Roteiro 01 Álgebra Linear

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1 
 
 
 
 
 
 
 
 
Álgebra linear é um ramo da matemática que estuda vetores, espaços vetoriais, 
transformações lineares, sistemas de equações lineares e matrizes. Todos esses 
itens servem para um estudo detalhado de sistemas de equações lineares. A invenção 
da Álgebra Linear tem origem nos estudos de sistemas de equações lineares. Não 
obstante o fato de a Álgebra Linear ser um campo abstrato da Matemática, ela tem um 
grande número de aplicações dentro e fora da Matemática. 
 
Um Pouco sobre a história de Álgebra Linear: 
 
A principio é preciso ressaltar que até pelo menos o final do século XIX, não havia 
nenhuma teoria ou conjunto de regras bem definidas que se pudesse dar o nome de 
álgebra linear. Havia apenas uma certa intuição por parte de alguns matemáticos, 
especialmente nos séculos XVII e XVIII, que perceberam que deveria existir alguma 
forma de conexão da álgebra com a geometria e que o conjunto dos números 
complexos deveria ser encarado como uma entidade matemática legítima. 
 
 
Matrizes e Operações 
 
Definição: Uma matriz com m linhas e n colunas com entradas em ou é uma 
tabela retangular do tipo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Notação: 
oumn mnA M A M
 
11 1 1
1
1
A .
j n
i ij in
m mj mn
a a a
a a a
a a a
 2 
Exemplos: 
 
a) 
2 3
1 3 4
5 6 7
A
 Lê-se: matriz 
A
 de ordem dois por três, ou seja, duas linhas e 
três colunas. 
 
b) 
3 2
1 6
4 5
7 10
B Lê-se: matriz B de ordem três por dois, ou seja, três linhas e 
duas colunas. 
 
c) 
2 3
3
0
i i
C
i
 Lê-se: matriz 
C
 de ordem dois, ou dois por dois, ou ainda duas 
linhas e duas colunas. 
 
Observe que as matrizes 
A
 e 
B
 tem entradas no conjunto dos números reais, ou seja, 
2 3 3 2A M e B M
. Já a matriz 
C
 tem entradas no conjunto dos números 
complexos, ou seja, 
2 2 ( )C M
. 
 
 
Construção de uma matriz 
 
Exemplos: 
 
1) Construa a matriz 
2 3( )A M R
tal que 
2( )i ja i j
 
 
Observamos que a matriz 
2 3( )A M R
é do tipo retangular com duas linhas e três 
colunas. 
 
 
Sendo a lei de formação 
2( )i ja i j
, temos: 
 
 
a 11 = ( 1 + 1 ) 
2 = 4 a 21 = ( 2 + 1 ) 
2 = 9 
 
a 12 = ( 1 + 2 ) 
2 = 9 a 22 = ( 2 + 2 ) 
2 = 16 
 
a 13 = ( 1 + 3 ) 
2 = 16 a 23 = ( 2 + 3 ) 
2 = 25 
 
Logo temos a matriz: 
4 9 16
9 16 25
A
 
Matrizes Especiais: 
 
1
1
2
 3 
 Matriz coluna (É a matriz de ordem n linhas e uma coluna) 
 
 
 
 Matriz Linha (É a matriz de ordem 1 linhas e m coluna.) 
 
 
 Matriz nula (É a matriz que tem todos os valores nulos, ou seja, igual a zero) 
 
 
 
 Matriz transposta: A transposta de uma matriz A é aquela cujas linhas são 
formadas pelas colunas da matriz A (A matriz transposta de A é representada 
por 
tA
). Para construí-la, basta trocar suas linhas por suas colunas. 
 
 
 
 
 
 
 
 Matriz quadrada: Matriz cujo número de linhas é igual ao número de 
colunas 
 
 
 
 
 
Elementos principais de uma matriz quadrada: 
 
 
 
 
 
 
 
Matrizes quadradas especiais: 
 
 Matriz Triangular Superior: Todos os elementos abaixo da diagonal são zero. 
 
 
 
 
 
 Matriz Triangular Inferior: Todos os elementos acima da diagonal principal são 
zero. 
 
 
4321
0 0 0
0 0 0
65
43
21
A
65
43
21
A
642
531
tA
642
531
tA
1 2
0 3
1 2 0
3 3 1
0 4 2
Diagonal 
Principal
Diagonal 
Secundária
1 2 0
3 3 1
0 4 2
Diagonal 
Principal
Diagonal 
Secundária
1 3 9
0 2 4
0 0 1
1 3 9
0 2 4
0 0 11 0 0
9 0 0
4 3 2
1 0 0
9 0 0
4 3 2
 4 
 Matriz Diagonal: Todos os elementos fora da diagonal principal são zero. 
 
1 0 0
0 2 0
0 0 2
, 
 
 Matriz Identidade: Os elementos da diagonal principal são 1 e todos os outros 0. 
 
 
 
 
 
 
 Matriz Simétrica: Uma matriz quadrada é dita simétrica se coincide com sua 
transposta, isto é: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Observações: 
 
1. A parte inferior é uma reflexão da parte superior em relação à diagonal 
principal. 
2. Os elementos simetricamente dispostos em relação à diagonal principal 
são iguais. 
 
 Matriz Anti-simétrica: Uma matriz é dita Anti-simétrica se sua transposta 
coincide com a oposta da matriz inicial, isto é: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4 0
0 3
3
1 0 0
0 1 0
0 0 1
I
tAA
tA A
0 1 2
1 0 4
2 4 0
A
0 1 2
1 0 4
2 4 0
A
0 1 2
1 0 4
2 4 0
tA A
0 1 2
1 3 4
2 4 5
A
 5 
Observações: 
 
1. Todos os elementos da diagonal principal devem ser zero. 
2. Os elementos simetricamente dispostos em relação à diagonal principal 
são opostos. 
 
Exemplo: 
 
Determine o valor de 
x
 para que a matriz 
 
seja: a) Simétrica 
 b) Anti-simétrica 
 c) É anti-simétrica para 2 2 1
1
x x x
A
x x
 
 
Solução: 
 
 
a) 
A
 é simétrica 
 
2 2 22 1 1 2 1 1 0 3 0 3 0 0 ou 3x x x x x x x x x x x x
 
 
b) 
A
 é anti-simétrica 
 
2 2
2
2 1 1 2 1 1 0
2 0
0 2 0
0
x x x x x x
x x
x F
x
 
 
Assim não existe 
x
 tal que 
A
 é anti-simetrica. 
c) A é anti-simétrica para 2 2 1
1
x x x
A
x x
 
 
 
2 2 22 1 1 2 1 1 0 2 0x x x x x x x x
 
22 ( 1) ( 1) 4 1 24 1 1 8 1 9 1 3
2 2 1 2 2 2
1 3 4 1 3 2
´ 2 ´ 2 ´´ 1 ´´ 1
2 2 2 2
b b ac
x
a
x x x x
 
 
22 ( 1) ( 1) 4 1 24 1 1 8 1 9 1 3
2 2 1 2 2 2
1 3 4 1 3 2
´ 2 ´ 2 ´´ 1 ´´ 1
2 2 2 2
b b ac
x
a
x x x x
 
2 2 1
1
x x x
A
x x
 6 
Igualdade de Matrizes 
 
Para que duas ou mais matrizes sejam consideradas iguais elas devem obedecer a 
algumas regras: 
 
• Devem ter a mesma ordem, ou seja, o mesmo número de linhas e o mesmo número 
de colunas. 
• Os elementos devem ser iguais aos seus correspondentes. 
 
