184766-probabilidade

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Coordenadoria de Matemática 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Notas de aula 
Probabilidade 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Oscar Luiz Teixeira de Rezende 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Vitória – 2006 
 
Probabilidade Oscar Luiz Teixeira de Rezende 
 
___________________________________________________________________ 
 2 
 
1. INTRODUÇÃO 
 
Quando investigamos algum fenômeno, verificamos a necessidade de descrevê-lo por um 
modelo matemático que permite explicar, da melhor forma possível, este fenômeno. Os 
fenômenos são classificados em dois tipos: Fenômenos determinísticos e Fenômenos 
aleatórios. 
 
1.1. Fenômenos determinísticos: São aqueles que repetidos nas mesmas condições 
iniciais conduzem sempre a um mesmo resultado. 
 
Exemplo: Deixar uma massa M cair em queda livre de uma altura de 1 metro sobre uma 
superfície e anotar tempo t de queda livre. 
 
1.2. Fenômenos aleatórios: São aqueles que repetidos sob as mesmas condições iniciais 
podem conduzir a mais que um resultado. 
 
Exemplos: lançamento de uma moeda, lançamento de um dado, o tempo de vida útil de uma 
lâmpada, número de clientes que vão a um banco em um determinado dia, etc. 
 
O objetivo do estudo da teoria das probabilidades são fenômenos aleatórios, e vamos nos 
restringir nosso estudo a uma classe de fenômenos aleatórios chamados experimentos. 
 
2. TEORIA DAS PROBABILIDADES 
 
Como o objetivo do nosso estudo são os experimentos e eles admitem mais do que um 
resultado, faz sentido definir o conjunto de todos os possíveis resultados do experimento. 
2.1. Espaço amostral :É o conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento, e 
será denotado por S. 
Exemplos : Considere os experimentos 
a) Lançar uma moeda e anotar a face superior. 
S= {ca, co} 
b) Lançar um dado e anotar o número de pontos da face superior. 
S= { 1, 2, 3, 4, 5, 6} 
 
Probabilidade Oscar Luiz Teixeira de Rezende 
 
___________________________________________________________________ 
 3 
c) Instalar uma lâmpada em um soquete e anotar o tempo que a lâmpada leva para 
queimar. 
S= { 
}0| ntRt 
, n é o tempo que a lâmpada queima. 
2.2. Evento: É qualquer subconjunto do espaço amostral do experimento. 
Exemplos: 
a) No lançamento de um dado o evento A representa o conjunto cujo número da face 
superior é par. 
 A= { 2, 4, 6} 
b) No lançamento de uma moeda e um dado o evento B representa o conjunto cujo número 
da face superior do dado é maior que 4. 
B= {(ca, 5); (ca, 6); (co, 5); (co, 6)} 
A seguir , apresentamos um modelo matemático adequado à representação da relação entre 
o espaço amostral e o evento 
 
 
3. DEFINIÇÃO DE PROBABILIDADE 
 
Existem três formas de se definir a probabilidade, a escolha da forma depende da natureza da 
situação. 
 
3.1. Probabilidade Clássica 
 
Aplicam-se a situações em que os resultados que compõe o espaço amostral ocorrem com a 
mesma probabilidade. Nesta situação a probabilidade de um determinado evento é definida 
coma sendo a razão entre o número de elementos do evento e o número de elementos do 
espaço amostral. 
 
 
S A 
Probabilidade Oscar Luiz Teixeira de Rezende 
 
___________________________________________________________________ 
 4 
)(
)(
)(
Sn
An
AP 
 
Desta definição podemos observar que: 
 
a) 
1)(0  AP
; 
b) 
1)( SP
; 
c) Se 
A
, então 
0)( AP
 
d) 
1)()(  APAP
, sendo 
A
 a representação do conjunto “Não A” 
 
Exemplo : No lançamento de um dado e observar a face superior deste dado, determine a 
probabilidade de ocorrer um número par. 
S= {1, 2, 3, 4, 5, 6} e A= {2, 4, 6} então n(S) = 6 e n(A) = 3 
P(A) = 3/6 =1/2 
 
3.2. Probabilidade pela frequência relativa 
 
Deve ser aplicada quando um experimento é observado e a frequência com que determinado 
evento ocorre nesta observação, esta probabilidade é sempre estabelecida por uma criteriosa 
pesquisa onde as frequências são estabelecidas. 
 
