modelos probabilu00EDsticos DISCRETOS (2)

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Modelos Probabil´ısticos para
Varia´veis Aleato´rias
DISCRETAS
UAEst/CCT/UFCG
Disciplina: Introduc¸a˜o a` Probabilidade
Modelos Probabil´ısticos
Motivac¸a˜o
Em muitas situac¸o˜es, alguns experimentos aleato´rios apresentam ca-
racter´ısticas bastante peculiares. Este fato possibilita que, uma vez
identificadas estas caracter´ısticas, um particular modelo probabil´ısti-
co seja proposto para modelar o fenoˆmeno em estudo.
E´ neste contexto, que passaremos ao estudo de alguns dos princi-
pais modelos probabil´ısticos (tanto para varia´veis aleato´rias discretas
quanto para cont´ınuas).
Disciplina: Introduc¸a˜o a` Probabilidade
Modelos Probabil´ısticos para Varia´veis Aleato´rias
DISCRETAS
1 Modelo de Bernoulli;
2 Modelo Binomial;
3 Modelo Hipergeome´trico;
4 Modelo Geome´trico e
5 Modelo de Poisson.
Disciplina: Introduc¸a˜o a` Probabilidade
Modelo (ou Distribuic¸a˜o) de Bernoulli
Em muitos experimentos os resultados sa˜o tais que ocorre ou na˜o
ocorre determinada caracter´ıstica. Por exemplo:
1 Ao lanc¸ar uma moeda: o resultado ou e´ cara, ou na˜o (ocorrendo,
enta˜o, coroa);
2 Ao lanc¸ar um dado: ocorre nu´mero par ou na˜o (ocorrendo
nu´mero ı´mpar);
3 Uma pessoa e´ escolhida ao acaso dentre 1000: ou ela e´ do sexo
masculino ou na˜o (e´ do sexo feminino);
4 Uma pessoa e´ escolhida ao acaso dentre 1000: ou ela e´ favora´vel
a um determinado projeto governamental ou na˜o.
Disciplina: Introduc¸a˜o a` Probabilidade
Modelo (ou Distribuic¸a˜o) de Bernoulli
Em muitos experimentos os resultados sa˜o tais que ocorre ou na˜o
ocorre determinada caracter´ıstica. Por exemplo:
1 Ao lanc¸ar uma moeda: o resultado ou e´ cara, ou na˜o (ocorrendo,
enta˜o, coroa);
2 Ao lanc¸ar um dado: ocorre nu´mero par ou na˜o (ocorrendo
nu´mero ı´mpar);
3 Uma pessoa e´ escolhida ao acaso dentre 1000: ou ela e´ do sexo
masculino ou na˜o (e´ do sexo feminino);
4 Uma pessoa e´ escolhida ao acaso dentre 1000: ou ela e´ favora´vel
a um determinado projeto governamental ou na˜o.
Disciplina: Introduc¸a˜o a` Probabilidade
Modelo (ou Distribuic¸a˜o) de Bernoulli
Em muitos experimentos os resultados sa˜o tais que ocorre ou na˜o
ocorre determinada caracter´ıstica. Por exemplo:
1 Ao lanc¸ar uma moeda: o resultado ou e´ cara, ou na˜o (ocorrendo,
enta˜o, coroa);
2 Ao lanc¸ar um dado: ocorre nu´mero par ou na˜o (ocorrendo
nu´mero ı´mpar);
3 Uma pessoa e´ escolhida ao acaso dentre 1000: ou ela e´ do sexo
masculino ou na˜o (e´ do sexo feminino);
4 Uma pessoa e´ escolhida ao acaso dentre 1000: ou ela e´ favora´vel
a um determinado projeto governamental ou na˜o.
