Unidade_3_Vibracoes

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1
1
Vibrações
Prof. Alexandre Mikowski
Joinville - SC
Universidade Federal de Santa Catarina
Campus de Joinville
Curso de Engenharia da Mobilidade
2
Conteúdos da Unidade 3
� Introdução;
� Vibração Livre sem Amortecimento;
� Métodos de Energia;
� Vibração Forçada sem Amortecimento;
� Vibração Livre com Amortecimento 
Viscoso;
� Vibração Forçada com Amortecimento 
Viscoso;
� Analogia com Circuitos Elétricos.
2
3
Introdução
� Vibração: é todo movimento periódico de um corpo ou 
sistema de corpos interligados, em torno de uma posição 
de equilíbrio.
� Tipos de Vibração: livre e forçada.
� Vibração Livre: ocorre quando o movimento se 
mantém por forças restauradoras gravitacionais ou 
elásticas.
� Vibração Forçada: é causada por uma força externa 
periódica ou intermitente aplicada ao sistema.
4
Vibração Livre sem Amortecimento
∑ =→+ xx maF 
2a Lei de Newton:
..
xmkx =−
Notação:
..
2
2
x
dt
xd
dt
dv
ax ===
3
5
Vibração Livre sem Amortecimento
Reescrevendo:
02
..
=+ xx nω
Frequência angular natural:
m
k
n =ω
..
xmkx =−
6
Vibração Livre sem Amortecimento
∑ =↓+ yy maF 
2a Lei de Newton:
..
ymWkyW =+−−
ou 02
..
=+ yy nω
4
7
Vibração Livre sem Amortecimento
02
..
=+ xx nω
� Oscilador Harmônico Simples: equação diferencial 
linear e homogênea com coeficientes constantes.
� Suposição: solução da equação acima.
mtmtmt em
dt
xd
me
dt
dx
ex 22
2
 e ; ===
Substituindo na equação diferencial, temos:
022 =+ mtn
mt eem ω ou ( ) 0 22 =+ mtn em ω
8
Vibração Livre sem Amortecimento
Equação característica da eq. diferencial:
022 =+ nm ω
Soluções complexas e distintas:
 e 21 nn imim ωω −==
A solução da eq. diferencial segue o caso de raízes reais 
e distintas:
 e 21
titi nn exex
ωω −
==
Expressa em termos de seno e cosseno:
( ) ( )
( ) ( )titex
titex
nn
ti
nn
ti
n
n
ωω
ωω
ω
ω
sen cos
sen cos
2
1
−==
+==
−
5
9
Vibração Livre sem Amortecimento
A solução geral fica:
( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]titctitctx nnnn ωωωω sen cossen cos 21 −++=
Reescrevendo, temos:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )tccitcctx nn ωω sen cos 2121 −++=
Considerando somente a parte real:
( ) ( ) ( )tBtAtx nn ωω cos sen +=
Usando a identidade trigonométrica:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )φθφθφθ sen coscos sen sen +=+
Onde:
( ) ( )φφ sen e cos CBCA ==
10
Vibração Livre sem Amortecimento
A solução geral em termos de seno fica:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )tCtCtx nn ωφωφ cos sen sen cos +=
Ou: ( ) ( )φω += tCtx nsen 
6
11
Vibração Livre sem Amortecimento
Ângulo de fase:
( )AB1tg−=φ
Período:
nω
pi
τ
2
=
Frequência:
pi
ω
τ 2
1 nf ==
rad/s 2 ciclo/s 1 Hz 1 pi==
12
Vibração Livre sem Amortecimento
Posição: ( ) ( )φω += tCtx nsen 
Velocidade: ( )φωω +== tCdt
dx
v nn cos 
Energia cinética: ( )φωω += tmCT nn 222 cos 2
1
Energia potencial elástica: ( )φω += tkCV n22sen2
1
Energia mecânica total: 2
2
1 kCE =
7
13
Métodos de Energia
Conservação da energia: constante=+VT
ou
Derivando, temos:
A eq. diferencial que descreve o movimento do bloco é:
m
k
n =ω
constante
2
1)(
2
1 22.
=+ kxxm
0
....
=+ xkxxxm ou 0
...
=