Portanto, podemos concluir que: 
A matriz A2x2 é igual a matriz B se, somente se, a matriz B tiver também a ordem 2x2 e 
os elementos a11 = b11, a21 = b21, a12 = b12 e a22 = b22. 
 
Veja um exemplo de matrizes: 
 
As matrizes A e B são iguais, pois preenchem todos os requisitos de igualdade de 
matrizes. 
 
 
 
 
A igualdade de matrizes pode ser cobrada em exercícios, veja o exemplo abaixo: 
 
Encontre os valores numéricos de a, b, x e y sabendo que a igualdade das matrizes 
abaixo é verdadeira. 
 
 
 
Como as duas matrizes são iguais os seus elementos correspondentes também devem 
ser iguais, assim iremos formar um sistema que nos possibilitará a encontrar os valores 
desconhecidos. 
 
12
3
2 3 9
2 2
a b
x y
b a
y x
 Busque resolvê-lo... 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 7 
Operações com Matrizes 
 
I. Adição 
 
 
 
 
 
 
 
 
Propriedades: 
 
1. Associatividade: 
 
 
 
 
 
 
 2. Comutatividade: 
 
 
 
 
 
 
3. Elemento Neutro: 
 
 
 
 
 
 
 
4. Elemento Oposto: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ij m n
A a
ij m n
B b
ij m n
A B C c
onde,
ij ij ijc a b
ij m n
A a
ij m n
B b
ij m n
A B C c
onde,
ij ij ijc a b
, , , 
( ) ( )
mxnA B C M
A B C A B C
, , mxnA B M A B B A
0 , tal que , 
0
mxn mxnM A M
A A
, tal que 
( ) 0
mxn mxnA M A M
A A
 8 
II. Multiplicação por escalar: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo: Seja 
3
 e temos que 
A
 é: 
 
 
1 3 3 9
3.
0 4 0 12
A 
 
 
Propriedades: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo: Calcular os valores de 
, , exy z w
 que satisfaz a seguinte equação matricial: 
 
 
 
 
 
 
 
Solução: 
 
4 3 3 6 4 2 3 6
3 3 1 3 2 3 3 1
x y x x y x y x y
z w z w w z w z w
 
 
4 2 2
3
3 6 2 3 6 4
3 1 3 3 1 1
x x
w
x y y y y y
z w z z z z
 
R( )ij m nA a M
ij m n
A B b ij ijb a
onde
R( )ij m nA a M
ij m n
A B b ij ijb a
onde
R R, , ; , , valem:mxnr s k A B M
E1: 1 ,A A
E2: 0 0 ,mxnA
E3: , ek A B k A k B
E4: , r s A r A s A
4 6
3
3 1 2
x y x y x
z w z w w
1 3
0 4
A
 9 
III. Produto entre Matrizes: 
 
Definição: O produto de duas matrizes 
 
 
É definido pela matriz . Obtida da seguinte forma 
 
 
 
 
 
Conclusão: O produto de duas matrizes consiste em fazer o produto escalar da i-ésima 
linha pela j-ésima coluna. 
 
Exemplo: Determine o produto 
.A B
das seguintes matrizes: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Propriedades: 
 
1. Em geral: 
 
 
 
Considere as matrizes e 
 
 
 
 
Assim, 
 
 
 
2. Distributividade: 
 
 
3. Associatividade: 
 
 
4. Nulidade do produto: 
ij p n
A a
ij m p
B b
e 
ij p n
A a
ij m p
B b
e 
ij m n
A B C c
1 1 2 2
1
...
p
ij i j i j ip pj ik kj
k
c a b a b a b a b
2 1 0
0 1 3
A
3 4 5
0 0 1
1 0 1
B
2 1 0
0 1 3
A
3 4 5
0 0 1
1 0 1
B
3 4 5
2 1 0
0 0 1
0 1 3
1 0 1
3 4 5
2 1 0
0 0 1
0 1 3
1 0 1
AB BA
A (B+C) = A B + A C
A (B C) = (A B) C
Pode acontecer que AB=0 com A e B
0
Pode acontecer que AB=0 com A e B
0
2 3 1 0 0 1 2 4 1 0 0 0 2 5 1 1 0 1 6 8 11
0 3 1 0 3 1 0 4 1 0 3 0 0 5 1 1 3 1 3 0 2
1 0
2 3
A
1 2
3 0
B
1 2
11 4
A B
3 6
3 0
B A
A B B A
 10 
 
 
Considere: e , temos 
 
Observação: Nem sempre vale o cancelamento Se ocorrer a igualdade AC=BC, então nem 
sempre será verdadeiro que A=B, pois existem exemplos de matrizes como as apresentadas 
abaixo, tal que: 
mas as matrizes A e B são diferentes. 
Considere, e 
 
 
 
 
 
Considere, e 
 
 
 
 
 
 
 
Operações Elementares sobre Linhas 
 
Chama-se operação elementar sobre linhas de uma matriz os seguintes 
procedimentos: 
 
1. Permutar linhas 
 
 
 
 
 
 
 
 
2. Multiplicação de uma linha por um escalar não nulo: 
 
 
 
 
 
AC BC A BAC BC A B
1
2
3
 1 0 2
 1 1 1
 3 2 1
L
L
L
'
1
'
2
3
 1 1 1
 1 0 2
 3 2 1
L
L
L
1 2L L
1
2
3
 1 0 2
 1 1 1
 3 2 1
L
L
L
'
1
'
2
3
 1 1 1
 1 0 2
 3 2 1
L
L
L
1 2L L
1
2
3
 1 0 2
 1 1 1
 3 2 1
L
L
L
1
'
2
3
 1 0 2
2 2 2
 3 2 1
L
L
L
2 22L L
1
2
3
 1 0 2
 1 1 1
 3 2 1
L
L
L
1
'
2
3
 1 0 2
2 2 2
 3 2 1
L
L
L
2 22L L
0 1
0 2
A
3 7
0 0
B
0 0
0 0
A B
0 1
,
0 2
A
2 5
3 4
C
3 7
0 0
B
0 1 2 5 3 4 3 7 2 5 27 43
;
0 2 3 4 6 8 0 0 3 4 0 0
AC BC
AC BC
0 1 0 5 0 2 0 1
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
AC BC
AC BC AC BC
0 1
,
0 0
A
0 2
0 0
B
0 5
0 0
C
 11 
3. Substituição dos elementos de uma linha pela soma deles com os elementos 
correspondentes de outra linha previamente multiplicados por um escalar não nulo; 
 
