esperanu00E7a e variu00E2ncia de uma v.a. DISCRETA (3)

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Introduc¸a˜o a` Probabilidade
Valor Esperado e Variaˆncia de uma v.a. Discreta
UAEst/CCT/UFCG
Introduc¸a˜o a` Probabilidade
O Valor Esperado de uma Varia´vel Aleato´ria DISCRETA
SejaX uma varia´vel aleato´ria discreta, com valores poss´ıveis x1, x2, ..., xn, ...
e considere p(xi) = P (X = xi), i = 1, 2, ..., n, ... Enta˜o, o valor es-
perado de X (ou esperanc¸a matema´tica de X), denotado por
E(X) e´ definido como
E(X) = Σ∞i=1xip(xi),
se a se´rie definida acima convergir absolutamente, isto e´, se
Σ∞i=1 |xi| p(xi) <∞.
Este nu´mero e´ tambe´m denominado o valor me´dio de X, ou ex-
pectaˆncia de X.
Introduc¸a˜o a` Probabilidade
Exemplos
1 Considere a v.a. nu´mero de pec¸as produzidas por hora, cuja
distribuic¸a˜o e´ dada por
X = x 1 2 3 4
P (X = x) 0,10 0,50 0,25 0,15
Calcule o nu´mero me´dio de pec¸as produzidas por hora.
Introduc¸a˜o a` Probabilidade
Exemplos
1 Considere a v.a. nu´mero de pec¸as produzidas por hora, cuja
distribuic¸a˜o e´ dada por
X = x 1 2 3 4
P (X = x) 0,10 0,50 0,25 0,15
Calcule o nu´mero me´dio de pec¸as produzidas por hora.
2 Um fabricante produz pec¸as tais que 10% delas sa˜o
defeituosas e 90% delas sa˜o na˜o-defeituosas. Se uma pec¸a
defeituosa for produzida, o fabricante perde R$ 1, enquanto
uma pec¸a na˜o-defeituosa lhe da´ um lucro de R$ 5. Se X for o
lucro l´ıquido por pec¸a, qual o valor esperado de X?
Encontre o valor esperado dessa varia´vel aleato´ria.
Introduc¸a˜o a` Probabilidade
Esperanc¸a de uma Func¸a˜o de uma Varia´vel Aleato´ria
Considere uma func¸a˜o Y = H(X), onde X e´ uma varia´vel
aleato´ria qualquer. Dessa forma, sabemos que Y tambe´m
e´ uma varia´vel aleato´ria, logo faz sentido calcular o valor
esperado de Y , E(Y ) = E[H(X)].
Introduc¸a˜o a` Probabilidade
Esperanc¸a de uma Func¸a˜o de uma Varia´vel Aleato´ria
Considere uma func¸a˜o Y = H(X), onde X e´ uma varia´vel
aleato´ria qualquer. Dessa forma, sabemos que Y tambe´m
e´ uma varia´vel aleato´ria, logo faz sentido calcular o valor
esperado de Y , E(Y ) = E[H(X)].
Existem duas maneiras equivalentes para se obter o valor
esperado de Y = H(X).
Introduc¸a˜o a` Probabilidade
Esperanc¸a de uma Func¸a˜o de uma Varia´vel Aleato´ria
Considere uma func¸a˜o Y = H(X), onde X e´ uma varia´vel
aleato´ria qualquer. Dessa forma, sabemos que Y tambe´m
e´ uma varia´vel aleato´ria, logo faz sentido calcular o valor
esperado de Y , E(Y ) = E[H(X)].
Existem duas maneiras equivalentes para se obter o valor
esperado de Y = H(X).
A primeira maneira requer que se obtenha primeiramente a
distribuic¸a˜o de Y (ver DEFINIC¸A˜O a seguir).