 + kxxmx
02
..
=+ xx nω onde
14
Vibração Forçada sem Amortecimento
8
15
Vibração Forçada sem Amortecimento
∑ =→+ xx maF 
2a Lei de Newton:
( ) ..0 sen xmkxtF =−ω
ou ( )t
m
F
x
m
k
x 0
0
..
sen ω=+
Eq. diferencial de segunda ordem não homogênea, 
cuja solução geral consiste em uma solução 
complementar xc mais uma solução particular xp. 
16
Vibração Forçada sem Amortecimento
( )t
m
F
x
m
k
x 0
0
..
sen ω=+
( ) ( ) ( )tBtAtx nnc ωω cos sen +=Solução complementar:
Solução particular: ( ) ( )tCtxp sen ω=
Calculando a derivada temporal de segunda ordem:
( ) ( )( ) ( )t
m
F
tC
m
k
tC sen sen sen 02 ωωωω =+−
9
17
Vibração Forçada sem Amortecimento
Fatorando o termo em seno e resolvendo para C, temos:
( ) ( )2
0
2
0
1 n
kF
mk
mFC
ωωω −
=
−
=
A solução particular fica:
( ) ( )t
kF
x
n
p sen1 2
0 ω
ωω−
=
Assim, a solução geral é:
( ) ( ) ( ) ( )t
kF
tBtAxxx
n
nnpc sen1
cossen 2
0 ω
ωω
ωω
−
++=+=
18
Vibração Forçada sem Amortecimento
( ) ( )t
kF
x
n
p sen1 2
0 ω
ωω−
=
( ) ( )tBtAx nnc ωω cossen +=
10
19
Vibração Forçada sem Amortecimento
( ) ( ) ( ) ( )t
kF
tBtAxxx
n
nnpc sen1
cossen 2
0 ω
ωω
ωω
−
++=+=
20
Vibração Forçada sem Amortecimento
Vibração em regime estacionário ou permanente.
11
21
Vibração Forçada sem Amortecimento
� Fator de amplificação:
razão entre a amplitude de 
vibração no regime perma-
nente e deflexão máxima.
( )
( )20
máx
1
1FA
n
p
kF
x
ωω−
==
Ressonância
22
Vibração Forçada sem Amortecimento
� Deslocamento periódico do Suporte:
∑ =→+ xx maF ( )( ) ..0sen xmtxk =−− ωδ
ou ( )t
m
k
x
m
k
x ω
δ
sen0
..
=+
12
23
Vibração Livre com Amortecimento Viscoso
∑ =→+ xx maF 
2a Lei de Newton:
...
xmxckx =−−
ou
0
...
=++ kxxcxm
24
Vibração Livre com Amortecimento Viscoso
� Oscilador Harmônico Amortecido: Eq. diferencial 
ordinária, linear, de 2a ordem, homogênea.
� Suposição: solução da equação acima.
ttt e
dt
xd
e
dt
dx
ex λλλ λλ 22
2
 e ; ===
Substituindo na equação diferencial, temos:
02 =++ ttt keecem λλλ λλ
0
...
=++ kxxcxm
ou ( ) 02 =++ kcme t λλλ
13
25
Vibração Livre com Amortecimento Viscoso
02 =++ kcm λλ
Equação característica da eq. diferencial:
Soluções:
m
k
m
c
m
c
−





+−=
2
1 22
λ
m
k
m
c
m
c
−





−−=
2
2 22
λ
As soluções podem ser complexas, reais e 
distintas, e reais e iguais, dependendo do valor 
do termo dentro da raiz quadrada.
e
26
Vibração Livre com Amortecimento Viscoso
Soluções:
m
k
m
c
m
c
−





+−=
2
1 22
λ
m
k
m
c
m
c
−





−−=
2
2 22
λe
Coeficiente de amortecimento crítico:
0
2
2
=−





m
k
m
cc ou
nc m
m
k
mc ω22 ==
14
27
Vibração Livre com Amortecimento Viscoso
� Sistema Subamortecido: soluções complexas da eq. 
característica da EDO. 
0
2
2
<−





m
k
m
c
� Sistema Superamortecido: soluções reais e distintas da 
eq. característica da EDO. 
0
2
2
>−





m
k
m
c
� Sistema Criticamente Amortecido: soluções reais e 
iguais da eq. Característica da EDO. 
0
2
2
=−





m
k
m
c
28
Vibração Livre com Amortecimento Viscoso
Sistema Subamortecido: c < cc 2
2
2
2
22






−=





−=
m
c
m
c
m
k
nd ωω
As soluções da eq. característica ficam:
dd i
m
c
m
c
m
k
m
c
m
c
ωωλ +−=−+−=−





+−=
2222
2
2
1
Será útil definir →→→→
dd i
m
c
m
c
m
k
m
c
m
c
ωωλ −−=−−−=−





−−=
2222
2
2
2
15
29
Vibração Livre com Amortecimento Viscoso
Sistema Subamortecido
A solução da EDO é formada pelas funções:
ti
m
c
d
ex