 
 
 
 
 
 
 
Matriz Linha- Equivalente 
 
Definição: Duas matrizes de mesma ordem chamam-se linha equivalentes se uma 
pode ser obtida da outra através de uma sequência finita de operações elementares 
sobre linhas da outra. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A notação para isso é 
A B ou A B
. 
A e B são linha-equivalentes por que B pode ser obtida através de A fazendo-se a 
operação elementar 
2 22L L
, ou seja, 
 
2 2
1 0 2 1 0 2
1 1 1 2 2 2 2
3 2 1 3 2 1
A L L B
 
 
 
Matriz Linha Reduzida (LR) 
 
Definição: Uma matriz A é linha reduzida (LR) se A=0 ou se A satisfaz a seguinte 
condição: 
 Em cada linha não nula existe um elemento diferente de zero tal que 
todos os elementos abaixo dele são zero.( Os elementos não nulos que 
satisfazem a tal propriedade são chamados de Pivô ) 
 
Considere o exemplo a seguir onde: 
 
 
 
 
1
2
3
 1 0 2
 1 1 1
 3 2 1
L
L
L
3 3 13L L L
1
2
'
3
 1 0 2
1 1 1
 0 2 5
L
L
L
1
2
3
 1 0 2
 1 1 1
 3 2 1
L
L
L
3 3 13L L L
1
2
'
3
 1 0 2
1 1 1
 0 2 5
L
L
L
1 0 2
1 1 1
3 2 1
A
1 0 2
2 2 2
3 2 1
B
e
B é linha equivalente a A 
(ou A é linha equivalente a B)
1 0 2
1 1 1
3 2 1
A
1 0 2
2 2 2
3 2 1
B
e
B é linha equivalente a A 
(ou A é linha equivalente a B)
 12 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
• P(A) lê-se POSTO DA MATRIZ A 
• N(A) lê-se NULIDADE DA MATRIZ A 
 
 
 Matriz Linha Reduzida a Forma de Escada (LRFE ) 
 
 
 Uma matriz é linha reduzida à forma escada (LRFE) se A=0 ou se A satisfaz as 
seguintes condições: 
 
 Todo Pivô é igual a 1 (O primeiro elemento não nulo de cada linha não 
nula deve ser igual a 1); 
 Todas as entradas abaixo e à esquerda do Pivô são nulas 
 As linhas nulas ficam abaixo da linhas não nulas; 
 
Exemplo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo: Utilizar, na seguinte matriz, operações elementares sobre linhas para 
obter a matriz identidade. 
 
 
 
Matriz Linha Reduzida
1 0 0 4
2 2 0 0
3 0 1 0
P(A)= número de linhas não nulas 
da matriz linha reduzida
N(A)= número de colunas – P(A)
P(A)=3
N(A)=4-3=1
Pivô
Matriz Linha Reduzida
1 0 0 4
2 2 0 0
3 0 1 0
P(A)= número de linhas não nulas 
da matriz linha reduzida
N(A)= número de colunas – P(A)
P(A)=3
N(A)=4-3=1
PivôMatriz Linha Reduzida à Forma Escada
1 0 0 4
0 1 0 3
0 0 1 4
P(A)=3
N(A)=4-3=1
1 0 2
0 1 0
0 0 0
1 0 2
2 2 2
3 2 1
LRFE Não é reduzida
Matriz Linha Reduzida à Forma Escada
1 0 0 4
0 1 0 3
0 0 1 4
P(A)=3
N(A)=4-3=1
1 0 2
0 1 0
0 0 0
1 0 2
2 2 2
3 2 1
LRFE Não é reduzida1 0 2
1 1 1
3 2 1
 13 
Solução: 
 
1 0 2
1 1 1
3 2 1
 
2 1 2
3 1 33
L L L
L L L
 
3 2 3
1 0 2
0 1 3 2
0 2 5
L L L
 
 
1 0 2
0 1 3
0 0 11
 
3 3
1
11
L L
 
1 0 2
0 1 3
0 0 1
 
1 3 1
2 3 2
2
3
L L L
L L L
 
1 0 0
0 1 0
0 0 1
 
 
Matriz Inversa 
 
Definição: Toda matriz B tal que 
n nA B B A I
 com 
 , ,RnxnA B M
será 
chamada matriz inversa de A, e a denotaremos por 
 
Observação: A inversa só existe para matrizes quadradas. Toda matriz invisível, 
comuta com sua inversa. 
 
 
Conteúdo 2: Determinantes e propriedades 
 
Determinantes 
 
Definição: A cada matriz quadrada é possível associar um certo número real que 
chamaremos de determinante 
 
 
 
 
 
 
Ordem de um Determinante 
 
Definição: Chama-se ordem de um determinante a ordem da matriz a que o mesmo 
corresponde. Assim, se a matriz é de ordem 3, por exemplo, o determinante será de 
ordem 3. 
 
Representação de um Determinante 
 
A representação de um determinante da matriz A, que será designado por det A, 
faz-se de maneira análoga a da matriz, colocada entre dois traços verticais. 
 
11 1
1
...
det ... ... ...
...
n
n nn
a a
A
a a
 
 
1A
R Rdet :
 det( )
nxnM
A A
 14 
 
Cálculo do DeterminanteExemplos: Calcule o determinante das seguintes matrizes 
 
2 5 7
7 5
) ) 3 1 4
2 4
6 8 2
a b
 
 
Solução: 
 
7 5
) 7 4 2 5 28 10 18
2 4
a
 
 
2 5 7 2 5 7 2 5
) 3 1 4 3 1 4 3 1 2 1 2 5 4 6 7 3 8 7 1 6 2 4 8 5 3 2
6 8 2 6 8 2 6 8
4 120 168 42 64 30 292 136 156
b
 
 
Menor complementar 
 
Chama-se menor complementar do elemento aij o determinante da matriz que se 
obtém eliminando a linha i e a coluna j às quais pertence o elemento aij. O menor 
complementar de um elemento aij é denominado Mij. 
 
 
Caso n=1
R R1 1
11 11
det :
 a a
xM
Caso n=2
R R2 2
11 12
11 22 21 12
21 22
det : 
a a
 a a a a
a a
xM
Caso n=1
R R1 1
11 11
det :
 a a
xM
Caso n=2
R R2 2
11 12
11 22 21 12
21 22
det : 
a a
 a a a a
a a
xM
Caso n=3 : Regra de Sarrus
11 12 13
21 22 23
31 32 33
a a a
a a a
a a a
11
21
31
a
a
a
12
22
32
 
a
a
a
11 22 33a a a 12 23 31a a a 13 21 32a a a
31 22 13a a a 32 23 11a a a 33 21 12a a a
R R3 3
ij
det : 
 a
xM
Caso n=3 : Regra de Sarrus
11 12 13
21 22 23
31 32 33
a a a
a a a
a a a
11
21
31
a
a
a
12
22
32
 
a
a
a
11 22 33a a a 12 23 31a a a 13 21 32a a a
31 22 13a a a 32 23 11a a a 33 21 12a a a
R R3 3
ij
det : 
 a
xM
 15 
Exemplo: Dada a matriz 
4 3 4
2 1 5
3 3 2
A
, calcule M11 
Inicialmente, elimine a 1ª linha e a 1ª coluna, uma vez que o menor complementar 
é do elemento a11. 
 