Introduc¸a˜o a` Probabilidade
Esperanc¸a de uma Func¸a˜o de uma Varia´vel Aleato´ria
Considere uma func¸a˜o Y = H(X), onde X e´ uma varia´vel
aleato´ria qualquer. Dessa forma, sabemos que Y tambe´m
e´ uma varia´vel aleato´ria, logo faz sentido calcular o valor
esperado de Y , E(Y ) = E[H(X)].
Existem duas maneiras equivalentes para se obter o valor
esperado de Y = H(X).
A primeira maneira requer que se obtenha primeiramente a
distribuic¸a˜o de Y (ver DEFINIC¸A˜O a seguir).
Uma segunda maneira requer, simplesmente, o conhecimento
da distribuic¸a˜o de probabilidade de X (ver TEOREMA).
Introduc¸a˜o a` Probabilidade
Esperanc¸a de uma Func¸a˜o de uma Varia´vel Aleato´ria
DEFINIC¸A˜O
Seja X uma varia´vel aleato´ria e seja Y = H(X) uma func¸a˜o
cont´ınua. Enta˜o, se Y for uma varia´vel aleato´ria discreta com
valores poss´ıveis y1, y2, ... e se p(yj) = P (Y = yj), o valor
esperado de Y e´ definido por
E(Y ) = Σ∞j=1yjp(yj).
Introduc¸a˜o a` Probabilidade
Esperanc¸a de uma Func¸a˜o de uma Varia´vel Aleato´ria
DEFINIC¸A˜O
Seja X uma varia´vel aleato´ria e seja Y = H(X) uma func¸a˜o
cont´ınua. Enta˜o, se Y for uma varia´vel aleato´ria discreta com
valores poss´ıveis y1, y2, ... e se p(yj) = P (Y = yj), o valor
esperado de Y e´ definido por
E(Y ) = Σ∞j=1yjp(yj).
Exemplo (utilizando a DEFINIC¸A˜O)
Suponhamos que a varia´vel aleato´ria X tome treˆs valores -1, 0 e 1,
com probabilidades 1/6, 1/2, 1/3, respectivamente. Encontre o
valor esperado de Y = X2.
Introduc¸a˜o a` Probabilidade
Esperanc¸a de uma Func¸a˜o de uma Varia´vel Aleato´ria
DEFINIC¸A˜O
Seja X uma varia´vel aleato´ria e seja Y = H(X) uma func¸a˜o
cont´ınua. Enta˜o, se Y for uma varia´vel aleato´ria discreta com
valores poss´ıveis y1, y2, ... e se p(yj) = P (Y = yj), o valor
esperado de Y e´ definido por
E(Y ) = Σ∞j=1yjp(yj).
Exemplo (utilizando a DEFINIC¸A˜O)
Suponhamos que a varia´vel aleato´ria X tome treˆs valores -1, 0 e 1,
com probabilidades 1/6, 1/2, 1/3, respectivamente. Encontre o
valor esperado de Y = X2.
Introduc¸a˜o a` Probabilidade
Esperanc¸a de uma Func¸a˜o de uma Varia´vel Aleato´ria
TEOREMA
Seja X uma varia´vel aleato´ria e seja Y = H(X). Enta˜o, se X for
uma varia´vel aleato´ria discreta e p(xi) = P (X = xi), tem-se que o
valor esperado de Y sera´ dado por
E(Y ) = E[H(X)] = Σ∞i=1H(xi)p(xi).
Introduc¸a˜o a` Probabilidade
Esperanc¸a de uma Func¸a˜o de uma Varia´vel Aleato´ria
TEOREMA
Seja X uma varia´vel aleato´ria e seja Y = H(X). Enta˜o, se X for
uma varia´vel aleato´ria discreta e p(xi) = P (X = xi), tem-se que o
valor esperado de Y sera´ dado por
E(Y ) = E[H(X)] = Σ∞i=1H(xi)p(xi).