+−
=
ω
2
1
ti
m
c
d
ex






−−
=
ω
2
2e
A solução da EDO na forma de senos e cossenos:
( ) ( )[ ]titeeeex ddtm
c
titm
cti
m
c
d
d
ωωω
ω
sen cos2221 +=⋅==
−−





+−
e
( ) ( )[ ]titeeeex ddtm
c
titm
cti
m
c
d
d
ωωω
ω
sen cos2222 −=⋅==
−
−
−






−−
30
Vibração Livre com Amortecimento Viscoso
Sistema Subamortecido
A solução geral da EDO é:
( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]titectitecx ddtm
c
dd
t
m
c
ωωωω sen cossen cos 22
2
1 −++=
−−
ou
( ) ( ) ( ) ( )[ ]tccitccex ddtm
c
ωω sen cos 2121
2
−++=
−
e considerando somente a parte real
( ) ( )[ ]tBtAex ddtm
c
ωω sen cos2 +=
−
Definindo A e B:
( ) ( )
 cos e sen δδ DBDA ==
16
31
Vibração Livre com Amortecimento Viscoso
Sistema Subamortecido
Substituindo A e B na solução geral da EDO temos:
( ) ( ) ( ) ( )[ ]tDtDex ddtm
c
ωδωδ sen cos cossen 2 += −
Assim temos a solução:
Usando a identidade trigonométrica:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )φθφθφθ sen coscos sen sen +=+
( )





+=
− δω teDx d
t
m
c
sen2
E a frequência 
angular natural 
amortecida do 
sistema
22
1
2 






−=





−=
c
nd
c
c
m
c
m
k
ωω
32
Vibração Livre com Amortecimento Viscoso
Sistema Subamortecido
17
33
Vibração Livre com Amortecimento Viscoso
Sistema Superamortecido: c > cc 2
2
2
2
22






−=





−=
m
c
m
c
m
k
nd ωω
As soluções da eq. característica ficam:
dd
m
c
m
c
m
k
m
c
m
c
ωωλ +−=+−=−





+−=
2222
2
2
1
Será útil definir →→→→
dd
m
c
m
c
m
k
m
c
m
c
ωωλ −−=−−=−





−−=
2222
2
2
2
34
Vibração Livre com Amortecimento Viscoso
Sistema Superamortecido
A solução da EDO é formada pelas funções:
t
m
c
d
ex






+−
=
ω
2
1
t
m
c
d
ex






−−
=
ω
2
2e
A solução geral da EDO é:
t
m
c
t
m
c
dd
ececx






−−





+−
+=
ωω
2
2
2
1
E pode ser reescrita como:
ttm
c
ttm
c
dd eeceecx
ωω −−− += 22
2
1
ou ( )tttmc dd ececex ωω −− += 212
18
35
Vibração Livre com Amortecimento Viscoso
Sistema Superamortecido
Definindo c1 e c2 da seguinte forma:
δ−
= e
D
c
21 e
δe
D
c
22
=
E com estas definições:






+= −−
− tttm
c
dd ee
D
ee
D
ex
ωδωδ
22
2
ou
( ) ( )( )δωδω −−−− += tttmc dd eeeDx 2
2
Lembrando:
2
cosh
θθ
θ
−+
=
ee
Temos a solução:
( )





−=
− δω teDx d
t
m
c
cosh2
36
Vibração Livre com Amortecimento Viscoso
Sistema Criticamente Amortecido: c = cc 2
2
2
2
22






−=





−=
m
c
m
c
m
k
nd ωω
As soluções da eq. característica ficam:
m
c
221
−== λλ
Será útil definir →→→→
A solução geral da EDO é:
t
m
c
t
m
c
tececx 22
2
1
−−
+=
ou ( ) tneBtAx ω−+=
19
37
Vibração Forçada com Amortecimento Viscoso
Ligando-se um amortecedor ao sistema bloco-mola 
(figura abaixo), a equação diferencial que descreve o 
movimento é:
( )tFkxxcxm ωsen 0
...
=++
A solução particular tem a forma:
( ) ( )tBtAxp ωω cossen +=
Calculando as derivadas de xp temos:
( ) ( )tBtA
dt
dxp ωωωω sen cos −=
( ) ( )tBtA
dt
xd p ωωωω cos sen 222
2
−−=
e
38
Vibração Forçada com Amortecimento Viscoso
Substituindo as derivadas na EDO, temos:
( ) ( )[ ]
( ) ( )[ ]
( ) ( )[ ] ( )tFtBtAk
tBtAc
tBtAm
ωωω
ωωωω
ωωωω
sencos sen 
sen cos 
cos sen
0
22
=++
+−+
+−−
ou
( ) ( )
( ) ( ) ( )tFtkBcABm
tkAcBAm
ωωωω
ωωω
sencos 
sen 
0
2
2
=++−+
++−−
20
39
Vibração Forçada com Amortecimento Viscoso
Igualando os termos, obtemos o sistema algébrico:




