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calculoII-VE-2014

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UFF – Universidade Federal Fluminense 
Escola de Engenharia Industrial e Metalúrgica de Volta Redonda 
VE Cálculo II-02/06/2014 
 
Observações: 
� Não rasure esta folha, pois cálculos realizados nesta, não serão considerados. Use a folha de Respostas; 
� A prova pode ser feita a lápis. 
� Não é preciso responder às questões em ordem, apenas identifique cada; 
� Seja o mais explicito possível para responder as questões; 
 
 
 Questão 1: (Valor 2.0) 
 
a) Calcule ( ) ( )
2 2
, 0.0 2 2
lim
x y
x y
x y
→ +
 
b) Usando o teste dos caminhos, mostre que não existe ( ) ( ), 0.0 2 2lim 2
x y
xy
x y
→ +
 
 
Questão 2: (Valor 4.0) Dizemos que uma função de duas variáveis é harmônica se ela satisfaz a 
equação de Laplace 
 
2 2
2 2
0
f f
f
x y
∂ ∂
∆ = + =
∂ ∂
 
 
Verifique se as seguintes funções são harmônicas: 
 
i) ( ), cosx yf x y e seny e x= + 
ii) ( ), yf x y arctg
x
 =  
 
 
 
Questão 3(Valor 2.0) Calcule 
B
ydxdy∫ ∫ onde B é a região do primeiro quadrante limitada pelo 
círculo 2 2 9x y+ = e pelas retas y x= e 0y = 
 
Questão 4: (Valor 2.0): Determine o volume do sólido limitado pelos paraboloides 2 2z x y= + e 
2 28z x y= − − .

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