Os números que sobraram formam o menor complementar. Devemos calcular seu 
determinante. 
 
M11 = 1 5
3 2
= 2 - 15 = -13; logo, M11 = -13. 
 
Calculemos M13. 
Devemos eliminar a 1ª linha e a 3ª coluna. 
 
 
Eliminando a 1ª linha e a 3ª coluna, sobrou uma matriz de ordem 2. Devemos 
calcular seu determinante. 
 
 
M13 = 2 1
3 3
= 6 - 3 = 3; logo, M13 = 3. 
 
 
Calcule agora o menor complementar de: 
a) M22; 
b) M31. 
 
 
Cofator 
 
O cofator de um elemento 
ija
 de uma matriz quadrada é o número que obtemos 
quando multiplicamos 
1
i j
 pelo determinante da matriz obtida quando se 
cancela a linha i e a coluna j da matriz. 
 
Matriz dos Cofatores 
 
A matriz dos cofatores é a matriz formada por todos os cofatores dos elementos 
de uma matriz. 
 
 
 16 
Matriz Adjunta 
A matriz adjunta de uma matriz A é a transposta da matriz dos cofatores de A. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Exemplo: Calcular os cofatores 
11 12 13, ec c c
 da seguinte matriz 
 
3 1 3
1 1 0
0 2 1
A
 
Solução: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Regra de Laplace 
 
Para calcularmos o determinante de uma matriz qualquer, usaremos o teorema de 
Laplace. Seja A uma matriz quadrada de ordem n. De forma genérica, o teorema de 
Laplace pode ser enunciado para um elemento aij qualquer de uma matriz A, quadrada 
de ordem n, da seguinte forma: 
 
Matriz dos cofatores e Matriz Adjunta 
( 1)i jij ijc M
ij
Cof A c( ) ( )
1 1 1 1
1
1
A ,
j n
i ij in
m mj mn
a a a
a a a
a a a
cofator de aij
TAdj A Cof A( ) ( )
matriz obtida 
quando se 
cancela a linha 
i e a coluna j da 
matriz A.
Matriz dos cofatores e Matriz Adjunta 
( 1)i jij ijc M
ij
Cof A c( ) ( )
1 1 1 1
1
1
A ,
j n
i ij in
m mj mn
a a a
a a a
a a a
cofator de aij
TAdj A Cof A( ) ( )
matriz obtida 
quando se 
cancela a linha 
i e a coluna j da 
matriz A.
3 1 3
1 1 0
0 2 1
A
1 0
2 1
11c 1 1
1 1 1 1
1 0
0 1
12c
1 2
1 1 1 1
1 1
0 2
13c
1 3
1
12 2
3 1 3
1 1 0
0 2 1
A
1 0
2 1
11c 1 1
1 1 1 1
1 0
2 1
11c 1 1
1 1 1 1
1 0
0 1
12c
1 2
1 1 1 1
1 0
0 1
12c
1 2
1 1 1 1
1 1
0 2
13c
1 3
1
12 2
 17 
1
det ( )
det ( )
n
ij ij
n
ij ij
j
A a A escolhendo uma linha i
ou
A a A escolhendo uma coluna j 
Exemplo: Calcule o determinante 
 
 
det A = 
 
 
 
 
Para minimizar os cálculos devemos escolher a fila (linha ou coluna) que possuir maior 
número de zeros. Nesse determinante, a fila que tem o maior número de zeros é a 1ª 
coluna; logo: 
 
det A = 2 × A11 + = 2 × A11 
 
 
Veja que o trabalho ficou bem menor. Agora, obtenha: 
 
a) 2 × A11; 
b) o determinante da matriz usando a 2ª linha; 
c) compare os resultados dos itens a e b. 
 
Outro Exemplo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1 2 3 4
0 1 3 1
1 0 2 1
0 1 0 2
c c c c11 21 31 411 0 1 0
Como calcular os ? 
ij
c
c 1 111
1 3 1
( 1) 0 2 1
1 0 2
c c11 31
1 3 1
0 2 1 9
1 0 2
c 3 131
2 3 4
( 1) 1 3 1
1 0 2
2 3 4
1 3 1 9
1 0 2
9
9 0
1 2 3 4
0 1 3 1
1 0 2 1
0 1 0 2
c c c c11 21 31 411 0 1 0
Como calcular os ? 
ij
c
Como calcular os ? 
ij
c
c 1 111
1 3 1
( 1) 0 2 1
1 0 2
c c11 31
1 3 1
0 2 1 9
1 0 2
c 3 131
2 3 4
( 1) 1 3 1
1 0 2
2 3 4
1 3 1 9
1 0 2
9
9 0
1 2 1
0 1 2
4 3 2
11 21 311 0 4c c c
1 2 1
0 1 2
4 3 2
11 21 311 0 4c c c
 18 
 
c 1 111
1 3 1 1 3 1
( 1) 0 2 1 0 2 1 9
1 0 2 1 0 2
 
 
Propriedades de Determinantes 
 
n n
M RSejam A e B .
 
 
P1: Se uma linha (ou coluna) da matriz A for nula, então: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
P2: O determinante da transposta de A é igual ao determinante de A, isto é: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 P3: Se B é a matriz obtida pela multiplicação de uma linha (ou coluna) da matriz 
A por um escalar k, então: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
det( ) 0A
0 0
det( ) 0 1 ( 1) 0 0
1 1
A
0 0
det( ) 0 1 ( 1) 0 0
1 1
A
det( ) det( )tA A
1 3
det( ) 1 2 ( 1) 3 5
1 2
A
1 1
det( ) 1 2 3 ( 1) 5
3 2
tA
1 3
det( ) 1 2 ( 1) 3 5
1 2
A
1 1
det( ) 1 2 3 ( 1) 5
3 2
tA
det(B)=k.det(A)
1 2 0
Seja 1 1 0 
2 4 3
A
3 6 0
e 1 1 0
2 4 3
B
Vamos calcular det(A) e det(B)?
1 2 0
Seja 1 1 0 
2 4 3
A
3 6 0
e 1 1 0
2 4 3
B
Vamos calcular det(A) e det(B)?
 19 
Solução: 
det 3 6 9 e det 9 18 27A B
 
Observe que 
det 3 detB A
 
 
 
