MEDIDAS DE DISPERS+ç+âO - RESUMO

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Estatística para os cursos de Engenharia, 
Administração e Áreas Econômicas. Eurípedes MACHADO Rodrigues 
1 
MEDIDAS DE DISPERSÃO 
 
 As medidas de dispersão servem para indicar o quanto os dados se dispersão em 
torno da região central, ou seja, determina o grau de variação ou variabilidade em um 
conjunto de dados. 
 As principais medidas de dispersão são: a amplitude, a variância, o desvio-
padrão e o coeficiente de variação. 
 
 1. Amplitude (R ou H) 
 
 A amplitude é a diferença entre o maior e o menor valor de um conjunto de 
dados. H = xmáx. – xmín. 
 
 Exemplo: Determine a amplitude dos valores (conjunto de dados): 
 3; 7; 5 ; 8 ; 9; 15; 11; 4; 13 
 H = xmáx. – xmín. = 15 – 3 = 12 H = 12 
 
 Por utilizar apenas dois dados do conjunto de dados, a amplitude não é 
adequada para valores com dispersões maiores, pois seu cálculo se torna “grosseiro” 
em relação à variação de uma distribuição. 
 
 NOTA: A amplitude é utilizada no controle de qualidade, pois as 
amostras não apresentam valores extremos muito diferentes. 
 
 2. Variância 
 
 A variância é uma mediada de dispersão dos valores de uma variável em 
torno de sua média. 
 
 Para calcular a variância recorremos as seguintes fórmulas: 
 2.1. Para amostras: 
 
Variância Amostral (s2) 
 
 
 
 
 
 
 2.2. Para populações: 
 
Variância Populacional (σσσσ2) 
 
 
 
 
 
 
 NOTA: A diferença (xi – x ) recebe o nome de Desvio e pode ser 
representada por Di = (xi – x ) 
Dados isolados Dados agrupados 
1n
)xx(
s
n
1i
2
i
2
−
−
=
∑
= 
1n
f .)xx(
s
i
n
1i
2
i
2
−
−
=
∑
= 
Dados isolados Dados agrupados 
n
)xx(
n
1i
2
i
2
∑
=
−
=σ 
n
f .)xx( i
n
1i
2
i
2
∑
=
−
=σ 
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Administração e Áreas Econômicas. Eurípedes MACHADO Rodrigues 
2 
 3. Desvio-padrão 
 
 O desvio-padrão é a raiz quadrada positiva da variância. 
 
 Para calcular a variância recorremos as seguintes fórmulas: 
 3.1. Para amostras: 
 
Desvio-padrão Amostral (s) 
 
 
 
 
 
 
 
 3.2. Para populações: 
 
Desvio-padrão Populacional (σσσσ) 
 
 
 
 
 
 
 
 4. Coeficiente de variação ou Variabilidade 
 O coeficiente de variação (CV) é o quociente entre o desvio-padrão e a média 
 
 x 
s
CV = , para amostras e 
 x 
CV
σ
= , para populações. 
 OBS.: CV sempre é dado em porcentagem. 
 
EXEMPLOS 
 
 Exemplo 1: Determinar a variância, o desvio-padrão e o coeficiente de 
variação do conjunto de dados amostrais: 2; 4; 7; 9; 11 e 15. 
 
 xi Di = xi – x (xi – x )2 
 2 2 – 8 = – 6 36 
 4 4 – 8 = – 4 16 
 7 7 – 8 = – 1 1 
 9 9 – 8 = 1 1 
 11 11 – 8 = 3 9 
 15 15 – 8 = 7 49 
ΣΣΣΣ 48 ---- 112 
 