Disciplina: Introduc¸a˜o a` Probabilidade
Modelo (ou Distribuic¸a˜o) de Bernoulli
Em muitos experimentos os resultados sa˜o tais que ocorre ou na˜o
ocorre determinada caracter´ıstica. Por exemplo:
1 Ao lanc¸ar uma moeda: o resultado ou e´ cara, ou na˜o (ocorrendo,
enta˜o, coroa);
2 Ao lanc¸ar um dado: ocorre nu´mero par ou na˜o (ocorrendo
nu´mero ı´mpar);
3 Uma pessoa e´ escolhida ao acaso dentre 1000: ou ela e´ do sexo
masculino ou na˜o (e´ do sexo feminino);
4 Uma pessoa e´ escolhida ao acaso dentre 1000: ou ela e´ favora´vel
a um determinado projeto governamental ou na˜o.
Disciplina: Introduc¸a˜o a` Probabilidade
Modelo (ou Distribuic¸a˜o) de Bernoulli
Em todas estes casos, estamos interessados na ocorreˆncia (sucesso)
ou na˜o (fracasso) de determinada caracter´ıstica. Enta˜o, para cada
experimento acima podemos definir uma v.a.X, que assume valores:
1, se ocorrer sucesso, e 0, se ocorrer fracasso. E, indicaremos por p
a probabilidade de sucesso, isto e´, P (sucesso) = P (X = 1) = p,
0 < p < 1.
Disciplina: Introduc¸a˜o a` Probabilidade
Modelo (ou Distribuic¸a˜o) de Bernoulli
Uma varia´vel aleato´ria X, que assume apenas os valores 0 e 1, e´ dita
ter distribuic¸a˜o de Bernoulli com paraˆmetro p, 0 < p < 1, se sua
func¸a˜o de probabilidade e´ dada por
P (X = x) =
{
p, se x = 1
1− p, se x = 0
Notac¸a˜o: X ∼ Ber(p).
Observac¸a˜o: Experimentos que resultam numa v.a. de Bernoulli sa˜o
chamados ensaios de Bernoulli.
Disciplina: Introduc¸a˜o a` Probabilidade
Propriedades
E(X) = p
V ar(X) = p(1− p)
Exemplo 1
Ao lanc¸ar um dado perfeito, considere a varia´vel X: ocorre nu´mero
menor que 3. Qual a distribuic¸a˜o de X? Obtenha os valores de
E(X) e V ar(X).
Disciplina: Introduc¸a˜o a` Probabilidade
Propriedades
E(X) = p
V ar(X) = p(1− p)
Exemplo 1
Ao lanc¸ar um dado perfeito, considere a varia´vel X: ocorre nu´mero
menor que 3. Qual a distribuic¸a˜o de X? Obtenha os valores de
E(X) e V ar(X).
Disciplina: Introduc¸a˜o a` Probabilidade
Propriedades
E(X) = p
V ar(X) = p(1− p)
Exemplo 1
Ao lanc¸ar um dado perfeito, considere a varia´vel X: ocorre nu´mero
menor que 3. Qual a distribuic¸a˜o de X? Obtenha os valores de
E(X) e V ar(X).
Disciplina: Introduc¸a˜o a` Probabilidade
Propriedades
E(X) = p
V ar(X) = p(1− p)
Exemplo 1
Ao lanc¸ar um dado perfeito, considere a varia´vel X: ocorre nu´mero
menor que 3. Qual a distribuic¸a˜o de X? Obtenha os valores de
E(X) e V ar(X).
Disciplina: Introduc¸a˜o a` Probabilidade
Modelo (ou Distribuic¸a˜o) Binomial
Definic¸a˜o (Experimento Binomial)
Um experimento binomial consiste de n tentativas independentes
de um mesmo experimento aleato´rio, onde cada tentativa admite
apenas dois resultados: sucesso, com probabilidade p, e fracasso,
com probabilidade 1 − p. Pode-se dizer ainda que um experimen-
to binomial consiste de n ensaios independentes de Bernoulli, cuja
probabilidade de sucesso em cada ensaio e´ constante e igual a p,
0 < p < 1.
Definic¸a˜o (Varia´vel Aleato´ria Binomial)
Uma varia´vel aleato´ria definida como X: nu´mero de sucessos num
experimento binomial e´ dita ser uma Varia´vel Aleato´ria Binomial
com paraˆmetros n e p.
