AP ESTATISTICA DESCRITIVA - 2013 - 2-¦ ANO

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Estatística para os cursos de Engenharia 
e Informática Eurípedes MACHADO Rodrigues 
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ESTATÍSTICA 
 
1. INTRODUÇÃO: 
 
A Estatística, ramo da Matemática Aplicada, teve sua origem na Antigüidade, vários povos 
já registravam o número de nascimentos, de óbitos, de habitantes, faziam estimativas de riqueza 
individual e social, distribuíam eqüitativamente terras ao povo, cobravam impostos, etc., por 
processos que, hoje, chamamos de “Estatísticas”. 
 
 Originalmente as Estatísticas tratavam dos negócios do Estado (especialmente com 
objetivos tributários ou militares) o que justifica a etimologia da palavra que surgiu do latim 
“STATUS” (Estado). 
 
 A palavra Estatística é usada em dois sentidos: 
 
1.1. ESTATÍSTICAS (no plural) refere-se a dados numéricos e são informações sobre 
determinado assunto, grupo de pessoas, fenômenos de interesse do Estado, etc., obtidas por 
um pesquisador. 
 
1.2. ESTATÍSTICA (no singular) significa o conjunto de processos usados na classificação, 
organização, descrição, análise e interpretação de dados experimentais. 
 
 Comumente a Estatística é relacionada com dados e números da Saúde Pública, Bolsa de 
Valores, Crescimento de População, Testes Psicológicos, Engenharia, Física, Matemática, 
Química, Economia, além de setores do planejamento da produção, análises comerciais e estudos 
sociológicos. 
 
 
2. EVOLUÇÃO HISTÓRICA DA ESTATÍSTICA 
 
 Os vários aspectos e acontecimentos da evolução histórica da Estatística agrupam-se em 
três períodos: 
 
2.1. 1º PERÍODO - PREPARAÇÃO DOS FATOS 
 
 Abrange a Idade Antiga, Idade Média e parte da Idade Moderna, na História da Civilização. 
É caracterizado por registros de interesse Estatal, sendo denominado de período da Estatística 
Administrativa. No livro sacro , Chouking, de Confúcio, tem-se notícias da preparação dos 
Estados da China, no ano 2238 a.C. O imperador Iao ordenou o levantamento sobre agricultura, 
indústria e comércio. Ainda na Idade Antiga, conta-nos a Bíblia Sagrada o levantamento do povo 
judaico para fins guerreiros e, na época de Augusto, era feito o recenseamento da população 
(com o objetivo de verificar o quanto o povo pagava de impostos) e extensão territorial do Império 
Romano. A Igreja Católica, por ocasião do conselho de Trento, ordenou que se fizesse o registro 
de nascimentos, casamentos e mortes. 
 Na Idade Média, destacam-se os árabes, no ano 721, com a coleta numérica das cidades 
dominadas, contagem de suas populações , fábricas e de cada espécie de seus produtos, para 
controle das conquistas territoriais. 
 Carlos Magno, rei dos francos e imperador do Ocidente, de 771 a 814, tendo em vista fins 
de caráter financeiro e administrativo, estabeleceu o organismo de Estado. 
 Guilherme, o Conquistador, ordenou a elaboração de um cadastro da divisão do solo da 
Inglaterra das várias classes sociais existentes, para fins de arrecadação de impostos, o que deu 
origem em 1086, à obra “Domesday Book”, considerada como modelo marcante desse período. 
 
 
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2.2. 2º PERIÓDO – PREPARAÇÃO DAS TEORIAS 
 
 Caracterizam-se pelas críticas e polêmicas tendendo a instituir a Estatística como 
disciplina autônoma. Assim, Herman Coring no século XVII na Alemanha, emprega a Estatística 
já como disciplina autônoma e descreve o Estado considerando seu território, seu governo e suas 
finanças. 
 Na Inglaterra, no século XVII, John Graunt (1620 – 1674) inicia investigações sobre a 
Estatística Demográfica e descobre em estudos analíticos, certas proporções entre nascimentos, 
casamentos e óbitos, chegando a uma estimativa aproximada da população de Londres e de 
outras cidades. 
 William Petty, autor do termo “Aritmética Política”, baseado em informações estatísticas, 
tira conclusões com aproximação sobre a regularidade dos fenômenos sociais . 
 Edmond Halley esboça a primeira tabela de mortalidade. 
 Adolphe Quetelet, no século XVIII, aplica, no estudo demográfico e social, a lei dos 
grandes números e é considerado o maior expoente da aplicação dessa lei. 
 Godofredo Achenwall, no século XVIII, batizou a nova ciência (ou método) com o nome de 
Estatística, determinando o seu objetivo e suas relações com as ciências 
 Blaise Pascal, na França, no século XVIII, e Pierre Fermat descobrem o cálculo das 
Probabilidades, desenvolvidas depois por Bernoulli, Gauss, Laplace e outros, e mais 
recentemente, no século XIX e XX com Person, Galton, Gosset (que usava o pseudônimo de 
“Student”), Fischer e outros, a Estatística se estruturou como ciência, ganhando enorme 
evidência. 
 
2.3. 3º PERÍODO – APERFEIÇOAMENTO TÉCNICO E CIENTÍFICO 
 
 Inicia-se em 1853, com o primeiro Congresso de Estatística e abrange parte da 
Idade Moderna, estendendo-se pela Idade Contemporânea. Neste período, destaca-se entre 
outros, Francis Galton, com o emprego da Estatística Metodológica nos problemas da 
hereditariedade, James Clerk Maxwell, empregando a Estatística na teoria cinética dos gases. 
 Atualmente, a Estatística desempenha papel de importância crescente em quase todas as 
fases de uma pesquisa, aplicando-se a toda ciência experimental. 
 
 
3. DEFINIÇÕES DE ESTATÍSTICA: 
 Diversos autores apresentam “definições” que não são suficientemente claras para nos dar 
uma idéia definitiva do seu significado porém, destacamos dois aspectos: O Descritivo e o 
Inferencial ou Indutivo. Eis algumas delas: 
3.1. “Conjunto dos processos que têm por objetivo a observação, a classificação formal e a análise 
dos fenômenos coletivos ou de massa e, por fim a indução das leis a que tais fenômenos 
obedecem globalmente.” (Milton da Silva Rodrigues) 
3.2. “Estatística é o estudo de dados quantitativos marcados por uma multiplicidade de causas”. 
 (Yule) 
3.3. “A Estatística é a parte da Matemática Aplicada que se ocupa em obter conclusões a partir de 
dados observados.” (Ruy Aguiar da Silva Leme) 
3.4. “A Estatística ocupa-se dos procedimentos para tomar decisões em situações caracterizadas 
pela incerteza, praticamente sempre presentes na medida em que, quem decide não pode 
estar certo de conhecer ou controlar os resultados de sua ação.” (Abraham Wald) 
3.5. “É a observação metódica, e tão universal quanto possível dos fatos considerados em globo, 
reduzidos a grupos homogêneos e interpretados mediante a indução matemática.” (Ferraris) 
3.6. “A Estatística constitui um corpo de processos usados no estudo de grandes massas e dados 
numéricos com o objetivo de extrair dos mesmos, fatos reduzidos e simples.” (Albert Wanghi) 
3.7. “A Estatística está interessada nos métodos científicos para coleta, organização, resumo, 
apresentação e análise de dados, bem como na obtenção de conclusões válidas e na tomada 
de decisões razoáveis, baseadas em tais análises.” (Murray R. Spiegel) 
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De modo geral, podemos resumir as definições vistas anteriormente em: 
 
 “Estatística é a parte da Matemática Aplicada que trata da coleta, organização, análise e 
 interpretação de dados coletados com a finalidade de auxiliar na tomada de decisões.” 
 
4. RELAÇÃO ENTRE A ESTATÍSTICA E A PSICOLOGIA 
 
A Estatística na psicologia se inicia com os estudos dos fisiologistas do século XIX (Fischer, 
Watson, Wundt e outros). Embora divergindo de suas concepções filosóficas, tinham em comum 
nas suas pesquisas o pensamento de que é possível aplicar técnicas experimentais e 
procedimentos matemáticos ao estudo dos problemas psicológicos, ou seja, sentimentos, 
emoções, percepções, alegrias, tristezas, ansiedades, stress, etc. Essas características, 
chamadas psicológicas, quando ativadas, repercutem somaticamente, ou seja, são refletidas 
através do corpo ( suores, tremores, rubores, etc...). 
 A medida dessa repercussão será interpretada na Estatística pelo psicólogo, através de 
tabelas, gráficos, medidas de tendência central , medidas de dispersões, etc. 
 
 Na psicologia, a Estatística como ferramenta de trabalho contribui para o planejamento 
experimental de dados coletados (população em estudo), análise de suas variáveis, processo de 
amostragem, chegando na realização do experimento propriamente dito ou seja, um “instrumento” 
avaliador em psicologia projetado com auxílio dos princípios estatísticos. 
 
5. CONCEITOS INTRODUTÓRIOS: 
 
5.1. DADOS 
 
 São informações obtidas a partir de medições de grandezas, resultados de pesquisas, 
respostas a questionários ou contagem de modo geral. 
 
5.2. MÉTODO ESTATÍSTICO 
 O Método Estatístico consiste em técnicas utilizadas na pesquisa de fenômenos 
coletivos. É composto das seguintes fases: 
 
 A) Coleta de Dados 
 Quando os dados são obtidos diretamente em sua fonte de origem temos uma 
coleta direta. Como exemplo, os salários dos funcionários de uma empresa que podem 
ser consultados no seu departamento pessoal. 
 O principal instrumento de coleta é o questionário. 
 A coleta indireta é quando os dados são retirados de revistas, jornais, livros, 
Internet, etc., ou obtidos de instituições como IBGE. Neste caso, devemos mencionar a 
fonte responsável pelas informações bem como a data e o local da publicação. 
 
