CEL033_AULA_QUADRIPOLO1

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NR-10 
Aula 
13/03/2013 
Prof.: Ivo Chaves da Silva Junior 
CEL033 
Circuitos Lineares I 
ivo.junior@ufjf.edu.br 
 NR-10 
Bipolo 
 
Circuito contendo um terminal de entrada 
Quadripolo 
 
Circuito contendo um terminal de entrada e 
um terminal de saída 
 NR-10 
Exemplos: 
Circuito 
(Rede) 
Circuito 
(Rede) 
BIPOLO 
QUADRIPOLO 
 NR-10 
Exemplos: 
BIPOLO RESISTIVO 
QUADRIPOLO 
 NR-10 
 Importante em estudos envolvendo: 
 
• Circuitos eletrônicos 
• Sistemas de comunicação 
• Sistemas de controle 
• Sistemas de transmissão e distribuição 
Quadripoplo 
POR QUE ? 
 NR-10 
Quadripoplo 
Muitas vezes não estamos interessados na organização interna de 
um circuito. Nestas situações, a análise entre as variáveis de 
entrada e saída é suficiente. 
Quadripolo: 
Modelo que descreve a relação entre as tensões e correntes de 
entrada e saída de um circuito. 
 NR-10 
Quadripoplo 
Entrada Saída 
 NR-10 
Quadripoplo 
Tensão de entrada (V1) e Tensão saída(V2) como variáveis: 
parâmetros de admitância 
Corrente de entrada (I1) e Corrente saída (I2) como variáveis: 
parâmetros de impedância 
Corrente de entrada (I1) e Tensão de saída (V2) como variáveis: 
parâmetros híbridos 
Corrente (I2) e Tensão de saída(V2) como variáveis: 
parâmetros de transmissão 
CLASSIFICAÇÃO QUADRIPOLOS : 
 NR-10 
Quadripoplo 
GANHO DE TENSÃO: 
RELAÇÕES IMPORTANTES ENTRE ENTRADA E SAÍDA: 
1
2
V
V
G
tensão

GANHO DE CORRENTE: 
1
2
I
I
G
corrente

Tensão Saída 
Tensão Entrada 
Corrente Saída 
Corrente Entrada 
 NR-10 
Quadripoplo 
Circuito 
Linear 
Passivo 
PARÂMETROS DE ADMITÂNCIA (Y): 
 
VYI 


















2
1
2221
1211
2
1
V
V
yy
yy
I
I
Tensão de entrada (V1) e Tensão saída (V2) como variáveis 
ANÁLISE NODAL 
 NR-10 
Quadripoplo 
PARÂMETROS ADMITÂNCIA: 


















2
1
2221
1211
2
1
V
V
yy
yy
I
I
MATRIZ ADMITÂNCIA 
 (matriz de curto circuito) 
 Como determinar dos elementos da matriz admitância? 
PERGUNTA: 
 NR-10 
Quadripoplo 
0
1
1
11 2
|  V
V
I
y
0
2
1
12 1
|  V
V
I
y
0
2
2
22 1
|  V
V
I
y
0
1
2
21 2
|  V
V
I
y
 curto circuito o terminal de saída 
 curto circuito o terminal de entrada 
 NR-10 
Quadripoplo 
EXERCÍCIO 
 
Determine os parâmetros Admitância (Y) referente ao circuito 
elétrico abaixo. 
 NR-10 
Quadripoplo 
14
1
42
1
21
1
11 











y 






21
1
12y







21
1
21y 7
1
5,10
1
21
1
22 











y
PARÂMETROS ADMITÂNCIA 
(matriz curto-circuito) 
(análise nodal) 
 NR-10 
Quadripoplo 
EXERCÍCIO 
 Use os parâmetros de admitância para determinar Io. 
 NR-10 
Quadripoplo 
A10 5
21
42
5,10


1V


2V
1I 2I
0I
PARÂMETROS ADMITÂNCIA: 
Condições nas Portas: 
 
 
•Entrada: 
 
 
 