Disciplina: Introduc¸a˜o a` Probabilidade
Modelo (ou Distribuic¸a˜o) Binomial
Definic¸a˜o (Experimento Binomial)
Um experimento binomial consiste de n tentativas independentes
de um mesmo experimento aleato´rio, onde cada tentativa admite
apenas dois resultados: sucesso, com probabilidade p, e fracasso,
com probabilidade 1 − p. Pode-se dizer ainda que um experimen-
to binomial consiste de n ensaios independentes de Bernoulli, cuja
probabilidade de sucesso em cada ensaio e´ constante e igual a p,
0 < p < 1.
Definic¸a˜o (Varia´vel Aleato´ria Binomial)
Uma varia´vel aleato´ria definida como X: nu´mero de sucessos num
experimento binomial e´ dita ser uma Varia´vel Aleato´ria Binomial
com paraˆmetros n e p.
Disciplina: Introduc¸a˜o a` Probabilidade
Modelo (ou Distribuic¸a˜o) Binomial
Teorema
Se X e´ uma varia´vel aleato´ria binomial com paraˆmetros n e p,
enta˜o
P (X = x) =
(
n
x
)
px(1− p)n−x, x = 0, 1, ..., n,
onde x e´ o nu´mero de sucessos nos n ensaios de Bernoulli.
Notac¸a˜o: X ∼ b(n, p).
Disciplina: Introduc¸a˜o a` Probabilidade
Propriedades
E(X) = np
V ar(X) = np(1− p)
Disciplina: Introduc¸a˜o a` Probabilidade
Propriedades
E(X) = np
V ar(X) = np(1− p)
Disciplina: Introduc¸a˜o a` Probabilidade
Propriedades
E(X) = np
V ar(X) = np(1− p)
Disciplina: Introduc¸a˜o a` Probabilidade
Exemplo 2
Um fabricante de pec¸as de automo´vel garante que uma caixa de suas
pec¸as contera´, no ma´ximo, duas defeituosas. Sabe-se que uma caixa
conte´m 20 pec¸as, e a experieˆncia tem demonstrado que, em seu
processo de fabricac¸a˜o, 6% das pec¸as sa˜o defeituosas. Selecionada
uma dessas caixas, ao acaso, encontre:
a) A probabilidade de que nenhum dos itens tenha
defeito;
b) A probabilidade de que todas as pec¸as sejam defei-
tuosas;
c) A probabilidade de que a caixa satisfac¸a a garantia;
d) O nu´mero de pec¸as defeituosas esperadas nesta cai-
xa.Disciplina: Introduc¸a˜o a` Probabilidade
Exemplo 2
Um fabricante de pec¸as de automo´vel garante que uma caixa de suas
pec¸as contera´, no ma´ximo, duas defeituosas. Sabe-se que uma caixa
conte´m 20 pec¸as, e a experieˆncia tem demonstrado que, em seu
processo de fabricac¸a˜o, 6% das pec¸as sa˜o defeituosas. Selecionada
uma dessas caixas, ao acaso, encontre:
a) A probabilidade de que nenhum dos itens tenha
defeito;
b) A probabilidade de que todas as pec¸as sejam defei-
tuosas;
c) A probabilidade de que a caixa satisfac¸a a garantia;
d) O nu´mero de pec¸as defeituosas esperadas nesta cai-
xa.
Disciplina: Introduc¸a˜o a` Probabilidade
Exemplo 2
Um fabricante de pec¸as de automo´vel garante que uma caixa de suas
pec¸as contera´, no ma´ximo, duas defeituosas. Sabe-se que uma caixa
conte´m 20 pec¸as, e a experieˆncia tem demonstrado que, em seu
processo de fabricac¸a˜o, 6% das pec¸as sa˜o defeituosas. Selecionada
uma dessas caixas, ao acaso, encontre:
a) A probabilidade de que nenhum dos itens tenha
defeito;
b) A probabilidade de que todas as pec¸as sejam defei-
tuosas;
c) A probabilidade de que a caixa satisfac¸a a garantia;
d) O nu´mero de pec¸as defeituosas esperadas nesta cai-
xa.
