LISTA DE CÁLCULO DIFERENCIAL 2

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1 
UNIVERSIDADE FEDERAL DO MARANHÃO 
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA 
4ª LISTA DE CÁLCULO II - FI 
Profª Valeska Martins 
 
1. Calcule, se existirem, os seguintes limites: 
 
a)  
4
32ln
lim
22 

 x
x
x
 b) 
 
 bx
ax
x cos1
cos1
lim
0 


 
c) 
1
1
lim
3/2
3/1
1 

 x
x
x
 d) 
 20 1ln
cos1
lim
x
x
x 


 
e) 
x
e xx
x


10
lim
0
 f)  
 xsen
e x
x 
1ln
lim
1


 
g) 
30
lim
x
senxx
x


 h) 
4
2
0
cos22
lim
x
xx
x


 
i)  
x
senx
x cos
ln
lim
2/
 j) 
1
cos
lim
1  x
xarc
x
 
k) 
x
x
x 0
lim
 l) 
3
1
lim
1 

 x
x
x
 
m) 
1
1
lim
2
1 

 x
x
x
 n) 
2
23
lim
2
2 

 x
xx
x
 
o) 
2
23
lim
2
2 

 x
xx
x
 p) 
18
12
lim
31 

 x
x
x
 
q) 
1
1
lim
2 

 x
x
x
 r) 
352
32
lim
2
2


 xx
xx
x
 
s) 
572
1
lim
21 

 xx
x
x
 t) 
572
1
lim
2 

 xx
x
x
 
u) 
642
432
0 3
32
lim
xxx
xxx
x 


 v) 
642
543
0 3
32
lim
xxx
xxx
x 


 
w) 
86
64
0
2
lim
xx
xx
x 


 x) 
432
43
32
3
lim
xxx
xx
x 


 
y) 
63
432
62
43
lim
xxx
xxx
x 


 z) 
xxx
xxx
x 23
43
lim
32
632



 
aa) 
842
4169
lim
23
234
2 

 xxx
xxxx
x
 bb) 
2
3
lim
x
e x
x 
 
 2 
cc) 
xx e
x
3
ln
lim

 dd) 
xsen
senxxtg
x 30
)3(
lim


 
ee) 
x
x
x cos1
sec
lim
3
0 
 
ff) 
x
x
ex 43lim 

 
gg) 
)(
lim
2
0 xtg
x
x 
 
hh) 
xsenx
x
lnlim
0
 
ii) 
  xx
x
lncos1lim
0


 jj) 
x
x
ex 43lim 

 
kk) 
30
lim
x
xsenx
x


 ll) 1
0
lim


x
x
esenx
 
mm) 
20
cos1
lim
x
x
x


 nn) 
xtgx
senxx
x 

 0
lim
 
oo) 
xsen
x
x 20
lim

 
pp) 
 tgxx
x
lnlim
0
 
qq) 
 tgx
x
senx
 0
lim
 
rr) 
 tgx
x
x
1
2
0
1lim 

 
ss) 
 x
x
x
1
lim

 tt) 
   senx
x
gx ln
1
0
cotlim

 
uu) 








gx
xx
cot
1
lim
0
 vv) 







 x
x
xx lnln
1
lim
1
 
ww) 








tgx
xx cos1
1
lim
2/
 xx) 
  )3ln(
1
1
lim x
x
x

 
yy) 
  xx
x
lnlnlnlim
1
 
zz)  








2
ln
lim
x
tg
x
x
 
2. Estude a convergência ou divergência das integrais impróprias. 
 
a) 



 dxxe x
 
b) 



senxdx
 
c) 



xdxxcosh
 
d) 


1
ln xdx
 
 3 
e) 



0
cos dxex x
 
f) 


e
xx
dx
2)(ln
 
g) 



 dxxx 12 )1(
 
h) 



 dxxx 22 )1(
 
i) 


1
0 1 x
dx
 
j) 

 
0
2
24 x
dx
 
k) 



1
4
3)3(x
dx
 
l) 


1
dxx n
 
m) 


1 xx
dx
 
n) 



3
2 9x
dx
 
o) 



2
)2)(1( xx
xdx
 
p) 



1
41 x
xdx
 
q) 



hxsec
dx 
r) 


4
1 x
dx
 
s) 


2/
2/


tgxdx
 
t) 



2
2 4
2
x
dx
 
u) 

2/
0
cos

x
dx
 
v) 


1
cos xdx
 
 4 
w) 
dx
x
xsenx



2
3
2 
x) 




dx
x
x
12
 
y) 






dx
e
e
x
x
12
 
z) 


0
)(ln
dx
x
xsen
 
aa) 
 


1
3
2 5
dx
x
x
 
bb) 



0
21
dx
x
arctgx
 
cc) 
  

 
0
3/543 28 dxexxx x
 
dd) 
 

2/1 122
1
dx
xx
 
ee) 
   



0
2 12
89
dx
xx
x
 
ff) 
  
1
1 4||
1
dx
xx
 
gg) 



5
4 2
31
dx
x
x
 
hh) 



1
3xx
dx
 
ii) 


2/
2
 x
xdxsen
 
jj) 



0
2 dxxsene x
 
kk) 

1
0
3/1ln
dx
x
x
 
ll) 



0
)1(xx
dx
 
mm) 
 

0
3
1x
x
e
dxe
 
nn) 


0
2 dxxsen
 
 5 
oo) 


2
ln xx
dx
 
pp) 


2
2ln xx
dx
 
qq) 
 


1
2 2ln2ln xxx
dx
 
rr) 
dx
x
x




1
1
3
1
1
 
ss) 



4/
0
2
2
1
1

dx
xtg
xtg
 
3. Mostre que a integral imprópria 
 



 dxxx
221
 é convergente e a integral 
imprópria 
 



 dxxx
121
 é divergente. 
4. Prove que a integral imprópria 


1
nx
dx
 será convergente se e somente se 
1n
. 
5. Determine os valores de 
n
 para os quais a seguinte integral imprópria é 
convergente: 
 

e
n
xx
dx
ln
. 
6. Determine um valor de 
n
 para o qual a integral imprópria 











1
22
3
1
dx
nx
x
x
n
 é convergente e calcule a integral para esse valor de 
n
. 
7. Calcule 
 

2 2 3
dx
x
x
n
 para o menor valor de 
Nn
 para o qual a integral 
converge. 
8. Usando o Teorema do confronto verifique se a integral converge ou diverge 
a) 


2
1
4 1x
dx
 
b) 

1
0
senxx
dx
 
c) 


2
0
3 2)1(
cos
x
xdx