•Saída: 
AI 101 
5
2
002
V
III 
 NR-10 
Quadripoplo 
14
1
42
1
21
1
11 











y 






21
1
12y







21
1
21y 7
1
5,10
1
21
1
22 











y
PARÂMETROS ADMITÂNCIA: 
A10 5
21
42
5,10
 NR-10 
Quadripoplo 

























 0
1
0 5
7
1
21
1
21
1
14
1
10
I
V
I
A10 5
21
42
5,10


1V


2V
1I 2I
0I
PARÂMETROS ADMITÂNCIA: 
 NR-10 
Quadripoplo 
Circuito 
Linear 
Passivo 
PARÂMETROS IMPEDÂNCIA (Z): 
IZV 


















2
1
2221
1211
2
1
I
I
zz
zz
V
V
Corrente de entrada (I1) e Corrente saída (I2) como variáveis 
ANÁLISE DE MALHAS 
 NR-10 
Quadripoplo 
PARÂMETROS IMPEDÂNCIA: 
MATRIZ IMPEDÂNCIA 
(matriz de curto aberto) 


















2
1
2221
1211
2
1
I
I
zz
zz
V
V
Como determinar dos elementos da matriz impedância? 
PERGUNTA: 
 NR-10 
Quadripoplo 
0
1
1
11 2
|  I
I
V
z
0
1
2
21 2
|  I
I
V
z
0
2
1
12 1
|  I
I
V
z
0
2
2
22 1
|  I
I
V
z
 terminal de saída em aberto 
 terminal de entrada em aberto 
 NR-10 
OBSERVAÇÃO: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A determinação dos parâmetros de impedância fica facilitada se 
utilizarmos a lei de formação da matriz admitância e posteriormente, 
aplicarmos a relação acima apresentada. 
Quadripoplo 
    1 YZ
1
2221
1211
2221
1211













yy
yy
zz
zz
 NR-10 
Quadripoplo 
EXERCÍCIO 
 
Use os parâmetros de impedância para determinar Io. 
A10 5
21
42
5,10
0I
 NR-10 
Quadripoplo 
A10 5
21
42
5,10


1V


2V
1I 2I
0I
PARÂMETROS IMPEDÂNCIA: 
Condições nas Portas: 
 
 
•Entrada: 
 
 
 
•Saída: 
AI 101 
5
2
002
V
III 
 NR-10 
Quadripoplo 
 













7
1
21
1
21
1
14
1
Y
    







96
6181
YZ
Matriz Admitância (Y) 
Matriz Impedância(Z) 
A10 5
21
42
5,10
1811 z 612 z
621 z
922 z
 NR-10 
Quadripoplo 



















00
1 10
96
618
5 II
V
A10 5
21
42
5,10


1V


2V
1I 2I
0I
PARÂMETROS IMPEDÂNCIA: 
 NR-10 
Quadripoplo 
Circuito 
Linear 
Passivo 
PARÂMETROS HÍBRIDOS (H): 
 
 
Mistura entre os parâmetros Impedância e Admitância 
 


















2
1
2221
1211
2
1
V
I
hh
hh
I
V
Corrente de entrada (I1) e Tensão de saída (V2) como variáveis 
 NR-10 
Quadripoplo 
PARÂMETROS HÍBRIDOS: 
MATRIZ HÍBRIDA (H) 


















2
1
2221
1211
2
1
V
I
hh
hh
I
V
Como Determinar dos elementos da matriz Híbrida (H)? 
PERGUNTA: 
 NR-10 
Quadripoplo 
0
1
1
11 2
|


V
I
V
h
0
1
2
21 2
|


V
I
I
h
0
2
1
12 1
|


I
V
V
h
0
2
2
22 1
|


I
V
I
h
 terminal de entrada em aberto 
 curto circuito o terminal de saída 
 NR-10 
Quadripoplo 
Circuito 
Linear 
Passivo 
PARÂMETROS HÍBRIDOS (H): 


















2
1
2221
1211
2
1
V
I
hh
hh
I
V
Circuito 
Linear 
Passivo 
PARÂMETROS HÍBRIDOS (G): 


















2
1
2221
1211
2
1
I
V
gg
gg
V
I
Tensão de entrada (V1) e Corrente de saída (I2) como variáveis 
 NR-10 
RELAÇÃO ENTRE OS PARÂMETROS HIBRÍDOS:Quadripoplo 
    1 GH
1
2221
1211
2221
1211













gg
gg
hh
hh
 NR-10 
Quadripoplo 
Circuito 
Linear 
Passivo 
PARÂMETROS DE TRANSMISSÃO (T): 



