 B) Crítica dos Dados 
 É a fase em que os dados obtidos na coleta de dados devem ser analisados, 
corrigindo possíveis enganos, evitando que informações errôneas (ou destorcidas) possam 
influenciar os resultados do estudo. 
 
 C) Apuração dos Dados 
 A apuração dos dados consiste na contagem ou tabulação dos dados coletados 
após a crítica, ordenando-os segundo critérios de classificação estabelecidos. 
 
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 D) Apresentação dos Dados 
 Após a apuração os dados são apresentados em tabelas ou gráficos. 
 
 E) Análise dos Resultados 
 Para auxiliar a interpretação dos dados são necessárias algumas medidas 
estatísticas. 
 A análise é feita em função dos objetivos estabelecidos na pesquisa, visando a 
tomada de decisões no sentido de melhorar certas tendências observadas no fenômeno 
estudado. Por exemplo, ao pesquisarmos os acidentes de uma rodovia podemos detectar 
possíveis causas e apresentar alternativas que possam minimizar o número de acidente. 
 
 
5.3. POPULAÇÃO OU UNIVERSO. 
 
 É um conjunto de elementos (indivíduos ou objetos) que apresentam pelo menos uma 
característica em comum, ou ainda, o conjunto de elementos que o pesquisador deseja estudar. 
 Conforme vimos, a Estatística tem por objeto o estudo dos fenômenos coletivos e das 
relações que existem entre eles. Entende-se como fenômeno coletivo àquele que se refere à 
população ou universo, que compreende um grande número de elementos, sejam pessoas ou 
coisas. Portanto, para a Estatística, somente interessam os fatos que englobem um grande 
número de elementos, pois ela busca encontrar leis de comportamento para todo o conjunto e não 
se preocupa com cada um dos elementos em particular. 
 Quanto ao número de elementos, a população pode ser finita ou infinita. É finita quando 
apresenta um número limitado de indivíduos. A população infinita possui um número infinito de 
elementos e geralmente está associada a processos. Porém, tal definição existe apenas no campo 
teórico, pois, na prática, nunca encontramos populações com infinitos elementos, mas, sim, 
populações com um grande número de componentes, como ocorre na Estatística Matemática, que 
são tratadas como se fossem infinitas. 
 
 Exemplos de populações finitas e infinitas: 
1) A população constituída por todos os automóveis produzidos por uma montadora em um dia de 
serviço é finita; 
2) A população constituída de todos os resultados possíveis (cara ou coroa) em sucessivos lances 
de uma moeda é infinita. 
 
5.4. AMOSTRA 
 
 Quando a população é muito grande, torna-se difícil a observação dos aspectos a serem 
executados de cada um dos elementos, devido a impossibilidade ou inviabilidade econômica ou 
temporal. Nessas circunstâncias, fazemos a seleção de uma amostra suficientemente 
representativa da população e, através da observação dessa, estaremos aptos a analisar os 
resultados, da mesma forma que se estudássemos toda a população. 
 Amostra é um subconjunto de uma população, necessariamente finita, pois todos os seus 
elementos serão examinados para efeito da realização do estudo estatístico desejado e são 
obtidas por técnicas adequadas, chamadas amostragens. 
 
5.5. AMOSTRAGEM 
 
 Amostragem é uma técnica especial para recolher amostras, cuja escolha é feita ao acaso. 
 Dessa forma, cada elemento da população passa a ter a mesma chance de ser escolhido, o 
que garante à amostra o caráter de representatividade, assim, nossas conclusões relativas a uma 
população estarão baseadas nos resultados obtidos nas amostras dessa população. 
 
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 As referências quanto à análise e interpretação de dados dividem a estatística em duas 
partes: Estatística Descritiva e Estatística indutiva. 
 
5.6. ESTATÍSTICA DESCRITIVA (ou Dedutiva) 
 
 É aquela que tem por objeto a coleta, a organização e a descrição dos dados experimentais, 
ou seja, descreve e analisa determinada população, sem pretender tirar conclusões de modo 
genérico. Seu principal objetivo é a racionalização dos dados, através de tabelas, gráficos, 
medidas de posição, de variabilidade e de correlação. 
 
 Resumindo: 
 
 Organização dos Dados: 
•••• Tabelas; 
•••• Gráficos; 
Análise – Redução dos Dados: 
•••• Medidas de Posição (Média, Mediana, Moda, etc.) 
•••• Medidas de Variabilidade ou de Dispersão: Desvio Médio, Desvio Padrão, Variância, etc. 
•••• Medidas de Correlação 
 
Esquematicamente: 
 
 Coletas de Crítica dos Apresentação Tabelas 
 Análises 
 dados dados dos dados Gráficos 
 
 
5.7. ESTATÍSTICA INDUTIVA OU INFERÊNCIA ESTATÍSTICA 
 
 É a parteda Estatística que, baseando-se em resultados obtidos da análise de 
uma amostra da população, procura concluir, sugerir ou estimar as leis de comportamento da 
população da qual a amostra foi retirada. 
 Os objetivos principais da Estatística Indutiva são: tirar conclusões sobre populações 
através de amostras extraídas dessa população, induzindo ou caracterizando uma população 
através de amostra e ainda dizer qual é a probabilidade de erro, já que o processo de indução não 
é exato. Também através da Estatística Indutiva podemos aceitar ou rejeitar hipóteses que podem 
surgir sobre as características da população, a partir também da análise da amostra 
representativa dessa população. 
 Como observação: quanto maior for a amostra, mais precisas e confiáveis deverão ser as 
induções realizadas na população. 
 
6. MEDIDAS - São atribuições numéricas a coisas, de acordo com regras específicas. 
 
6.1. PROPRIEDADES DAS MEDIDAS: 
 IDENTIDADE 
 ORDENAÇÃO 
 ADITIVADADE 
 Essas propriedades serão vistas na classificação das variáveis quanto ao seu nível de 
mensuração. 
 
7. VARIÁVEIS 
 
 Convencionalmente, variável é o conjunto de resultados possíveis de um fenômeno, pois, os 
fenômenos analisados estatisticamente são passíveis de variação, isto é, podem assumir 
diferentes valores. Praticamente a todos os fenômenos que ocorrem na natureza, por exemplo: 
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sexo (que tem dois resultados possíveis: masculino ou feminino), número de filhos, estatura, peso, 
inteligência, beleza, profissão, etc, corresponde um certo número de resultados possíveis. 
Na prática, não trabalhamos estatisticamente com os elementos existentes, mas sim, com 
alguma de suas características que sejam fundamentais ao nosso estudo. Por exemplo: o 
conjunto de elementos pode ser “parafusos produzidos por uma máquina”. Não faremos nenhum 
tratamento matemático com os parafusos e sim, com alguma de suas características como, por 
exemplo, comprimento, peso, diâmetro, perfeito ou defeituoso, etc. 
 Como podemos notar, a característica de interesse poderá ser qualitativa ou quantitativa. 
Temos, então, variáveis qualitativas e variáveis quantitativas: 
 
7.1. VARIÁVEL QUALITATIVA 
 
A variável será qualitativa quando resultar de uma classificação por tipo (categorias) 
ou atributo (modalidades) , por exemplo: 
a) População: parafusos produzidos por uma máquina 
Variável: qualidade (perfeito ou defeituoso); 
b) População: número de registros de casamentos de um cartório civil 
Variável: qualidade (com comunhão de bens ou com separação de bens) 
c) sexo – atributo: masculino ou feminino 
d) cor da pele – atributo: branca, preta, amarela, vermelha, parda, etc., 
e) cor dos olhos – atributo: azuis, verdes, castanhos, pretos, etc. 
 
7.2. VARIÁVEL QUANTITATIVA 
 
 A variável será quantitativa quando seus valores forem expressos em números, ou seja, 
refere-se exclusivamente a quantidades (idade dos alunos de uma Universidade, salários dos 
funcionários de uma empresa, etc.), subdividindo-se em discretas e contínuas. 
 
7.2.1. VARIÁVEL QUANTITATIVA DISCRETA (OU DESCONTÍNUA) 
 
Uma variável é quantitativa discreta quando assume valores pertencentes a um conjunto 
enumerável (um número finito de valores isolados dentro de um intervalo), os valores são 
obtidos mediante alguma forma de contagem, razão pela qual seus valores são expressos 
através de números naturais {0; 1; 2; 3; ...}, por exemplo: a) número de filhos de um casal – pode 
ser 3 filhos, mas não pode ser 2,75 filhos; 
b) número de livros em uma estante – pode ser 300 livros, mas não pode ser 275,832 livros; 
c) número de chamadas telefônicas – pode ser 50 chamadas, mas não pode ser 37,682 
chamadas; 
d) População: aparelhos produzidos por uma linha de montagem. Variável : número de defeitos 
por unidade. 
 
7.2.2. VARIÁVEL QUANTITATIVA CONTÍNUA 
 
Uma variável é quantitativa contínua quando pode assumir qualquer valor num 
certo intervalo de variação, assim, as observações (ou valores) são obtidos através de 
mensuração (medida) e a interpretação é de que se trata de um valor aproximado, pois não 
existem instrumentos capazes de oferecer precisão absoluta, por exemplo: 
 
a) se uma pessoa tem altura de 1,78m, devemos considerar que o valor exato está entre 
1,775m e 1,785m , por exemplo; 
b) o comprimento de um terreno; 
c) o diâmetro externo de uma peça; 
d) o peso de certa pessoa (50,5 kg ; 50,573kg ; 50,585kg ; ...). 
 
