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UFF – Universidade Federal Fluminense Escola de Engenharia Industrial e Metalúrgica de Volta Redonda VE Cálculo II-02/06/2014 Observações: � Não rasure esta folha, pois cálculos realizados nesta, não serão considerados. Use a folha de Respostas; � A prova pode ser feita a lápis. � Não é preciso responder às questões em ordem, apenas identifique cada; � Seja o mais explicito possível para responder as questões; Questão 1: (Valor 2.0) a) Calcule ( ) ( ) 2 2 , 0.0 2 2 lim x y x y x y → + b) Usando o teste dos caminhos, mostre que não existe ( ) ( ), 0.0 2 2lim 2 x y xy x y → + Questão 2: (Valor 4.0) Dizemos que uma função de duas variáveis é harmônica se ela satisfaz a equação de Laplace 2 2 2 2 0 f f f x y ∂ ∂ ∆ = + = ∂ ∂ Verifique se as seguintes funções são harmônicas: i) ( ), cosx yf x y e seny e x= + ii) ( ), yf x y arctg x = Questão 3(Valor 2.0) Calcule B ydxdy∫ ∫ onde B é a região do primeiro quadrante limitada pelo círculo 2 2 9x y+ = e pelas retas y x= e 0y = Questão 4: (Valor 2.0): Determine o volume do sólido limitado pelos paraboloides 2 2z x y= + e 2 28z x y= − − .
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