Exemplo Observa-se que dos 1000 clientes que vão a um supermercado e compram um 
produto, 500 deles compram o produto da marca A. Podemos estabelecer então que a
Probabilidade Oscar Luiz Teixeira de Rezende 
__________________________________________________________ 
 5 
probabilidade de um consumidor que compra o produto, comprar o produto da 
marca A e: 
 
P(A)= 500/1000 = 1/2 . 
 
3.3. Probabilidade subjetiva 
 
Em situações em que o experimento se repete com uma certa regularidade mas 
não há possibilidade de repeti-lo sucessivamente um número razoável de vezes e 
nem aplicar a forma clássica, então se faz uma avaliação subjetiva da 
probabilidade. 
 
Exemplo: A probabilidade de uma pessoa engordar ao comer pizza regularmente 
durante um ano sem uma queima de calorias adequadas é de 0,8 ou 80%. Esta 
probabilidade é totalmente subjetiva e foi estabelecida sem nenhum critério 
cientifico. 
 
4. PROBABILIDADE DA UNIÃO DE DOIS EVENTOS 
 
 
)(
)()()(
)(
)(
)(
)(
SN
BANBNAN
BAP
SN
BAN
BAP







 
 
)()()()( BAPBPAPBAP  
 
 
Quando 
BA
, 
,0)( BAP 
 então: 
 
)()()( BPAPBAP 
 
 
Exemplo: Retira-se uma carta de um baralho completo de 52 cartas. Qual a 
probabilidade de sair um rei ou uma carta de espadas? 
Seja A: saída de um rei 
 B: saída de uma carta de espadas 
 
52
4
)(},,,{  APRRRRA pceo
 
A B 
 
S 
Probabilidade Oscar Luiz Teixeira de Rezende 
__________________________________________________________ 
 6 
52
13
)(},,2,{  BPRAB eee 
 
52
1
)( BAP 
 
logo: 
)()()()( BAPBPAPBAP  
 
52
1
52
13
42
4
)( BAP 
 
52
16
)( BAP 
 
 
5. PROBABILIDADE CONDICIONADA 
 
 Vamos analisar a diferença entre extrair uma peça de um lote, ao acaso, com ou 
sem reposição. Suponha a seguinte situação: um lote de peças tem 80 peças 
defeituosas e 20 defeituosas. Suponha que escolhemos duas peças desse lote: 
 
 
a) Com reposição; 
b) Sem reposição. 
 
A = {a primeira peça é defeituosa}; B = {a segunda peça é defeituosa}. 
 
Se estivermos extraindo com reposição , P(A)=P(B) = 20/100 = 1/5, porque cada 
vez que extrairmos do lote, existirão 20 peças defeituosas no total de 100. No 
entanto, se estivermos extraindo sem reposição, os resultados não serão tão 
imediatos. É ainda verdade, naturalmente, que P(A) = 1/5, mas para calcularmos 
P(B) devemos conhecer a composição do lote no momento de se extrair a segunda 
peça. Isto é, deveremos saber se A ocorreu ou não. Este exemplo mostra a 
necessidade de se introduzir o seguinte importante conceito. 
Sejam A e B dois eventos associados ao experimento E. Denotaremos por P(B|A) a 
probabilidade condicionada do evento B quando A tiver ocorrido. 
 
No exemplo acima P(B|A) = 19/99, porque se A tiver ocorrido, então para a 
Segunda extração restarão somente 99 peças, das quais 19 delas serão 
defeituosas. 
 