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De modo geral, podemos dizer que, as medições dão origem a variáveis contínuas e as 
contagens ou enumerações, a variáveis discretas. 
As variáveis são designadas por letras latinas, geralmente, as últimas: x , y , z , por 
exemplo: 
Sejam, 0, 1, 2 e 3 todos os resultados possíveis de um dado fenômeno. Podemos indicar a 
variável relativa ao fenômeno considerado como sendo x ∈ {0, 1, 2, 3} 
 
7.3. CLASSIFICAÇÃO DAS VARIÁVEIS QUANTO AO SEU NÍVEL DE MENSURAÇÃO 
 
7.3.1. NOMINAIS 
 
Quando os atributos são do tipo mutuamente exclusivos, não havendo, portanto, 
hierarquia entre as diversas categorias, ou seja, os objetos contidos em uma dada classe são 
equivalentes em relação a um dado atributo ou propriedade. As variáveis Nominais possuem a 
propriedade de identidade. Por exemplo, a variável estado civil pode ser estudada dividindo-se 
em categorias: 
a) casado b) solteiro c) divorciado d) viúvo e) outro 
 
 Há outras maneiras de se fazer essa divisão, dependendo dos interesses de cada 
pesquisador. 
 Outros exemplos: Cultura, personalidade, nacionalidade, religião, política, etc. 
 
7.3.2. ORDINAIS 
 
Os objetos ou atributos, além de divididos em categorias, são hierarquizados, por 
exemplo, a variável: classe social, que divide um grupo de pessoas em várias classes sendo 
que, de uma classe para outra exista uma relação “mais que” ou “melhor que”. Assim, uma 
pessoa de uma classe é superior a outra pessoa de outra classe. As variáveis Ordinais possuem 
as propriedades de identidade e ordenação. 
 Outros exemplos: Ansiedade, autoritarismo, agressividade, hierarquia militar, etc. 
 
7.3.3. CARDINAIS 
 
Os objetos ou atributos podem ser quantificados, por exemplo: a variável peso de uma 
pessoa é estudada separando as pessoas de acordo com o seu peso, essa separação é feita 
levando-se em conta a quantificação do peso, ou seja, 80kg, 65kg, 120kg, , etc. 
 Como podemos notar, tendo-se definido uma unidade de medida (no caso kg), um número é 
associado ao objeto em estudo, fornecendo a este o número de unidades de medida equivalente à 
quantidade da propriedade possuída pelo objeto. As variáveis cardinais possuem as propriedades 
de identidade, ordenação e aditividade. 
 Outros exemplos: Estatura, tempo, velocidade, força, aparelhos de medidas de modo geral, 
etc. 
NOTA: Das três classificações acima a mais completa é a classificação cardinal por englobar as 
demais. 
 
 Nas áreas psicossociais as variáveis que envolvem desempenho humano (Q.I., nota, idade 
mental, etc.) são normalmente expressas por numerais, cuja finalidade é traduzir quantidades e, 
portanto, seriam classificadas como cardinais. No entanto, os numerais utilizados só significarão 
quantidades se houver garantiado pesquisador para isso, por exemplo: uma pessoa com 10 anos 
de idade será um resultado quantitativo se esse nº 10 significar o dobro de 5, 2 a mais que 8, etc. 
Sem essa garantia , essas variáveis seriam classificadas como ordinais. 
 
8. PARÂMETRO 
 
 São características numéricas da população. 
 Exemplo: Q.I. médio dos estudantes universitários do Brasil. 
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9. ESTIMATIVAS 
 
 São características numéricas de uma amostra. 
 Exemplo: Cálculo da média ou cálculo do desvio padrão das notas de uma prova aplicada a 
um conjunto de alunos. 
 
 Os elementos numéricos característicos de uma amostra são estimativas dos elementos 
correspondentes na população, que são os parâmetros. 
 
 
 POPULAÇÃO 
 
 AMOSTRA 
 
 
 
 
 
 AVALIAÇÃO 
 PARÂMETRO ESTIMATIVA 
 
 
 
10. REPRESENTAÇÃO DAS GRANDEZAS EM ESTATÍSTICA: 
 
 De acordo com a Resolução 886/66 da Fundação IBGE, devemos : 
 
A) usar os seguintes símbolos para designar as unidades de medidas: 
metro ....................................................................... m 
quilômetro ............................................................... km 
centímetro ............................................................... cm 
centímetro cúbico ................................................... cm3 
quilograma ............................................................. kg 
grama ...................................................................... g 
tonelada .................................................................. t 
 
B) colocar nas casas ou células: 
I. um traço horizontal ( ) quando o valor é zero, não só quanto à natureza das 
 coisas, como quanto ao resultado do inquérito; 
II. três pontos (. . . ) quando não temos os dados; 
III. um ponto de interrogação ( ? ) quando temos dúvida quanto à exatidão de determinado 
 valor; 
IV. zero ( 0 ) quando o valor é muito pequeno para ser expresso pela unidade utilizada. Se 
 os valores são expressos em numerais decimais, precisamos acrescentar à parte 
 decimal, um mesmo número de zeros ( 0,0 ; 0,00 ; 0,000 ; etc. ) 
 
11. ARREDONDAMENTO DE NÚMEROS 
 
11.1. Para arredondarmos números adotaremos os seguintes critérios estabelecidos pela 
 Portaria 36 de 06/07/1965 do INPM (Instituto Nacional de Pesos e Medidas): 
 
 I. Se o algarismo seguinte, aquele a ser arredondado, for menor do que cinco (5 ), 
 será desprezado juntamente com os que o sucedem, obtendo-se um valor por falta . 
Exemplo: Arredondar os números com as aproximações indicadas: 
 a) 15,6752 (aproximação 0,001) 15,675 
 b) 13,6715 (linear de percepção 0,01) 13,67 valor por falta 
 c) 163 para a dezena mais próxima 160 
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 II. Se o algarismo seguinte, aquele a ser arredondado, for maior do que cinco ( 5 ), 
 será desprezado juntamente com os que o sucedem, acrescentando-se uma unidade ao 
 algarismo no qual se faz o arredondamento, tendo-se um valor por excesso. 
Exemplo: Arredondar os dados abaixo com as aproximações indicadas: 
 a) 15,6766 (aproximação 0,01) 15,68 
 b) 23,45384 (aproximação 0,001) 23,454 valor por excesso 
 c) 10,7 para o inteiro mais próximo 11 
 
 III. Se o algarismo seguinte, aquele a ser arredondado, for igual a cinco ( 5 ) , usamos os 
 seguintes critérios: 
 
1º) Se o primeiro algarismo após aquele que formos arredondar for 5, seguido apenas de 
 zeros, conservamos o algarismo se ele for PAR ou aumentamos uma unidade se ele 
 for ÍMPAR, desprezando os algarismos seguintes. 
 
EXEMPLO: Arredondar para a 1ª casa decimal ( 0,1 ) os números: 
 1) 34,6500 passa para 34,6 
 2) 36,75000 passa para 36,8 
 
 2º) Se o 5 for seguido de outros algarismos dos quais, pelo menos um é diferente de 
 zero, aumentamos uma unidade no algarismo e desprezamos os seguintes. 
 
 EXEMPLO: Arredondar para a 1ª casa decimal (0,1) os números: 
 1) 36,7502 passa para 36,8 
 2) 34,6503 passa para 34,7 
 
NOTA: NÃO SE DEVEM FAZER ARREDONDAMENTOS SUCESSIVOS EM NENHUMA 
HIPÓTESE. 
 
EXERCÍCIO: Transformar o dado bruto 15,6715 em dado elaborado com linear de percepção 
0,01 e dizer: 
a) qual o algarismo duvidoso; 
b) quais os algarismos exatos; 
c) quais os algarismos certos 
SOLUÇÃO: 
 15,67[15 15,67 
 
 despreza-se 
 
a) o algarismo duvidoso é o 7 por estar influenciado por uma aproximação. 
Se o dado bruto fosse 15,6766, o arredondamento passaria para 15,68 . Neste 
caso, o algarismo 7 não mais figura no número, sendo, portanto, duvidoso; 
 b) os algarismos exatos são : 1 , 5 e 6; 
 c) os algarismos certos são : 1 , 5 , 6 e 7. 
 
11.2. COMPENSAÇÃO 
 
 Suponhamos os dados abaixo, aos quais aplicamos as regras do arredondamento: 
 
 15,32 15,3 
 37,85 passa para 37,8 
 11,44 11,4 
 30,17 + 30,2 + 
 94,78 94,7 (94,8) 
 
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 Verifica-se que houve uma pequena discordância : a soma é exatamente 94,7 quando, pelo 
critério do arredondamento, deveria ser 94,8. Entretanto, para a apresentação dos resultados, é 
necessário que desapareça essa diferença, a qual é possível pela prática do que denominamos 
compensação, conservando o mesmo número de casas decimais. 
 De um modo geral, fazemos a compensação descarregando a diferença na(s) parcela(s) 
maior(es). Assim, no exemplo dado,teremos: 
 
 15,3 
 37,9 
 11,4 
 30,2 + 
 94,8 
 
12. NOÇÕES DE SOMATÓRIO 
 
 Para indicarmos a soma dos x n valores de uma variável x, isto é x1 + x2 + x3 + . . . + x n , 
usamos o símbolo ∑∑∑∑ (letra grega, maiúscula : sigma) , denominado, na Matemática de somatório. 
Assim, a soma x1 + x2 + x3 + . . . + x n pode ser representada por ∑
=
n
1i
ix (lê-se: somatório de 
x índice i com i variando de 1 até n ) , isto é: 
 x1 + x2 + x3 + . . . + x n = ∑
=
n
1i
ix 
 OBS.: As letras ou números colocados abaixo ou acima do símbolo ∑∑∑∑ , chamam-se limites 
do somatório. 
 Não havendo possibilidade de dúvidas, podemos indicar o somatório de modo 
simplificado. Assim: 
 x1 + x2 + x3 + . . . + x n = ∑ ix 
Exemplo1: Consideremos os escores obtidos em um teste de inteligência por 5 estudantes: 
 x1 x2 x3 x4 x5 
 10 25 40 15 28 
 Represente os dados através de somatório obtendo o resultado do mesmo. 
 
