Formalização: Lógica Proposicional
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Formalização: Lógica Proposicional


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Formalização: Lógica 
Proposicional
 
Lógica Formal
\uf06e Até agora estudamos a Lógica de 
maneira informal. 
\uf06e A Lógica formal é o estudo de formas de 
argumento, isto é, regras de raciocínio 
comum em vários argumentos.
 
Formas de Argumento 
Exemplos:
1. . Hoje é segunda-feira ou sexta-feira.
 . Hoje não é segunda-feira. 
 \uf05c Hoje é sexta-feira.
2. . Rembrandt pintou a Mona Lisa ou Michelângelo 
 a pintou.
 . Não foi Rembrandt quem a pintou.
 \uf05c Michelângelo pintou a Mona Lisa.
3. . Ele é menor de 18 anos ou é um irresponsável.
 . Ele não é menor de 18 anos.
 \uf05c Ele é um irresponsável.
 
Formas de Argumento
\uf06e Os 3 argumentos são da seguinte forma: 
. P ou Q
. Não é o caso que é P
\uf05c Q
\uf06e As letras P e Q representam sentenças 
declarativas: (símbolos sentenciais).
P pode representar: Hoje é segunda-feira.
Q pode representar: Hoje é sexta-feira.
 
Formas de Argumento
\uf06e Com essa representação para P e Q, 
simbolizamos o argumento 1 do exemplo.
\uf06e Os argumentos 1, 2 e 3 são variantes 
gramaticais ou instâncias dessa mesma 
forma.
\uf06e Esta forma de argumento (ou regra) é 
conhecida como silogismo disjuntivo. 
 
Formas de Argumento
\uf06e A lógica trata de formas de argumentos que 
consistem de letras sentenciais combinadas 
com as expressões:
\uf06e Não é o caso que negação
\uf06e E conjunção
\uf06e Ou disjunção
\uf06e Se ... Então condicional
\uf06e Se e somente se bicondicional
\uf06e Essas expressões são chamadas de 
operadores ou conectivos lógicos.
 
Formas de Argumento
Conectivo Não é o caso que
\uf06e Essa expressão prefixa uma sentença para 
formar uma nova sentença, a negação da 
primeira.
Exemplo: \u2018Não é o caso que ele é fumante\u2018 
 é a negação da sentença 
 \u2018Ele é fumante'.
\uf06e Variações gramaticais dessa negação: 
´Ele é não-fumante\u2019, 
´Ele não é fumante\u2019 
´Ele não fuma\u2019.
 
Formas de Argumento
Conectivo E
\uf06e Uma composição constituindo-se de duas 
sentenças ligadas por 'e' chama-se 
conjunção.
Exemplo: Chove e faz calor
\uf06e A conjunção também pode ser expressa por 
palavras como: 'mas', 'todavia', 'embora', 
'contudo', ...
Chove mas faz calor
 
Formas de Argumento
Conectivo Ou
\uf06e Um enunciado composto consistindo 
de duas sentenças ligadas por 'ou' 
chama-se disjunção.
 Exemplo: Chove ou faz calor
 
Formas de Argumento
Conectivo Se ... então
\uf06e Enunciados do tipo se... então ... chamam-se 
condicionais.
\uf06e O enunciado que se segue o 'se' chama-se 
de antecedente e o posterior ao 'então' 
chama-se de consequente.
\uf06e Forma do condicional:
Se antecedente então consequente
Ex: Se sinto frio então visto o casaco 
 
Formas de Argumento
Conectivo Se ... então
\uf06e Se antecedente então consequente
\uf06e O antecedente é condição suficiente para 
ocorrência do consequente
\uf06e O consequente é condição necessária para 
ocorrência do antecedente
\uf06e Se o antecedente for verdadeiro, o 
consequente também tem, 
necessariamente que ser verdadeiro
 
Formas de Argumento
Conectivo Se ... então
\uf06e Exemplo: 
\uf06e Se é Juiz então é advogado e aprovado na OAB
\uf06e o fato de ser juiz é suficiente para ser advogado
\uf06e para alguém ser juiz é necessário que seja 
advogado e aprovado na OAB, mas não são 
suficientes 
\uf06e Além dessas condições, também é necessário ter 
dois anos de experiência e ser aprovado em 
concurso 
\uf06e As quatro condições são necessárias para ser juiz. 
Neste caso, as 4 condições são suficientes para ser 
um juiz.
 
Formas de Argumento
Conectivo Se ... então
Exemplo: Que condições são necessárias 
para um aluno ser aprovado em lógica?
\uf06e Se o aluno foi aprovado então 
assistiu aula,
estudou,
fez muitos exercícios de lógica,
teve um bom método de estudo
 ...
 
Formas de Argumento
Conectivo Se ... então
\uf06e Exemplo:
Se tem fumaça tem fogo 
 ou
O fogo é uma condição necessária para a fumaça
\uf06e Exemplo:
Se chover então molha a rua
\uf06e é suficiente chover para você deduzir que a rua 
fica molhada 
\uf06e o fato da rua ficar molhada não garante que 
choveu 
 
Formas de Argumento
Conectivo Se ... então
\uf06e Uma proposição condicional também 
pode ser expressa na ordem inversa.
 
