Formalização: Lógica Proposicional

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Formalização: Lógica 
Proposicional
 
Lógica Formal
 Até agora estudamos a Lógica de 
maneira informal. 
 A Lógica formal é o estudo de formas de 
argumento, isto é, regras de raciocínio 
comum em vários argumentos.
 
Formas de Argumento 
Exemplos:
1. . Hoje é segunda-feira ou sexta-feira.
 . Hoje não é segunda-feira. 
  Hoje é sexta-feira.
2. . Rembrandt pintou a Mona Lisa ou Michelângelo 
 a pintou.
 . Não foi Rembrandt quem a pintou.
  Michelângelo pintou a Mona Lisa.
3. . Ele é menor de 18 anos ou é um irresponsável.
 . Ele não é menor de 18 anos.
  Ele é um irresponsável.
 
Formas de Argumento
 Os 3 argumentos são da seguinte forma: 
. P ou Q
. Não é o caso que é P
 Q
 As letras P e Q representam sentenças 
declarativas: (símbolos sentenciais).
P pode representar: Hoje é segunda-feira.
Q pode representar: Hoje é sexta-feira.
 
Formas de Argumento
 Com essa representação para P e Q, 
simbolizamos o argumento 1 do exemplo.
 Os argumentos 1, 2 e 3 são variantes 
gramaticais ou instâncias dessa mesma 
forma.
 Esta forma de argumento (ou regra) é 
conhecida como silogismo disjuntivo. 
 
Formas de Argumento
 A lógica trata de formas de argumentos que 
consistem de letras sentenciais combinadas 
com as expressões:
 Não é o caso que negação
 E conjunção
 Ou disjunção
 Se ... Então condicional
 Se e somente se bicondicional
 Essas expressões são chamadas de 
operadores ou conectivos lógicos.
 
Formas de Argumento
Conectivo Não é o caso que
 Essa expressão prefixa uma sentença para 
formar uma nova sentença, a negação da 
primeira.
Exemplo: ‘Não é o caso que ele é fumante‘ 
 é a negação da sentença 
 ‘Ele é fumante'.
 Variações gramaticais dessa negação: 
´Ele é não-fumante’, 
´Ele não é fumante’ 
´Ele não fuma’.
 
Formas de Argumento
Conectivo E
 Uma composição constituindo-se de duas 
sentenças ligadas por 'e' chama-se 
conjunção.
Exemplo: Chove e faz calor
 A conjunção também pode ser expressa por 
palavras como: 'mas', 'todavia', 'embora', 
'contudo', ...
Chove mas faz calor
 
Formas de Argumento
Conectivo Ou
 Um enunciado composto consistindo 
de duas sentenças ligadas por 'ou' 
chama-se disjunção.
 Exemplo: Chove ou faz calor
 
Formas de Argumento
Conectivo Se ... então
 Enunciados do tipo se... então ... chamam-se 
condicionais.
 O enunciado que se segue o 'se' chama-se 
de antecedente e o posterior ao 'então' 
chama-se de consequente.
 Forma do condicional:
Se antecedente então consequente
Ex: Se sinto frio então visto o casaco 
 
Formas de Argumento
Conectivo Se ... então
 Se antecedente então consequente
 O antecedente é condição suficiente para 
ocorrência do consequente
 O consequente é condição necessária para 
ocorrência do antecedente
 Se o antecedente for verdadeiro, o 
consequente também tem, 
necessariamente que ser verdadeiro
 
Formas de Argumento
Conectivo Se ... então
 Exemplo: 
 Se é Juiz então é advogado e aprovado na OAB
 o fato de ser juiz é suficiente para ser advogado
 para alguém ser juiz é necessário que seja 
advogado e aprovado na OAB, mas não são 
suficientes 
 Além dessas condições, também é necessário ter 
dois anos de experiência e ser aprovado em 
concurso 
 As quatro condições são necessárias para ser juiz. 
Neste caso, as 4 condições são suficientes para ser 
um juiz.
 
Formas de Argumento
Conectivo Se ... então
Exemplo: Que condições são necessárias 
para um aluno ser aprovado em lógica?
 Se o aluno foi aprovado então 
assistiu aula,
estudou,
fez muitos exercícios de lógica,
teve um bom método de estudo
 ...
 