 ∑
=
5
1i
ix = x1 + x2 + x3 + x4 + x5 = 10 + 25 + 40 + 15 + 28 = 118 
 
Exemplo 2: Desenvolver as somas : 
a) ∑
=
6
1i
ix = x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 
b) 2) 3
4
1i
 i y( −
=
∑ = (y1 – 3 )2 + (y2 – 3 )2 + (y3 – 3 )2 + (y4 – 3 )2 
c) if . 
5
1i
ix∑
=
 = x1 f1 + x2 f2 + x3 f3 + x4 f4 + x5 f5 
d) ∑
=
4
1i
2
ix . if = f1 x1
2 + f2 x2
2 + f3 x3
2 + f4 x4
2 
 
Exemplo 3 : Indicar, por meio de somatório as expressões: 
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11 
 a) (x1 + 3)
2 + (x2 + 3)
2 + (x3 + 3)
2 + . . . + (x20 + 3)
2 = 2) 3
20
1i
 ix ( +
=
∑ 
 b) (x3 + y3)
3 + (x4 + y4)
3 + (x5 + y5)
3 + (x6 + y6)
3 = 3) iy
6
3i
 ix ( +
=
∑ 
 
12.1. PROPRIEDADES DOS SOMATÓRIOS: 
 
I. Sendo k uma constante real (diferente de zero), temos: 
 ∑
=
n
1i
k = n . k 
 
II. Sendo k uma constante real (diferente de zero) e x uma variável real, temos: 
 ∑∑
=
=
=
n
1i
ix . k 
n
1i
) ix . k ( 
 
III. Sendo x e y duas variáveis reais, temos: 
 
n
1i
i y 
n
1i
ix 
n
1i
) i y ix ( ∑∑∑
=
+
=
=
=
+ 
 
NOTAS: CUIDADO! 
I. ∑∑∑
==
≠
=
n
1i
i y . 
n
1i
ix 
n
1i
) i y. ix ( II. ∑∑
=
≠








=
n
1i
2
ix 
2n
1i
ix 
 
 Exercícios: 
1. Escreva na notação de somatório as somas: 
a) 2) x - 9(x . . . 
2) x - 3(x 
2) x - 2(x 
2) x - 1(x ++++ = 
 
b) 2) x - 6(x . 6f . . . 
2) x - 3(x . 3f 
2) x - 2(x . 2f 
2) x - 1(x . 1f ++++ = 
 
c) | x - 8x| .8f . . . | x - 3x| .3f | x - 2x| .2f | x - 1x|.1f ++++ = 
 
2. Escreva as parcelas da soma indicada: 
a) ∑
=
6
2i
ix = b) ||∑
=
3
1i
5 - ix = c) )
4
1i
2 i(5x∑
=
+ = d) ∑
=





3
1i
2
4 - 
2
i3x = 
 
3. Calcule para a tabela abaixo, o valor numérico das somas indicadas: 
 
Ordem do valor i x i f i 
1 2 2 
2 4 5 
3 5 3 
4 6 2 
 a) ∑∑∑∑ i = b) ∑∑∑∑ x i = c) ∑∑∑∑ f i = d) ∑∑∑∑ x i . f i = 
 
 e) ∑∑∑∑ i . x i = f) ∑∑∑∑ x i
2 . f i = g) ∑∑∑∑ (x i – 10 ) 
2 . f i = 
 
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12 
 h) ∑∑∑∑ 





i
i f . i x = i) ∑∑∑∑ | x i – i | . f i = j) ∑∑∑∑ (2 x i – 10 ) 
2 . f i = 
13. DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊNCIAS 
 
 O estudo de um determinado fenômeno, freqüentemente requer a coleta de uma grande 
massa de dados numéricos (população em estudo), difícil de ser tratada se esses dados não forem 
sintetizados (organizados e condensados) na forma de tabelas e gráficos que contenham, além 
dos valores das variáveis, o número de elementos correspondentes a cada variável. 
 Cabe a Estatística Descritiva, encontrar as leis de comportamento dessa massa de dados, 
retirando uma amostra desta população para obter dados relativos a variável desejada nesta 
amostra. 
 
13.1. DADOS BRUTOS 
 É o conjunto dos dados numéricos obtidos após a crítica dos valores coletados, e que ainda 
não foram organizados. 
 
Exemplo: A partir de uma lista de freqüências, em ordem alfabética, obteve-se o conjunto 
das estaturas, em cm, de 20 alunos de uma classe: 
 
 163, 168, 160, 164, 168, 160, 164, 166, 169, 168, 
 169, 166, 162, 165, 165, 168, 164, 161, 166, 168 
 
13.2. ROL 
 
É o arranjo ou organização dos dados brutos em ordem de freqüência crescente ou 
decrescente. Assim, no exemplo dado temos o seguinte ROL: 
 
 160, 160, 161, 162, 163, 164, 164, 164, 165, 165, 
 166, 166, 166, 168, 168, 168, 168, 168, 169, 169 
 
13.3. FREQÜÊNCIA ABSOLUTA OU FREQÜÊNCIA SIMPLES ( f i ) 
 
É o número de vezes que um dado elemento aparece na amostra, ou o número de elementos 
pertencentes a uma classe. No exemplo dado, a freqüência do elemento 166 é 3, pois, aparece 3 
vezes na amostra. 
 
13.4. DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊNCIAS PARA DADOS NÃO AGRUPADOS (VARIÁVEL 
 DISCRETA) 
 
 É o arranjo dos valores da variável e suas respectivas freqüências. No exemplo dado, 
temos: 
 
Estat. (cm) x i f i 
 x 1 160 2 f 1 
 x 2 161 1 f 2 
 x 3 162 1 f 3 
 x 4 163 1 f 4 
 x 5 164 3 f 5 
 x 6 165 2 f 6 
 x 7 166 3 f 7 
 x 8 167 0 f 8 
 x 9 168 5 f 9 
 x10 169 2 f10 
∑∑∑∑ 20 
 
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13 
Observações: 1. x i representa a variável (x1 = valor da 1ª variável, x2 = valor da 2ª variável , 
 etc.); 
 2. f i representa a freqüência (f1 = freqüência da 1ª variável, f2 = freqüência da 2ª 
 variável, etc.); 
 3. ∑ f i = n (somatório das freqüências); 
 4. n é o tamanho da amostra; 
 5. O valor mínimo é 160 e o máximo é 169; 
 6. O valor mais freqüente é o 168; 
 7. O valor 167 tem freqüência zero. 
 Quando o número de valores representativode uma amostra for muito grande, recomenda-
se o agrupamento dos dados em classes, evitando com isso os inconvenientes: 
 I. Grande extensão de tabelas, dificultando a leitura dos dados brutos e a interpretação dos 
resultados apurados; 
 II. Impossibilidade ou dificuldade de visualização do comportamento do fenômeno como 
um todo, bem como de sua variação; 
 III. Aparecimento de vários valores da variável com freqüência nula. 
 
O uso dos valores observados em classes, e não individualmente, oferece as seguintes 
vantagens: A tabela informa a tendência de, a distribuição se concentrar em torno de um valor 
central, e proporciona uma visão panorâmica do comportamento da variável , porém, em uma 
tabela de valores agrupados em classes, não mais figuram os valores exatos de cada dado em 
particular, e também não será mais possível saber quais são os valores maiores (mais alto) e 
menores (mais baixo) da distribuição. 
 
13.5. DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊNCIA PARA DADOS AGRUPADOS EM CLASSES 
 (VARIÁVEL CONTÍNUA) 
 
 A distribuição de freqüências dos dados de uma amostra distribuídos em classes, é idêntica 
a que é feita com cada valor da variável, adotando-se os seguintes elementos: 
 
13.5.1. AMPLITUDE TOTAL(H) OU “RANGE” (R) 
 
 É a diferença entre o maior e o menor valor observado na amostra, identificado mais 
facilmente no rol. 
 Podemos escrever: 
 R = X máx. – X mín. 
 
 No exemplo dado, temos: Xmáx. = 169 e Xmín. = 160 R = 169 – 160 R = 9 
 
13.5.2. NÚMERO DE CLASSES ( nc ou k) 
 
 CLASSE é cada um dos grupos de valores em que se subdivide a amplitude total do 
conjunto de dados observados da variável. 
 É importante que uma distribuição contenha um número adequado de classes, se esse 
número for pouco denso, os dados originais ficarão tão comprimidos, de modo que, pouca 
informação se poderá extrair da tabela. Se, por outro lado, se esse número for abundante (muitas 
classes), aparecerá freqüências nulas ou muito pequenas que fará com que os dados originais 
resultem em uma distribuição irregular e prejudicial à interpretação do fenômeno como um todo. 
 Para determinar o número de classes há diversos métodos (fórmulas empíricas), dentre eles 
destacamos: 
 
 I. k ≅≅≅≅ n , onde n é o número total dos elementos da amostra. 
 
 No exemplo dado, temos : K ≅ 20 K ≅ 4,472135955. . . 
 Adotaremos K = 4 (inteiro mais próximo) 
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14 
 II. Regra de Sturges: k ≅ 1 + 3,22 . log n , n é o tamanho da amostra. 
 