P4: Se B é a matriz obtida pela troca de duas linhas (ou colunas) de A, então: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Solução: 
 
det 3 6 9 det 6 3 9A e B
. Observe que 
det detB A
 
 
P5: Se A tem duas linhas (ou colunas) iguais, então: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
P6: Se uma linha (ou coluna) de A for múltipla de uma outra linha (ou coluna) de 
A, então: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
det( ) det( )B A
Vamos calcular det(A) e det(B)?
1 2 0
Seja 1 1 0 
2 4 3
A
2 4 3
e 1 1 0 
1 2 0
B
Vamos calcular det(A) e det(B)?
1 2 0
Seja 1 1 0 
2 4 3
A
2 4 3
e 1 1 0 
1 2 0
B
det(A)=0
1 2 0
1 2 0 
2 4 3
A
=6 + 0+ 0 - 0 - 0 - 6
= 0
1 2 0
1 2 0 
2 4 3
1
1
2
2
2
4
1 2 0
1 2 0 
2 4 3
A
=6 + 0+ 0 - 0 - 0 - 6
= 0
1 2 0
1 2 0 
2 4 3
1
1
2
2
2
4
det(A)=0 1 4
2 8
A 2 1
2L L1 4
2 8
A 2 1
2L L
 20 
Cálculo da matriz inversa 
 
Procedimentos para o cálculo da inversa utilizando a redução de matrizes: 
 
1. Verificamos a invertibilidade da matriz (determinante não nulo); 
2. Escrevemos a matriz identidade à direita da matriz que queremos inverter. 
3. Procedemos com a redução por linhas da matriz ampliada até obtermos a matriz 
identidade à esquerda. 
4. A matriz da direitaé a inversa da matriz dada. 
 
Exemplo: Calcule, se possível, a inversa da matriz 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Solução: 
det 0 0 0 6 0 0 6 0A A
 é invertível. Vamos a partir 
do escalonamento encontrar a sua inversa. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1 0 2
2 1 0 
3 0 0
A
1 0 2
2 1 0
3 0 0
1 0 0
 0 1 0
0 0 1
1
2
3
L
L
L
3 0 0 0 0 1
2 1 0 0 1 0
1 0 2 1 0 0
1 3L L
1
1
L
L
3
10 01 0 0 3
2 1 0 0 1 0
1 0 2 1 0 0
1 0 2
2 1 0
3 0 0
1 0 0
 0 1 0
0 0 1
1
2
3
L
L
L
3 0 0 0 0 1
2 1 0 0 1 0
1 0 2 1 0 0
1 3L L
1
1
L
L
3
10 01 0 0 3
2 1 0 0 1 0
1 0 2 1 0 0
 21 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Portanto a matriz inversa é a matriz obtida do lado direito da identidade, isto é, 
 
1
10 0
3
20 -1
3
1 10
2 6
A 
 
 
 
Sistemas Lineares 
 
A toda equação da forma dá-se o nome de Equação Linear 
a n variáveis. 
 
Cada n-upla ordenada que torna esta equação um sentença 
 
verdadeira denominamos de Solução da equação. 
 
• Quando o valor de 
0nb
, a equação linear é dita Homogênea; 
• Cada solução para uma equação linear a n variáveis é encontrada atribuindo-se 
valores quaisquer a 
1n
 das variáveis e encontrando o valor da última variável. 
 
 
Exemplo: 
 
 
 
 
 
 
10 0
31 0 0
20 1 0 0 1
3
1 0 2 1 0 0
2 2 1L L 2L
10 0
31 0 0
20 1 0 0 1
3
0 0 2 11 0
3
3 3 1L L L
10 0
31 0 0
20 1 0 0 -1
3
0 0 1 1 10
2 6
2 2L L
3
3
L
L
2
10 0
31 0 0
20 1 0 0 1
3
1 0 2 1 0 0
2 2 1L L 2L
10 0
31 0 0
20 1 0 0 1
3
0 0 2 11 0
3
3 3 1L L L
10 0
31 0 0
20 1 0 0 -1
3
0 0 1 1 10
2 6
2 2L L
3
3
L
L
2
De fato,
3 5 2 6x y z w
2,1, 1,2
3 2 5 1 1 2 2 6
é solução da equação:
De fato,
3 5 2 6x y z w
2,1, 1,2
3 2 5 1 1 2 2 6
é solução da equação:
nnn bxaxaxa ...2211
nxxx ,...,, 21
 22 
 
Observe que outras quadruplas ordenadas também são soluções da equação 
linear acima. 
 
Sistemas Lineares 
 
Definição: Ao conjunto formado por duas ou mais equações lineares damos o nome de 
Sistema Linear, ou seja, 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Sistema homogêneo 
 
Definição: O sistema 
S
 é homogêneo se 
1 2 ... 0nb b b
. 
S
 é um sistema homogêneo 
0,0,...,0
 é uma solução. 
 
 
 
 
 
Solução de um Sistema 
 
Definição: 
1 2, ,..., nc c c
 onde 
ou ic
 é uma solução de 
S
 se satisfaz a 
todas equações do sistema 
S
. 
 
Exemplo: Considere o sistema linear 
 
Elementos de um sistema Linear
11 1 12 2 1 1
21 1 22 2 2 2
1 1 2 2
n n
n n
m m mn n m
a x a x a x b
a x a x a x b
a x a x a x b
são os termos independentes
ija
1x
1b
são os coeficientes
são as variáveis ou incógnitas
2x
, ,
nx,
,
2b
, ,
mb
Elementos de um sistema Linear
11 1 12 2 1 1
21 1 22 2 2 2
1 1 2 2
n n
n n
m m mn n m
a x a x a x b
a x a x a x b
a x a x a x b
são os termos independentes
ija
1x
1b
são os coeficientes
são as variáveis ou incógnitas
2x
, ,
nx,
,
2b
, ,
mb
11 1 12 2 1 1
21 1 22 2 2 2
1 1 2 2
n n
n n
m m mn n m
a x a x a x b
a x a x a x b
a x a x a x b
2 0
4 2 7 .
2 3 3
x y z
x y z
x y z
 23 
 
 
 
Verifique se a tripla 
1,1, 1
é uma solução. 
 
02 : 4 2 7Eq x y z
 
4 1 1 2( 1) 7
4 1 2 7
7 7
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A tripla (1,1, -1) não satisfaz à 3ª equação e portanto não é uma solução para o 
sistema dado. 
 
