AP1-MEst_II-2012-2-gabarito

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Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Gabarito AP1 – Me´todos Estatisticos II – 2/2012
Questa˜o 1 [2,5 pts]
Considere uma varia´vel aleato´ria X com distribuic¸a˜o uniforme no intervalo [3, 7].
(a) Esboce o gra´fico da func¸a˜o de densidade de X.
(b) Obtenha a expressa˜o da func¸a˜o de densidade de X.
(c) Calcule P (X > 4, 5).
(d) Calcule P (X ≤ 6, 2|X > 4, 5).
(e) Calcule o primeiro quartil Q1 da distribuic¸a˜o.
Soluc¸a˜o
(a) Veja o gra´fico a seguir.
3 7
1/4
Figura 1: Func¸a˜o de densidade - Questa˜o 1(a)
(b)
f(x) =
1
4
, 3 ≤ x ≤ 7
(c)
P (X > 4, 5) =
7− 4, 5
7− 3 = 0, 625
(d)
P (X ≤ 6, 2|X > 4, 5) = P (4, 5 < X ≤ 6, 2)
P (X > 4, 5)
=
6, 2− 4, 5
4
0, 625
= 0, 68
(e)
P (X ≤ Q1) = 1
4
=⇒ Q1 − 3
4
=
1
4
=⇒ Q1 = 4
Questa˜o 2 [2,5 pts]
O tempo de atendimento de clientes em uma ageˆncia banca´ria segue uma distribuic¸a˜o normal
com me´dia de 5 minutos e desvio padra˜o de 1,5 minuto.
(a) Qual e´ a probabilidade de que um cliente espere no ma´ximo 8 minutos para ser atendido?
(b) Se um cliente espera mais que 9,5 minutos para ser atendido, ele tem direito a fazer uma
reclamac¸a˜o formal a` gereˆncia do banco. Qual e´ a probabilidade de um cliente fazer tal
reclamac¸a˜o?
(c) Um cliente ja´ esta´ na fila ha´ mais de 8 minutos. Qual e´ a probabilidade de que ele possa
fazer uma reclamac¸a˜o junto a` gereˆncia do banco?
(d) Determine o tempo t tal que 5% dos clientes levam menos que t minutos ate´ serem atendidos.
(e) Uma amostra de 4 clientes e´ sorteada aleatoriamente. Qual e´ a probabilidade de que o
tempo me´dio de espera desses clientes seja maior que 8 minutos?
Soluc¸a˜o
Seja T a varia´vel aleato´ria que representa o tempo de espera. Enta˜o, T ∼ N(5; 1, 52)
(a)
P (T ≤ 8) = P
(
Z ≤ 8− 5
1, 5
)
= P (Z ≤ 2, 0) = 0, 5 + tab(2, 0) = 0, 5 + 0, 4772 = 0, 9772
(b)
P (T > 9, 5) = P
(
Z >
9, 5− 5
1, 5
)
= P (Z > 3, 0) = 0, 5− tab(3, 0) = 0, 5− 0, 4987 = 0, 0013
(c)
P (T > 9, 5|T > 8) = P (T > 9, 5)
P (T > 8)
=
0, 0013
1− 0, 9772 = 0, 05702
(d)
P (T < t) = 0, 05⇔ P
(
Z <
t− 5
1, 5
)
= 0, 05⇔ tab
(
5− t
1, 5
)
= 0, 45⇔ 5− t
1, 5
= 1, 64⇔ t = 2, 54
(e)
T ∼ N
(
5;
1, 52
4
)
⇒ P (T > 8) = P
Z > 8− 51, 5
2
 = P (Z > 4) = 0, 5− tab(4, 0) = 0
Questa˜o 3 [2,5 pts]
De uma populac¸a˜o normal com variaˆncia 81, extrai-se uma amostra de tamanho 36, que acusa
uma me´dia amostral de 12,5.
(a) [1,5 pts] Obtenha um intervalo de confianc¸a para a me´dia populacional com n´ıvel de con-
fianc¸a de 95%.
(b) [0,5 pt] Se muda´ssemos o n´ıvel de confianc¸a para 90%, o comprimento do intervalo de
confianc¸a aumentaria ou diminuiria? Na˜o fac¸a qualquer ca´lculo!
2
(c) [0,5 pt] Se a variaˆncia populacional fosse 100, o comprimento do intervalo de confianc¸a
aumentaria ou diminuiria? Na˜o fac¸a qualquer ca´lculo!
Soluc¸a˜o
(a)
1− α = 0, 95⇒ z0,025 = 1, 96[
12, 5− 1, 96× 9
6
; 12, 5 + 1, 96× 9
6
]
= [9, 56; 15, 44]
(b) Diminuindo o n´ıvel de confianc¸a, o comprimento do intervalo de confianc¸a tambe´m diminui.
(c) Variaˆncia populacional maior significa maior incerteza, que se traduz no aumento do com-
primento do intervalo de confianc¸a.
Questa˜o 4 [2,5 pts] Com base em dados histo´ricos, uma companhia ae´rea estima em 15% a
taxa de desisteˆncia entre seus clientes, isto e´, 15% dos passageiros com reserva na˜o aparecem
na hora do voo. Para otimizar a ocupac¸a˜o de suas aeronaves, essa companhia decide aceitar
400 reservas para os voos em aeronaves que comportam apenas 350 passageiros. Calcule a
probabilidade de que essa companhia na˜o tenha assentos suficientes em um desses voos. Essa
probabilidade e´ alta o suficiente para a companhia rever sua pol´ıtica de reserva? Para resolver
esse problema, voceˆ deve usar a aproximac¸~ao normal com correc¸~ao de continuidade, tendo
o cuidado de verificar que essa aproximac¸a˜o realmente pode ser usada.
Soluc¸a˜o
Seja X a varia´vel aleato´ria que representa o nu´mero de passageiros que se apresentam para
o voo. Enta˜o, X ∼ binomial(400; 0, 85). Queremos calcular P (X > 350). Podemos usar a
aproximac¸a˜o normal, pois
n = 400 > 30 np = 400× 0, 85 = 340 n(1− p) = 400× 0, 15 = 60
X ∼ binomial(400; 0, 85)⇒ X ≈ N(400× 0, 85; 400× 0, 85× 0, 15)⇔ X ≈ N(340; 51)
P (X > 350) ≈ P
(
Z ≥ 350, 5− 340√
51
)
= P (Z ≥ 1, 47) = 0, 5− tab(1, 47) = 0, 0708
Essa e´ uma probabilidade razoavelmente alta; a companhia deve rever sua pol´ıtica de reserva
de lugares.
Resultados Importantes
X ∼ N(µ;σ2) =⇒ X ∼ N
(
µ;
σ2
n
)
(1)
X ∼ binomial(n; p)) =⇒ X ≈ N(np;npq) (2)
3