Disciplina: Introduc¸a˜o a` Probabilidade
Exemplo 2
Um fabricante de pec¸as de automo´vel garante que uma caixa de suas
pec¸as contera´, no ma´ximo, duas defeituosas. Sabe-se que uma caixa
conte´m 20 pec¸as, e a experieˆncia tem demonstrado que, em seu
processo de fabricac¸a˜o, 6% das pec¸as sa˜o defeituosas. Selecionada
uma dessas caixas, ao acaso, encontre:
a) A probabilidade de que nenhum dos itens tenha
defeito;
b) A probabilidade de que todas as pec¸as sejam defei-
tuosas;
c) A probabilidade de que a caixa satisfac¸a a garantia;
d) O nu´mero de pec¸as defeituosas esperadas nesta cai-
xa.
Disciplina: Introduc¸a˜o a` Probabilidade
EXERC´ICIO: Overbooking
Overbooking e´ uma pra´tica realizada na aviac¸a˜o no mundo todo.
Consiste na empresa ae´rea vender mais bilhetes do que o dispon´ıvel
no voˆo (com base na me´dia de desisteˆncias dos voˆos anteriores).
Considere uma empresa ae´rea que possui um avia˜o com capacidade
para 100 lugares. Se para um certo voˆo essa empresa vendeu 103
passagens e, admitindo que a probabilidade de um passageiro na˜o
comparecer para embarque e´ de 7%, qual a probabilidade de algum
passageiro na˜o conseguir embarcar?
Disciplina: Introduc¸a˜o a` Probabilidade
EXERC´ICIO: Overbooking
Overbooking e´ uma pra´tica realizada na aviac¸a˜o no mundo todo.
Consiste na empresa ae´rea vender mais bilhetes do que o dispon´ıvel
no voˆo (com base na me´dia de desisteˆncias dos voˆos anteriores).
Considere uma empresa ae´rea que possui um avia˜o com capacidade
para 100 lugares. Se para um certo voˆo essa empresa vendeu 103
passagens e, admitindo que a probabilidade de um passageiro na˜o
comparecer para embarque e´ de 7%, qual a probabilidade de algum
passageiro na˜o conseguir embarcar?
Disciplina: Introduc¸a˜o a` Probabilidade
“Hora da chamada...”
Albert Einstein
Tudo deveria se tornar o mais simples poss´ıvel, mas
na˜o simplificado.
Disciplina: Introduc¸a˜o a` Probabilidade
Modelo (ou Distribuic¸a˜o) Hipergeome´trico(a)
Considere uma populac¸a˜o (conjunto) composta de N objetos, r dos
quais teˆm uma certa caracter´ıstica A, logo, N − r na˜o teˆm a ca-
racter´ıstica A (A). Suponha que n desses objetos sa˜o escolhidos ao
acaso sem reposic¸a˜o e que estamos interessados na varia´vel
X : nu´mero de elementos que possuem a caracter´ıstica A dentre os
n.
Enta˜o, a varia´vel definida desta forma e´ dita ter distribuic¸a˜o hiper-
geome´trica com paraˆmetros N , r e n e func¸a˜o de probabilidade dada
por
P (X = x) =
(
r
x
)(
N−r
n− x
)
(
N
n
) , x = max{0, n−(N−r)}, ...,min{r, n}.
Notac¸a˜o: X ∼ hip(N, r, n).
Disciplina: Introduc¸a˜o a` Probabilidade
Modelo (ou Distribuic¸a˜o) Hipergeome´trico(a)
Considere uma populac¸a˜o (conjunto) composta de N objetos, r dos
quais teˆm uma certa caracter´ıstica A, logo, N − r na˜o teˆm a ca-
racter´ıstica A (A). Suponha que n desses objetos sa˜o escolhidos ao
acaso sem reposic¸a˜o e que estamos interessados na varia´vel
X : nu´mero de elementos que possuem a caracter´ıstica A dentre os
n.