Formas de Argumento
Conectivo Se ... então
 Exemplo:
Se tem fumaça tem fogo 
 ou
O fogo é uma condição necessária para a fumaça
 Exemplo:
Se chover então molha a rua
 é suficiente chover para você deduzir que a rua 
fica molhada 
 o fato da rua ficar molhada não garante que 
choveu 
 
Formas de Argumento
Conectivo Se ... então
 Uma proposição condicional também 
pode ser expressa na ordem inversa.
 
Visto o casaco se sentir frio
 é equivalente a
Se sentir frio, visto o casaco
Se sentir frio então visto o casaco
 
Formas de Argumento
Conectivo Se ... então
 Variações gramaticais da condicional: 
 Se P então Q
 P implica em Q; P, logo Q
 P só se Q; P somente se Q 
 P apenas se Q; P só quando Q
 Q se P ; Q segue de P 
 P é condição suficiente para Q
 Q é condição necessária para P
 
Formas de Argumento
Conectivo Se e somente se
 Os enunciados formados com a expressão 
...se e somente se... são chamados 
bicondicionais.
Exemplo: 
T é um triângulo se e somente se T é um 
polígono de três lados
 
Formas de Argumento
Conectivo Se e somente se
 Um bicondicional pode ser considerado uma 
conjunção de dois condicionais:
 1. P se e somente se Q
 2. P se Q e P somente se Q
 3. Se Q então P e P somente se Q
 4. Se Q então P e Se P então Q
 que equivale a: 
 5. Se P então Q e Se Q então P
 
Lógica Proposicional: 
Formalização
 Para facilitar o reconhecimento e comparação 
de formas de argumento, especifica-se uma 
linguagem, a partir da qual o conhecimento é 
representado.
 O processo de definição da linguagem da 
lógica proposicional é semelhante a de outras 
linguagems, por exemplo, a língua portuguesa
 Alfabeto, palavras, frases
 Sintaxe + Semântica
 
Lógica Proposicional: Alfabeto
 Símbolos de pontuação
 ( e )
 Símbolos de verdade: true, false
 Símbolos proposicionais: P, Q, R, S, P1, Q1, R1, S1, P2, 
Q2,...
 Conectivos proposicionais:
 Não é o caso que: ~ ou ┐
 E: ^ ou &
 Ou: v
 Se ... então: 
 Se e somente se: 
 
Lógica Proposicional: Fórmulas
 Fórmulas estão para a Lógica 
Proposicional assim como palavras estão 
para uma linguagem natural
 Fórmulas bem formadas (wff – do inglês 
well formed formula) são construídas a 
partir do alfabeto da lógica proposicional, 
conforme regras a seguir:
 
Lógica Proposicional: Fórmulas
 Todo símbolo de verdade é uma wff
 Todo símbolo proposicional é uma wff
 Se Φ é uma wff, então (~Φ) também o é.
 Se Φ e Ψ são wff, então 
(Φ &Ψ), (Φ v Ψ), (Φ Ψ), (Φ Ψ) também 
o são.
Fórmulas atômicas
 
Exercícios:
1) Quais das expressões seguintes são 
fórmulas bem formadas (wff's) e 
quais não são:
a) ~~~R
b) (~R)
c) PQ
d) ~(PQ)
e) ~(~P ^ ~Q)
 
Ordem de precedência
 Para simplificar a escrita das fórmulas, 
pode-se aceitar a omissão de símbolos 
de pontuação quando não há 
problemas sobre a interpretação das 
fórmulas
 Exemplo: ~P  Q
 Não é ambígua, pois há uma ordem de 
precedência definida
 
Ordem de precedência (2)
 maior precedência: ~
 precedência intermediária: , 
 menor precedência: ^, v
Se fizermos uma analogia com a aritmética, o ~ teria a precedência 
do sinal de negativo; os símbolos ,  teriam a precedência da 
multiplicação e divisão; e ^, v teriam a precedência da adição e 
subtração.
● -2+3*4/2 = ((-2)+((3*4)/2))
● ~AvBQW = ((~A) v ((BQ)W))
 
Tamanho de uma fórmula
 Tamanho de uma fórmula A
 |A|
 |p| = 1 para toda fórmula atômica p
 |~A| = 1 + |A|
 |A ° B| = 1 + |A| + |B|
 Para ° ∈ {^, v, , }
 
Exercício
 Calcule o tamanho da fórmula
 (p v ~q) → (r ^ ~q)
 
Formas de Argumento
 Formalização
 Com o alfabeto, o Silogismo Disjuntivo pode ser 
representado (simbolizado) na Forma Padrão:
. P v Q
. ~P
 Q
Ou
{ P v Q , ~P} Q├
 
Formas de ArgumentoFormalização
{ P v Q , ~P} Q├
 O traço de asserção (afirmação), ,├
significa dizer que Q é deduzido 
(provado) apenas dos enunciados 
(premissas) P v Q e ~P.
 