Probabilidade Oscar Luiz Teixeira de Rezende 
__________________________________________________________ 
 7 
Nota: Sempre que calcularmos P(B|A), estaremos essencialmente calculando P(B) 
em relação ao espaço amostral reduzido A, em lugar de fazê-lo em relação ao 
espaço amostral original S. 
 
 
 
 A parte de B que esta contida em A é representada por 
BA
. Concluímos que: 
 
 0)(;
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)/( AP
AP
BAP
SN
AN
SN
BAN
AN
BAN
ABP



 
 
)(
)(
)/(
AP
BAP
ABP


 
 
 
 
Exemplo: considere 250 alunos que cursam o primeiro ciclo de uma faculdade. 
Destes alunos 100 são homens (H) e 150 são mulheres (M), 110 cursam física (F) e 
140 cursam química (Q). A distribuição dos alunos é a seguinte 
 
 Total 
H 40 60 100 
M 70 80 150 
Total 110 140 250 
 
Um aluno é sorteado ao acaso. Qual a probabilidade de que esteja cursando 
química, dado que é mulher? 
Pelo quadro vemos que esta probabilidade é de 
150
80
 e representamos 
150
80
)/( MQP
 
Observamos, porém, que 
250
80
)( QMP 
 e 
250
150
)( MP
. Para obtermos o 
resultado do problema basta considerar que: 
 
B A 
Probabilidade Oscar Luiz Teixeira de Rezende 
__________________________________________________________ 
 8 
150
80
250
150
250
80
)(
)(
)/( 
MP
QMP
MQP
 
 
5.1. Teorema Da Multiplicação 
 
Uma consequência importante da definição acima é a seguinte: 
 
)(
)(
)/(
AP
BAP
ABP


)/().()( ABPAPBAP 
 
)/().()(
)(
)(
)/( BAPBPBAP
BP
BAP
BAP 


 
 
 
Em particular quando os eventos A e B são independentes, 
)()/( APBAP 
 ou 
)()/( BPABP 
 temos: 
 
)().()( BPAPBAP 
 
 
 
5.2. Teorema da Probabilidade Total 
 
Dizemos que os eventos B1, B2, ...,Bk representam uma partição do espaço 
amostral S, quando 
a) 
 ji BB
 para 
ji 
. 
b) 

k
i
i SB
1
.


(união de todos os 
iB
) 
c) 
OBP i )(
 para todo i. 
Vamos ilustrar a situação para um K = 5. 
 
 
 
A
B2 
B1 
B3 
B4 
B5 
Probabilidade Oscar Luiz Teixeira de Rezende 
__________________________________________________________ 
 9 
 
Considerando A um evento qualquer de S e B1, B2, B3, B4 e B5 uma partição de S 
temos: 
 
)()()()()( 54321 BABABABABAA 
 
como 
))...(( 51 BABA 
 são dois a dois mutuamente excludentes temos: 
 
)()()()()()( 54321 BAPBAPBAPBAPBAPAP 
 
 
Generalizando temos: 
 
)(...)()()( 21 kBAPBAPBAPAP 
 
 
Este resultado é conhecido como teorema da probabilidade total. Ele é utilizado 
quando P(A) é difícil de ser calculada diretamente, porém simples se for usada a 
relação acima. 
 
Exemplo: Uma urna contém 3 bolas brancas e 2 amaralas. Uma Segunda urna 
contém 4 bolas brancas e 2 amarelas. Escolhe-se, ao acaso, uma urna e dela 
retira-se, também ao acaso, uma bola. Qual a probabilidade: 
 
a) da bola escolhida ser da da urna I e branca? 
b) da bola escolhida ser branca? 
c) Se a bola escolhida foi branca, qual a probabilidade que tenha sida escolhida 
uma bola da urna I 
Para resolver este problema vamos usar um modelo matemático conhecido como 
diagrama de árvore, que auxilia a resolução dos problemas de probabilidade 
quando é possível fragmentar um experimento em outros experimentos 
sucessivos. 
 