Visto o casaco se sentir frio
 é equivalente a
Se sentir frio, visto o casaco
Se sentir frio então visto o casaco
 
Formas de Argumento
Conectivo Se ... então
\uf06e Variações gramaticais da condicional: 
\uf06e Se P então Q
\uf06e P implica em Q; P, logo Q
\uf06e P só se Q; P somente se Q 
\uf06e P apenas se Q; P só quando Q
\uf06e Q se P ; Q segue de P 
\uf06e P é condição suficiente para Q
\uf06e Q é condição necessária para P
 
Formas de Argumento
Conectivo Se e somente se
\uf06e Os enunciados formados com a expressão 
...se e somente se... são chamados 
bicondicionais.
Exemplo: 
T é um triângulo se e somente se T é um 
polígono de três lados
 
Formas de Argumento
Conectivo Se e somente se
\uf06e Um bicondicional pode ser considerado uma 
conjunção de dois condicionais:
\uf06e 1. P se e somente se Q
\uf06e 2. P se Q e P somente se Q
\uf06e 3. Se Q então P e P somente se Q
\uf06e 4. Se Q então P e Se P então Q
 que equivale a: 
\uf06e 5. Se P então Q e Se Q então P
 
Lógica Proposicional: 
Formalização
\uf06e Para facilitar o reconhecimento e comparação 
de formas de argumento, especifica-se uma 
linguagem, a partir da qual o conhecimento é 
representado.
\uf06e O processo de definição da linguagem da 
lógica proposicional é semelhante a de outras 
linguagems, por exemplo, a língua portuguesa
\uf06e Alfabeto, palavras, frases
\uf06e Sintaxe + Semântica
 
Lógica Proposicional: Alfabeto
\uf06e Símbolos de pontuação
\uf06e ( e )
\uf06e Símbolos de verdade: true, false
\uf06e Símbolos proposicionais: P, Q, R, S, P1, Q1, R1, S1, P2, 
Q2,...
\uf06e Conectivos proposicionais:
\uf06e Não é o caso que: ~ ou \u2510
\uf06e E: ^ ou &
\uf06e Ou: v
\uf06e Se ... então: \uf0ae
\uf06e Se e somente se: \uf0ab
 
Lógica Proposicional: Fórmulas
\uf06e Fórmulas estão para a Lógica 
Proposicional assim como palavras estão 
para uma linguagem natural
\uf06e Fórmulas bem formadas (wff \u2013 do inglês 
well formed formula) são construídas a 
partir do alfabeto da lógica proposicional, 
conforme regras a seguir:
 
Lógica Proposicional: Fórmulas
\uf06e Todo símbolo de verdade é uma wff
\uf06e Todo símbolo proposicional é uma wff
\uf06e Se \u3a6 é uma wff, então (~\u3a6) também o é.
\uf06e Se \u3a6 e \u3a8 são wff, então 
(\u3a6 &\u3a8), (\u3a6 v \u3a8), (\u3a6 \uf0ae\u3a8), (\u3a6 \uf0ab\u3a8) também 
o são.
Fórmulas atômicas
 
Exercícios:
1) Quais das expressões seguintes são 
fórmulas bem formadas (wff's) e 
quais não são:
a) ~~~R
b) (~R)
c) PQ
d) ~(P\uf0e0Q)
e) ~(~P ^ ~Q)
 
Ordem de precedência
\uf06e Para simplificar a escrita das fórmulas, 
pode-se aceitar a omissão de símbolos 
de pontuação quando não há 
problemas sobre a interpretação das 
fórmulas
\uf06e Exemplo: ~P \uf0e0 Q
\uf06e Não é ambígua, pois há uma ordem de 
precedência definida
 
Ordem de precedência (2)
\uf06e maior precedência: ~
\uf06e precedência intermediária: \uf0ae, \uf0ab
\uf06e menor precedência: ^, v
Se fizermos uma analogia com a aritmética, o ~ teria a precedência 
do sinal de negativo; os símbolos \uf0ae, \uf0ab teriam a precedência da 
multiplicação e divisão; e ^, v teriam a precedência da adição e 
subtração.
\u25cf -2+3*4/2 = ((-2)+((3*4)/2))
\u25cf ~AvB\uf0aeQ\uf0abW = ((~A) v ((B\uf0aeQ)\uf0abW))
 
Tamanho de uma fórmula
\uf06e Tamanho de uma fórmula A
\uf06e |A|
\uf06e |p| = 1 para toda fórmula atômica p
\uf06e |~A| = 1 + |A|
\uf06e |A ° B| = 1 + |A| + |B|
\uf06e Para ° \u2208 {^, v, \uf0ae, \uf0ab}
 
Exercício
\uf06e Calcule o tamanho da fórmula
\uf06e (p v ~q) \u2192 (r ^ ~q)
 
Formas de Argumento
 Formalização
\uf06e Com o alfabeto, o Silogismo Disjuntivo pode ser 
representado (simbolizado) na Forma Padrão:
. P v Q
. ~P
\uf05c Q
Ou
{ P v Q , ~P} Q\u251c
 
Formas de Argumento