Unidade_1.4_Dinamica de um Ponto Material_Impulso e Quantidade de Movimento

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Dinâmica de um Ponto 
Material: Impulso e Quantidade 
de Movimento
Prof. Alexandre Mikowski
Joinville - SC
Universidade Federal de Santa Catarina
Campus de Joinville
Curso de Engenharia da Mobilidade
2
Conteúdos da Aula
� Princípio do Impulso e Quantidade de 
Movimento;
� Princípio do Impulso e Quantidade de 
Movimento para um Sistema de Pontos 
Materiais;
� Conservação da Quantidade de Movimento para 
um Sistema de Pontos Materiais;
� Colisão;
� Momento Angular;
� Relação entre Momento de uma Força e 
Momento Angular;
� Princípios do Impulso e Momento Angulares.
3
Princípio do Impulso e Quantidade de 
Movimento
∑ == dt
vd
mamF� Equação do movimento:
ou
Rearranjando os termos e integrando
∑ ∫∫ =
2
1
2
1
v
v
t
t
vdmdtF
12
2
1
vmvmdtF
t
t
−=∑∫
Princípio do impulso e quantidade de movimento
4
Princípio do Impulso e Quantidade de 
Movimento
vmpL =ou 
� Quantidade de Movimento ou Momento Linear :
( )∫= 2
1
 
t
t
dttFI
� Impulso:
( )12 2
1
ttFdtFI c
t
t c
−== ∫ou
5
Princípio do Impulso e Quantidade de 
Movimento
∑∫ =+ 21
2
1
vmdtFvm
t
t
6
Princípio do Impulso e Quantidade de 
Movimento
∑∫ =+ 21
2
1
vmdtFvm
t
t
� Equações Escalares:
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )21
21
21
2
1
2
1
2
1
z
t
t zz
y
t
t yy
x
t
t xx
vmdtFvm
vmdtFvm
vmdtFvm
∑∫
∑∫
∑∫
=+
=+
=+
7
Princípio do Impulso e Quantidade de 
Movimento para um Sistema de Pontos Materiais
� Equação do movimento:
∑ ∑= dt
vd
mF ii
Rearranjando os termos 
e integrando
( ) ( )∑ ∑∫∑ =+ 21 2
1
 ii
t
t iii
vmdtFvm
8
Princípio do Impulso e Quantidade de 
Movimento para um Sistema de Pontos Materiais
� Massa G do sistema:
∑= iiG rmrm
� Derivada temporal:
∑= iiG vmvm
( ) ( )∑∫ =+ 21 2
1
 G
t
t iG
vmdtFvm
Reescrevendo o princípio
9
Conservação da Quantidade de Movimento 
para um Sistema de Pontos Materiais
( ) ( )21 GG vmvm =
A soma dos impulsos externos que agem num 
sistema de pontos materiais é nula
Conservação da quantidade de movimento
( ) ( )21 GG vv =
A velocidade do centro de massa não varia 
quando a soma dos impulsos externos é nula
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Colisão
Uma colisão, choque ou impacto entre dois corpos 
ocorre quando estes entram em contato durante 
um breve intervalo de tempo, desenvolvendo 
forças impulsivas.
11
Colisão
12
colisão central
13
� Fases (a) a (e) das colisões, impomos:
Colisão
( ) ( ) ( ) ( )2211 BBAABBAA vmvmvmvm +=+
� Durante a fase de deformação, fases (a) até (c), temos:
( ) vmPdtvm AAA =− ∫1
� Para a fase de restituição, fases (d) e (e), temos:
( )2AAA vmRdtvm =− ∫
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� Coeficiente de restituição:
Razão entre o impulso de restituição e o de deformação.
Colisão
( )
( ) vv
vv
Pdt
Rdt
e
A
A
−
−
==
∫
∫
1
2Para o corpo A →→→→
Para o corpo B →→→→
( )
( )1
2
B
B
vv
vv
Pdt
Rdt
e
−
−
==
∫
∫
15
� Coeficiente de restituição:
Razão entre o impulso de restituição e o de deformação.