Matriz Associada a um Sistema Linear 
 
A todo sistema linear estão associadas três matrizes, que o caracterizam de forma 
única, quanto ao número de soluções. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Matriz Ampliada (mais importante) 
 
11 12 1 1
21 22 2 2
1 2
|
n
n
m m mn n
a a a b
a a a b
A B
a a a b
 
Desta maneira, o sistema pode ser escrito na forma da equação matricial 
1 2 1 1 0
1 2 1 0
0 0
 01: 2 0Eq x y z
1 2 1 1 0
1 2 1 0
0 0
 01: 2 0Eq x y z
2 1 3 1 1 3
2 3 1 3
2 3
 03: 2 3 3Eq x y z
2 1 3 1 1 3
2 3 1 3
2 3
 03: 2 3 3Eq x y z
1,1, 1
não é uma solução
1,1, 1
não é uma solução
11 1 12 2 1 1
21 1 22 2 2 2
1 1 2 2
n n
n n
m m mn n m
a x a x a x b
a x a x a x b
a x a x a x b
11 12 1
21 22 2
1 2
n
n
m m mn
a a a
a a a
A
a a a
1
2
n
b
b
B
b
Matriz dos coeficientes Matriz dos termos
independentes
11 1 12 2 1 1
21 1 22 2 2 2
1 1 2 2
n n
n n
m m mn n m
a x a x a x b
a x a x a x b
a x a x a x b
11 12 1
21 22 2
1 2
n
n
m m mn
a a a
a a a
A
a a a
1
2
n
b
b
B
b
Matriz dos coeficientes Matriz dos termos
independentes
 24 
 
A X B
 onde 
1
2
n
x
x
X
x
 
 
Resolução e Discussão de um Sistema Linear 
 
 
Solução de um Sistema Linear 
 
1. Método de Crammer 
 
Considere o sistema linear 
11 12 1
21 22 2
a x a y b
a x a y b
 e sejam A, B suas matrizes associadas: 
11 12
21 22
a a
A
a a
 e 
1
2
b
B
b
. Podemos associar a este (ou qualquer outro) sistema 
linear outras duas matrizes, obtidas da seguinte maneira: 
 
1) Substitua, na matriz A, a 1ª coluna pela matriz coluna B. Denotemos esta nova 
matriz por Ax 
2) Substitua, na matriz A, a 2ª coluna pela matriz coluna B. Denotemos esta nova 
matriz por Ay 
 
Regra de Cramer 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1) Para sistemas de até 3 variáveis (e 3 equações) é viável a aplicação 
deste método, mas isto não ocorre para uma ordem >3. 
2) Notemos que o método de Cramer só é aplicável para determinar a 
solução de um sistema que possua uma única solução; ( a matriz dos 
coeficientes deve ter determinante zero). 
 
Se o 
det 0A
, então o sistema acima, cuja matriz dos coeficientes é 
A
, possui uma 
única solução, que é dada por: 
 
 e 
xdet Ax
det A
ydet A
y
det A
11 12
21 22
a a
A
a a
1
2
b
B
b
1 12
x
2 22
b a
A
b a
11 12
21 22
a a
A
a a
1
2
b
B
b
11 1
y
12 2
a b
A
a b
11 12
21 22
a a
A
a a
1
2
b
B
b
1 12
x
2 22
b a
A
b a
11 12
21 22
a a
A
a a
1
2
b
B
b
11 1
y
12 2
a b
A
a b
 25 
 
 
 
De uma maneira geral, o valor da i-ésima variável de um sistema qualquer nesta 
condição é dada por: 
 
 
 
 
 
Exemplo: Determine, se existir, a solução do seguinte sistema. 
 
2 3 4
4 2 6
2 5 5
x y z
x y z
x y z
 
 
Solução: 
 
2 3 1
4 1 2
1 2 5
A
 
 
 
2 3 1
4 1 2
1 2 5
10 6 8 1 8 60
 
 
10 6 8 1 8 60 77 0
 
 
Podemos aplicar Cramer e solução para o Sistema Linear será única. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
i
det A
x
det A
ix
2 3 1
4 1 2
1 2 5
A
2 4 1
4 6 2
1 5 5
yA
4
6
5
B
4 3 1
6 1 2
5 2 5
xA
2 3 4
4 1 6
1 2 5
zA
| | 20 30 12 5 16 90 77xA
| | 60 8 20 6 20 80 154yA
| | 10 18 32 4 24 60 0zA
2 3 1
4 1 2
1 2 5
A
2 4 1
4 6 2
1 5 5
yA
4
6
5
B
4 3 1
6 1 2
5 2 5
xA
2 3 4
4 1 6
1 2 5
zA
| | 20 30 12 5 16 90 77xA
| | 60 8 20 6 20 80 154yA
| | 10 18 32 4 24 60 0zA
 26 
 
 
A solução do sistema é dada porPortanto, temos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Método de Gauss-Jordan 
 
 Escreve-se a matriz ampliada. 
 Transforma-se a matriz ampliada na forma escalonada. 
 Usa-se uma substituição simples para encontrar a solução. 
 
 
Exemplo: Consideremos o seguinte sistema linear 
4 4
2 3 3 2
4 1
x y z
x y z
x y z
 
 
 
Através de sucessivas operações elementares sobre esta matriz, podemos levá-la a 
uma matriz LRFE, que seja “linha-equivalente” a ela e que possui a seguinte matriz 
ampliada. 
 
4 1 1 4
| 2 3 3 2
1 1 4 1
A B
 
 
 
det 77
1
det 77
xAx
A
det 154
2
det 77
yA
y
A
det 0
0
det 77
zAz
A
det 77
1
det 77
xAx
A
det 154
2
det 77
yA
y
A
det 0
0
det 77
zAz
A
{ 1,2,0 }S { 1,2,0 }S
 27 
Fazemos com que o pivô da primeira linha (1º elemento não nulo da 1ª linha) seja igual 
a 1. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Pela definição já conhecida de matriz LRFE, todos os outros elementos da coluna 
devem ser anulados. Então temos a situação descrita a seguir. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1) Pivô = 1:
4 1 1 4
2 3 3 2 
1 1 4 1
1 1 4 1
2 3 3 2
4 1 1 4
1 3L L
2 2 12L L L
2) Anulamos 
os outros 
elementos da 
coluna 1 1 4 1
0 5 11 4 
4 1 1 4
1) Pivô = 1:
4 1 1 4
2 3 3 2 
1 1 4 1
1 1 4 1
2 3 3 2
4 1 1 4
1 3L L
2 2 12L L L
2) Anulamos 
os outros 
elementos da 
coluna 1 1 4 1
0 5 11 4 
4 1 1 4
1 1 4 1
0 5 11 4 
4 1 1 4
1 1 4 1
0 5 11 4
0 5 15 0
3 3 14L L L
1 1 4 1
0 1 11 5 4 5
0 5 15 0
1 0 9 5 1 5
0 1 11 5 4 5
0 5 15 0
2
2
5
L
L
1 1 2L L L
1 1 4 1
0 5 11 4 
4 1 1 4
1 1 4 1
0 5 11 4
0 5 15 0
3 3 14L L L
1 1 4 1
0 1 11 5 4 5
0 5 15 0
1 0 9 5 1 5
0 1 11 5 4 5
0 5 15 0
2
2
5
L
L
1 1 2L L L
1 0 9 5 1 5
0 1 11 5 4 5
0 5 15 0
1 0 9 5 1 5
0 1 11 5 4 5
0 0 4 4
1 0 9 5 1 5
0 1 11 5 4 5
0 0 1 1
1 0 0 2
0 1 11 5 4 5
0 0 1 1
3 3 25L L L
3
3
4
L
L
1 1 3
9
5
L L L
1 0 9 5 1 5
0 1 11 5 4 5
0 5 15 0
1 0 9 5 1 5
0 1 11 5 4 5
0 0 4 4
1 0 9 5 1 5
0 1 11 5 4 5
0 0 1 1
1 0 0 2
0 1 11 5 4 5
0 0 1 1
3 3 25L L L
3
3
4
L
L
1 1 3
9
5
L L L
1 0 0 2
0 1 11 5 4 5
0 0 1 1
1 0 0 2
0 1 0 3
0 0 1 1
2 2 3
11
5
L L L1 0 0 2
0 1 11 5 4 5
0 0 1 1
1 0 0 2
0 1 0 3
0 0 1 1
2 2 3
11
5
L L L
 28 
 