 No nosso exemplo: K ≅ 1 + 3,22 . log 20 K ≅ 1 + 3,22 . 1,301029996. . . 
 K ≅ 1 + 4,189316586. . . K ≅ 5,189316586. . . 
 Adotaremos K = 5 (inteiro mais próximo) 
 Como você pode observar, houve uma pequena diferença no valor do número de classes de 
acordo com a fórmula usada, porém, quando trabalhamos com um número maior de observações, 
essa diferença tende a aumentar mais ainda. Este é um dos inconvenientes resultantes da 
aplicação da fórmula de Sturges, que é o de propor um número demasiado de classes para um 
número pequeno de observações, e relativamente poucas classes, quando o número de 
observações for grande. Veja o seguinte exemplo: Se o número de observações for 600, teremos: 
 a) pela 1ª fórmula: k ≅ 600 ≅ 24,49489... ou, arredondando, k = 24 ; 
 b) pela 2ª fórmula: k ≅ 1 + 3,22 . log 600 ≅ 1 + 3,22 . 2,77815... ≅ 1 + 8,945647... ≅ 
 9,945647... ou, arredondando, k = 10 
 c) se n = 60 , então : k ≅ 1 + 3,22 . log 60 ≅ 1 + 5,725647... ≅ 6,725647... ou, arredondado, 
 k = 7 
 
 De acordo com este exemplo, concluímos que não há uma fórmula exata para o cálculo do 
número de classes, no entanto, alguns autores fazem as seguintes observações: 
a) para n ≤ 25 toma-se k = 5 ; 
b) para n > 25 toma-se k ≅ n 
c) para Truman L. Kelley , em The Grouping Data for Graphic Portrayal, é feito a 
sugestão dos seguintes números de classes, com base no número total de observações, 
para efeito de representação gráfica: 
observações ( n ) 5 10 25 50 100 200 500 1 000 
nº de classes ( k) 2 4 6 8 10 12 15 15 
 
 A escolha de um dos critérios para a determinação do número de classes, dependerá da 
natureza dos dados e da unidade de medida em que eles forem expressos, e não simplesmente, 
de regras arbitrárias e pouco flexíveis, cabendo ao investigador (ou analista) tal escolha. 
 
13.5.3 AMPLITUDE DE CLASSE ( h ) 
 
É, aproximadamente, o quociente entre a amplitude total e o número de classes, ou seja: 
 
 h ≅ 
k
R
 ou h ≅ 
k
mín.X - máx.X 
 
No exemplo dado inicialmente (página 12) , temos: R = 9 e k = 4 h ≅ 
4
9
 ≅ 2,25 
Podemos adotar h = 3. Esse valor corresponde a diferença entre o limite superior e o 
inferior da classe. 
 
 h = Ls −−−− L i Ls = limite superior de classe 
 Li = limite inferior de classe 
 
13.5.4. PONTO MÉDIO (PM) 
 
É a média aritmética simples entre o limite inferior e o limite superior de cada classe. 
Quando Xi não é dado, tomamos o PM para seu valor, ou seja, fazemos Xi = PM 
 
 PM = 
2
sL iL + 
 Li = limite inferior da classe 
 Ls = limite superior da classe 
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15 
 
 OBS.: O valor do PM, também pode ser obtido fazendo PM = Li + 
2
h
 
 
 
14. TIPOS DE FREQÜÊNCIAS 
 
 
14.1. FREQÜÊNCIA ABSOLUTA ( f i ) 
 
É o número de repetições de um valor em um conjunto de dados qualquer, ou seja, o número 
de vezes em que um elemento aparece na amostra (dados brutos); 
 
 
14.2. FREQÜÊNCIA RELATIVA ( f r ou f r i ) 
 
É o quociente entre cada freqüência absoluta (ou simples) e a freqüência total. 
 
 f r = 
∑ i f 
i f ou f r = 
n
i f , onde n = ∑∑∑∑ f i 
 
NOTA: A soma das freqüências relativas simples é sempre igual a 1 (um), ou seja, ∑∑∑∑ f r = 1 
 
14.3. FREQÜÊNCIA RELATIVA PERCENTUAL ( f % ou f % i ) 
 
É a representação da freqüência relativa em termos percentuais, ou seja, 
 
 f % = f r . 100 
 
NOTA: A soma das freqüências relativas percentuais é sempre igual a 100. Isto é: ∑∑∑∑ f % = 100% 
 
14.4. FREQÜÊNCIA ABSOLUTA ACUMULADA ( Fi ou f a i ) 
 
É a soma da freqüência do valor da variável com todas as freqüências anteriores. 
 
14.5. FREQÜÊNCIA RELATIVA ACUMULADA ( Fr a ou f r a i ) 
 
É a soma da freqüência relativa do valor da variável com todas as freqüências relativas 
anteriores. 
 
14.6. FREQÜÊNCIA PERCENTUAL ACUMULADA ( F% a ou f % a i ) 
 
É a representação da freqüência relativa acumulada em termos percentuais, ou seja: 
 
 F% a = f r a . 100 
 
EXEMPLO: Fazer a distribuição das freqüências dos dados do exemplo da página 12, 
considerando os seguintes casos: 
a) dados isolados (não agrupados em classes); 
 b) dados agrupados em classes. 
 Resolução: 
 a) Para dados não agrupados em classes: 
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16 
 
Xi f i f r f % f a f r a f % a 
160 2 0,10 10 % 2 0,10 10 % 
161 1 0,05 5 % 3 0,15 15 % 
162 1 0,05 5 % 4 0,20 20 % 
163 1 0,05 5 % 5 0,25 25 % 
164 3 0,15 15 % 8 0,40 40 % 
165 2 0,10 10 % 10 0,50 50 % 
166 3 0,15 15 % 13 0,65 65 % 
167 0 0 0 % 13 0,65 65 % 
168 5 0,25 25 % 18 0,90 90 % 
169 2 0,10 10 % 20 1,00 100 % 
∑ 20 1,00 100 % 
 
b) Para dados agrupados em classes: 
 
Classes PM=Xi f i f r f % f a f r a f % a 
160 |--- 163 161,5 4 0,20 20 % 4 0,20 20 % 
163 |--- 166 164,5 6 0,30 30 % 10 0,50 50 % 
166 |--- 169 167,5 8 0,40 40 % 18 0,90 90 % 
169 |--- 172 170,5 2 0,10 10 % 20 1,00 100 % 
∑∑∑∑ 20 1,00 100 % 
 
Cálculos auxiliares: 
 
 I. PM1 = 
2
163 160
 
2
L L
11 si +=
+
 = 161,5 PM2 = 
2
166 163
 
2
L L
22 si +=
+
 = 164,5 
 
 PM3 = 
2
169 166
 
2
L L
33 si +=
+
 = 167,5 PM4 = 
2
172 169
 
2
L L
44 si +=
+
 = 170,5 
 
II. 
20
4
 
n
1 f rf 1 == = 0,20 
 
 
20
6
 
n
2 f rf 2 == = 0,30 
 
 
20
8
 
n
3 f rf 3 == = 0,40 
 
 
20
2
 
n
4 f rf 4 == = 0,10 
 
III. 
1af = 0 + 4 = 4 
 
 2af = 0 + 4 + 6 = 10 
 
 
3af = 0 + 4 + 6 + 8 = 18 
 
 
4af = 0 + 4 + 6 + 8 + 2 = 20 
 
OBS.: Como a variável x =167 não aparece na amostra, poderá ser omitida da tabela. 
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17 
 
 
Distribuição de Freqüências 
Exemplos: 
 
Ex1: 
 
Lista de alturas de 50 estudantes (em cm): 
 
Tabela 1 - Dados Brutos 
 
103 99 130 120 50 
63 71 115 125 75 
78 114 90 100 86 
98 127 98 107 100 
135 110 115 105 101 
84 115 114 95 99 
86 83 110 85 75 
64 110 140 125 86 
87 120 92 92 93 
130 70 90 100 87 
 
 
 
 
Lista de alturas de 50 estudantes ordenada em ordem crescente: 
 
Tabela 2 - Rol 
 
50 85 93 103 115 
63 86 95 105 120 
64 86 98 107 120 
70 86 98 110 125 
71 87 99 110 125 
75 87 99 110 127 
75 90 100 114 130 
78 90 100 114 130 
83 92 100 115 135 
84 92 101 115 140 
 
 - Observa-se no rol de alturas que alguns valores se repetem. Pode-se fazer uma 
condensação das medidas estabelecendo-se uma correspondência entre o valor individual e o 
respectivo número de vezes em que o mesmo foi observado. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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18 
 
Tabela 3 - Distribuição de Freqüências de Dados Tabulados Não Agrupados em Classes 
Número de Ordem 
i 
Altura (cm) Repetições 
(fi) 
1 50 1 
2 63 1 
3 64 1 
4 70 1 
5 71 1 
6 75 2 
7 78 1 
8 83 1 
9 84 1 
10 85 1 
11 86 3 
12 87 2 
13 90 2 
14 92 2 
15 93 1 
16 95 1 
17 98 2 
18 99 2 
19 100 3 
20 101 1 
21 103 1 
22 105 1 
23 107 1 
24 110 3 
25 114 2 
26 115 3 
27 120 2 
28 125 2 
29 127 1 
30 130 2 
31 135 1 
32 140 1 
Total 50 
 ∑∑∑∑
====
32
1i
if = 50 
 Obs: A soma das freqüências é sempre igual ao número de valores observados: 
 f N
i 1
k
i =
=
∑ , onde: 
 N : Número total de valores observados; 
 fi : Número de observações do valor identificado pelo número de ordem i; 
 k : Total de valores diferentes observados. Extremo superior do intervalo de valores do índice i. 
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19 
 - É vantajoso resumir os dados individuais em uma distribuição de freqüências, onde os 
valores observados, ao invés de aparecerem individualmente, são agrupados em classes. Por 
quê? 
• A tabela informa a tendência de a distribuição se concentrar em torno de um valor central. 
• Proporciona uma visão panorâmica do comportamento da variável. 
 