Colisão
( ) ( )
( ) ( )11
22
BA
AB
vv
vv
e
−
−
=
• Colisão elástica →→→→ e = 1
• Colisão plástica →→→→ e = 0
Impulso de deformação é oposto ao impulso de restituição.
Não há impulso de restituição.
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O princípio do trabalho e energia não pode ser 
usado na análise de problemas de colisão, pois 
não é possível saber como as forças internas de 
deformação ou restituição variam ou deslocam
seus pontos de aplicação durante o processo de 
colisão.
Colisão
colisão oblíqua
17
Colisão
colisão oblíqua
“Os corpos 
afastam-se entre 
si com 
velocidades 
desconhecidas 
(módulo, direção 
e sentido)”.
18
Momento Angular
vmrHO ×=
� Formulação vetorial:
zyx
zyxO
mvmvmv
rrr
kji
H =
19
É definido como o “momento” da quantidade de 
movimento do ponto material, em relação ao ponto O.
Momento Angular
( ) ( )( )mvdH
zO =
� Formulação escalar:
20
Os momentos (ou torques) em relação ao ponto O de 
todas as forças que agem no ponto material podem 
ser relacionados com o momento angular do ponto 
material.
Relação entre Momento Angular de uma 
Força e o Momento Angular
.
vmF =∑
� Se a massa é constante:
� Multiplicação vetorial:
.
vmrFr ×=×∑
21
Relação entre Momento Angular de uma 
Força e o Momento Angular
� O momento:
.
vmrFrMO ×=×= ∑∑
� Derivada do produto do momento angular:( ) ... vmrvmrvmr
dt
dHO ×+×=×=
ou ∑=×= OO MvmrH
..
Ou ainda
.
OO HM =∑
22
Relação entre Momento Angular de uma 
Força e o Momento Angular
� O momento:
O momento (ou torque) resultante, em relação a O, 
de todas as forças agindo no ponto material é igual 
à derivada temporal do momento angular desse 
ponto em relação a O.
.
OO HM =∑
� 2a lei de Newton:
dt
pdpLF ===∑
..
ou 
23
Relação entre Momento Angular de uma 
Força e o Momento Angular
� Sistema de Pontos Materiais:
.
OO HM =∑
( ) ( ) ( )Oiiiii HfrFr .=×+×
( ) ( ) ( )
Oiiiii
HfrFr ∑∑∑ =×+×
.
24
Princípios do Impulso e Momento Angulares
� Reescrevendo a equação:
.
OO HM =∑
( ) ( )122
1
OO
t
t O
HHdtM −=∑∫
� Temos:
ou ( ) ( )21 2
1
O
t
t OO
HdtMH =+∑∫
� Impulso angular:
Princípio do impulso e momento angulares para um 
ponto material. ( )∫∫ ×= 2
1
2
1
t
t
t
t O
dtFrdtM
25
Princípios do Impulso e Momento Angulares
� Formulação vetorial:
( ) ( )21 2
1
O
t
t OO
HdtMH =+∑∫
21
2
1
vmdtFvm
t
t
=+∑∫
Princípio do impulso e quantidade de movimento.
Princípio do impulso e momento angulares.
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Princípios do Impulso e Momento Angulares
� Formulação escalar: plano x-y:
( ) ( )
( ) ( )
21
21
2
1
2
1
y
t
t yy
x
t
t xx
vmdtFvm
vmdtFvm
=+
=+
∑∫
∑∫
( ) ( )21 2
1
O
t
t OO
HdtMH =+∑∫
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Princípios do Impulso e Momento Angulares
� Conservação do Momento Angular:
( ) ( )21 2
1
O
t
t OO
HdtMH =+∑∫
Quando os impulsos angulares sobre um 
ponto material são nulos durante o intervalo 
de tempo, temos:
( ) ( )21 OO HH =
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Referência Bibliográfica
� HIBBELER, R. C. Dinâmica – Mecânica para 
engenharia; 10ª edição, São Paulo: Pearson 
Prentice Hall, 2011.