Unidade_2.3_Dinamica do Movimento Plano de um Corpo Rigido_Trabalho e Energia

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Dinâmica do Movimento Plano 
de um Corpo Rígido: Trabalho 
e Energia
Prof. Alexandre Mikowski
Joinville - SC
Universidade Federal de Santa Catarina
Campus de Joinville
Curso de Engenharia da Mobilidade
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Conteúdos da Aula
� Energia Cinética;
� O Trabalho de uma Força;
� Trabalho de um Binário;
� Princípio do Trabalho e Energia;
� Conservação da Energia.
2
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Energia Cinética
Desenvolver um meio de se obter a energia cinética do 
corpo em movimento de translação, de rotação em torno 
de um eixo fixo ou movimento plano geral.
Em termos da velocidade 
do ponto P:
2
 
2
1
i
m
vdmT ∫=
� Definição:
PiPi vvv /+=
4
Energia Cinética
( ) ( ) ( )
( )[ ] ( )[ ] jxviyv
jyixkjviv
vvv
yPxP
yPxP
PiPi
 
 
/
ωω
ω
++−=
+×++=
+=
Em termos da velocidade do ponto P:
Quadrado do módulo da velocidade:
( )[ ] ( )[ ]
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) 222
222222
222
22
22
rxvyvv
xxvvyyvv
xvyvvvv
yPxPP
yPyPxPxP
yPxPiii
ωωω
ωωωω
ωω
++−=
++++−=
++−==⋅
3
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Energia Cinética
A energia cinética fica:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )∫
∫∫∫
+
+−=
m
myPmxPPm
dmr
xdmvydmvvdmT
22
2
 
2
1
 
2
1
ω
ωω
Resolvendo as integrais:
( ) ( ) 22
2
1
2
1
ωωω PyPxPP ImxvmyvmvT ++−=
IP em relação a z
massa m Centro de massa de G
6
Energia Cinética
Se o ponto P coincide com o centro de massa G:
Unidade:
Comuns - m . N ou pé . lb
S.I. - 1 J (joule) = 1 m . N
22
2
1
2
1
ωGG ImvT +=
� Translação: 
retilínea ou curvilínea
2
2
1
GmvT =
4
7
Energia Cinética
Se o ponto P coincide com o centro de massa G:
Unidade:
Comuns - m . N ou pé . lb
S.I. - 1 J (joule) = 1 m . N
22
2
1
2
1
ωGG ImvT +=
� Rotação em torno de um 
Eixo Fixo: ponto O
22
2
1
2
1
ωGG ImvT +=
8
Energia Cinética
Como vG = rG ωωωω e pelo teorema dos eixos paralelos, temos:
( ) 222
2
1
2
1
ωω OGG ImrIT =+=
T em termos do momento de inércia do corpo em relação a 
um eixo que é perpendicular ao plano do movimento.
� Movimento Plano Geral:
22
2
1
2
1
ωGG ImvT +=
5
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O Trabalho de uma Força 
� Força Variável:
( )∫= SF dsFU cos θ
� Força Constante:
( )( )s cos θcF FU c =
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O Trabalho de uma Força 
� Peso:
yWUW ∆−=
� Força de uma Mola:






−−=
2
1
2
2 2
1
2
1 ksksU S
6
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O Trabalho de uma Força 
� Forças que não realizam trabalho:
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Trabalho de um Binário
FrM =
θθ d
rds 





=
2
7
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Trabalho de um Binário
� O trabalho total realizado é:
( ) θθθθ MddFrdrFdrFdU M ==





+





=
22
� O trabalho do binário é (torque variável):
∫=
2
1
θ
θ
θMdU M
� O trabalho do binário é (torque constante):
( )12 θθ −= MU M
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Princípio do Trabalho e Energia
� Princípio do trabalho e energia para o corpo rígido:
2211 TUT ∑ =+ −
A energia cinética de translação e rotação inicial
mais o trabalho realizado por todas as forças 
externas e torques de binário externos agindo no 
corpo, conforme este se move de sua posição inicial 
à sua posição final, é igual à energia cinética de 
translação e de rotação final.
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Conservação Energia
Energia Potencial 
Gravitacional:
Gg WyV =
Energia Potencial Elástica:
2
2
1 ksVe +=
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Conservação Energia
� Energia Potencial Total:
ge VVV +=
� Princípio do trabalho e energia para um corpo rígido:
( ) 22cons não2111 VTUVT +=++ ∑ −
� Conservação da energia mecânica:
2211 VTVT +=+
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Referência Bibliográfica
� HIBBELER, R. C. Dinâmica – Mecânica para 
engenharia; 10ª edição, São Paulo: Pearson 
Prentice Hall, 2011.