WEB AULA 2 - 5º SEMESTRE Administração - Matemática Comercial e Financeira

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Web aula 2 - Administração - Matemática Comercial e Financeira 
WEB AULA 1 
Unidade 2 
Olá, caros alunos! 
Vamos aprender um pouco mais da matemática financeira. 
Nesta Web aula trabalharemos com Taxas Nominais, 
Efetivas, Equivalentes e quais suas diferenças. 
Ainda traremos juros compostos, conhecendo a fórmula e como calculá-lo sem 
o uso da calculadora HP12C e com a utilização dela, após sabermos qual valor 
Futuro da dívida que é denominado de Montante. 
Conheceremos o sistema de amortização mais utilizado. 
Para muitos exemplos e/ou exercícios utilizaremos uma calculadora simples, 
porém para juros compostos será necessária a calculadora HP12C. 
Caso você não tenha a calculadora, utilize-se do emulador da HP12C 
encontrado no site http://www.epx.com.br/ctb/hp12c.php. 
Bom estudo a todos. 
 
Taxas para Juros Compostos 
Taxas equivalentes são aquelas que, referindo-se a períodos de tempo 
diferentes, fazem com que um capital produza o mesmo montante em um 
mesmo tempo. 
Somente no contexto de juros compostos é que se encontra a 
nomenclatura Taxas Nominais e Taxas Efetivas. O efeito de capitalização 
existe somente no sistema de juros compostos. Neste utilizam-se as taxa 
nominais e efetivas, o que não ocorre nos juros simples. 
 
Taxa Nominal 
É aquela cujo período de capitalização não coincide com aquele a que ela se 
refere. A taxa nominal é em geral uma taxa anual. 
Exemplo:O senhor Arildo possui um capital de R$ 3.000,00 e este está aplicado 
a uma taxa nominal de 30% ao ano, capitalizado mensalmente num ano. 
Qual é o montante da taxa efetiva anual?Observe, se a capitalização ocorre 
mensalmente, a taxa nominal de 30% ao ano NÃO será utilizada para calcular 
o valor dos juros. Então ela é conhecida como sendo uma taxa “FALSA”. Logo, 
a taxa de 30% ao ano não coincide com o período de capitalização que ocorre 
mensalmente.Conclui-se que, se no exemplo atrás, menciona que “será 
capitalizado mensalmente” significa que a taxa de capitalização será uma taxa 
mensal. Então “a uma taxa nominal de 30% ao ano” é uma taxa nominal pois 
não indica a realidade. 
Exemplo: 
a) A taxa nominal de 70% a.a., capitalizado trimestral. 
b) A taxa nominal de 60% a.a., capitalizado mensal. 
Como a taxa nominal é muito utilizada no mercado, embora ela não represente 
a taxa efetiva o cálculo efetuado será proporcional. Por exemplo: 
a) 120% a.a., capitalizado mensal - 120 dividido por 12 meses120 / 12 = 10% 
ao mês 
b) 30% ao ano, capitalizado trimestralmente - 30 dividido por 3 meses30 / 3 
= 10% ao trimestre 
 Taxas Efetivas 
As taxas efetivas são as taxas que coincidem com o período de 
capitalização. 
Exemplo: 
a) A taxa efetiva de 10% ao mês, capitalizado mensal. 
b) A taxa efetiva de 15% ao semestre, capitalizado semestral. 
c) A taxa efetiva de 1000% ao ano, capitalizado anual.Para realizar o cálculo 
da taxa efetiva deve-se utilizar a fórmula abaixo: 
if = (1+i/k) k - 1 
 
if = taxa efetiva 
i = taxa nominal 
k = frequência de capitalização 
Exemplo 
Um banco emprestou R$5.000,00 por 2 anos. Sabendo que o banco cobra a 
taxa de 36% ao ano, com capitalização mensal qual a taxa efetivaPara 
resolução utiliza-se a taxa de 36% em sua forma decimal, onde 36 dividido por 
100 seja igual a 0,36. 
if = (1 + i/k)
k - 1 
if = (1 + 0,36 / 12)
12 - 1 
if = (1 + 0,36 / 12)
12 - 1 
if = (1 + 0,03)
12 - 1 
if = ( 1,03)
12 - 1 
if = (1,425760886846178945447841) - 1 
if = (0,425760886846178945447841) Transformando O VALOR 
ENCONTRADO em VALOR PERCENTUAL 
if = if = (0,425760886846178945447841) * 100 
if = 42,57% aproximadamente 
 