Formas de Argumento
 Formalização
 A linguagem consistindo do alfabeto, 
fórmulas juntamente com a sua 
interpretação, chama-se a Lógica 
Proposicional ou Cálculo Proposicional.
 A palavra Cálculo é empregada no sentido 
de avaliação ou raciocínio e não no sentido 
de diferenciação ou integração
 O objetivo fundamental do Cálculo/Lógica é 
provar a validade de certas formas de 
argumento.
 
Formas de Argumento
 Formalização
 Uma forma de argumento é válida se todas 
as suas instâncias são válidas.
 Uma forma de argumento é inválida se pelo 
menos uma de suas instâncias é inválida.
 Uma instância de uma forma de argumento 
(um argumento particular) é válida somente 
quando é impossível que a sua conclusão 
seja falsa enquanto suas premissas são 
verdadeiras. Caso contrário ela é inválida.
 
Formas de Argumento
 Formalização
 Mesmo para uma forma de argumento válida, 
nem todas as instâncias são corretas. 
Exemplo: 
O argumento da Mona Lisa (exemplo 2) tem a 
forma válida mas é incorreto
‘ Rembrandt pintou a Mona Lisa ou Michelângelo a 
pintou’ é uma premissa Falsa.
 O Silogismo disjuntivo é uma forma de 
argumento válida, pois para qualquer instância 
ocorre que: se as premissas forem 
verdadeiras, a conclusão será verdadeira. 
 
Formas de Argumento
 Formalização
 Observe a seguinte forma de argumento:
 . Se P então Q.
 . Q.
 P
Ou: {P Q, Q} |-- P
 Essa forma é inválida, pois a seguinte instância é 
notoriamente inválida:
Se você está dançando na Lua então você está 
vivo.
Você está vivo.
Você está dançando na Lua.
 
Formas de Argumento
 Formalização
 Exemplo de formalização: Simbolize o 
argumento que segue e o represente na 
Forma Padrão.
A proposta de auxílio está no correio. Se os 
árbitros a receberem até sexta-feira, eles a 
analisarão. Portanto, eles a analisarão 
porque se a proposta estiver no correio, eles 
a receberão até sexta-feira. (C, S, A)
 
Solução:
 A proposta de auxílio está no correio. Se os 
árbitros a receberem até sexta-feira, eles a 
analisarão. Portanto, eles a analisarão 
porque se a proposta estiver no correio, eles 
a receberão até sexta-feira. 
C: A proposta de auxílio está no correio.
S: Os árbitros recebem a proposta até Sexta-feira.
A: Os árbitros analisarão a proposta.
. C
. SA
. CS {C, SA, CS} |-- A
□ A
 
Formas de Argumento
1[A proposta de auxílio está no correio]. 2[Se os 
árbitros a receberem até sexta-feira, eles a 
analisarão]. Portanto, 3[eles a analisarão] 
porque 4[se a proposta estiver no correio, eles a 
receberão até sexta-feira].
 1 + 2 + 4
 3
 A Forma Padrão representa a estrutura do 
argumento.
 
Exercício:
 Formalize os seguintes argumentos usando as 
letras sentenciais indicadas. Utilize os indicadores 
de inferência para facilitar.
a) Se Deus existe, então a vida tem significado. 
Deus existe. Portanto, a vida tem significado. 
(P,Q) 
c) Como hoje não é Quinta-feira, deve ser Sexta-
feira. Hoje é Quinta-feira ou Sexta-feira. (Q,S)
d) Hoje é um fim de semana se somente se hoje é 
Sábado ou Domingo. Portanto, hoje é um fim de 
semana, desde que hoje é Sábado. (F,S,D)
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