Exemplo (utilizando o TEOREMA)
Suponhamos que a varia´vel aleato´ria X tome treˆs valores -1, 0 e 1,
com probabilidades 1/6, 1/2, 1/3, respectivamente. Encontre o
valor esperado de Y = X2.
Introduc¸a˜o a` Probabilidade
Esperanc¸a de uma Func¸a˜o de uma Varia´vel Aleato´ria
TEOREMA
Seja X uma varia´vel aleato´ria e seja Y = H(X). Enta˜o, se X for
uma varia´vel aleato´ria discreta e p(xi) = P (X = xi), tem-se que o
valor esperado de Y sera´ dado por
E(Y ) = E[H(X)] = Σ∞i=1H(xi)p(xi).
Exemplo (utilizando o TEOREMA)
Suponhamos que a varia´vel aleato´ria X tome treˆs valores -1, 0 e 1,
com probabilidades 1/6, 1/2, 1/3, respectivamente. Encontre o
valor esperado de Y = X2.
Introduc¸a˜o a` Probabilidade
Propriedades do Valor Esperado de uma Varia´vel Aleato´ria
Se X e´ uma v.a. e a, b e k sa˜o constantes quaisquer, enta˜o:
1 E[aX + b] =
Introduc¸a˜o a` Probabilidade
Propriedades do Valor Esperado de uma Varia´vel Aleato´ria
Se X e´ uma v.a. e a, b e k sa˜o constantes quaisquer, enta˜o:
1 E[aX + b] = aE(X) + b.
Introduc¸a˜o a` Probabilidade
Propriedades do Valor Esperado de uma Varia´vel Aleato´ria
Se X e´ uma v.a. e a, b e k sa˜o constantes quaisquer, enta˜o:
1 E[aX + b] = aE(X) + b.
2 E[k] =
Introduc¸a˜o a` Probabilidade
Propriedades do Valor Esperado de uma Varia´vel Aleato´ria
Se X e´ uma v.a. e a, b e k sa˜o constantes quaisquer, enta˜o:
1 E[aX + b] = aE(X) + b.
2 E[k] = k.
Introduc¸a˜o a` Probabilidade
Propriedades do Valor Esperado de uma Varia´vel Aleato´ria
Se X e´ uma v.a. e a, b e k sa˜o constantes quaisquer, enta˜o:
1 E[aX + b] = aE(X) + b.
2 E[k] = k.
3 E[X + k] =
Introduc¸a˜o a` Probabilidade
Propriedades do Valor Esperado de uma Varia´vel Aleato´ria
Se X e´ uma v.a. e a, b e k sa˜o constantes quaisquer, enta˜o:
1 E[aX + b] = aE(X) + b.
2 E[k] = k.
3 E[X + k] = E(X) + k.
Introduc¸a˜o a` Probabilidade
Propriedades do Valor Esperado de uma Varia´vel Aleato´ria
Se X e´ uma v.a. e a, b e k sa˜o constantes quaisquer, enta˜o:
1 E[aX + b] = aE(X) + b.
2 E[k] = k.
3 E[X + k] = E(X) + k.
4 E[kX] =
Introduc¸a˜o a` Probabilidade
Propriedades do Valor Esperado de uma Varia´vel Aleato´ria
Se X e´ uma v.a. e a, b e k sa˜o constantes quaisquer, enta˜o:
1 E[aX + b] = aE(X) + b.
2 E[k] = k.
3 E[X + k] = E(X) + k.
4 E[kX] = kE(X).
Introduc¸a˜o a` Probabilidade
Propriedades do Valor Esperado de uma Varia´vel Aleato´ria
Se X e´ uma v.a. e a, b e k sa˜o constantesquaisquer, enta˜o:
1 E[aX + b] = aE(X) + b.
2 E[k] = k.
3 E[X + k] = E(X) + k.
4 E[kX] = kE(X).
5 E[X − µ] =
Introduc¸a˜o a` Probabilidade
Propriedades do Valor Esperado de uma Varia´vel Aleato´ria
Se X e´ uma v.a. e a, b e k sa˜o constantes quaisquer, enta˜o:
1 E[aX + b] = aE(X) + b.
2 E[k] = k.
3 E[X + k] = E(X) + k.
4 E[kX] = kE(X).
5 E[X − µ] = 0, onde µ = E(X).
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Exemplo
Dada a varia´vel aleato´ria X, cujo valor esperado e´ -4/3, calcule:
1 E(3X + 1)
2 E(
√
2X − pi)
3 E(
√
2X)
4 E(pi)
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Exemplo
Um fabricante produz pec¸as tais que 10% delas sa˜o defeituosas e
90% delas sa˜o na˜o-defeituosas. Se uma pec¸a defeituosa for produzi-
da, o fabricante perde R$ 1,00, enquanto uma pec¸a na˜o-defeituosa
lhe da´ um lucro de R$ 5,00. Se X for o lucro l´ıquido por pec¸a,
determine:
1 O valor esperado de X?
2 Se houver um aumento de 10% nos valores de X, qual sera´ o
lucro l´ıquido esperado?
3 E Se houver um acre´scimo de R$ 0,10 nos valores de X, em
me´dia, quanto sera´ o lucro l´ıquido?
Introduc¸a˜o a` Probabilidade
Variaˆncia de uma Varia´vel Aleato´ria QUALQUER
Seja X uma varia´vel aleato´ria com valor esperado, E(X) = µ.
Enta˜o, a variaˆncia de X, Var(X), e´ definida por
Var(X) = E
[
(X − µ)2] .
Introduc¸a˜o a` Probabilidade
Variaˆncia de uma Varia´vel Aleato´ria QUALQUER
Seja X uma varia´vel aleato´ria com valor esperado, E(X) = µ.
Enta˜o, a variaˆncia de X, Var(X), e´ definida por
Var(X) = E
[
(X − µ)2] .
Uma fo´rmula alternativa para Var(X) e´ dada por
Var(X) = E[X2]− µ2.
(VERIFIQUEM ISTO!)
Introduc¸a˜o a` Probabilidade
Variaˆncia de uma Varia´vel Aleato´ria QUALQUER
Seja X uma varia´vel aleato´ria com valor esperado, E(X) = µ.
Enta˜o, a variaˆncia de X, Var(X), e´ definida por
Var(X) = E
[
(X − µ)2] .
Uma fo´rmula alternativa para Var(X) e´ dada por
Var(X) = E[X2]− µ2.
(VERIFIQUEM ISTO!)
Na pra´tica, esta fo´rmula frequentemente oferece a maneira mais fa´cil
de calcular Var(X).
Introduc¸a˜o a` Probabilidade
Variaˆncia de uma Varia´vel Aleato´ria QUALQUER
Seja X uma varia´vel aleato´ria com valor esperado, E(X) = µ.
Enta˜o, a variaˆncia de X, Var(X), e´ definida por
Var(X) = E
[
(X − µ)2] .
Uma fo´rmula alternativa para Var(X) e´ dada por
Var(X) = E[X2]− µ2.
(VERIFIQUEM ISTO!)
Na pra´tica, esta fo´rmula frequentemente oferece a maneira mais fa´cil
de calcular Var(X).
OBS.: O desvio padra˜o de X, denotado por DP (X), e´ definido
como a raiz quadrada positiva da variaˆncia.