 
I II 
3B 
2A 
4B 
2A 
P(I)=1/2 
. 
P(II)=1/2 
II 
I 
P(B/I)=3/5 
B 
A 
P(A/I)=2/5 
B 
A 
P(B/II)=4/6 
P(B/II)=2/6 
Probabilidade Oscar Luiz Teixeira de Rezende 
__________________________________________________________ 
 10 
 
a) 
10
3
5
3
2
1
)/()()(  IBPIPBIP 
 
b) 
30
19
12
4
10
3
6
4
2
1
5
3
2
1
)()()(  BIIPBIPBP 
 
c) 
19
9
30
19
10
3
)(
)(
)/( 
BP
BIP
BIP
 
 
6. EXERCÍCIOS 
 
1) Lance um dado e uma moeda 
a) Construa o espaço amostral 
b) Enumere os seguintes eventos 
A = { coroa, marcada por um número par} 
B = { cara, marcado por um número impar} 
C = { múltiplo de 3 } 
c) Expresse os eventos 
I) 
B
 
II) A ou B ocorrem 
III) B e C ocorrem 
IV) 
BA
 
2) Se 
4
1
)(;
2
1
)(  BPAp
 e A e B são mutuamente exclusivos, calcular: 
a) 
)(AP
 b) 
)(BP
 c) 
)( BAP 
 d) 
)( BAP 
 e) 
)( BAP 
 
3) Se 
4
1
)(
3
1
)(;
2
1
)(  BAPeBPAP
, calcule: 
a) 
)( BAP 
 b) 
)( BAP 
 c) 
)( BAP 
 
4) Determine a probabilidade de cada evento: 
a) Um número para aparecer no lançamento de um dado não viciado. 
b) Um rei aparecer ao extrair-se uma carta de um baralho. 
c) Pelo menos uma cara aparece no lançamento de 3 moedas. 
d) Pelo menos uma cara aparece no lançamento de “n” moedas. 
e) Duas copas aparecem ao retira-se duas cartas de um baralho. 
f) Uma carta de copas e uma de ouros aparecem ao extraírem-se duas cartas 
de um baralho. 
Probabilidade Oscar Luiz Teixeira de Rezende 
__________________________________________________________ 
 11 
5) Um número inteiro é escolhido aleatoriamente dentre os números 1, 2, 3, ..., 
50. Qual a probabilidade de que: 
a) O número seja divisível por 5. 
b) Terminar em 3. 
c) Ser primeiro; 
d) Ser divisível por 6 ou por 8. 
6) Qual a probabilidade de sair um rei ou uma carta de copas, quando retiramos 
uma carta de um baralho. 
7) Dois dados são lançados simultaneamente. Qual a probabilidade de: 
a) A soma ser menor que 4. 
b) A soma ser 9. 
c) O primeiro resultado ser maior do que o segundo. 
 
8) Numa urna são misturadas dez bolas numeradas de 1 a 10. Duas bolas são 
retiradas sem reposição. Qual a probabilidade de a + b = 10? 
 
9) Um lote é formado por 10 peças boas, 4 com defeitos e duas com defeitos 
graves. Uma peça é escolhida ao acaso. Calcular a probabilidade de que: 
a) ela não tenha defeitos graves; 
b) ela não tenha defeitos; 
c) ela seja boa ou tenha defeitos graves. 
 
 
10) Considere os mesmos lotes do problema anterior. Retiram-se duas peças são 
acaso. Qual a probabilidade de que : 
a) ambas sejam perfeitas; 
b) pelo menos uma seja perfeita; 
c) nenhuma tenha defeito grave; 
d) nenhuma seja perfeita. 
 
11) Uma urna contém 5 bolas brancas e 6 pretas. Três bolas são retiradas. Calcular 
a probabilidade de : 
a) Todas pretas; 
b) Exatamente uma branca; 
c) Ao menos uma preta. 
 