Taxas Equivalentes 
As taxas são equivalentes quando as duas taxas são aplicadas a um mesmo 
capital e produzem o mesmo juro ao final de um ano. 
A fórmula para cálculo da taxa equivalente: 
 
 Ie = (1+i)
n - 1 
 ie = taxa equivalente 
i = taxa do período 
n = número de períodos 
 
Exemplo: 
Um recurso de R$ 4.000,00 está aplicado a uma taxa nominal de 36% ao ano, 
capitalizado mensalmente num ano. Determinar o montante da taxa efetiva 
anual. 
Se 36% ao ano é capitalizado mensalmente, as taxas do período e da 
capitalização não coincidem. 
Lembrete: Montante, é o valor futuro do recurso aplicado ao final de um 
determinado período de tempo, a uma determinada taxa de juros. A fórmula 
utilizada é: 
M = C (1 + i) n 
 
M = Montante ou Valor Futuro 
C = Capital/Recurso aplicado ou Valor Presente 
i = Taxa 
n = Período ou tempo 
 
Vamos dividir a taxa “Nominal” por 12(meses) para que possamos então 
encontrar uma taxa proporcional mensal à taxa dada em anos. 
i = 36 % ao ano dividido por 12 meses, tem-se: 
i = 3 % ao mês à 3 dividido por 100 transforma-se em decimal à 0,03 
 
M = ? 
C = 4.000,00 
i = 0,03 
n = 12 meses 
 
M = C (1 + i) n 
M = 4.000,00 x (1 + 0,03) 12 
M = 4.000,00 x ( 1,03) 12 
M = 4.000,00 x 1,425760886846178945447841 
M = 5703,043547384715781791364 
Montante é aproximadamente R$ 5.702,04 
 Pudemos observar que o recurso inicial era de R$4.000,00 e agora o 
montante é de R$5.702,04 que foi conseguido através dos juros. 
 
Juros = Montante – Capital/Recurso 
 
J = M - C 
J = 5.702,04 - 4.000,00 
J = R$ 1703,04 
Para calcular a taxa efetiva anual, fazemos: 
 
 
i = (Juros / Capital Inicial) x 100 
i = (1.703,04/ 4.000,00) x 100 
i = 0,425760886846178945447841 x 100 
i = 42,57 aproximandamente 
 
 
Juros Compostos 
Este é o regime de capitalização mais comumente usado. 
Nele, os juros de cada período são calculados sobre o montante do período 
anterior. 
Exemplo: Um capital de R$ 10.000,00 aplicado no regime de juros compostos 
por 3 meses à taxa de 10% ao mês. 
 
Relembrando: Montante simples, 
Montante Simples = Valor do Capital + Juros do período 
Montante Composto (Valor futuro), sabemos que a taxa é capitalizada e 
deve-se atualizar o capital antes de recalcular os juros. 
 Montante Composto = Capital x (1 + taxa) número de períodos ou tempo 
OBS.: Quando se faz necessário a conversão NUNCA, NUNCA, NUNCA se 
deve alterar a taxa. A conversão será feita SEMPRE no prazo/no tempo/no 
período, pois a taxa é capitalizada no sistema de juros compostos. 
 
 
 
Exemplo: 
A empresa Empregar está sendo modificada e necessita de móveis novos. 
Para esta compra ela aplicou o capital de R$20.000,00 pelo período de 1 ano e 
com a taxa de 40% ao ano. 
M = 20.000 (1 + 0,40)1 
M = 20.000 (1,40)2 
M = 20.000 x 1,96 => M = R$ 39.200,00 
 
Fazendo o cálculo utilizando a calculador HP12C 
1) Digita-se o valor do capital 20.000 
2) A tecla CHS 
3) A tecla PV (valor presente) 
4) Digita-se 40 e a tecla i (a taxa que está sendo utilizada) 
5) Digita-se 1 e a tecla n.(tempo) 
6) Pressionar a tecla FV (Valor Futuro ou Montante) e obteremos o resultado. 
 
