximando-o 
para o inteiro mais próximo;
● Utilizando-se a tabela dos números aleatórios, sorteia-se 
um número x dentro do primeiro intervalo de amostragem 
(1 a k);
● A amostra será composta pelos elementos
 
N
n
x , x+k , x+2k , ... , x+(n−1) k
 
Variável
 
Exemplos:
1) Uma concessionária de automóveis tem cadastrados 3500 
clientes e fez uma pesquisa sobre a preferência de compra 
em relação a “cor” (branca, vermelha ou azul), “preço”, 
“número de portas” (duas ou quatro) e “estado de 
conservação” (novo ou usado). Foram consultados 210 
clientes. Diante dessas informações, responda:
● Qual é a população? 
● Existe amostra? Caso afirmativo qual é?
● Quais são as variáveis e o tipo de cada uma?
 
2) Classifique cada uma das variáveis abaixo em qualitativa 
(nominal / ordinal) ou quantitativa (discreta / contínua):
Qualitativa Quantitativa 
(1) Nominal (3) Discreta
(2) Ordinal (4) Contínua 
 ( ) Número de alunos aprovados por turma.
( ) Nível sócio-econômico.
( ) Sexo
 
( ) Gastos em reais com alimentação.
( ) Conceitos em certa disciplina (Excelente, Bom, Regular, 
Ruim, Péssimo)
( ) Número de sementes germinadas.
( ) Peso da carne, em gramas, de mexilhões de 
manguezal.
( ) Rendimento médio, em kg/ha, de 32 híbridos de milho.
( ) Gado: Holandês, Jersey e Girolando.
 
( ) Intensidade da perda de peso de animais submetidos a 
dietas alimentares (leve, moderada, forte).
( ) Ganho de peso de animais submetidos a uma nova 
dieta alimentar ( em kg).
( ) Grau de satisfação com a produção de leite do gado 
Holandês. (valores de 0 a 5, com 0 indicando totalmente 
insatisfeito e 5 totalmente satisfeito). 
 
3) Classifique em verdadeiro ou falso as seguintes 
afirmações:
( ) Estatística é um conjunto de técnicas destinadas a 
organizar um conjunto de valores numéricos.
( ) A Estatística Descritiva fornece uma maneira 
adequada de tratar um conjunto de valores, numéricos 
ou não, com a finalidade de conhecermos o fenômeno de 
interesse.
( ) Qualquer amostra representa, de forma adequada, 
uma população.
 
Método tabular e gráfico
 Consiste em dispor os dados em linhas e colunas 
distribuídas de modo ordenado.
Exemplo:
 
Distribuição de frequência
● É a série estatística em que os dados são agrupados com 
suas respectivas frequências absolutas.
Exemplo: número de Acidentes por dia na Rodovia X em 
RJ de 1977 
 
Características de uma distribuição 
de frequência
● Definir intervalos (quando necessário), classes ou 
categorias de agrupamentos que sejam mutuamente 
excludentes;
● Traçar uma tabela no qual marcam-se os itens 
enquadráveis em cada classe;
● Resumir o resultado em uma tabela e/ou gráfico.
 
● Sem intervalo
Consumo de cigarros por pessoa na 
idade de 18 anos ou mais velha, EUA, 
1900-1990.
● Com intervalo
Ano Números
 de cigarros
1990 54
1910 151
1920 665
1930 1485
1940 1976
1950 3522
1960 4171
1970 3985
1980 3851
1990 2828
Notas Números de alunos
0 - 5 12
5 - 10 14
 
Exemplo:
● Dado o rol de 50 notas, agrupar os elementos em classe.
33 35 35 39 41 41 42 45 47 48
50 52 53 54 55 55 57 59 60 60
61 64 65 65 65 66 66 66 67 68
69 71 73 73 74 74 76 77 77 78
80 81 84 85 85 88 89 91 94 97
 
Gráficos
 A representação gráfica das séries estatísticas tem 
por finalidade representar os resultados obtidos, 
permitindo chegar-se a conclusões sobre a evolução do 
fenômeno ou sobre como se relacionam os valores.
Exemplo: Gráfico em colunas
 
Medidas de posição
● Sejam , portanto valores da variável X. 
A média aritmética simples de X representada por 
Exemplo: Determinar a média aritmética simples dos 
valores 3,5,6,7,9 e 13, correspondentes a compra de 
disjuntores durantes meio ano. 
x1 , x2 ,... , xn n
X̄=
∑
i=0
n
x i
n
 