2
2
1
1
I
V
DC
BA
I
V
Corrente (I2) e Tensão de saída(V2) como variáveis 
 NR-10 



















2
2
1
1
I
V
DC
BA
I
V
Quadripoplo 
PARÂMETROS DE TRANSMISSÃO: 
MATRIZ TRANSMISSÃO (T) 
0
2
1
2
|  I
V
V
A
0
2
1
2
|



V
I
V
B
0
2
1
2
|


I
V
I
C 0
2
1
2
|



V
I
I
D
 Determinação dos elementos da matriz transformação: 
 curto 
circuito 
 circuito 
aberto 
 NR-10 
Quadripoplo 
CIRCUITOS EQUIVALENTES PARA QUADRIPOLOS 
| | determinante 
 NR-10 
Quadripoplo 
QUADRIPOLO RECÍPROCO (Definição): 
 
Um quadripolo é recíproco quando a troca entre uma fonte ideal de 
tensão em um par de terminais (entrada ou saída) e um amperímetro 
ideal no outro terminal produzir a mesma leitura de corrente. 
 
Mesma leitura de corrente 
QUADRIPOLO RECÍPROCO 
 NR-10 
Quadripoplo 
Relações entre os parâmetros de um quadripolo recíproco: 
 
1
2112
2112
2112
2112





BCAD
gg
hh
yy
zz
Matriz Impedância 
Matriz Admitância 
Matriz Híbrida H 
Matriz Híbrida G 
Matriz Transmissão 
 NR-10 
Quadripoplo 
QUADRIPOLO SIMÉTRICO (Definição): 
 
Um quadripolo é simétrico se sua entrada puder ser trocada com sua 
saída sem que isso altere os valores de corrente e tensões terminais. 
 
Exemplos: 
‘ 
‘ ‘ 
 NR-10 
Quadripoplo 
Relações entre os parâmetros de um quadripolo simétrico: 
 
DA
gggg
hhhh
yy
zz





1..
1..
21122211
21122211
2211
2211
Matriz Impedância 
Matriz Admitância 
Matriz Híbrida 
Matriz Híbrida 
Matriz Transmissão 
 NR-10 
Quadripoplo 
ASSOCIAÇÃO OU INTERCONEXÕES DE QUADRIPOLOS 
CASCATA 
SÉRIE-SÉRIE PARALELO-PARALELO 
 NR-10 
Quadripoplo 
ASSOCIAÇÃO OU INTERCONEXÕES DE QUADRIPOLOS 
SÉRIE-PARALELO PARALELO-SÉRIE 
 NR-10 
Quadripoplo 
ASSOCIAÇÃO OU INTERCONEXÕES DE QUADRIPOLOS 
ASSOCIAÇÃO SÉRIE-SÉRIE: 
Correntes dos terminais de entrada são as mesmas 
Correntes dos terminais de saída são as mesmas 
Circuito 
Linear 
Passivo 
Circuito 
Linear 
Passivo 
= 
= 
SÉRIE-SÉRIE 
 NR-10 
Quadripoplo 
ASSOCIAÇÃO DE QUADRIPOLOS : SÉRIE 
1I 2I
1V 2V
'
2V
'
1V
''
2V
''
1V
''
1I
''
2I
 NR-10 
Quadripoplo 























''
''
1
'
'
1
2
1
22
V
V
V
V
V
V


















2
1
'
22
'
21
'
12
'
11
'
2
'
1
I
I
zz
zz
V
V


















2
1
''
22
''
21
''
12
''
11
''
2
''
1
I
I
zz
zz
V
V
Parâmetro Impedância –Quadripolo’ 
Parâmetro Impedância –Quadripolo ’’ 
 NR-10 
Quadripoplo 






