 
 
 
 
Matriz escalonada que nos remete às igualdades: 
 
2
3 2,3, 1
1
x
y S
z
 
 
Exemplo: Determinar a solução do sistema linear 
2 5 1
4 3
3 4
x y z
x z
x y z
. 
 
Solução: 
 
Tomamos a matriz ampliada associada ao sistema 
2 1 5 1
1 0 4 3 
3 1 1 4
 
Escalonamos a matriz: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Esta última matriz é a matriz escalonada do sistema e o leva a um sistema bem mais 
simples equivalente a ele, conforme ilustração anterior. 
1 1 9 2
0 1 13 5
0 2 26 10
1 0 4 3
0 1 13 5
0 2 26 10
1 0 4 3
0 1 13 5
0 0 0 0
2 2L L
1 1 2L L L
matriz escalonada
4 3
13 5
x z
y z
Sistema equivalente
3 22L L
1 1 9 2
0 1 13 5
0 2 26 10
1 0 4 3
0 1 13 5
0 2 26 10
1 0 4 3
0 1 13 5
0 0 0 0
2 2L L
1 1 2L L L
matriz escalonada
4 3
13 5
x z
y z
Sistema equivalente
3 22L L
2 1 5 1
1 0 4 3
3 1 1 4
1 1 9 2
1 0 4 3
3 1 1 4
1 1 9 2
0 1 13 5
3 1 1 4
1 1 9 2
0 1 13 5
0 2 26 10
1 1 2L L L
3 3 13L L L
2 2 1L L L
2 1 5 1
1 0 4 3
3 1 1 4
1 1 9 2
1 0 4 3
3 1 1 4
1 1 9 2
0 1 13 5
3 1 1 4
1 1 9 2
0 1 13 5
0 2 26 10
1 1 2L L L
3 3 13L L L
2 2 1L L L
 29 
Observações: 
 
1. O sistema “escalonado” apresenta apenas 2 equações, porém envolvendo 3 
variáveis, o que elimina a hipótese de que ele tenha solução única. 
2. A diferença entre o número de variáveis e o número de equações restantes no 
sistema já escalonado é chamada Grau de liberdade do sistema. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Classificação dos Sistemas Lineares 
 
A classificação de um sistema linear é feita em base ao numero de soluções que o 
sistema admite. 
 
Os sistemas lineares classificam-se, quanto ao número de soluções, em: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Um sistema de equações lineares 
AX B
 com 
m
equações e 
n
incógnitas é: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Temos então que:
13 5y z
Seja z a variável livre.
4 3
13 5
x z
y z
4 3x z
sistema com 2 equações 
e 3 variáveis
assim, teremos 1 variavel livre 
(que pode assumir infinitos valores)
4 3,13 5, ;S z z z z
O sistema tem infinitas soluçoes que 
sao representadas pelo conjunto:
Temos então que:
13 5y z
Seja z a variável livre.
4 3
13 5
x z
y z
4 3x z
sistema com 2 equações 
e 3 variáveis
assim, teremos 1 variavel livre 
(que pode assumir infinitos valores)
4 3,13 5, ;S z z z z
O sistema tem infinitas soluçoes que 
sao representadas pelo conjunto:
• Possível
Determinado
(Possui uma única solução)
• Impossível
Indeterminado
Possui infinitas soluções
Não possui solução
• Possível
Determinado
(Possui uma única solução)
• Impossível
Indeterminado
Possui infinitas soluções
Não possui solução
Possível p(A|B)=p(A)
AX=B é
Possível Determinado
Se o valor 
encontrado for 
igual à n
Se for menor 
que n
AX=B é
Possível Indeterminado
Impossivel
( ) ( | )p A p A B
Possível p(A|B)=p(A)
AX=B é
Possível Determinado
Se o valor 
encontrado for 
igual à n
Se for menor 
que n
AX=B é
Possível Indeterminado
Impossivel
( ) ( | )p A p A B
 30 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Outro exemplo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo: Discutir, em função do parâmetro k, o seguinte sistema linear 
 
0
2
x y kz
kx y z
 
 
Solução: Para se resolver um problema desse tipo, primeiramente se determina a 
matriz ampliada do sistema e em seguida se prossegue com o escalonamento da 
matriz, observando as restrições necessárias ao valor de k que eventualmente possam 
aparecer no decorrer do escalonamento. 
 
Matriz ampliada 
 
0
2
0 3
x z
y z
1 0 1 0
( | ) 0 1 1 2
0 0 0 3
A B | 3ABp
1 0 1
0 1 0
0 0 0
A
2Ap
p(A) <p(A|B) Impossível
0
2
0 3
x z
y z
1 0 1 0
( | ) 0 1 1 2
0 0 0 3
A B | 3ABp
1 0 1
0 1 0
0 0 0
A
2Ap
p(A) <p(A|B) Impossível
3 3
2 4
7
x y z
y z
z
1 0 3 3
| 0 1 2 4
0 0 1 7
A B
3Ap
|
3
AB
p
|
3 incog.AABp p n
Sistema possível determinado
3 3
2 4
7
x y z
y z
z
1 0 3 3
| 0 1 2 4
0 0 1 7
A B
3Ap
|
3
AB
p
|
3 incog.AABp p n
Sistema possível determinado
 31 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Vejamos um outro exemplo: 
 
Determine os valores de t de modo que o seguinte sistema 
2 2 2
2 3
0
x y tz
x y tz
x ty z
 
seja: 
a) Possível determinado. 
b) Possível indeterminado. 
c) Impossível. 
 
Solução: primeiro escrevemos a matriz ampliada do sistema. 
 