Rendas 
Renda é uma sucessão de depósitos ou prestações, em épocas diferentes, 
destinados a formar um capital ou pagar uma dívida. A estes capitais 
disponíveis chamamos “termos” ou “anuidades” e podem ser iguais ou não. Se 
os valores dos termos forem iguais aos valores das Rendas, serão chamados 
de Termos Constantes ou Rendas Constantes; se forem variáveis, serão 
chamadas de Rendas Variáveis. O espaço de tempo que sucede entre os 
vencimentos de dois termos consecutivos recebe o nome de período da renda 
e é sempre o mesmo. 
 
Tipos de Rendas 
a) Rendas certas ou anuidades: 
Ocorrem quando o número de termos, seus vencimentos e seus respectivos 
valores podem ser prefixados. Por exemplo a compra de uma TV Led em 7 
prestações de R$200,00. 
b) Rendas aleatórias: 
Ocorrem quando pelo menos umdos seus elementos não pode ser 
previamente determinado. Por exemplo: pagamento de um seguro de vida (o 
número de termos é indeterminado). 
 
Quanto à data de vencimento do primeiro termo, uma renda certa pode ter 
três situações: 
a) Renda imediata: 
 Ocorre quando o vencimento do primeiro termo se dá no fim do primeiro 
período a contar da data zero, isto é, da data da assinatura do contrato. Por 
exemplo: a compra de um bem a prazo, em prestações mensais, pagando a 
primeira prestação um mês após a assinatura do contrato. 
b) Rendas antecipadas: 
Ocorre quando o vencimento do primeiro termo se dá na data zero. 
c) Rendas diferidas: 
Ocorre quando o vencimento do primeiro termo se dá no fim de um 
determinado número de períodos, a contar da data zero. Este tipo de renda é 
mais conhecido na matemática financeira com o nome de carência. 
Fonte: Helenara Sampaio (Classificação de Rendas) 
Sistemas de Amortização 
Considere que uma dívida deve ser paga em prestações periódicas e com 
vencimento ao fim de cada período. Quando a dívida vai sendo paga, dizemos 
que ela está sendo amortizada. Veremos os sistemas de amortização mais 
utilizados que são: S.A.C. – Sistema de Amortização Constante e o Sistema 
PRICE criado pelo inglês Richard Price, este sistema diferencia do anterior pelo 
uso da taxa proporcional. 
O S.A.C. - Sistema de Amortização Constante trabalha com amortizações 
fixas, ou seja constantes, já o sistema PRICE trabalha com prestações fixas e 
com amortizações variáveis. O sistema PRICE é comum em empréstimos 
habitacionais, por exemplo, o Minha Casa Minha Vida. 
Exemplo: 
Um empréstimo de R$5.000,00 deverá ser pago em 10 prestações mensais e 
consecutivas, vencendo a primeira 30 dias após a liberação do dinheiro. A taxa 
é de 5% ao mês. Pelo sistema SAC. 
Como este sistema prevê uma amortização constante, antes de saber o valor 
das prestações é necessário saber o valor da amortização. Assim: 
 
Amortização = Capital dividido pelo número de períodos 
Amortização = Capital / tempo 
A = C / n 
 
 C = 5.000,00 
 n = 10 prestações mensais 
 i = 5 % ao mês 
A = C / n 
A = 5.000 / 10 
A = R$ 500,00 então a amortização será de quinhentos reais por mês. 
 
Fazendo o cálculo utilizando na calculador HP12C 
 
5.000 CHS PV 
1 n (será calculado um mês) 
5 i (trata-se da taxa mensal) 
Tecle FV (future value) 
FV = R$ 5.250,00 
 
Sabe-se que Juros é igual ao Montante final do período menos Capital atual 
temos: 
Juros = FV - PV 
Juros = 5250,00 – 5.000,00 
Juros = 250,00 
Neste sistema de amortização sabe-se que: 
O valor da prestação será igual ao valor da amortização somado aos juros 
produzidos no período 
Assim, para o primeiro mês tem-se: que o valor da prestação, ou seja, o PMT 
será de: 
R$ 500,00(amortização)+ R$ 250,00 (com os juros) = 750,00 (valor da 1ª 
prestação) 
Tem-se a seguinte tabela para o primeiro mês. 
 
