Processamento Estatístico de Sinais - versão nova - Lista 5 - POLI-USP - Engenharia Elétrica

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PSI-3431: Quinta lista de exerc´ıcios
1. Seja W uma varia´vel aleato´ria exponencial com func¸a˜o densidade de probabi-
lidade dada por
fW (w) =
{
e−w, w ≥ 0
0, caso contra´rio
.
Encontre a func¸a˜o de probabilidade acumulada FX(x; t) para o processo atra-
sado X(t) = t−W .
2. Para o processo X(t) do exerc´ıcio 1, encontre para t ≥ 0:
(a) O valor esperado de X(t).
(b) A func¸a˜o de autocovariaˆncia CX(t, t+ τ).
(Dica: E{W} = 1 e E{W 2} = 2.)
3. Seja X(t) = R|cos(2pift)| um sinal cossenoidal retificado com amplitude R
aleato´ria, com func¸a˜o densidade de probabilidade
fR(r) =
{
1/10e−r/10, r ≥ 0
0, caso contra´rio
.
Encontre a func¸a˜o de densidade de probabilidade fX(x; t).
4. Considere o processo aleato´rio X [n] = X [n − 1] + Wn, com X [0] = 0 e Wn
uma sequeˆncia de varia´veis aleato´rias Gaussianas iid com me´dia nula. Calcule
a func¸a˜o de autocorrelac¸a˜o rX [n1, n2].
5. Um processo aleato´rio X(t) consiste de treˆs func¸o˜es: x1(t) = 1, x2(t) = −3 e
x3 = sen(2pit). Cada func¸a˜o ocorre com igual probabilidade.
(a) Encontre a func¸a˜o me´dia, mX(t).
(b) Calcule a func¸a˜o de autocorrelac¸a˜o, rX(t1, t2).
(c) O processo e´ estaciona´rio no sentido amplo? E no sentido estrito?
6. X(t) e´ um processo estaciona´rio no sentido amplo, com poteˆncia me´dia igual
a 1. Seja Θ uma varia´vel aleato´ria com distribuic¸a˜o uniforme no intervalo
(0, 2pi). Suponha Θ e X(t) independentes.
(a) Qual o valor de E{X2(t)}?
(b) Qual o valor de E{cos(2pifct+Θ)}?
1
(c) Seja Y (t) = X(t)cos(2pifct +Θ). Qual o valor de E{Y (t)}?
7. Seja o processo aleato´rio X(t) = At + B, onde A e B sa˜o varia´veis aleato´rias
independentes e com distribuic¸a˜o uniforme no intervalo (−1, 1). Determine se
X(t) e´ um processo estaciona´rio no sentido amplo.
8. Considere o processo aleato´rio X(t) = Acos(wot) +Bsin(wot), onde A e B sa˜o
independentes, Gaussianos, com me´dia nula e variaˆncia σ2. Calcule a me´dia e
a autocorrelac¸a˜o de X(t) e mostre que se trata de um processo estaciona´rio no
sentido amplo. Calcule, tambe´m, fX1,X2(x1,x2; t, t+ τ).
9. Seja X(t) um processo estaciona´rio no sentido amplo que e´ ergo´dico na me´dia
e na autocorrelac¸a˜o, mas com mX(t) na˜o-nula. Seja Y (t) = CX(t), onde C
e´ uma varia´vel aleato´ria independente de X(t) e E{C} 6= 0. Mostre que Y (t)
na˜o e´ ergo´dica na me´dia e nem na autocorrelac¸a˜o.
10. X(t) e´ um processo aleato´rio estaciona´rio no sentido amplo, com mX(t) = 0.
Y (t) e´ outro processo e Y (t) = X(αt), em que α 6= 0. Encontre rY (τ) em
termos de rX(τ). O processo Y (t) e´ estaciona´rio no sentido amplo? Se for,
encontre a densidade espectral de poteˆncia SY (f).
11. (MATLAB) Considere um sinal senoidal X(t) = cos(2piFt), onde F e´ uma
varia´vel aleato´ria uniformemente distribu´ıda no intervalo (0, f0). Calcule a
me´dia E{X(t)} de forma teo´rica e compare com o valor estimado via simulac¸a˜o
no Matlab, para f0 = 2.
2
PSI–3431: Gabarito da lista 5
1.
FX(x; t) =
{
e−(t−x), x < t
0, Caso contra´rio
2. (a) E{X(t)} = t− 1.
(b) CX(t, t+ τ) = 1.
3. • Se x ≥ 0 e |cos(2pift)| > 0:
fX(x; t) =


1
10|cos(2pift)|
exp
(
−
x
10|cos(2pift)|
)
, x ≥ 0
0, Caso contra´rio
• x ≥ 0 e |cos(2pift)| = 0:
fX(x; t) = δ(x)
4. rX [n1, n2] = min(n1, n2)σ
2
W .
5. (a) mX(t) =
1
3
(sen(2pit)− 2).
(b) rX(t1, t2) =
4
9
+
1
9
(−2sen(2pit1)− 2sen(2pit2) + sen(2pit1)sen(2pit2)).
(c) Na˜o e´ estaciona´rio no sentido amplo.
6. (a) rx(0) = 1.
(b) E{cos(2pifCt +Θ)} = 0.
(c) E{Y (t)} = 0.
7. E{X(t)} = 0, mas rX(t, t + τ) =
1
3
(t2 + tτ + 1). Portanto, na˜o e´ estaciona´rio
no sentido amplo
8. E{X(t)} = 0 e rX(t, t+ τ) = σ2cos(w0τ). A pdf fX1,X2(x1, x2; t, t+ τ) e´ dada por
fX1,X2(x1, x2; t, t+τ) =
1
2pi|sen(w0τ)|σ2
exp


− [x1 x2]
[
σ2 −σ2cos(w0τ)
−σ2cos(w0τ) σ
2
] [
x1
x2
]
2sen2(w0τ)σ2


1
9. E{Y (t)} = µCµX 6=< y(t) >= CµX ⇒ na˜o e´ ergo´dico na me´dia.
E{Y (t)Y (t− τ)} = E{C2}rX(τ) 6=< y(t)y(t+ τ) >= C
2rX(τ) ⇒ na˜o e´ ergo´dico na
correlac¸a˜o.
10. E{Y (t)} = E{αX(t)} = 0 e rY (τ) = rX(ατ) ⇒ Y (t) e´ estaciona´rio no sentido
amplo.
SX(f) =
1
|α|
SX
(
f
|α|
)
.
11. Matlab
2