● Média aritmética (dados agrupados)
Quando os dados estiverem agrupados numa distribuição 
de frequência usaremos a média aritmética dos valores
 , ponderados pelas respectivas 
frequências absoluta 
x1 , x2 ,... , xn
X̄=
∑
i=0
n
x̄ iF i
n
 
● Média geométrica
Sejam , valores de X, associados às 
frequências absolutas , respectivamente. 
A média geométrica de X é definida por:
● Calcular a média geométrica dos valores 3, 6, 12, 24, 48.
x1 , x2 ,... , xn F1 , F2 ,... , Fn
Mg=n√ x1F 1. x2F 2. ... xnF n
 
● Média harmônica 
Sejam , valores de X, associados às 
frequências absolutas , respectivamente. A 
média geométrica de X é definida por:
Calcular a média harmônica para 2, 5, 8.
x1 , x2 ,... , xn F1 , F2 ,... , Fn
Mh= n
F1
x1
+
F 2
x2
+...+
F n
xn
 
Mediana
● Os dados devem estar em ordem crescente.
● A mediana é o valor que divide a amostra, ou 
população, em duas partes iguais.
Cálculo da mediana – variável discreta
Se n for ímpar, a mediana será o elemento central de 
ordem .
Caso n seja par, a mediana será a média entre os 
elementos centrais e . 
( x̃ )
n+1
2
n
2
+1 n
2
 
Exemplos
● Dada a distribuição:
Calcular a mediana. 
● Dada a distribuição:
Calcular a mediana.
 1
 2
 3
 4
1
3
5
2
1
4
9
11
x ix ix i F i F acF acF ac
82
85
87
89
90
5
10
15
8
4
5
15
30
38
42
x i x i F i F ac
 
● Calculo da mediana – variável contínua
1. Calcula-se a ordem . Como a variável é contínua,
 não se preocupe se n é par ou ímpar.
2. Pela identifica-se a classe que contém a mediana.
3. Utiliza-se a fórmula: 
 
n
2
F ac
x̃=lMd+
(
n
2
−∑ Fac ant.) .h
FMd
 
 Classes
35 45
45 55
55 65
65 75
75 85
85 95
5
12
18
14
6
3
5
17
35
49
55
58
F i F ac
Dada a distribuição amostral, calcular a mediana.
 
Quartis
● Notação: Qi
Os quartis dividem um conjunto em quatro partes.
Q1 primeiro quartil
Q2 segundo quartil
Q3 terceiro quartil
 
Decis
● Simbologia: Di
São valores que dividem o conjunto das observações em 
10 partes.
 
Percentis
● Simbologia: Pi
São valores que dividem o conjunto das observações em 
100 partes.
Exemplo: Os valores abaixo expressam os saldos médios 
de 52 clientes do BB Novo S.A.. 
45 50 150 100 150 125 55 50 125 75 150 45 50
95 30 80 75 60 75 75 165 50 55 100 70 80
47 90 100 125 170 130 150 50 75 130 125 95 6515 120 50 60 130 100 65 75 47 60 100 80 70
 
Medidas de dispersão
● Estas medidas tem o objetivo de informar o grau de 
dispersão ou afastamento dos valores observados em 
torno de um valor central.
● Identificam se um conjunto é homogêneo ou heterogêneo.
1. Amplitude total
 
2. Variância
● É a média aritmética dos quadrados das diferenças entre 
cada valor e a média aritmética de X (conjunto de 
variáveis).
● Variância populacional de X
● Variância amostral de X 
3. Desvio padrão: é a raiz quadrada da variância.
σ2=
∑ ( xi−x )2
N
s2=∑ (x i−x)
2
n−1
 
Exemplos:
1) A tabela a seguir dá as alturas dos funcionários 
selecionados para trabalhar numa metalúrgica, no setor 
de montagem. Ache a variância entre essas medidas.
Altura (m)
1,65
1,70
1,68
1,66
1,65
1,72
1,68
1,70
1,68
 
4. Coeficiente de variação
● É uma medida de dispersão relativa.
● Exprime a variabilidade em relação a média.
Exemplo: Tempos, em minutos, de espera em uma fila de 
ônibus, durante 13 dias, de um cidadão que se dirige 
diariamente ao seu emprego:
15 10 2 17 6 8 3 10 2 9 5 9 13
Calcule as medidas de dispersão.
CV= s
x
×100
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