=++−
=+−−
0 2
0
2
kBcABm
FkAcBAm
ωω
ωω
Dividindo por m, encontramos:
( )
( )






=+−
=−−
022
022
A
m
cB
m
FB
m
cA
n
n
ω
ωω
ω
ωω
40
Vibração Forçada com Amortecimento Viscoso
Isolando B na segunda equação e substituindo na 
primeira, encontramos A:
( )( )
( ) ( )2222
22
0
mc
mFA
n
n
ωωω
ωω
+−
−
=
Substituindo A na segunda equação, encontramos B:
( )
( ) ( )2222
2
0
mc
mcFB
n ωωω
ω
+−
−
=
21
41
Vibração Forçada com Amortecimento Viscoso
Assim a solução particular fica:
( )( )
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )tmc
mcF
t
mc
mF
x
n
n
n
p
ω
ωωω
ω
ω
ωωω
ωω
cos 
sen
2222
2
0
2222
22
0
+−
−
+
+−
−
=
42
Vibração Forçada com Amortecimento Viscoso
Definindo:
( ) ( )( ) ( )2222
22
cos
mcn
n
ωωω
ωωφ
+−
−
=
( ) ( )( ) ( )2222
2
 sen
mc
mc
n ωωω
ωφ
+−
=
22
43
Vibração Forçada com Amortecimento Viscoso
Assim a solução particular fica:
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]ttmc
mF
x
n
p ωφωφ
ωωω
cossensencos
2222
0
−
+−
=
Usando a identidade trigonométrica:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )φωφωφω sen coscos sen sen ttt −=−
Reescrevendo a solução particular, temos:
( )
( ) ( ) ( )φωωωω −+−= tmc
mF
x
n
p sen
2222
0
44
Vibração Forçada com Amortecimento Viscoso
Reescrevendo novamente a solução particular, 
após utilização da relação acima, ficamos com:
( ) ( )
( ) ( )[ ]( ) ( )φωωωωω −+−
⋅
= t
mc
mkmF
x
nn
p sen
1 222222
0
Lembrando:
k
m
n
=2
1
ω
( )
( )[ ] ( )( )[ ] ( )φωωωωω −+−= tcc
kF
x
ncn
p sen
21 2
22
0
e nc mc ω2=
ou
23
45
Vibração Forçada com Amortecimento Viscoso
Ou ainda: ( )φω −= tCxp sen 
onde ( )
( )[ ] ( )( )[ ]222
0
21 ncn cc
kFC
ωωωω +−
=
e ( )( )
( ) 




−
=
−
2
1
1
2
n
nccctg
ωω
ωωφ
O ângulo representa a diferença de fase entre a força 
aplicada e a vibração resultante no regime estacionário 
do sistema amortecido.
46
Vibração Forçada com Amortecimento Viscoso
O fator de 
amplificação é
definido como a 
razão entre a 
amplitude da 
deflexão 
provocada pela 
vibração forçada 
e a deflexão 
causada pela 
força estática F0.
( )[ ] ( )( )[ ]2220 21
1FA
ncn cc
kF
C
ωωωω +−
==
24
47
Analogia com Circuitos Elétricos
2a Lei de Newton:
( )tEq
Cdt
dqR
dt
qdL =++ 12
2
Lei de Kirchhoff:
( )tFkx
dt
dx
c
dt
xd
m =++2
2
48
Analogia com Circuitos Elétricos
2a Lei de Newton:
( )tEq
Cdt
dqR
dt
qdL =++ 12
2
Lei de Kirchhoff:
( )tFkx
dt
dx
c
dt
xd
m =++2
2
Análogos Eletromecânicos
25
49
Referência Bibliográfica
� HIBBELER, R. C. Dinâmica – Mecânica para 
engenharia; 10ª edição, São Paulo: Pearson 
Prentice Hall, 2011.
� MACHADO, K. D. Equações Diferenciais 
Aplicadas à Física; 3ª edição (esgotada), Ponta 
Grossa: Editora UEPG, 2004.