Processamento Estatístico de Sinais - versão nova - Lista 1 - POLI-USP - Engenharia Elétrica

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PSI-3431 — Processamento Estat´ıstico de Sinais
Lista de Exerc´ıcios 1
1. Um filtro digital e´ definido pela equac¸a˜o de diferenc¸as
y[n] = 0,2x[n] + 0,6x[n− 1] + 0,2x[n− 2].
(a) Ache a func¸a˜o de transfereˆncia e a resposta em frequeˆncia do filtro.
(b) Desenhe a resposta em frequeˆncia do filtro, e ache o ganho para as frequeˆncias ω = 0,
ω = pi/20 rad/amostra e ω = pi/2 rad/amostra.
(c) Se a entrada do filtro for o sinal x[n] = 1+cos(pi/20n+10o)−0,2 cos(pi/2n−45o), ache
(teoricamente) a sa´ıda y[n] em regime permanente.
(d) Fac¸a um programa para calcular a sa´ıda do filtro para a entrada acima, e compare os
resultados.
2. A func¸a˜o de transfereˆncia de um filtro passa-baixas digital e´
H(z) =
z2 + 2z + 1
(2 +
√
2)z2 + 2−√2 .
(a) Desenhe a resposta em frequeˆncia desse filtro digital, marcando em especial os ganhos
para as frequeˆncias normalizadas ω = 0, ω = pi/2, e ω = pi rad/amostra.
(b) Na entrada do seu filtro digital voceˆ coloca o sinal
x[n] = 0, 2 + 2 cos(pi/2 n)− sen(pi n).
Qual e´ o valor da sa´ıda do filtro em regime permanente?
3. Considere um filtro
y[n] = y[n− 1] + x[n]− x[n− 2]
(a) O filtro e´ recursivo ou na˜o-recursivo?
(b) Determine a func¸a˜o de transfereˆncia H(z) do filtro.
(c) Determine a resposta ao impulso do filtro.
(d) O filtro e´ FIR ou IIR?
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4. Determine a transformada z e sua respectiva regia˜o de convergeˆncia para cada uma
das seguintes sequeˆncias (u[n] e´ o degrau unita´rio: u[n] = 1 para n ≥ 0, u[n] = 0 para
n < 0):
(a)
(
1
2
)n
u[n]
(b) − (1
2
)n
u[−n− 1]
(c)
(
1
2
)n
u[−n]
(d) δ[n]
(e) δ[n− 1]
(f) δ[n+ 1]
(g)
(
1
2
)n
(u[n]− u[n− 10])
(h) an cos(ωon)u[n]
(i) 1
n
(−2)−nu[−n− 1]
(j) na−nu[n], com |a| < 1
(k) a|n|, para −∞ < n <∞. Para quais valores de a a transformada existe? Ache a regia˜o
de convergeˆncia em func¸a˜o de a.
5. Use a transformada z para calcular a convoluc¸a˜o das sequeˆncias h[n] = (0, 5)nu[n] e
x[n] = 3nu[−n].
6. O aumento da taxa de amostragem (up-sampling) e´ uma operac¸a˜o que expande uma
sequeˆncia no tempo, inserindo zeros entre os valores da sequeˆncia. Por exemplo, o up-
sampling de uma sequeˆncia x[n] por um fator L resulta em
y[n] =
{
x
[
n
L
]
, n = 0,±L,±2L, . . .
0, caso contra´rio
Seja X(z), α < |z| < β a transformada z de x[n]. Expresse Y (z) em func¸a˜o de X(z) e a
regia˜o de convergeˆncia de Y (z) em func¸a˜o da regia˜o de convergeˆncia de X(z).
7. Seja H(z) a func¸a˜o de transfereˆncia de um sistema linear e invariante no tempo (LIT)
com entrada x[n] e sa´ıda y[n], descrito pela seguinte equac¸a˜o de diferenc¸as
y[n] = 1,3y[n−1]−y[n−2]+0,3y[n−3]+0,07x[n]+0,13x[n−1]+0,13x[n−2]+0,07x[n−3].
Pede-se:
a) Determine a func¸a˜o de transfereˆncia do sistema em poteˆncias negativas de z.
b) Trata-se de um filtro FIR ou IIR? Justifique.
c) Calcule o valor do mo´dulo da resposta em frequeˆncia em ω = 0 e ω = pi e verifique se
o sistema corresponde a um filtro passa-altas.
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8. Calcule a resposta impulsiva dos filtros seguintes. Quais sa˜o causais?
a) H1(z) = z + 2 + z
−3, 0 < |z| <∞
b) H2(z) =
z2
z2 + 0,5z + 0,04
, |z| > 0,4
c) H3(z) =
z2
z2 + 0,5z + 0,04
, 0,1 < |z| < 0,4
d) H4(z) =
z3
z3 − 1,1z2 + z − 0,738 , |z| > 0,9055
e) H5(z) =
1
z3 − 1,1z2 + z − 0,738 , 0,9 < |z| < 0,9055
9. Determine as respostas impulsivas em func¸a˜o do tempo discreto n associadas a cada
func¸a˜o de transfereˆncia abaixo para que exista resposta em frequeˆncia (lembre-se, a resposta
em frequeˆncia existe se a circunfereˆncia unita´ria estiver contida na regia˜o de convergeˆncia
da transformada z). Indique e justifique se seu filtro e´ causal ou na˜o em cada caso.