12) numa classe existem 5 alunos do 4º anos, 4 do 2º e 3 do 3º ano. Qual a 
probabilidade de serem sorteados 2 alunos do 2º ano, 3 do 4º e 2 do 3º ? 
Probabilidade Oscar Luiz Teixeira de Rezende 
__________________________________________________________ 
 12 
 
13) Em um grupo de 500 estudantes, 80 estudam Economia, 150 estudam Ciências 
Contábeis e 10 estudam Economia e Ciências Contábeis. Se um aluno é 
escolhido ao acaso. Qual a probabilidade de que: 
a) Ele estude somente Economia? 
b) Ele não estude Economia, nem Ciências Contábeis? 
c) Ele estude Economia ou Ciências Contábeis? 
d) Ele não estude Economia ou estude Ciências Contábeis? 
14) Dado 
4
1
)(
3
1
)(;
2
1
)(  BAPeBPAP
, calcular: 
a) 
)/( BAP
 b) 
)/( ABP
 c) 
)/( BBAP 
 
15) Façam A e B serem dois eventos com 
4
1
)(
3
1
)(;
2
1
)(  BAPeBPAP
. 
Encontre 
)/()/( ABPeBAP
. 
16) As probabilidades de 3 jogadores marcarem um penalty são respectivamente 
10
7
6
4
,
3
2
e
 . Se cada um cobrar uma única vez, qual a probabilidade de: 
a) todos acertarem; 
b) apenas um acertar 
c) todos errarem. 
 
 
 
17) Uma urna contém 12 bolas: 5 brancas, 4 vermelhas, e 3 pretas. Outra contém 
18 bolas: 5 brancas, 6 vermelhas e 7 pretas. Uma bola é retirada de cada urna. 
Qual a probabilidade de que as duas bolas sejam da mesma cor? 
 
18) Numa bolsatemos 5 moedas de R$ 1,00 e 4 de R$ 0,5. 
Qual á a probabilidade de, ao retirarmos duas moedas, obtermos R$ 1,50? 
 
19) Uma urna contém 1 bolas pretas e 5 vermelhas. São feitas retiradas aleatórias. 
Cada bola retirada é resposta, juntamente com 5 bolas da mesma cor. Qual „a 
probabilidade de saírem nessa ordem: 1 preta, 1 preta, 1 vermelha, 1 
vermelha? E neta ordem 1 preta, 1 vermelha, 1 preta, 1 vermelha? Dado que a 
primeira bola é preta, qual a probabilidade de que a Segunda seja preta? 
20) A probabilidade de uma mulher estar viva daqui a 30 anos é 
4
3
 e de seu marido 
Probabilidade Oscar Luiz Teixeira de Rezende 
__________________________________________________________ 
 13 
é 
5
3
. Calcular a probabilidade de: 
a) apenas o homem estar vivo; 
b) somente a mulher estar viva; 
c) pelo menos um estar vivo; 
d) ambos estarem vivos. 
 
21) Uma urna contém 5 bolas vermelhas e 3 brancas. Uma bola é selecionada 
aleatoriamente da urna e abandonada, e duas de outra cor são colocadas na 
urna. Uma Segunda bola é então selecionada da urna. Encontre a probabilidade 
de que: 
a) a Segunda bola seja vermelha; 
b) ambas as bolas sejam da mesma cor. 
c) Se a segunda bola é vermelha, qual é a probabilidade de que a primeira bola 
seja vermelha; 
d) Se ambas são da mesma cor, qual é a probabilidade de que sejam brancas. 
 
22) Jogando um dado duas vezes, qual a probabilidade de obter a soma dos pontos 
menor que 6? 
23) Um casal pretende Ter dois filhos. Admitindo probabilidades iguais para ambos 
os sexos, qual a probabilidade de que venha Ter dois filhos de sexos diferentes? 
 
 
 
24) Numa classe de 22 alunos, 12 têm olhos castanhos, 4 têm olhos negros, 3 têm 
olhos cinzas, 2 têm olhos verdes e um tem olhos azuis. Qual a probabilidade de 
um aluno escolhido ao acaso: 
a) não Ter olhos castanhos? 
b) Ter olhos verdes ou azuis? 
 