Enta˜o, a varia´vel definida desta forma e´ dita ter distribuic¸a˜o hiper-
geome´trica com paraˆmetros N , r e n e func¸a˜o de probabilidade dada
por
P (X = x) =
(
r
x
)(
N−r
n− x
)
(
N
n
) , x = max{0, n−(N−r)}, ...,min{r, n}.
Notac¸a˜o: X ∼ hip(N, r, n).
Disciplina: Introduc¸a˜o a` Probabilidade
Modelo (ou Distribuic¸a˜o) Hipergeome´trico(a)
Considere uma populac¸a˜o (conjunto) composta de N objetos, r dos
quais teˆm uma certa caracter´ıstica A, logo, N − r na˜o teˆm a ca-
racter´ıstica A (A). Suponha que n desses objetos sa˜o escolhidos ao
acaso sem reposic¸a˜o e que estamos interessados na varia´vel
X : nu´mero de elementos que possuem a caracter´ıstica A dentre os
n.
Enta˜o, a varia´vel definida desta forma e´ dita ter distribuic¸a˜o hiper-
geome´trica com paraˆmetros N , r e n e func¸a˜o de probabilidade dada
por
P (X = x) =
(
r
x
)(
N−r
n− x
)
(
N
n
) , x = max{0, n−(N−r)}, ...,min{r, n}.
Notac¸a˜o: X ∼ hip(N, r, n).
Disciplina: Introduc¸a˜o a` Probabilidade
Modelo (ou Distribuic¸a˜o) Hipergeome´trico(a)
Considere uma populac¸a˜o (conjunto) composta de N objetos, r dos
quais teˆm uma certa caracter´ıstica A, logo, N − r na˜o teˆm a ca-
racter´ıstica A (A). Suponha que n desses objetos sa˜o escolhidos ao
acaso sem reposic¸a˜o e que estamos interessados na varia´vel
X : nu´mero de elementos que possuem a caracter´ıstica A dentre os
n.
Enta˜o, a varia´vel definida desta forma e´ dita ter distribuic¸a˜o hiper-
geome´trica com paraˆmetros N , r e n e func¸a˜o de probabilidade dada
por
P (X = x) =
(
r
x
)(
N−r
n− x
)
(
N
n
) , x = max{0, n−(N−r)}, ...,min{r, n}.
Notac¸a˜o: X ∼ hip(N, r, n).
Disciplina: Introduc¸a˜o a` Probabilidade
Modelo (ou Distribuic¸a˜o) Hipergeome´trico(a)
Considere uma populac¸a˜o (conjunto) composta de N objetos, r dos
quais teˆm uma certa caracter´ıstica A, logo, N − r na˜o teˆm a ca-
racter´ıstica A (A). Suponha que n desses objetos sa˜o escolhidos ao
acaso sem reposic¸a˜o e que estamos interessados na varia´vel
X : nu´mero de elementos que possuem a caracter´ıstica A dentre os
n.
Enta˜o, a varia´vel definida desta forma e´ dita ter distribuic¸a˜o hiper-
geome´trica com paraˆmetros N , r e n e func¸a˜o de probabilidade dada
por
P (X = x) =
(
r
x
)(
N−r
n− x
)
(
N
n
) , x = max{0, n−(N−r)}, ...,min{r, n}.
Notac¸a˜o: X ∼ hip(N, r, n).
Disciplina: Introduc¸a˜o a` Probabilidade
Propriedades
E(X) = np
V ar(X) = np(1− p)N−n
N−1
,
onde p = r
N
e´ a probabilidade de se obter um objeto com a caracte-
r´ıstica A numa u´nica extrac¸a˜o.
Observac¸a˜o: Quando a populac¸a˜o e´ muito grande, ou seja,
N →∞, quando comparado com n, a retirada ao acaso, com ou sem
reposic¸a˜o, sera˜o praticamente equivalentes, de modo que a distri-
buic¸a˜o hipergeome´trica se aproxima da distribuic¸a˜o binomial.
