Unidade_2.2_Dinamica do Movimento Plano de um Corpo Rigido_Forca e Aceleracao

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Dinâmica do Movimento Plano 
de um Corpo Rígido: Força e 
Aceleração
Prof. Alexandre Mikowski
Joinville - SC
Universidade Federal de Santa Catarina
Campus de Joinville
Curso de Engenharia da Mobilidade
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Conteúdos da Aula
� Momento de Inércia;
� Equações Dinâmicas do Movimento 
Plano;
� Equações de Movimento: Translação;
� Equações de Movimento: Rotação 
em Torno de um Eixo Fixo;
� Equações de Movimento: Movimento 
Plano Geral.
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Momento de Inércia
� Definição: a integral do “segundo momento”, em 
relação a um eixo, de todos os elementos de massa dm
que compõem o corpo rígido.
∫= m dmrI
2 Unidade no SI: kg.m2
Medida da resistência de um corpo a uma aceleração angular.
Densidade variável Densidade constante
∫= V dVrI ρ
2 ∫= V dVrI
2ρ
( )zyx ,,ρρ =
4
Momento de Inércia 
� Teorema dos Eixos Paralelos: se o momento de inércia 
de um corpo em relação a um eixo que passa pelo seu 
centro de massa for conhecido, então o momento de 
inércia em relação a qualquer outro eixo paralelo poderá
ser determinado.
Teorema de Pitágoras:
( ) 2'2'2 yxdr ++=
3
5
Momento de Inércia 
( )[ ]
( ) ∫∫∫
∫∫
+++=
++==
mmm
mm
dmddmxddmyx
dmyxddmrI
2'2'2'
2'2'2
2 
Resolvendo as 
integrais, temos:
2
mdII G +=
6
Momento de Inércia 
� Raio de Giração: 
m
IkmkI == ou 2
� Corpos compostos: se um corpo for constituído de 
um dado número de formas (discos, esferas, barras), 
o seu momento de inércia em relação a um eixo z
poderá ser determinado pela soma algébrica dos 
momentos de inércia das formas constituintes em 
relação ao dado eixo z.
( )∑ += 2mdII G
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7
Equações Dinâmicas do Movimento Plano 
� Equação do Movimento de Translação: as forças 
externas agindo no corpo mostrado representam o efeito 
gravitacional, elétrico, magnético ou forças de contato 
entre corpos adjacentes.
∑ = GamF
Equações escalares:
( )
( )∑
∑
=
=
yGy
xGx
amF
amF
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Equações Dinâmicas do Movimento Plano 
� Equação do Movimento de Rotação:
5
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Equações Dinâmicas do Movimento Plano 
� Equação do Movimento de Rotação:
Somando os torques das forças 
agindo no ponto material
iiii amrfrFr ×=×+×
ou( ) iiiP amrM ×=
( ) ( )rrarmM PiiP 2ωα −×+×=
ou ainda
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Equações Dinâmicas do Movimento Plano 
� Equação do Movimento de Rotação: continuando( ) ( )rrarmM PiiP 2ωα −×+×=
ou( ) ( ) ( )[ ]rrrrarmM PiiP ×−××+×= 2ωα
O termo →→→→ 0=× rr
( ) ( ) ( ) ( )[ ]{
( ) ( )[ ]}jyixkjyix
jaiajyixmkM yPxPiiP
+××++
+×+=
α
6
11
Equações Dinâmicas do Movimento Plano 
� Equação do Movimento de Rotação: continuando
( ) ( ) ( ) ( )[ ]{
( ) ( )[ ]}jyixkjyix
jaiajyixmkM yPxPiiP
+××++
+×+=
α
( ) ( ) ( )[ ]kyxaxaymkM yPxPiiP 22 αα +++−=
Após alguns cálculos
ou
( ) ( ) ( )[ ]2raxaymM yPxPiiP α++−=
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Equações Dinâmicas do Movimento Plano 
� Equação do Movimento de Rotação: continuando
ou ainda, após integração:
( ) ( ) ( )[ ]2raxaymM yPxPiiP α++−=
( ) ( )( ) ( )( ) ( )α∫∫∫ ++−= myPmxPmiP dmraxdmaydmM 2
ou seja, o torque das forças externas, reescrevendo:
( ) ( ) ( ) αPyPxPiP IamxamyM ++−=
Se o ponto P coincide com centro de massa G:
αGG IM =∑
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Equações Dinâmicas do Movimento Plano 
� Equação do Movimento de Rotação: continuando
αGG IM =∑
A soma dos torques de todas as forças externas calculados 
em relação ao centro de massa G é igual ao produto do 
momento de inércia do corpo, em relação a um eixo que 
passa por G, pela aceleração angular desse corpo.
Combinando a relação abaixo com o teorema dos eixos 
paralelos, teremos (próximo slide):
( ) ( ) ( ) αPyPxPiP IamxamyM ++−=
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Equações Dinâmicas do Movimento Plano 
� Equação do Movimento de Rotação: continuando
( ) ( )[ ] ( )[ ] ααα GyPxPiP IxamxyamyM ++−++−=
Escrevendo aP em termos de aG:
rraa PG
2ωα −×+=
Em termos das componentes:
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )jyixjyixk
jaiajaia yPxPyGxG
+−+×+
++=+
2ωα
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Equações Dinâmicas do Movimento Plano 
� Equação do Movimento de Rotação: continuando
Efetuando o produto vetorial e igualando os vetores unitários:
( ) ( )
( ) ( ) 2
2
ωα
ωα
yxaa
xyaa
yPyG
xPxG
−−=
−−=
( ) ( )[ ] ( )[ ] ααα GyPxPiP IxamxyamyM ++−++−=
Combinando as equações acima com a abaixo:
Temos:
( ) ( ) ( ) αGyGxGiP IamxamyM ++−=
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Equações Dinâmicas do Movimento Plano 
� Equação do Movimento de Rotação: continuando
( ) ( ) ( ) αGyGxGiP IamxamyM ++−=
Indica que quando os momentos das forças externas em relação ao 
ponto P (diagrama corpo livre) são somados, eles se tornam 
equivalentes à soma dos ‘momentos dinâmicos’ dos componentes de 
maG em relação a P com o ‘momento dinâmico’ de IGαααα.
( )∑∑ = PkPM M
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Equações Dinâmicas do Movimento Plano 
� Aplicação Geral das Equações de Movimento:
( )
( )
( )PkPGG
yGy
xGx
MIM
amF
amF
M==
=
=
∑∑
∑
∑
ou α
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Equações de Movimento: Translação 
� Translação Retilínea:
( )
( )
0==
=
=
∑
∑
∑
αGG
yGy
xGx
IM
amF
amF
0=
=
α
aaG
10
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Equações de Movimento: Translação 
� Translação Retilínea:
( )∑∑ = AkAM M ( )dmaM GA =∑
20
Equações de Movimento: Translação 
� Translação Curvilínea:
( )
( )
0=
=
=
∑
∑
∑
G
tGt
nGn
M
amF
amF ( )∑∑ = BkBM M
( )[ ] ( )[ ]
nGtGB amhameM −=∑
11
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Equações de Movimento: Rotação em 
Torno de um Eixo 
22
Equações de Movimento: Rotação em 
Torno de um Eixo 
( )
( )
α
α
ω
GG
GtGt
GnGn
IM
rmamF
rmamF
=
==
==
∑
∑
∑
 