25) Numa certa população 15% das pessoas têm sangue tipo A, 88% não têm 
sangue tipo B e 96% não têm sangue tipo AB. Escolhida ao acaso uma pessoa 
desta população, determine as probabilidades de: 
a) não ater sangue do tipo A; 
b) Ter sangue tipo B; 
c) Ter sangue tipo AB; 
d) Ter sangue tipo A ou B ou AB; 
e) Ter sangue tipo O 
Probabilidade Oscar Luiz Teixeira de Rezende 
__________________________________________________________ 
 14 
 
26) Uma caixa contém 11 bolas numeradas de 1 a 11. Retirando-se uma delas ao 
acaso, observa-se que a mesma traz um número impar. Determine a 
probabilidade de que esse número seja menor que 5. 
 
27) De uma urna contendo quatro bolas verdes e duas amarelas serão extraídas 
sucessivamente, sem reposição, duas bolas. 
a) Se a primeira bola sorteada for amarela, qual a probabilidade de a Segunda 
ser também amarela? 
b) Qual a probabilidade de ambas as bolas sorteadas serem amarelas? 
c) Qual a probabilidade de ambas as bolas sorteadas serem verdes? 
d) Qual a probabilidade de a primeira bola sorteada ser verde e a Segunda 
amarela? 
e) Qual a probabilidade de ser uma bola de cada cor? 
 
28) Uma urna I tem 3 bolas vermelhas e 4 brancas, a urna II tem 6 bolas 
vermelhas e 2 brancas. Uma urna é escolhida ao acaso e dela é escolhida uma 
bola, também ao acaso. 
a) Qual a probabilidade de observarmos urna I e bola vermelha? 
b) Qual a probabilidade de observarmos bola vermelha? 
c) Se a bola observada foi vermelha, qual a probabilidade que tenha vindo da 
urna I? 
 
 
29) O mês de outubro tem 31 dias. Numa certa localidade, chove 5 dias, no mês de 
outubro. Qual a probabilidade de chover nos dias 1º e 2 de outubro? 
 
30) Uma clínica especializada trata de 3 tipos de moléstias; X, Y e Z. 50% dos que 
procuram a clínica são portadores de X, 40% são portadores de Y e 10% de Z. 
As probabilidades de cura, nesta clínica, são: 
 
Moléstia X : 0,8 
Moléstia Y : 0,9 
Moléstia Z: 0,95 
Um enfermo saiu curado da clínica. Qual a probabilidade de que ele tenha 
sofrido a moléstia Y? 
Probabilidade Oscar Luiz Teixeira de Rezende 
__________________________________________________________ 
 15 
31) Um lote contém 50 peças boas (B) e 10 peças defeituosas (D). Uma peça é 
escolhida ao acaso e, sem reposição desta, outra peça é escolhida ao acaso. 
Qual a probabilidade de ambas serem defeituosas? 
 
32) Em um lote da fábrica A existem 18 peças boas e 2 defeituosas. Em outro lote 
da fábrica B, existem 24 peças boas e 6 defeituosas, e em outro lote da fábrica 
C, existem 38 peças boas e 2 defeituosas. Um dos três lotes é sorteado ao 
acaso e dele é extraída uma peça ao acaso. Qual a probabilidade da peça ser: 
 
a) boa? B) defeituosa? 
 
33) As probabilidades de que duas pessoas A e B resolvam um problema são P(A) = 
1/3 e P(B) = 3/5. Qual a probabilidade de que: 
 
a) Ambos resolvam o problema? 
b) Ao menos um resolva o problema? 
c) Nenhum resolva o problema? 
d) A resolva o problema mas B não? 
e) B resolva o problema mas A não? 
 