 III) Cálculo do desvio-padrão: s = 4,22 ≅ 4,7 
 IV) Cálculo do coeficiente de variação: 
 x 
s
CV = = 
8
7,4
 = 0,5875 = 58,75% 
Dados isolados Dados agrupados 
1n
)xx(
s
n
1i
2
i
−
−
=
∑
= 
1n
f .)xx(
s
i
n
1i
2
i
−
−
=
∑
= 
Dados isolados Dados agrupados 
n
)xx(
n
1i
2
i∑
=
−
=σ 
n
f .)xx( i
n
1i
2
i∑
=
−
=σ 
I) Cálculo da média: 
6
15119742
x
+++++
= = 8 
II) Cálculo da variância: 
 =
−
=
−
−
=
∑
16
112
1n
)xx(
s
2
i2 22,4 
 
n = 6 
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3 
 Exemplo 2: Determine a variância, o desvio-padrão e o coeficiente de 
variação para a distribuição amostral: 
 
xi fi xi . fi xi –x (xi – x )2. fi 
5 1 5 5 – 9 = – 4 (– 4)2.1 = 16 
6 2 12 6 – 9 = – 3 (– 3)2.2 = 18 
7 2 14 7 – 9 = – 2 (– 2)2.2 = 8 
8 3 24 8 – 9 = – 1 (– 1)2.3 = 3 
10 7 70 10 – 9 = 1 12.7 = 7 
11 5 55 11 – 9 = 2 22.5 = 20 
ΣΣΣΣ 20 180 --- 72 
 I) cálculo da média: 
n
f . x
x
ii∑
= = 
20
180
 x = 9 
 II) cálculo da variância: =
−
=
−
−
=
∑
120
72
1n
f .)xx(
s
i
2
i2 
19
72
 ≅ 3,79 
 III) cálculo do desvio-padrão: s = 79,3 ≅ 1,95 
 IV) cálculo do coeficiente de variação: 
 x 
s
CV = = 
9
95,1
 ≅ 0,2163 ≅ 21,63% 
 
 Exemplo 3: Determinar a variância, o desvio-padrão e o coeficiente de 
variação para a distribuição amostral: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 I) cálculo da média: 
 
 
 
 
 Nota: quando xi não é dado, toma-se para seu valor o PMi, ou seja, xi = PMi. 
O PMi pode ser representado simplesmente por PM. 
 II) Cálculo da variância: =
−
=
−
−
=
∑
140
4,196
1n
f .)xx(
s
i
2
i2 
39
4,196
= 5,0359 ≅ 5,04 
 III) Cálculo do desvio-padrão: s = 04,5 ≅ 2,24 
 IV) Cálculo do coeficiente de variação: 
 x 
s
CV = = 
7,6
24,12
 ≅ 0,3349 ≅ 33,49% 
 
 Nos 3 exemplos vistos anteriormente se considerarmos as distribuições dadas 
como sendo distribuições populacionais, teríamos os seguintes resultados: 
Classes PMi = xi fi PMi . fi xi –x (xi – x )2. fi 
 2|--- 4 3 5 15 − 3,7 (− 3,7)2.5 = 68,45 
 4|--- 6 5 10 50 − 1,7 (−1,7)2.10 = 28,9 
 6|--- 8 7 14 98 0,3 (0,3)2.14 = 1,26 
 8|--- 10 9 8 72 2,3 2,32. 8 = 42,32 
10|--- 12 11 3 33 4,3 4,32. 3 = 55,47 
∑∑∑∑ 40 268 --- 196,4 
7,6x
40
268
n
f . PM
x
n
1i
ii
=⇒==
∑
= 
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4 
 I) Para as variâncias: 
 No Exemplo 1: 
n
)xx(
n
1i
2
i
2
∑
=
−
=σ = 
6
112
 = 18,6666 ≅≅≅≅ 18,67 
 No Exemplo 2: 
n
f.)xx( i
n
1i
2
i
2
∑
=
−
=σ = 
20
72
 = 3,6 
 No Exemplo 3: 
n
f.)xx( i
n
1i
2
i
2
∑
=
−
=σ = 
40
4,196
= 4,91 
 II) Para os desvio-padrão: 
 No Exemplo 1: 67,18 =σ ≅ 4,32 
 No Exemplo 2: 6,3 =σ ≅ 1,90 
 No Exemplo 3: 91,4 =σ ≅ 2,22 
 