 - Porém: 
• Em uma tabela de valores agrupados em classes, não figuram mais os valores exatos de cada 
dado em particular. 
• Também não é mais possível saber quais são os valores mais alto e mais baixo da distribuição. 
 
Notação: 
 
Símbolo Exemplo Significado 
|--- 0 |--- 10 Inclusão na classe do valor situado a sua esquerda e exclusão do valor 
situado a sua direita. 
---| 0 ---| 10 Inclusão na classe do valor situado a sua direita e exclusão do valor 
situado a sua esquerda. 
--- 0 --- 10 Ambos os valores à direita e à esquerda estão excluídos da classe. 
|---| 0 |---| 10 Ambos os valores à direita e à esquerda estão incluídos na classe. 
 
Ex2: Teste com 500 perguntas, cada qual valendo um ponto, aplicado a 1000 alunos. 
 
Dados Agrupados 
 
Tabela 4 - Resultado do teste - 10 classes 
 
Classes - Notas Freqüências (fi) 
 0 |-- 50 10 
 50 |-- 100 30 
100 |-- 150 40 
150 |-- 200 90 
200 |-- 250 200 
250 |-- 300 260 
300 |-- 350 200 
350 |-- 400 120 
400 |-- 450 30 
450 |-- 500 20 
Total 1000 
 
 ∑∑∑∑
====
====
10
1i
i 1000 f 
 
 
 
 
 
 
 
 
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20 
 
 
Tabela 5 - Resultado do teste - 2 classes 
Classes - Notas Freqüências 
(fi) 
 0 |-- 250 370 
250 |-- 300 630 
Total 1000 
 fi
i 1
=
=
∑ 1000
2
 
 
Tabela 6 - Resultado do teste - 100 classes 
 
Classes - Notas Freqüências 
(fi) 
 0 |-- 5 0 
 5 |-- 10 1 
 10 |-- 15 0 
 15 |-- 20 2 
 20 |-- 25 3 
 25 |-- 30 0 
 30 |-- 35 3 
 35 |-- 40 0 
 40 |-- 45 1 
 45 |-- 50 0 
. . . 
. . . 
 
495 |-- 500 1 
Total 1000 
 fi
i 1
=
=
∑ 1000
100
 
 
Qual é o número ideal de classes que deve ter esta distribuição? 
1. Se o número de classes for muito pequeno, os dados originais ficarão tão comprimidos que não 
permitirão que se extraia muita informação da tabela; 
2. Se forem utilizadas muitas classes, haverá algumas com freqüência muito pequena, resultando 
em uma distribuição por demais irregular. 
 
Recapitulando: 
 
 Amplitude total (H) ou “Range”(R) 
Amplitude total ou intervalo total é a diferença entre o maior e o menor valor observado da 
variável em estudo. 
Denotando: 
 XMAX = Maior valor observado 
 XMIN = Menor valor observado 
 Então: H = X MAX - XMIN 
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21 
Ex: Para as medidas de altura listadas no rol da tabela 2, temos: 
 XMAX = 140 cm 
 XMIN = 50 cm 
 H = 140 cm − 50 cm = 90 cm 
 
Classe 
 Uma dada classe pode ser identificada por seus extremos ou pela ordem em que ela se 
encontra na tabela. 
Ex: Na tabela 4, com as classes de notas, temos: 
Classe 0 |--- 50 ou 1a classe; 
Classe 400 |--- 450 ou 9a classe 
 
 Número de classes (k) 
 Há diversos métodos (fórmulas empíricas) para se determinar um número de classes que 
seja razoável. 
 Denotando por k o número de classes, vamos adotar o método segundo o qual o número de 
classes é calculado através da fórmula: 
 N k ≅ 
 
 onde: N fi=∑ , ou seja, N é o número total de observações da variável em estudo. 
 
Ex: No caso da tabela de alturas (Tabela 3), N = 50 e, portanto: 
 k = (50)1/2 ≅ 7,07 k = 7 
 
Limites de classes 
Os limites de classes são seus valores extremos. 
 
Ex: Na primeira tabela de notas (Tabela 4), os limites da segunda classe são os valores 50 e 100: 
• 50 é chamado limite inferior (Li = 50); 
• 100 é chamado limite superior (Ls = 100) 
 
Amplitude de classe (h) 
 A amplitude de classe é definida como a diferença entre seus limites superior e inferior. 
 Assim, denotando: 
 LS = limite superior de classe 
 LI = limite inferior de classe 
 h = amplitude de classe 
 
 Temos: h = LS - LI 
 
Ex: Para a classe 50 |--- 100, h = 100 − 50 = 50 
 
Calculando a amplitude de classe 
 Dada a amplitude total, H, e o número de classes, k, a amplitude de classe será dada pela 
relação: 
 h ≅ 
k
H
 ou h ≅ 
k
R
 
 Obs: Pequenas alterações em torno do valor obtido não deverão alterar muito o “jeitão” da 
tabela. Uma sugestão é que o valor de h possa ser aproximado em até 10% para mais ou para 
menos do valor obtido pela relação dada anteriormente. Isto é, qualquer valor escolhido dentro do 
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22 
intervalo [h − 10%h; h + 10%h], é igualmente razoável. Sempre que possível, é conveniente tomar 
um valor inteiro para h. 
 
Ex: Com relação à tabela de alturas: 
 H = 90 cm 
 k = 7 h = 90 cm / 7 ≅ 12, 85 
Sendo 10% de 12,85 = 1,285, temos: 
 12,85 − 1,28 = 11,57 
 12,85 + 1,28 = 14,13 
Portanto, é razoável usar um valor de h qualquer que esteja contido no intervalo [11,57; 14,13] 
 
 Vamos adotar o valor h = 13 cm para a tabela de alturas e a partir daí determinar todas as 
classes. 
 
 A partir de XMIN = 50, somaremos 13 até que tenhamos uma classe que contenha o XMAX = 140. 
 
 +13 +13 +13 +13 +13 +13 +13 
 
 | | | | | | | | 
 50 63 76 89 102 115 128 141 
 
 Observando-se a tabela de dados brutos (Tabela 1), ou o rol (Tabela 2) ou ainda a tabela de 
freqüências de dados não agrupados (Tabela 3), conta-se o número de ocorrências dentro de cada 
classe. Obtém-se, assim, a tabela abaixo: 
 
 
Tabela 7 - Distribuição de Freqüências de Dados Agrupados em Classes (I) 
 
Classes - Alturas (cm) fi 
50 |--- 63 1 
63 |--- 76 6 
 76 |--- 89 9 
 89 |--- 102 14 
102 |--- 115 8 
115 |--- 128 8 
128 |--- 141 4 
Total 50 
 
 
Ponto Médio de classe (PM) 
 O ponto médio ou valor médio de classe é o valor que a representa para efeito de cálculo de 
algumas medidas, tais como medidas de posição e de variabilidade. 
 O ponto médio é definido pela média aritmética dos limites do intervalo: 
 
 
2
is L LPM
+
= 
 
Ex: Pontos médios das classes relativas às medidas de altura, calculados na tabela seguinte. 
 
 
 
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23 
Tabela 8 - Distribuição de Freqüências de Dados Agrupados em Classes (II) 
Ponto Médio de Classe 
 
Classes - Alturas (cm) fi PM 
 50 |--- 62 1 (50 + 62) / 2 = 56 
 62 |--- 74 4 (62 + 74) / 2 = 68 
 74 |--- 86 6 (74 + 86) / 2 = 80 
 86 |--- 98 11 (86 + 98) / 2 = 92 
 98 |--- 110 11 (98 + 110) / 2 = 104 
 110 |--- 122 10 (110 + 122) / 2 = 116 
 122 |--- 134 5 (122 + 134) / 2 = 128 
 134 |--- 146 2 (134 + 146) / 2 = 140 
Total 50 
 
 
Obs: Poderíamos também ter calculado o PM da primeira classe e obter os PM das classes 
seguintes somando 12 (que é a amplitude de classe) sucessivamente, como abaixo: 
 
 
 +12 +12 +12 +12 +12 +12 +12 
 
 | | | | | | | | 
 56 68 80 92 104 116 128 140 
 
Tipos de Freqüências 
Uma tabela de freqüências pode representar um dos seguintes tipos de freqüências: 
 
 
Freqüências simples: Absoluta 
 Relativa (e Porcentual) 
 
 “Abaixo de” (crescente) Absoluta 
Freqüências acumuladas: Relativa (e Porcentual) 
 
 “Acima de” (decrescente) Absoluta 
 Relativa (e Porcentual) 
 
 
Freqüência Simples Absoluta (f i) 
Número de repetições de um valor individual ou de uma classe de valores da variável. 
 
 
 
Freqüência Simples Relativa (f ri) 
Proporção de observações de um valor individual ou de uma classe em relação ao número 
total de observações. 
 