Disciplina: Introduc¸a˜o a` Probabilidade
Propriedades
E(X) = np
V ar(X) = np(1− p)N−n
N−1
,
onde p = r
N
e´ a probabilidade de se obter um objeto com a caracte-
r´ıstica A numa u´nica extrac¸a˜o.
Observac¸a˜o: Quando a populac¸a˜o e´ muito grande, ou seja,
N →∞, quando comparado com n, a retirada ao acaso, com ou sem
reposic¸a˜o, sera˜o praticamente equivalentes, de modo que a distri-
buic¸a˜o hipergeome´trica se aproxima da distribuic¸a˜o binomial.
Disciplina: Introduc¸a˜o a` Probabilidade
Propriedades
E(X) = np
V ar(X) = np(1− p)N−n
N−1
,
onde p = r
N
e´ a probabilidade de se obter um objeto com a caracte-
r´ıstica A numa u´nica extrac¸a˜o.Observac¸a˜o: Quando a populac¸a˜o e´ muito grande, ou seja,
N →∞, quando comparado com n, a retirada ao acaso, com ou sem
reposic¸a˜o, sera˜o praticamente equivalentes, de modo que a distri-
buic¸a˜o hipergeome´trica se aproxima da distribuic¸a˜o binomial.
Disciplina: Introduc¸a˜o a` Probabilidade
Propriedades
E(X) = np
V ar(X) = np(1− p)N−n
N−1
,
onde p = r
N
e´ a probabilidade de se obter um objeto com a caracte-
r´ıstica A numa u´nica extrac¸a˜o.
Observac¸a˜o: Quando a populac¸a˜o e´ muito grande, ou seja,
N →∞, quando comparado com n, a retirada ao acaso, com ou sem
reposic¸a˜o, sera˜o praticamente equivalentes, de modo que a distri-
buic¸a˜o hipergeome´trica se aproxima da distribuic¸a˜o binomial.
Disciplina: Introduc¸a˜o a` Probabilidade
Propriedades
E(X) = np
V ar(X) = np(1− p)N−n
N−1
,
onde p = r
N
e´ a probabilidade de se obter um objeto com a caracte-
r´ıstica A numa u´nica extrac¸a˜o.
Observac¸a˜o: Quando a populac¸a˜o e´ muito grande, ou seja,
N →∞, quando comparado com n, a retirada ao acaso, com ou sem
reposic¸a˜o, sera˜o praticamente equivalentes, de modo que a distri-
buic¸a˜o hipergeome´trica se aproxima da distribuic¸a˜o binomial.
Disciplina: Introduc¸a˜o a` Probabilidade
Exemplo 3
Em problemas de controle de qualidade, lotes com N itens sa˜o exa-
minados. Se num certo lote de 100 itens, dentre os quais 10 sa˜o
defeituosos, voceˆ escolhe ao acaso 5 itens, sem reposic¸a˜o,
a) qual e´ a probabilidade de nenhum item ser
defeituoso?
b) qual e´ a probabilidade de na˜o mais do que um
item seja defeituoso?
c) qual e´ o nu´mero esperado de itens defeituosos?
Disciplina: Introduc¸a˜o a` Probabilidade
Exemplo 3
Em problemas de controle de qualidade, lotes com N itens sa˜o exa-
minados. Se num certo lote de 100 itens, dentre os quais 10 sa˜o
defeituosos, voceˆ escolhe ao acaso 5 itens, sem reposic¸a˜o,
a) qual e´ a probabilidade de nenhum item ser
defeituoso?
b) qual e´ a probabilidade de na˜o mais do que um
item seja defeituoso?
c) qual e´ o nu´mero esperado de itens defeituosos?
Disciplina: Introduc¸a˜o a` Probabilidade
Exemplo 3
Em problemas de controle de qualidade, lotes com N itens sa˜o exa-
minados. Se num certo lote de 100 itens, dentre os quais 10 sa˜o
defeituosos, voceˆ escolhe ao acaso 5 itens, sem reposic¸a˜o,
a) qual e´ a probabilidade de nenhum item ser
defeituoso?
b) qual e´ a probabilidade de na˜o mais do que um
item seja defeituoso?
c) qual e´ o nu´mero esperado de itens defeituosos?