a) H1(z) =
1
1 + 1
8
z−3
b) H2(z) =
1(
1− 1
4
z−2
)
(1− 2z−1)
c) H3(z) =
∑
100
k=0
(−1)k z−k
10. Calcule os fatores de escala Ki de forma que os filtros realizados com cada uma das
func¸o˜es de transfereˆncia dadas abaixo apresentem ganho ma´ximo unita´rio no mo´dulo da
resposta em frequeˆncia. Apresente seu desenvolvimento alge´brico e os ca´lculos que realizou
para chegar aos seus resultados.
a) H1(z) =
K1
1 + 1
8
z−3
b) H2(z) =
K2(
1− 1
4
z−2
)
(1− 2z−1)
c) H3(z) = K3
100∑
k=0
(−1)k z−k
d) H4(z) =
K4(
1 + 1
4
z−2
)
(1 + 2z−1)
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PSI-2432 Projeto e Implementac¸a˜o de Filtros Digitais
Respostas da Lista de Exerc´ıcios 1
1. (a) H(z) = 0,2 + 0,6z−1 + 0,2z−2. H(ejω) = e−jω (0,6 + 0,4 cos(ω))
(b) H(ejpi/20) = 0,9951e−jpi/20, H(ejpi/2) = −0,6j
(c) y[n] = 1 + 0,9951 cos(pi/20n+ 1o)− 0,12 cos(pi/2n− 135o)
2. (a) |H(ej0)| = 1, |H(ej pi2 )| = √2/2 e |H(ejpi)| = 0. Trata-se de um filtro passa-baixas
com frequeˆncia de corte em ω = pi/2.
(b) y(n) = 0, 2 +
√
2 sen(pi/2 n)
3. (a) O filtro e´ recursivo, pois a sa´ıda atual depende da sa´ıda anterior.
(b) H(z) = (1− z−2)/(1− z−1) = 1 + z−1
(c) h[n] = δ[n] + δ[n− 1]
(d) O filtro e´ FIR, pois a resposta ao impulso tem durac¸a˜o limitada. Note-se que muitas
vezes usa-se o termo “IIR” no sentido de filtro recursivo. Na maior parte das vezes, isso
na˜o causa problema, pois em geral filtros recursivos teˆm mesmo resposta ao impulso
infinita. No entanto, pode ocorrer de cancelamentos entre po´los e zeros tornarem a
resposta ao impulso finita, como neste caso.
4. (a)
1
1− 0, 5z−1 , |z| > 0, 5
(b)
1
1− 0, 5z−1 , |z| < 0, 5
(c)
−0, 5z−1
1− 0, 5z−1 , |z| < 0, 5
(d) 1, ∀z
(e) z−1, z 6= 0
(f) z, |z| <∞
(g)
1− 0, 510z−10
1− 0, 5z−1 , |z| > 0, 5
(h)
1− a cos(ω0)z−1
1− 2a cos(ω0)z−1 + a2z−2 , |z| > |a|
(i) ln(z + 0, 5), |z| < 0, 5
1
(j)
a−1z−1
(1− a−1z−1)2 , |z| > |a|
−1
(k) X(z) =
az
1− az +
1
1− az−1 para |a| < |z| < 1/|a|. Obviamente, deve valer |a| < 1 para
isso ser poss´ıvel.
5. y(n) =
6
5
[(0, 5)n u(n) + 3nu(−n− 1)]
6. Y (z) = X(zL), α1/L < |z| < β1/L
7. a) H(z) =
0,07 + 0,13z−1 + 0,13z−2 + 0,07z−3
1− 1,3z−1 + z−2 − 0,3z−3
b) E´ um filtro recursivo, pois y(n) depende de y(n − 1), y(n − 2) e y(n − 3). Achando
as ra´ızes do numerador e denominador, nota-se que o filtro tem resposta ao impulso
infinita, portanto e´ IIR.
c) |H(ej0)| = 1 e |H(ejpi)| = 0, portanto na˜o e´ um filtro passa-altas.
8. a) h1(n) = δ(n+ 1) + 2δ(n) + δ(n− 3), na˜o e´ causal.
b) h2(n) = (4/3)(−0, 4)nu(n)− (1/3)(−0, 1)nu(n), e´ causal.
c) h3(n) = −(4/3)(−0, 4)nu(−n− 1)− (1/3)(−0, 1)nu(n), e´ bilateral.
d) h4(n) = 0, 5586(0, 9)
nu(n) + 0, 7566(0, 9055)n cos(1, 4601n− 0, 9480)u(n), e´ causal.
e) h5(n)=−1, 355 δ(n)+0, 7663(0, 9)nu(n)−1, 0190(0, 9055)n cos(1, 4601n+0, 9548)u(−n−1),
e´ bilateral.
9. a) h1(n) = (1/3)(0, 5)
n [1 + 2 cos(2pi/3 n)] u(n), e´ causal.
b) h2(n) = −1, 0667(2n)u(−n− 1)− 0, 1667(0, 5n)u(n) + 0, 1(−0, 5)nu(n), e´ bilateral.
c) h3(n) = (−1)n [u(n)− u(n− 101)], e´ causal.
10. a) K1 = 7/8
b) K2 = 3/4
c) K3 = 1/101
d) K4 = 5/4
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