N
f
f
f
f i
k
1j
j
i
ri ==
∑
=
 , N = ∑ fi 
 
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24 
Obs: A soma das freqüências simples relativas de uma tabela é sempre igual a 1. Isto é: 
 1f
k
1i
ri
====∑∑∑∑
====
 
 
 
Freqüência Simples Porcentual (f %i) 
 Desejando-se expressar o resultado (isto é, a freqüência relativa) em termos porcentuais, 
multiplica-se o quociente obtido por 100. Obtem-se, assim, a freqüência percentual: 
 
 f
f
N
%i
i= × 100 ou f%i = fri × 100 % 
 
Obs: A soma das freqüências percentuais de uma tabela é sempre igual a 100. Isto é: 
 f%i
i 1
k
=
∑ = 100% 
 
Ex: Freqüências relativas e percentuais das classes de medidas de altura, calculadas na tabela 
seguinte. 
 
Tabela 9 - Distribuição de Freqüências de Dados Agrupados em Classes (III) 
Freqüência Relativa e Freqüência Porcentual 
 
Classes - Alturas 
(cm) 
fi PM fr i f% i 
50 |--- 62 1 56 1/50 = 0,02 0,02 ⋅⋅⋅⋅ 100 = 2% 
62 |--- 74 4 68 4/50 = 0,08 0,08 ⋅⋅⋅⋅ 100 = 8% 
74 |--- 86 6 80 6/50 = 0,12 0,12 ⋅⋅⋅⋅ 100 = 12% 
86 |--- 98 11 92 11/50 = 0,22 0,22 ⋅⋅⋅⋅ 100 = 22%98 |--- 110 11 104 11/50 = 0,22 0,22 ⋅⋅⋅⋅ 100 = 22% 
110 |--- 122 10 116 10/50 = 0,20 0,20 ⋅⋅⋅⋅ 100 = 20% 
122 |--- 134 5 128 5/50 = 0,10 0,10 ⋅⋅⋅⋅ 100 = 10% 
134 |--- 146 2 140 2/50 = 0,04 0,04 ⋅⋅⋅⋅ 100 = 4% 
Total 50 1,00 100% 
 
Freqüência Absoluta Acumulada “Abaixo de” (fai) 
 
A freqüência absoluta acumulada “abaixo de” uma classe (ou um valor individual) é dada 
pela soma da freqüência simples absoluta dessa classe (ou desse valor) com as freqüências 
simples absolutas das classes (ou dos valores) anteriores a ela. 
 
Toda vez que se deseja saber quantas observações existem até uma determinada classe 
(ou valor) recorre-se à freqüência acumulada “abaixo de”. 
 
Ex: Freqüências acumuladas “abaixo de” para as classes de medidas de altura, calculadas na 
tabela seguinte. 
 
 
 
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25 
Tabela 10 - Distribuição de Freqüências de Dados Agrupados em Classes (IV) 
Freqüência Absoluta Acumulada “Abaixo de” 
 
Classes - Alturas 
(cm) 
fi PM fr i f% i f a i 
 50 |--- 62 1 56 0,02 2% 1 
 62 |--- 74 4 68 0,08 8% 1 + 4 = 5 
 74 |--- 86 6 80 0,12 12% 5 + 6 = 11 
 86 |--- 98 11 92 0,22 22% 11 + 11 = 22 
 98 |--- 110 11 104 0,22 22% 22 + 11 = 33 
110 |--- 122 10 116 0,20 20% 33 + 10 = 43 
122 |--- 134 5 128 0,10 10% 43 + 5 = 48 
134 |--- 146 2 140 0,04 4% 48 + 2 = 50 
Total 50 1,00 100% 
 Interpretação: fa3 = 11 significa que há 11 alunos com alturas inferiores a 86. 
 
Freqüência Relativa Acumulada “Abaixo de” (fari) 
 A freqüência relativa acumulada “abaixo de” uma classe (ou de valor individual) é igual à 
soma da freqüência simples relativa dessa classe com as freqüências simples relativas das 
classes (ou valores) anteriores. 
 
Freqüência Porcentual Acumulada “Abaixo de” (fa%i) 
 A freqüência acumulada porcentual “abaixo de” obtém-se multiplicando-se a freqüência 
relativa acumulada “abaixo de” por 100. Isto é: 
 fa%i = 100 × fari 
 
Ex: Freqüências acumuladas “abaixo de” relativas e percentuais para as classes de medidas de 
altura, calculadas na tabela seguinte. 
 
Tabela 11 - Distribuição de Freqüências de Dados Agrupados em Classes (V) 
Freqüência Relativa e Percentual Acumulada “Abaixo de” 
Classes - Alturas 
(cm) 
fi PM fr i f% i f a i f a r i f a % i 
 50 |--- 62 1 56 0,02 2% 1 1/50 = 0,02 0,02 ⋅⋅⋅⋅ 100 = 2% 
 62 |--- 74 4 68 0,08 8% 5 5/50 = 0,1 0,10 ⋅⋅⋅⋅ 100 = 10% 
 74 |--- 86 6 80 0,12 12% 11 11/50 = 0,22 0,22 ⋅⋅⋅⋅ 100 = 22% 
86 |--- 98 11 92 0,22 22% 22 22/50 = 0,44 0,44 ⋅⋅⋅⋅ 100 = 44% 
 98 |--- 110 11 104 0,22 22% 33 33/50 = 0,66 0,66 ⋅⋅⋅⋅ 100 = 66% 
110 |--- 122 10 116 0,20 20% 43 43/50 = 0,86 0,86 ⋅⋅⋅⋅ 100 = 86% 
122 |--- 134 5 128 0,10 10% 48 48/50 = 0,96 0,96 ⋅⋅⋅⋅ 100 = 96% 
134 |--- 146 2 140 0,04 4% 50 50/50 =1,00 1 ⋅⋅⋅⋅ 100 = 100% 
Total 50 1,00 100% 
 
Freqüência Absoluta Acumulada “Acima de” (f’ai) 
A freqüência absoluta acumulada “acima de” uma classe (ou um valor individual) é dada 
pela soma da freqüência simples absoluta dessa classe (ou desse valor) com as freqüências 
simples absolutas das classes (ou dos valores) posteriores a ela. 
 
Ex: Freqüências acumuladas “acima de” para as classes de medidas de altura, calculadas na 
tabela seguinte. 
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26 
Tabela 12 - Distribuição de Freqüências de Dados Agrupados em Classes (VI) 
Freqüência Absoluta “Acima de” 
Classes - Alturas 
(cm) 
fi PM fr i f% i f a i f a r i f a % i f’a 
 50 |--- 62 1 56 0,02 2% 1 0,02 2% 49 + 1 = 50 
 62 |--- 74 4 68 0,08 8% 5 0,1 10% 45 + 4 = 49 
 74 |--- 86 6 80 0,12 12% 11 0,22 22% 39 + 6 = 45 
 86 |---98 11 92 0,22 22% 22 0,44 44% 28 + 11 = 39 
 98 |--- 110 11 104 0,22 22% 33 0,66 66% 17 + 11 = 28 
 110 |---122 10 116 0,20 20% 43 0,86 86% 7 + 10 = 17 
 122 |--- 134 5 128 0,10 10% 48 0,96 96% 2 + 5 = 7 
 134 |--- 146 2 140 0,04 4% 50 1 100% 2 
Total 50 1,00 100% 
 
Freqüência Relativa Acumulada “Acima de” (f’ari) 
 A freqüência relativa acumulada “acima de” uma classe (ou valor individual) é igual à soma 
da freqüência simples relativa dessa classe com as freqüências simples relativas das classes (ou 
valores) anteriores. 
 
Freqüência Porcentual Acumulada “Acima de” (f’a%i) 
 A freqüência acumulada porcentual “acima de” é obtida multiplicando-se a freqüência 
relativa acumulada “acima de” por 100. Isto é: 
 f’a%i = 100 × f’ari 
 
Ex: Freqüências acumuladas “abaixo de” relativas e porcentuais para as classes de medidas de 
altura, calculadas na tabela seguinte. 
 
Tabela 13 - Distribuição de Freqüências de Dados Agrupados em Classes (VII) 
Freqüência Relativa e Porcentual Acumulada “Acima de” 
 
Classes - Alturas 
(cm) 
fi PM fr i f%i f a i f ari f a%i f’ai f’ar i f’a%i 
 50 |--- 62 1 56 0,02 2% 1 0,02 2% 50 50/50 =1 1 ⋅⋅⋅⋅100 = 100% 
 62 |--- 74 4 68 0,08 8% 5 0,1 10% 49 49/50 = 0,98 0,98 ⋅⋅⋅⋅100 = 98% 
 74 |--- 86 6 80 0,12 12% 11 0,22 22% 45 45/50 = 0,90 0,90 ⋅⋅⋅⋅100 = 90% 
 86 |--- 98 11 92 0,22 22% 22 0,44 44% 39 39/50 = 0,78 0,78 ⋅⋅⋅⋅100 = 78% 
 98 |--- 110 11 104 0,22 22% 33 0,66 66% 28 28/50 = 0,56 0,56 ⋅⋅⋅⋅100 = 56% 
 110 |--- 122 10 116 0,20 20% 43 0,86 86% 17 17/50 = 0,34 0,34 ⋅⋅⋅⋅100 = 34% 
 122 |--- 134 5 128 0,10 10% 48 0,96 96% 7 7/50 = 0,14 0,14 ⋅⋅⋅⋅100 = 14% 
 134 |--- 146 2 140 0,04 4% 50 1 100% 2 2/50 = 0,04 0,04 ⋅⋅⋅⋅100 = 4% 
Total 50 1,00 100% 
 
 
 
Questões: 
 Com relação à Tabela 13: 
 Qual a altura que representa a terceira classe? 
 Qual o número de alunos com altura entre 74 e 86 cm? 
 Qual o número de alunos com altura entre 62 e 98 cm? 
 Qual o número de alunos com altura abaixo de 110 cm? 
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27 
 Qual o número de alunos com altura acima de 110 cm? 
 Qual a porcentagem de alunos com altura entre 98 e 110 cm? 
 Qual a porcentagem de alunos com altura abaixo de 86 cm? 
 Qual a porcentagem de alunos com altura acima de 98 cm? 
 Qual o número de alunos com altura abaixo de 90 cm? 
 Qual a porcentagem de alunos com altura abaixo de 128 cm? 
 Qual a altura abaixo da qual há 43 pessoas? 
 Qual a altura abaixo da qual há 10% de pessoas? 
 Qual a altura abaixo da qual há 15 pessoas? 
 