Disciplina: Introduc¸a˜o a` Probabilidade
Distribuic¸a˜o Geome´trica
Considere um experimento cujos resultados podem ser classificados
como sucesso ou fracasso. Seja p a probabilidade de sucesso, logo,
1− p e´ a probabilidade de fracasso.
Considere a varia´vel aleato´ria:
X : nu´mero de ensaios ate´ ocorrer o primeiro sucesso.
Se os ensaios sa˜o independentes, enta˜o a varia´vel aleato´ria definida
dessa forma e´ dita ter distribuic¸a˜o geome´trica com paraˆmetro p e
func¸a˜o de probabilidade dada por
P (X = x) = (1− p)x−1p, x = 1, 2, ...
Notac¸a˜o: X ∼ G(p).
Disciplina: Introduc¸a˜o a` Probabilidade
Distribuic¸a˜o Geome´trica
Considere um experimento cujos resultados podem ser classificados
como sucesso ou fracasso. Seja p a probabilidade de sucesso, logo,
1− p e´ a probabilidade de fracasso.
Considere a varia´vel aleato´ria:
X : nu´mero de ensaios ate´ ocorrer o primeiro sucesso.
Se os ensaios sa˜o independentes, enta˜o a varia´vel aleato´ria definida
dessa forma e´ dita ter distribuic¸a˜o geome´trica com paraˆmetro p e
func¸a˜o de probabilidade dada por
P (X = x) = (1− p)x−1p, x = 1, 2, ...
Notac¸a˜o: X ∼ G(p).
Disciplina: Introduc¸a˜o a` Probabilidade
Distribuic¸a˜o Geome´trica
Considere um experimento cujos resultados podem ser classificados
como sucesso ou fracasso. Seja p a probabilidade de sucesso, logo,
1− p e´ a probabilidade de fracasso.
Considere a varia´vel aleato´ria:
X : nu´mero de ensaios ate´ ocorrer o primeiro sucesso.
Se os ensaios sa˜o independentes, enta˜o a varia´vel aleato´ria definida
dessa forma e´ dita ter distribuic¸a˜o geome´trica com paraˆmetro p e
func¸a˜o de probabilidade dada por
P (X = x) = (1− p)x−1p, x = 1, 2, ...
Notac¸a˜o: X ∼ G(p).
Disciplina: Introduc¸a˜o a` Probabilidade
Propriedades
E(X) = 1
p
.
V ar(X) = 1−p
p2
.
Exemplo 4: A probabilidade de encontrar aberto o sinal de traˆnsito
numa esquina e´ 0,15. Qual a probabilidade de que seja necessa´rio
passar pelo local 4 vezes, para encontrar o sinal aberto pela primeira
vez?
Disciplina: Introduc¸a˜o a` Probabilidade
Propriedades
E(X) = 1
p
.
V ar(X) = 1−p
p2
.
Exemplo 4: A probabilidade de encontrar aberto o sinal de traˆnsito
numa esquina e´ 0,15. Qual a probabilidade de que seja necessa´rio
passar pelo local 4 vezes, para encontrar o sinal aberto pela primeira
vez?
Disciplina: Introduc¸a˜o a` Probabilidade
Propriedades
E(X) = 1
p
.
V ar(X) = 1−p
p2
.
Exemplo 4: A probabilidade de encontrar aberto o sinal de traˆnsito
numa esquina e´ 0,15. Qual a probabilidade de que seja necessa´rio
passar pelo local 4 vezes, para encontrar o sinal aberto pela primeira
vez?
Disciplina: Introduc¸a˜o a` Probabilidade
Distribuic¸a˜o de Poisson
Suponha, agora, que o interessse num certo experimento seja contar
o nu´mero de ocorreˆncia de um certo evento, o qual pode ocorrer du-
rante um intervalo de tempo, ao longo de uma superf´ıcie ou volume.
