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UNIVERSIDADE DO VALE DO RIO DOS SINOS - UNISINOS NOTA CIEˆNCIA EXATAS E TECNOLO´GICAS - FI´SICA F´ısica Mecaˆnica A - Turma 53 - 1a Verificac¸a˜o - Grau A Data: Prof. Vilarbo da Silva Ju´nior Aluno: . (1) (0,8 p.t.) Um ciclista em um dia t´ıpico de treinamentos parte de um determinado ponto de refereˆncia e segue em linha reta para o leste durante um tempo de 1h, logo apo´s, segue para o norte durante mais 2h. Sua equipe te´cnica conseguiu propor um modelo para suas posic¸o˜es em func¸a˜o do tempo de percurso, sendo dadas por x(t) = 35t (na direc¸a˜o leste e [x(t)] = km) e y(t) = 1 + 20t+ sin (2pit) (na direc¸a˜o norte e [y(t)] = km). Assim, responda o que e´ pedido. a) Deˆ a diferenc¸a entre os conceitos de deslocamento e distaˆncia percorrida. b) Determine o afastamento ao leste e ao norte apo´s os referidos intervalos de tempo (Note que isto define um par ordenado (x, y)). Qual a distaˆncia percorrida pelo ciclista ao fim de seu treinamento? c) Represente a problema´tica numa figura (plano xy) mostrando claramente os vetores deslocamento de cada trecho (um horizontal outro vertical!). d) Qual e´ o aˆngulo entre os vetores do item (c)? Apresente, utilizando a Regra do Paralelograma, o vetor soma entre os vetores do item (c) (na figura) e calcule seu mo´dulo (deslocamento efetivo do ciclista). [Dica: s2 = u2 + v2 + 2uv cos (θ)]. e) Como voceˆ definiria a velocidade me´dia e velocidade escalar me´dia no contexto deste problema (responda com palavras). Calcule-as seguindo suas definic¸o˜es. f) Mostre que as func¸o˜es velocidade instantaˆnea do ciclista, nas respectivas direc¸o˜es x e y, sa˜o dadas por: vx(t) = 35, vy(t) = 20 + 2pi cos (2pit). [Dica: v(t) = dx(t)/dt:. d dt [tn] = ntn−1:. d dt [sin (at)] = a cos (at)]. (2) (0,8 p.t.) Quando estudamos o modelo da cimema´tica chamado MRU, estamos anal- isando o movimento de uma part´ıcula na auseˆncia de qualquer campo de forc¸as (denominada part´ıcula livre). Neste caso, as posic¸o˜es em func¸a˜o do tempo de uma part´ıcula livre que inicie seu movimento numa certa posic¸a˜o xo com velocidade v sa˜o dadas por x(t) = xo + vt. Um segundo passo no grau de complexidade da ana´lise deste tipo de sistema f´ısico e´ supor que atue sobre a part´ıcula apenas uma forc¸a de magnitude proporcional a velocidade instantaˆnea, neste caso pode-se mostrar que suas posic¸o˜es em func¸a˜o do tempo vem a ser dadas agora pela func¸a˜o x(t) = xo + vo γ − vo γ e−γt, onde xo e´ sua posic¸a˜o inicial, vo sua velocidade inical e γ e´ uma constante (de atrito). (a) Mostre que esta func¸a˜o posic¸a˜o satisfaz a equac¸a˜o fundamental a(t) + γv(t) = 0, onde a(t) e v(t) sa˜o a acelerac¸a˜o e velocidade instantaˆneas respectivamente. (b) Demostre os limites abaixo e interprete-os no contexto f´ısico deste problema, lim t→∞x(t) = xo + vo γ , lim t→∞ v(t) = 0. [Dica: v(t) = dx(t)/dt:. a(t) = dv(t)/dt:. d dt [eat] = aeat.] (3) (0,8 p.t.) Duas part´ıculas A e B movem-se em linha reta segundo as func¸o˜es posic¸a˜o no tempo xA(t) = 100− 20t (SI) e xB(t) = −44 + 20t+ 4t2 (SI). Determine: (a) Represente no eixo x a localizac¸a˜o inicial de cada uma das part´ıculas A e B, bem como o vetor velocidade inicial de cada uma (seguindo a convenc¸a˜o de sentido estipulada em aula). Pela configurac¸a˜o inicial, voceˆ pode conjectuar que as part´ıculas ira˜o se cruzar em algum instante de tempo? (Justifique). (b) Construa o gra´fico (no mesmo plano) das posic¸o˜es de A e B para t ∈ [0, 4s] e fac¸a uma conjectura do instante e localizac¸a˜o de encontro entre as part´ıculas A e B. (c) Determine (se ocorrer) o instante e a localizac¸a˜o em que ha´ o encontro entre as part´ıculas A e B. Estes valores esta˜o de acordo com a conjectura feita no item (b)? (justi- fique). (d) Calcule a velocidade me´dia de B entre os instantes t = 1s e t = 4s. [Dica: x(t) = xo + vt:. x(t) = xo + vot + at2 2 :. v(t) = dv(t)/dt :.v(t) = vo + at:. v¯ = ∆x ∆t :. v¯ = v(t1)+v(t2) 2 :. x2ograu = −b±√b2−4ac 2a .] (4) (0,8 p.t.) Um trabalhador da construc¸a˜o civil abandona um martelo do alto de um pre´dio em construc¸a˜o de 180m de altura. Desprezando a resisteˆncia do ar e adotando g = 10m/s2. Responda: (a) Qual o tempo gasto pelo martelo para atingir o solo? (b) Qual a velocidade do martelo ao atingir o solo? (c) Qual a velocidade do corpo quando sua altura vale 100m? (d) Construa o gra´fico v(t)× t para t ∈ [0, t∗], onde t∗ e´ o tempo encontrado no item (a). [Dica: y(t) = yo + vot− gt22 :. v(t) = dy(t)/dt:. v(t) = vo − gt:. v2 = v2o − 2g∆y.] (5) (0,8 p.t.) Duas pedras sa˜o lanc¸adas pro´ximas a superf´ıcie da Terra como segue: A pedra A e´ lanc¸ada do solo, verticalmente para cima, com velocidade inicial de mo´dulo vo, ja´ a pedra B e´ abandonada (no mesmo instante inicial) de uma altura ho. (a) Represente esta problema´tica em uma figura, deixando claro a posic¸a˜o inicial de cada uma bem como o (s) respectivo (s) vetor (es) velocidade inicial. (b) Mostre que o instante de encontro e´ dado por t∗ = ho/vo. (c) Conclua que a altura de encontro e´ h = ho − g 2 ( ho vo )2 . Interprete este resultado em termos da altura inicial (ho) de B. (d) Se todas quantidades f´ısicas envolvidas neste problema estiverem no (SI), mostre que o tempo t∗ presente no item (b) esta´ dado, de fato, em segundos (i.e., que [t∗] = s). [Dica: y(t) = yo + vot− gt22 .] (EXTRA) (1 p.t.) Um bala˜o esta´ subindo verticalmente acima de uma estrada a uma velocidade constante vb. Quanto ele esta´ a uma altura Lo acima do solo, uma bicicleta que se desloca com velocidade vc passa por baixo dele (conforme figura abaixo). Mostre que a velocidade instantaˆnea v(t) entre o ciclista e o bala˜o e´ dada pela expressa˜o: v(t) = v2c t+ v 2 b t+ vbLo√ (vct)2 + (Lo + vbt)2 . “Falta de tempo e´ desculpa daqueles que perdem tempo por falta de me´todo” ALBERT EINSTEIN.
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