 Exercícios: 
 
1. Os dados brutos abaixo representam o QI de 60 alunos: 
110 115 112 163 85 92 137 110 127 144 
123 87 103 121 163 77 135 147 160 120 
135 98 105 132 165 101 81 151 185 118 
152 84 110 70 177 128 105 87 163 125 
163 93 127 143 178 129 138 109 91 170 
172 98 118 154 181 133 142 155 113 97 
 
 a. Construa uma distribuição de freqüências que contenha PM, fi, f%, f%a e f’%a . 
 b. Com base na tabela construída no item anterior responda: 
1. Qual o QI que representa a quinta classe? 
2. Qual o número de alunos com QI na quarta classe? 
3. Qual o número de alunos com QI abaixo de 115? 
4. Qual o número de alunos com QI abaixo de 125? 
5. Qual a porcentagem de alunos com QI na sexta classe? 
6. Qual a porcentagem de alunos com QI abaixo de 160? 
7. Qual o número de alunos com QI acima de 144? 
8. Qual o QI abaixo do qual há 40 pessoas? 
 
2. Umprofessor de educação física obteve as alturas em metros de 60 alunos escolhidos 
aleatoriamente de um grupo de 600 alunos que fazem parte da escola. Os resultados são 
dados na tabela abaixo: 
1,55 1,56 1,58 1,60 1,60 1,60 1,60 1,62 1,63 1,65 
1,65 1,65 1,65 1,65 1,65 1,65 1,65 1,66 1,67 1,68 
1,68 1,68 1,68 1,68 1,68 1,68 1,68 1,68 1,68 1,69 
1,69 1,69 1,70 1,70 1,70 1,70 1,70 1,70 1,70 1,70 
1,70 1,70 1,72 1,72 1,72 1,72 1,73 1,75 1,75 1,75 
1,76 1,77 1,78 1,79 1,80 1,81 1,82 1,83 1,85 1,89 
 
 a. Os números listados na tabela acima se referem a uma população ou a uma amostra? 
 Justifique. 
 b. Identifique e classifique a variável do problema. 
 c. Com os dados de altura construa uma distribuição de freqüências contendo os valores de fi, 
 fa e f%ª 
 d. Com base na tabela construída responda: 
1. Quantos alunos têm altura na quinta classe? 
2. Quantos alunos têm altura abaixo de 1,67 m? 
3. Quantos alunos têm altura acima de 1,75 m? 
4. Qual a porcentagem de alunos com altura abaixo de 1,68 m? 
5. Qual a altura abaixo da qual há 30 pessoas? 
 
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28 
3. Os dados abaixo se referem aos salários em R$ por hora de todos os 40 empregados de 
uma pequena indústria. 
850 1820 750 1520 1200 
5200 2200 3500 4200 4800 
750 780 1100 1200 1100 
4500 4650 4900 3900 2000 
1200 1200 1050 920 1020 
3200 1800 1750 2300 850 
990 1050 890 850 920 
720 780 750 820 950 
a. Os números listados na tabela acima se referem a uma população ou a uma amostra? 
 Justifique. 
 b. Identifique e classifique a variável do problema. 
 c. Com os dados de salário construa uma distribuição de freqüências contendo os valores de 
 fi, fa e f%ª 
 
4. Preencher as seguintes tabelas: 
Quadro I: 
Classes fi f% f%a f’%a 
 0 |--- 10 1 
10 |--- 20 3 
20 |--- 30 6 
30 |--- 40 8 
40 |--- 50 10 
50 |--- 60 16 
60 |--- 70 14 
70 |--- 80 12 
80 |--- 90 8 
90 |--- 100 2 
 80 
 
Quadro II: 
Classes PM fi fa f’a fr f% fra 
1000 |--- 2000 1500 2 
2000 |--- 3000 2500 5 
3000 |--- 4000 3500 12 
4000 |--- 5000 4500 13 
5000 |--- 6000 5500 5 
6000 |--- 7000 6500 3 
 40 
Supondo que o Quadro I represente notas, responda: 
I-a. Quantos alunos têm nota abaixo de 33? 
I-b. Qual a porcentagem de alunos com nota acima de 78? 
I-c. Qual a nota abaixo da qual tem 10 pessoas? 
I-d. Qual a nota abaixo da qual tem 12 pessoas? 
I-e. Quantas pessoas têm nota acima de 47 e abaixo de 85? 
Supondo que o Quadro II represente salário em R$, responda: 
II-a. Quantas pessoas ganham menos de 4700? 
II-b. Qual a porcentagem de pessoas que ganham acima de 2250? 
II-c. Qual o salário abaixo do qual tem 25 pessoas? 
 
5. Construa uma tabela de freqüências para os dados abaixo sem agrupá-los em classes: 
 5, 5, 6, 7, 7, 7, 8, 8, 9, 10, 15, 15, 15, 15, 15. 
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Representações Gráficas 
 
 Além da apresentação tabular, uma outra maneira de se sumarizar e apresentar dados 
estatísticos é por meio de gráficos. 
A principal vantagem do uso de gráficos sobre o uso de tabelas é que os gráficos permitem 
uma visualização imediata dos valores observados, na sua totalidade. Soma-se a isso o caráter 
estético: trata-se de uma representação mais atraente, tendendo a chamar mais atenção sobre os 
dados. 
 Os princípios que norteiam a construção de gráficos foram introduzidos pelo matemático 
francês René Descartes em 1637, ao desenvolver a geometria analítica. 
 Representações gráficas em coordenadas cartesianas são feitas em um plano chamado 
plano cartesiano (em homenagem a Descartes). Este plano é representado por duas retas 
perpendiculares entre si, que o dividem em quatro quadrantes (ver Fig. 1). A reta horizontal, 
orientada para a direita, é chamada de eixo das abscissas e a vertical, orientada para cima, eixo 
das ordenadas. A orientação destas retas indica a direção em que os valores das abscissas e das 
ordenadas aumentam. Os valores das abscissas e das ordenadas são marcados a intervalos 
regulares em cada um dos eixos. O ponto de cruzamento entre os eixos é, em geral, tomado como 
sendo a origem de ambos os eixos. A qualquer par ordenado (x, y) associa-se um único ponto no 
plano cartesiano, com valor de abscissa x e valor de ordenada y. 
 y 
 
 (-1, +3) +3 
 20 quadrante 10 quadrante 
 +2 
 
 +1 (+2,+1) 
 
 
 -2 -1 0 +1 + 2 +3 x 
 (-2, -1) -1 
30 quadrante 40 quadrante 
 -2 (+2, -2) 
 
 
Fig. 1 - Plano Cartesiano 
 
 A representação gráfica das séries estatísticas tem por finalidade representar os 
resultados obtidos, permitindo chegar-se a conclusões sobre a evolução do fenômeno ou sobre 
como se relacionam os valores da série. Não há uma única maneira de representar graficamente 
uma série estatística. A escolha do gráfico mais apropriado ficará a critério do analista. Contudo, 
os elementos: simplicidade, clareza e veracidade devem ser considerados quando da elaboração 
de um gráfico. 
 Costuma-se representar no eixo das abscissas (variável x) a grandeza tempo e os valores 
observados no eixo das ordenadas (y). 
 
Gráfico para Distribuição com variável Discreta 
 
 Considerando o número de acidentes automotivos diários ocorridos em dezembro. 
 
 Nº de acidentes 0 1 2 3 4 5 
 freqüências (fi) 12 8 6 7 3 2 
 
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 Temos a seguinte representação gráfica: 
 fi 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Nº de acidentes 
 
 No gráfico, cada haste possui uma extremidade na categoria e outra na respectiva 
freqüência. 
 
Gráfico para Distribuição com Variável Contínua (gráficos analíticos) 
 
 Gráficos Analíticos são usados tipicamente para representação de distribuições de 
freqüências simples e acumuladas. São eles: 
• Histogramas: Utilizados para representação de freqüências simples; 
• Polígono de freqüências: Também utilizados para representação de freqüências simples; 
• Polígono de freqüências acumuladas ou Ogivas de Galton: Utilizados para representação 
de freqüências acumuladas. 
 
 I. Histograma 
 É a representação gráfica de uma distribuição de freqüência por meio de retângulos 
sucessivos e justapostos onde a base colocada no eixo das abscissas corresponde aos intervalos 
de classe e a altura é proporcional à freqüência absoluta das classes. 
 
 Ex: Tabela 3 
Classes de notas PM fi 
 0 |--- 10 5 1 
10 |--- 20 15 4 
20 |--- 30 25 6 
30 |--- 40 35 10 
40 |--- 50 45 15 
50 |--- 60 55 20 
60 |--- 70 65 8 
70 |--- 80 75 5 
80 |--- 90 85 2 
 90 |--- 100 95 1 
TOTAL 72