Por exemplo:
1 Durante o intervalo de uma hora, observar o nu´mero de carros
que passam numa rodovia;
2 Ao inspecionar a pintura de um carro, deseja-se observar o
nu´mero de falhas;
3 Ao realizar o controle de qualidade de um produto aliment´ıcio,
deseja-se conhecer o nu´mero de bacte´rias.
Disciplina: Introduc¸a˜o a` Probabilidade
Distribuic¸a˜o de Poisson
Em todas estas condic¸o˜es poderemos trabalhar com a seguinte dis-
tribuic¸a˜o de probabilidade:
Definic¸a˜o (Distribuic¸a˜o de Poisson)
Dizemos que a varia´vel aleato´ria X : nu´mero de ocorreˆncia de um
certo evento num determinado intervalo de tempo, superf´ıcie ou
volume, tem distribuic¸a˜o de Poisson com paraˆmetro λ (λ > 0), se
sua func¸a˜o de probabilidade e´ dada por
P (X = x) =
e−λλx
x!
, x = 0, 1, 2, ...
Notac¸a˜o: X ∼ Poisson(λ).
O paraˆmetro λ e´ usualmente referido como a taxa de ocorreˆncia e
diz respeito ao nu´mero de eventos de certo tipo que ocorrem em um
intervalo de tempo, ou distaˆncia, ou a´rea, ou volume.
Disciplina: Introduc¸a˜o a` Probabilidade
Propriedades
E(X) = λ
V ar(X) = λ
Observac¸a˜o: Se X tem distribuic¸a˜o Binomial, ou seja, X ∼ b(n, p),
em que n e´ bastante grande com p pequeno, de modo que np ≤ 7,
enta˜o a distribuic¸a˜o de X se aproxima da distribuic¸a˜o de Poisson
com paraˆmetro λ = np, isto e´, X ∼ Poisson(np).
Disciplina: Introduc¸a˜o a` Probabilidade
Propriedades
E(X) = λ
V ar(X) = λ
Observac¸a˜o: Se X tem distribuic¸a˜o Binomial, ou seja, X ∼ b(n, p),
em que n e´ bastante grande com p pequeno, de modo que np ≤ 7,
enta˜o a distribuic¸a˜o de X se aproxima da distribuic¸a˜o de Poisson
com paraˆmetro λ = np, isto e´, X ∼ Poisson(np).
Disciplina: Introduc¸a˜o a` Probabilidade
Propriedades
E(X) = λ
V ar(X) = λ
Observac¸a˜o: Se X tem distribuic¸a˜o Binomial, ou seja, X ∼ b(n, p),
em que n e´ bastante grande com p pequeno, de modo que np ≤ 7,
enta˜o a distribuic¸a˜o de X se aproxima da distribuic¸a˜o de Poisson
com paraˆmetro λ = np, isto e´, X ∼ Poisson(np).
Disciplina: Introduc¸a˜o a` Probabilidade
Exemplo 5
Uma companhia recebe uma me´dia de 5 chamadas por minuto.
Obtenha:
a) A probabilidade de que a companhia na˜o receba
chamadas durante o intervalo de 1 minuto.
b) A probabilidade de que a companhia receba, no
ma´ximo, 2 chamadasem 4 minutos.
Disciplina: Introduc¸a˜o a` Probabilidade
Exemplo 6
Seja X ∼ b(200, 0, 01). Calcular P (X = 10) usando a distribuic¸a˜o
binomial e compare com o valor aproximado pela Poisson. Resp.:
3,326×10−5 e 3,819×10−5
Disciplina: Introduc¸a˜o a` Probabilidade
Exemplo 6
Seja X ∼ b(200, 0, 01). Calcular P (X = 10) usando a distribuic¸a˜o
binomial e compare com o valor aproximado pela Poisson. Resp.:
3,326×10−5 e 3,819×10−5
Disciplina: Introduc¸a˜o a` Probabilidade
“Hora da chamada...”
Plata˜o
Vencer a si pro´prio e´ a maior das vito´rias.
Disciplina: Introduc¸a˜o a` Probabilidade