 III) Para os coeficientes de variação: 
 No Exemplo 1: 
 x 
CV
σ
= = 
8
32,4
 = 0,54 = 54% 
 No Exemplo 2: 
 x 
CV
σ
= = 
9
90,1
 ≅ 0,2111 ≅ 21,11% 
 No Exemplo 3: 
 x 
CV
σ
= = 
7,6
22,2
 ≅ 0,3313 ≅ 33,13% 
 
 
 Exemplo 4: Num teste de Conhecimentos Gerais, a média das questões 
certas foi 57,5 e o desvio-padrão 5,98. Determine a Variabilidade relativa dessa 
classe. 
 Solução: 
 
 x 
s
CV = = 
5,57
98,5
 = 0,104 = 10,4% 
 
 
EXERCÍCIOS 
 
1. Calcular a média, a variância, o desvio-padrão e o coeficiente de variação para a 
seguinte distribuição amostral: 
 
xi 2 4 7 3 1 
fi 1 1 41 3 
 
 
2. Determine a média, a variância, o desvio-padrão e o coeficiente de variação da 
seguinte distribuição amostral: 
 
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5 
Classes PM = xi fi 
02 |--- 04 2 
04 |--- 06 4 
06 |--- 08 7 
08 |--- 10 4 
10 |--- 12 3 
 Total 
 
3. Determinar a média, a variância, o desvio-padrão e o coeficiente de variação da 
seguinte distribuição populacional: 
 
Classes PM = xi fi 
0 |--- 2 10 
2 |--- 4 7 
4 |--- 6 17 
6 |--- 8 5 
8 |--- 10 11 
 Total 
 
 
4. A seguir são dadas as alturas (em cm) de 8 atletas. Determine o coeficiente de 
variação. 
 
178 180 192 180 190 179 180 191 
 
5. O gerente de uma loja de equipamentos eletrônicos pesquisou o preço de um 
determinado equipamento em 12 fabricantes obtendo-se os seguintes valores 
unitários em reais: 
 
120 110 100 98 125 115 95 98 110 120 112 120 
 Determine: 
a) O preço médio do equipamento; 
b) A variância do equipamento; 
c) O desvio-padrão do equipamento; 
d) O coeficiente de variação do equipamento. 
 
6. Calcular a média e o desvio-padrão para a seguinte distribuição de freqüências 
agrupadas de notas de exames de Estatística em uma turma de 25 estudantes. 
 
 Intervalos 
de Classes 
Número de 
Estudantes 
4 ⊢ 5 5 
5 ⊢ 6 8 
6 ⊢ 7 4 
7 ⊢ 8 1 
8 ⊢ 9 5 
 9 ⊢10 2 
Σ 
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6 
 
7. A tabela a seguir mostra o consumo mensal de água (em m3) de uma residência. 
 
jan fev mar abr mai jun jul ago set out nov dez 
25 30 35 20 32 40 35 20 32 36 48 20 
 Determine: 
a) A média de consumo mensal em m3; 
b) O coeficiente de variação. 
 
8. Em uma clínica endocrinológica foi observado o nível de colesterol, em mg/dl 
(miligramas por decilitro de sangue) de 10 pacientes, conforme tabela abaixo: 
 
154 215 170 200 180 186 150 160 165 180 
 Pede-se: 
a) O desvio-padrão; 
b) O coeficiente de variação. 
 
9. Na tabela de distribuição de freqüências a seguir estão apresentadas as 
espessuras (em mm) de 40 chapas de aço. Determine: 
a) O desvio-padrão da espessura das chapas; 
b) O coeficiente de variação. 
 
 10. A tabela abaixo apresenta as alturas (em cm) dos alunos de uma determinada 
sala de aula, determine a variância e o desvio-padrão dessa turma. 
 
Alturas 
(cm) 
xi 
Número 
de alunos 
fi 
155 5 
156 3 
158 5 
160 8 
162 5 
164 8 
168 4 
170 2 
Total