Para o cálculo do segundo mês: 
Saldo atual será R$ 5.000,00 subtraído do valor da amortização R$ 500,00 = 
R$ 4.500,00. 
Vamos fazer o cálculo do valor futuro: 
4.500 CHS PV 
1 n (será calculado um mês) 
5 i (trata-se da taxa mensal) 
Tecle FV (value future) 
FV = R$ 4.725,00 
Sabe-se que Juros é igual ao Montante final do período menos Capital atual. 
Temos então: 
Juros = FV - PV 
Juros = 4725 - 4500 
Juros = 225 
 
Para o cálculo do terceiro mês: 
Saldo atual será R$ 4.500,00 subtraído do valor da amortização R$ 500,00= R$ 
4.000,00. 
 Vamos fazer o cálculo do valor futuro: 
4000 CHS PV 
1 n (será calculado um mês) 
5 i (trata-se da taxa mensal) 
Tecle FV (value future) 
FV = R$ 4.200,00 
 
Sabe-se que Juros é igual ao Montante final do período menos Capital atual 
temos: 
Juros = FV - PV 
Juros = 4200 – 4.000 
Juros = 200 
Logo, a prestação será Amortização somado dos juros = 500 + 200 = 700,00 
 
 
Para o cálculo do quarto mês: 
Saldo atual será R$ 4.000,00 subtraído do valor da amortização R$ 500,00 = 
R$ 3.500,00. 
Vamos fazer o cálculo do valor futuro: 
3500 CHS PV 
1 n (será calculado um mês) 
5 i (trata-se da taxa mensal) 
Tecle FV (value future) 
FV = R$ 3.675,00 
Sabe-se que Juros é igual ao Montante final do período menos Capital atual 
temos: 
Juros = FV - PV 
Juros = 3.675 – 3.500 
Juros = 175 
Logo, a prestação será Amortização somado dos juros = 500 + 175 = 675,00 
 
Para o cálculo do quinto mês: 
Saldo atual será R$ 3.500,00 subtraído do valor da amortização R$ 500,00 = 
R$ 3.000,00. 
Vamos fazer o cálculo do valor futuro: 
3000 CHS PV 
1 n (será calculado um mês) 
5 i (trata-se da taxa mensal) 
Tecle FV (value future) 
FV = R$ 3.150,00 
Sabe-se que Juros é igual ao Montante final do período menos Capital atual. 
Temos então: 
Juros = FV - PV 
Juros = 3.150 – 3.000 
Juros = 150 
 
Logo, a prestação será Amortização somado dos juros = 500 + 150 = 650,00 
 
 
Confira a tabela abaixo com 5 meses calculados: 
 
O problema dizia que teria 10 parcelas para pagar a dívida. Seguindo os 
passos mencionados acima, complete a tabela até o décimo mês: 
Veja a tabela S.A.C. completa !!!!!!! 
 
RESPOSTAS do exercício 
 
ATENÇÃO 
 
 O Valor da AMORTIZAÇÃO é diminuído do valor do Saldo Atual, 
resultando nos juros que a pessoa está pagando. 
 O Saldo Atual no último mês é zerado, pois após 10 meses pagando o 
empréstimo, a pessoa liquida a dívida. 
 
 SISTEMA PRICE A taxa é dada em termos anuais; as prestações são 
mensais e no cálculo é utilizada a taxa proporcional. 
 Exemplo: 
 Uma financeira emprestou R$ 100.000,00, a taxa de juro cobrada é de 
18% ao ano e o pagamento deve ser feito em 6 meses. Qual o valor das 
prestações utilizando o sistema Price. 
 C =100.000,00 
n = 6 prestações mensais 
i = 18 % ao ano 
Taxa equivalente = 18% a.a. / 12 (número de meses) 
Te = 18 / 12 è Te = 1,5 ao mês. 
 