34) Numa urna há três bolas azuis, duas brancas e uma marrom. Extraindo-se 3 
bolas sucessivamente, com reposição, qual a probabilidade de saírem três bolas 
da mesma cor? 
 
35) Uma prova consta de 5 testes, cada um com quatro alternativas das quais 
apenas uma é correta. Para alguém que esteja respondendo aleatoriamente 
uma alternativa em cada teste, qual a probabilidade de 
 
a) acertar os 5 testes? b) errar os 5 testes? 
c) acertar apenas o primeiro teste? d) acertar apenas um dos testes? 
 
36) Em uma loteria com 30 bilhetes, 4 são premiados. Comparando-se 3 bilhetes, 
qual a probabilidade de: 
 
a) nenhum ser premiado? 
b) Apenas um ser premiado? 
 
Probabilidade Oscar Luiz Teixeira de Rezende 
__________________________________________________________ 
 16 
37) Um grupo de 50 moças é classificado de acordo com a cor dos cabelos, e dos 
olhos de cada moça, segundo a tabela. 
 
 Azuis Castanhos 
Loira 17 9 
Morena 4 14 
Ruiva 3 3 
 
a) Se você marca um encontro com uma dessas garotas, escolhida ao acaso, 
qual a probabilidade dela ser 
1) morena de olhos azuis 2) morena ou Ter olhos azuis? 
 
b) Está chovendo quando você encontra a garota. Seus cabelos estão cobertos, 
mas você percebe que ela tem olhos castanhos. Qual a probabilidade de que 
ela seja morena? 
 
7-RESPOSTAS 
 
5) a. 1/5 b. 1/10 c. 3/10 d. 6/25 
6) 4/3 
7) a. 1/2 b. 1/9 c. 5/12 
8) 4/45 
9) a. 7/8 b.5/8 c.3/4 
10) a. 3/8 b. 7/8 c. 91/120 d. 1/8 
11) a. 4/33 b. 5/11 c. 31/33 
12) 5/12 
13) a. 7/10 b.14/25 c.11/25 d. 43/53 
14) a.3/4 b. 1/2 c. 1 
15) 5/8 e 5/6 
16) a. 56/180 b. 38/180 c. 1/30 
17) 35/108 
18) 5/9 
19) 25/1848 25/1848 6/11 
20) a. 3/20 b. 3/10 c. 18/20 d. 9/20 
21) a. 35/72 b.13/16 c. 4/7 d. 3/13 
22) 5/18 
23) 1/2 
24) a. 5/11 b. 3/22 
Probabilidade Oscar Luiz Teixeira de Rezende 
__________________________________________________________ 
 17 
25) a. 17/20 b. 3/25 c. 1/25 d. 31/100 e. 69/100 
26) 1/3 
27) a. 1/5 b. 1/15 c. 2/15 d. 4/15 e. 8/15 
28) a. 3/14 b. 3/56 c. 4/11 
29) 2/93 
30) 0,42 
31) 3/118 
32) a. 53/60 b. 7/60 
33) a. 1/15 b. 11/15 c.4/15 d. 2/15 d. 2/15 
34) 1/6 
35) a. 1/1024 b. 243/1024 c. 81/1024 d. 405/1024 
36) a. 130/203 b. 65/203 
37) a. 1. 2/25 a.2. 19/25 b. 7/13 
 
8-BIBLIOGRAFIA 
 
TRIOLA, Mario F. Introdução a Estatística. 7 ed – Rio de janeiro: LTC , 1999. 
 
STEVENSON, William J. Estatística aplicada à administração. São Paulo: Editora 
Harbra LTDA, 1988. 
 
CRESPO, Antônio Armont. Estatística fácil. São Paulo: Editora Saraiva, 1996. 
 
SILVA, Medeiros daSilva, SILVA, Elio Medeiros, GONÇALVES, Valter, MUROLO, 
Antônio Carlos. Estatística Para os Cursos de Economia, Administração e Ciências 
Contábeis. 2a ed, Vol 1 e 2. São Paulo: Editora Atlas S.A, 1997.