Introduc¸a˜o a` Probabilidade
Variaˆncia de uma Varia´vel Aleato´ria DISCRETA
Dada uma varia´vel aleato´ria discreta X e sua respectiva func¸a˜o de
probabilidade p(xi), a variaˆncia de X e´ dada por
Var(X) = E[(X − µ)2] =
∞∑
i=1
(xi − µ)2p(xi),
Introduc¸a˜o a` Probabilidade
Variaˆncia de uma Varia´vel Aleato´ria DISCRETA
Dada uma varia´vel aleato´ria discreta X e sua respectiva func¸a˜o de
probabilidade p(xi), a variaˆncia de X e´ dada por
Var(X) = E[(X − µ)2] =
∞∑
i=1
(xi − µ)2p(xi),
ou, alternativamente
Introduc¸a˜o a` Probabilidade
Variaˆncia de uma Varia´vel Aleato´ria DISCRETA
Dada uma varia´vel aleato´ria discreta X e sua respectiva func¸a˜o de
probabilidade p(xi), a variaˆncia de X e´ dada por
Var(X) = E[(X − µ)2] =
∞∑
i=1
(xi − µ)2p(xi),
ou, alternativamente
Var(X) = E[X2]− µ2 =
∞∑
i=1
x2i p(xi)− µ2,
onde µ = E(X) =
∞∑
i=1
xip(xi).
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Exemplo
Considere uma varia´vel aleato´ria X com a seguinte distribuic¸a˜o de
probabilidade:
X = x 1 2 3 4 5 6
P (X = x) 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6
Calcular a Var(X).
Introduc¸a˜o a` Probabilidade
Propriedades da Variaˆncia de uma Varia´vel Aleato´ria
Se X e´ uma v.a. e a, b e k sa˜o constantes quaisquer, enta˜o:
1 Var[aX + b] =
Introduc¸a˜o a` Probabilidade
Propriedades da Variaˆncia de uma Varia´vel Aleato´ria
Se X e´ uma v.a. e a, b e k sa˜o constantes quaisquer, enta˜o:
1 Var[aX + b] = a2Var(X).
Introduc¸a˜o a` Probabilidade
Propriedades da Variaˆncia de uma Varia´vel Aleato´ria
Se X e´ uma v.a. e a, b e k sa˜o constantes quaisquer, enta˜o:
1 Var[aX + b] = a2Var(X).
2 Var[k] =
Introduc¸a˜o a` Probabilidade
Propriedades da Variaˆncia de uma Varia´vel Aleato´ria
Se X e´ uma v.a. e a, b e k sa˜o constantes quaisquer, enta˜o:
1 Var[aX + b] = a2Var(X).
2 Var[k] = 0.
Introduc¸a˜o a` Probabilidade
Propriedades da Variaˆncia de uma Varia´vel Aleato´ria
Se X e´ uma v.a. e a, b e k sa˜o constantes quaisquer, enta˜o:
1 Var[aX + b] = a2Var(X).
2 Var[k] = 0.
3 Var[X + k] =
Introduc¸a˜o a` Probabilidade
Propriedades da Variaˆncia de uma Varia´vel Aleato´ria
Se X e´ uma v.a. e a, b e k sa˜o constantes quaisquer, enta˜o:
1 Var[aX + b] = a2Var(X).
2 Var[k] = 0.
3 Var[X + k] = Var(X).
Introduc¸a˜o a` Probabilidade
Propriedades da Variaˆncia de uma Varia´vel Aleato´ria
Se X e´ uma v.a. e a, b e k sa˜o constantes quaisquer, enta˜o:
1 Var[aX + b] = a2Var(X).
2 Var[k] = 0.
3 Var[X + k] = Var(X).
4 Var[kX] =
Introduc¸a˜o a` Probabilidade
Propriedades da Variaˆncia de uma Varia´vel Aleato´ria
Se X e´ uma v.a. e a, b e k sa˜o constantes quaisquer, enta˜o:
1 Var[aX + b] = a2Var(X).
2 Var[k] = 0.
3 Var[X + k] = Var(X).
4 Var[kX] = k2Var(X).
Introduc¸a˜o a` Probabilidade
Exemplo
Dada a varia´vel aleato´ria X, cuja variaˆncia e´ 5/2, calcule:
1 Var(3X + 1)
2 Var(
√
2X − pi)
3 Var(
√
2X)
4 Var(X − 7)
5 Var(pi)
Introduc¸a˜o a` Probabilidade
Exerc´ıcio
Suponha que a demanda por certa pec¸a, numa loja de autopec¸as,
seja uma varia´vel aleato´riaX com a seguinte func¸a˜o de probabilidade
(f.p.):
p(x) = P (X = x) =
2x
6x!