Fazendo o cálculo utilizando na calculador HP12C 
IMPORTANTE: não apague/limpe a memória da calculadora HP12C 
após iniciar este cálculo, pois trata-se de uma sequência. 
 100.000,00 CHS PV 
6 n 
1,5 i 
PMT 
 
Sendo PMT = R$ 17.552,52 ou o valor da prestação durante seis 
meses 
 No sistema de amortização PRICE, os valores das prestações são fixos, 
porém as amortizações são VARIÁVEIS. 
 A sequência de comandos da calculadora HP12c apresentada abaixo, 
fará com que sejam calculados os JUROS, então continuando na 
calculadora HP, tecle os comandos: 
 Tecle o número 1, agora a tecle f, e tecle n 
 N é a tecla de amortização quando ativado a 
função f. 
 No visor da calculadora aparecerá o valor de R$ 1.500,00 que 
caracterizam os JUROS. 
 A sequência de comandos da calculadora HP12c apresentada abaixo, 
fará com que seja calculado a AMORTIZAÇÃO, então continuando na 
calculadora HP, tecle os comandos: 
 Procure a tecla “X <> Y” e Tecle 
 No visor da calculadora aparecerá o valor R$ 16.052,52 que 
indica o valor de AMORTIZAÇÃO. 
 
 Agora pressione a tecla “+”, assim a calculadora irá somar os dois 
valores acima mencionados de juros e amortização 1.500,00 + 
16.052,52 = 17.552,52 que é a Prestação do Período: 
 Sem perder nenhum dos valores até o momento, siga a sequência 
abaixo para encontrar o valor do SALDO ATUAL. 
 
 Pressione RCL PV 
 
 No visor da calculadora aparecerá o valor R$ 
83.947,48 que indica o valor do SALDO ATUAL. 
 A saber: A tecla RCL resgata um determinado valor neste caso o valor 
presentecom a tecla PV. 
 Com a sequência de comandos executados na ordem informada neste 
documento, foi possível montar a primeira linha da tabela do sistema 
PRICE: 
 
 Caros alunos, para calcularem as demais linhas da tabela acima e 
chegar até 6 prestações mensais, basta não perder a memória da 
calculadora e iniciar a sequência de comandos novamente. 
 Tecle o número 1, agora a tecle f, e tecle n 
 
 N é a tecla de amortização quando ativada a 
função f. 
 Na calculadora aparecerá o valor de R$ 1.259,21 que caracterizam os 
JUROS. 
 A sequência de comandos da calculadora HP12c apresentada abaixo, 
fará com que seja calculada a AMORTIZAÇÃO. Então continuando na 
calculadora HP, tecle os comandos: 
 Procure a tecla “X <> Y” e Tecle 
 
 Na calculadora aparecerá o valor R$ 16.293,31 que indica o 
valor de amortização. 
 Agora pressione a tecla “+”, assim a calculadora irá somar os dois 
valores acima mencionados de juros e amortização 1.259,21 + 
16.293,31 = 17.552,52 que é a prestação do período: 
 Sem perder nenhum dos valores até o momento, siga a sequência 
abaixo para encontrar o valor do SALDO ATUAL. 
 
 Pressione RCL PV 
 Na calculadora aparecerá o valor R$ 67.654,17 que 
indica o valor do SALDO ATUAL. 
 A saber: A tecla RCL resgata um determinado valor neste caso o valor 
presente com a tecla PV. 
 Com a sequência de comandos executadas na ordem informada neste 
documento, foi possível montar a segunda linha da tabela do sistema 
PRICE: 
 
 
 Atividade: Como você está estudando é muito importante que finalize até 
a sexta parcela do financiamento, mas não limpe a memória da 
calculadora. 
 Veja a tabela PRICE completa !!!!!!! 
 RESPOSTAS do exercício 
 
 Além dos sistemas de amortização SAC e PRICE, existem outros que 
são importantes para você conhecer. 
 Sistema de Amortização Misto, também conhecidos como SAM. O 
cálculo deste sistema resume-se em: para cada um dos valores de seu 
plano de pagamentos somam-se aqueles obtidos pelo Sistema Francês 
(SAF), com os do Sistema de Amortização Constante (SAC), dividindo-
se o resultado por dois. 
 Desta forma: 
 As amortizações são crescentes 
Os juros são decrescentes 
As prestações são decrescentes 
 Sistema de Amortizações Variáveis. (Parcelas Intermediárias) 
Usados pelas incorporadoras nas vendas financiadas diretamente aos 
mutuários. 
Fonte: Helenara Sampaio (Sistemas Mistos e Variáveis) 