2
1
''
22
''
21
''
12
''
11
2
1
'
22
'
21
'
12
'
11
2
1
I
I
zz
zz
I
I
zz
zz
V
V




















2
1
''
22
'
22
''
21
'
21
''
12
'
12
''
11
'
11
2
1
I
I
zzzz
zzzz
V
V























''
''
1
'
'
1
2
1
22
V
V
V
V
V
V
A ASSOCIAÇÃO EM SÉRIE DE DOIS QUADRIPOLOS PELO PARAMÊTRO DE IMPEDÂNCIA É 
A SOMA DE SUAS MATRIZES IMPEDÂNCIAS 
 NR-10 
Quadripoplo 
PERGUNTA: 
Todos os quadripolos podem ser associados em Série? 
Não!!!! 
ba II 11 
NESTE CASO A MATRIZ IMPEDÂNCIA DA ASSOCIAÇÃO 
NÃO É A SOMA DAS MATRIZES IMPEDÂNCIAS DOS QUADRIPOLOS 
 NR-10 
Quadripoplo 
PERGUNTA: 
Como saber se os quadripolos podem ser associado em Série ou não? 
TESTE DE BRUNE. 
TESTE DE BRUNE: 
Estabelece-se a conexão série em um dos lados dos quadripolos e 
deixa-se aberto os terminais do outro lado. Se as duas tensões 
forem nulas (V’=V’’=zero) para qualquer valor de tensão (V) 
imposta, os quadripolos podem ser associados em série. 
 
 NR-10 
Quadripoplo 
ASSOCIAÇÃO OU INTERCONEXÕES DE QUADRIPOLOS 
ASSOCIAÇÃO PARALELA: 
 
As tensões de entrada e saída são iguais 
 
Circuito 
Linear 
Passivo 
Circuito 
Linear 
Passivo 
= 
= 
PARALELO 
 NR-10 
Quadripoplo 
ASSOCIAÇÃO DE QUADRIPOLOS: PARALELO 
1I
'
1I
''
1I
'
2I
2I
''
2I
1V 2V
 NR-10 
Quadripoplo 























''
''
1
'
'
1
2
1
22
I
I
I
I
I
I


















2
1
'
22
'
21
'
12
'
11
'
2
'
1
V
V
yy
yy
I
I


















2
1
''
22
''
21
''
12
''
11
''
2
''
1
V
V
yy
yy
I
I
Parâmetro Admitância –Quadripolo’ 
Parâmetro Admitância –Quadripolo ’’ 
 NR-10 
Quadripoplo 






























2
1
''
22
''
21
''
12
''
11
2
1
'
22
'
21
'
12
'
11
2
1
V
V
yy
yy
V
V
yy
yy
I
I




















2
1
''
22
'
22
''
21
'
21
''
12
'
12
''
11
'
11
2
1
V
V
yyyy
yyyy
I
I
A ASSOCIAÇÃO EM PARALELO DE DOIS QUADRIPOLOS PELO PARAMÊTRO DE 
ADMITÂNCIA É A SOMA DE SUAS MATRIZES ADMITÂNCIAS 























''
''
1
'
'
1
2
1
22
I
I
I
I
I
I
 NR-10 
Quadripoplo 
PERGUNTA: 
Como saber se os quadripolos podem ser associado em Paralelo ou não? 
TESTE DE BRUNE. 
TESTE DE BRUNE: 
Estabelece-se a conexão em paralelo em um dos lados dos 
quadripolos e deixa-se em curto circuito individualmente os 
terminais do outro lado. Se as duas tensões forem nulas 
(V’=V’’=zero) para qualquer valor de tensão (V) imposta, os 
quadripolos podem ser associados em paralelo. 
 
 NR-10 
Quadripoplo 
ASSOCIAÇÃO OU INTERCONEXÕES DE QUADRIPOLOS 
ASSOCIAÇÃO CASCATA: 
Saída do primeiro quadripolo é a entrada do segundo. 
 
Circuito 
Linear 
Passivo 
Circuito 
Linear 
Passivo 
ab
ba
II
VV
21
12

Condições de Tensão e Corrente 
 NR-10 
EXERCÍCIO (casa) 
Usando o parâmetro transmissão, determine a expressão para 
a associação de dois quadripolos em cascata. 
Circuito 
Linear 
Passivo 



















2
2
1
1
I
V
DC
BA
I
V
PARÂMETROS DE TRANSMISSÃO(T): 
Quadripoplo 
A ASSOCIAÇÃO EM CASCATA DE DOIS QUADRIPOLOS PELO PARAMÊTRO DE 
TRANSMISSÃO É ..................................DE SUAS MATRIZES TRANSMISSÃO. 
Circuito 
Linear 
Passivo