, x = 1, 2, 3, 4.
Introduc¸a˜o a` Probabilidade
Exerc´ıcio
Suponha que a demanda por certa pec¸a, numa loja de autopec¸as,
seja uma varia´vel aleato´riaX com a seguinte func¸a˜o de probabilidade
(f.p.):
p(x) = P (X = x) =
2x
6x!
, x = 1, 2, 3, 4.
1 Calcule a probabilidade da demanda ser pelo menos 2,
sabendo que no ma´ximo foi no ma´ximo 3.
Introduc¸a˜o a` Probabilidade
Exerc´ıcio
Suponha que a demanda por certa pec¸a, numa loja de autopec¸as,
seja uma varia´vel aleato´riaX com a seguinte func¸a˜o de probabilidade
(f.p.):
p(x) = P (X = x) =
2x
6x!
, x = 1, 2, 3, 4.
1 Calcule a probabilidade da demanda ser pelo menos 2,
sabendo que no ma´ximo foi no ma´ximo 3.
2 Encontre a func¸a˜o de distribuic¸a˜o acumulada (f.d.a.) F da
demanda.
Introduc¸a˜o a` Probabilidade
Exerc´ıcio
Suponha que a demanda por certa pec¸a, numa loja de autopec¸as,
seja uma varia´vel aleato´riaX com a seguinte func¸a˜o de probabilidade
(f.p.):
p(x) = P (X = x) =
2x
6x!
, x = 1, 2, 3, 4.
1 Calcule a probabilidade da demanda ser pelo menos 2,
sabendo que no ma´ximo foi no ma´ximo 3.
2 Encontre a func¸a˜o de distribuic¸a˜o acumulada (f.d.a.) F da
demanda.
3 Qual o valor esperado da demanda?
Introduc¸a˜o a` Probabilidade
Exerc´ıcio
Suponha que a demanda por certa pec¸a, numa loja de autopec¸as,
seja uma varia´vel aleato´riaX com a seguinte func¸a˜o de probabilidade
(f.p.):
p(x) = P (X = x) =
2x
6x!
, x = 1, 2, 3, 4.
1 Calcule a probabilidade da demanda ser pelo menos 2,
sabendo que no ma´ximo foi no ma´ximo 3.
2 Encontre a func¸a˜o de distribuic¸a˜o acumulada (f.d.a.) F da
demanda.
3 Qual o valor esperado da demanda?
4 Determine a variaˆncia e o desvio padra˜o da demanda.
Introduc¸a˜o a` Probabilidade
Exerc´ıcio
Suponha que a demanda por certa pec¸a, numa loja de autopec¸as,
seja uma varia´vel aleato´riaX com a seguinte func¸a˜o de probabilidade
(f.p.):
p(x) = P (X = x) =2x
6x!
, x = 1, 2, 3, 4.
1 Calcule a probabilidade da demanda ser pelo menos 2,
sabendo que no ma´ximo foi no ma´ximo 3.
2 Encontre a func¸a˜o de distribuic¸a˜o acumulada (f.d.a.) F da
demanda.
3 Qual o valor esperado da demanda?
4 Determine a variaˆncia e o desvio padra˜o da demanda.
5 Obtenha a esperanc¸a e a variaˆncia da seguinte v.a.
Y = 3X − 2.
Introduc¸a˜o a` Probabilidade
“Hora da chamada...”
Samuel Johnson
Na˜o e´ a forc¸a, mas a perseveranc¸a que realiza
grandes coisas.
Introduc¸a˜o a` Probabilidade