2
( )∑∑ = OkOM M
( ) αGtGGO IamrM +=∑
Momentos em relação ao ponto O:
12
23
Equações de Movimento: Rotação em 
Torno de um Eixo 
( ) αGtGGO IamrM +=∑
Momentos em relação ao ponto O:
Substituindo: ( ) αGtG ra =
Temos: ( )α2GGO mrIM +=∑
Combinando com o Teorema de eixos paralelos, temos:
( )
( )
α
α
ω
OO
GtGt
GnGn
IM
rmamF
rmamF
=
==
==
∑
∑
∑
 
2
24
Equações de Movimento: Movimento 
Plano Geral 
( )
( )
αGG
yGy
xGx
IM
amF
amF
=
=
=
∑
∑
∑
13
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Equações de Movimento: Movimento 
Plano Geral 
( )
( )
( )PkP
yGy
xGx
M
amF
amF
M=
=
=
∑
∑
∑
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Equações de Movimento: Movimento 
Plano Geral 
� Problemas de Rolamento com Atrito:
14
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Equações de Movimento: Movimento 
Plano Geral 
( )
( )
 
0 
 
αα GGG
yGy
GxGx
IFrIM
mgNamF
maFPamF
==
=−=
=−=
∑
∑
∑
� Problemas de Rolamento com Atrito:
Rolamento sem escorregamento:
αraG = quando NF eµ≤
Rolamento com escorregamento:
NF kµ= e tesindependen são e αaG
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Referência Bibliográfica
� HIBBELER, R. C. Dinâmica – Mecânica para 
engenharia; 10ª edição, São Paulo: Pearson 
Prentice Hall, 2011.