1 1 0
1 1 2
k
k 2
1 1 0
0 1 1 2
k
k k
2 2 1L L k L
Se 1 0k
(i.e, 1)k
Temos uma matriz linha reduzida e assim, 
|
2 3 incogAABp p n
Sistema possível determinado
1 1 0
1 1 2
k
k 2
1 1 0
0 1 1 2
k
k k
2 2 1L L k L
Se 1 0k
(i.e, 1)k
Temos uma matriz linha reduzidae assim, 
|
2 3 incogAABp p n
Sistema possível determinado
Para k=1, no entanto, a matriz teria seu 
escalonamento terminado em:
1 1 1 0
0 0 0 2
1Ap
Resumindo, temos as possibilidades:
, o sistema é possível indeterminado 
1k
1k
, o sistema é impossível
2
1 1 0
0 1 1 2
k
k k
( | ) 2A Bp
Impossível
( ) ( | )p A p A B
Para k=1, no entanto, a matriz teria seu 
escalonamento terminado em:
1 1 1 0
0 0 0 2
1Ap
Resumindo, temos as possibilidades:
, o sistema é possível indeterminado 
1k
1k
, o sistema é impossível
2
1 1 0
0 1 1 2
k
k k
( | ) 2A Bp
Impossível
( ) ( | )p A p A B1 1 0
1 1 2
k
A B
k
1 1 0
1 1 2
k
A B
k
 32 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1 1 0
0 1 2 2 3
0 2 2 2 2
t
t t
t t
1 1 0
0 1 0 1
0 0 2 4 2
t
t t
1 0 1
0 1 0 1
0 0 2 4 2
t
t t
Temos dois casos: 
2 0 t 2 0 t
2 2 3L L L
1 1 0
0 1 0 1
0 2 2 2 2
t
t t
3 3 22 2L L t L 1 1 2L L t L
1 1 0
0 1 2 2 3
0 2 2 2 2
t
t t
t t
1 1 0
0 1 0 1
0 0 2 4 2
t
t t
1 0 1
0 1 0 1
0 0 2 4 2
t
t t
Temos dois casos: 
2 0 t 2 0 t
2 2 3L L L
1 1 0
0 1 0 1
0 2 2 2 2
t
t t
3 3 22 2L L t L 1 1 2L L t L
2 2 2
2 3
0
x y tz
x y tz
x ty z
2 2 2
| 2 1 3
1 1 0
t
A B t
t
Encontrando p(A|B) e pA:
2 2 2
2 1 3
1 1 0
t
t
t
1 1 0
0 1 2 2 3
2 2 2
t
t t
t
1 1 0
2 1 3
2 2 2
t
t
t
1 3L L 2 2 12L L L
3 3 12L L L
1 1 0
0 1 2 2 3
0 2 2 2 2
t
t t
t t
2 2 2
2 3
0
x y tz
x y tz
x ty z
2 2 2
| 2 1 3
1 1 0
t
A B t
t
Encontrando p(A|B) e pA:
2 2 2
2 1 3
1 1 0
t
t
t
1 1 0
0 1 2 2 3
2 2 2
t
t t
t
1 1 0
2 1 3
2 2 2
t
t
t
1 3L L 2 2 12L L L
3 3 12L L L
1 1 0
0 1 2 2 3
0 2 2 2 2
t
t t
t t
2 2 2
2 1 3
1 1 0
t
t
t
1 1 0
0 1 2 2 3
2 2 2
t
t t
t
1 1 0
2 1 3
2 2 2
t
t
t
1 3L L 2 2 12L L L
3 3 12L L L
1 1 0
0 1 2 2 3
0 2 2 2 2
t
t t
t t
 33 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercícios resolvidos 
 
1) Dadas as matrizes 
2 3 8
5 9 6
7 4 1
A
, 
3 7 1
4 2 5
0 9 4
B
 e 
7 8 3
4 3 2
9 5 1
C
. Calcule: 
 
a) 
3 2 4A B C
 
 
Solução: 
 
Fazendo 
3 2 4X A B C
 temos 
 
Discutindo as possibilidades...
Se 
2 0 2t t
E temos um sistema possível e 
determinado. 
1 1 0
0 1 0 1
0 0 2 4 2
t
t t
1 0 1
0 1 0 1
0 0 1 2
t
3 3
1
2
L L
t
 | 
3 incog.AA Bp p n
Portanto,
Discutindo as possibilidades...
Se 
2 0 2t t
E temos um sistema possível e 
determinado. 
1 1 0
0 1 0 1
0 0 2 4 2
t
t t
1 0 1
0 1 0 1
0 0 1 2
t
3 3
1
2
L L
t
 | 
3 incog.AA Bp p n
Portanto,
Assim, e então o 
sistema é possível e indeterminado. 
 | 
2 3AA Bp p n
1 1 0
0 1 0 1
0 0 2 4 2
t
t t
Se , 
2t
1 2 1 0
0 1 0 1
0 0 0 0
Portanto, para o sistema dado, temos:
Possível e Determinado
2t
Possível e Indeterminado
2t
o sistema é
Assim, e então o 
sistema é possível e indeterminado. 
 | 
2 3AA Bp p n
Assim, e então o 
sistema é possível e indeterminado. 
 | 
2 3AA Bp p n
1 1 0
0 1 0 1
0 0 2 4 2
t
t t
Se , 
2t
1 2 1 0
0 1 0 1
0 0 0 0
1 1 0
0 1 0 1
0 0 2 4 2
t
t t
Se , 
2t
1 2 1 0
0 1 0 1
0 0 0 0
Portanto, para o sistema dado, temos:
Possível e Determinado
2t
Possível e Indeterminado
2t
o sistema é
 34 
 
2 3 8 3 7 1 7 8 3
3 5 9 6 2 4 2 5 4 4 3 2
7 4 1 0 9 4 9 5 1
X
 
 
6 9 24 6 14 2 28 32 12
15 27 18 8 4 10 16 12 8
21 12 3 0 18 8 36 20 4
=
40 37 34
9 11 20
57 26 7
 
 
Portanto 
40 37 34
9 11 20
57 26 7
X
 
 
2) Verifique se a matriz 
1 2 1
1 1 1
0 1 3
A
 é inversível e no caso afirmativo calcule 1A . 
 
Solução: 
 
i) Para Verificar se A é inversível vamos calcular o detA 
 
1 2 1
det 1 1 1 3 1 1 6 2 5 3 0
0 1 3
A
 , logo A é inversível. 
 
ii) Vamos calcular agora 1A 
 
Solução: 
 
2 1 2
1 2 1 | 1 0 0 1 2 1 | 1 0 0
1 1 1 | 0 1 0 0 1 0 | 1 1 0
0 1 3 | 0 0 1 0 1 3 | 0 0 1
L L L
 
 
1 1 2
3 3 2
1 0 1 | 1 2 0
2
0 1 0 | 1 1 0
0 0 3 | 1 1 1
L L L
L L L
 
 
3 3 1 1 3
4 7 1
1 0 0 |
1 0 1 | 1 2 0 3 3 3
1
0 1 0 | 1 1 0 0 1 0 | 1 1 0
3
1 1 1 1 1 1
0 0 1 | 0 0 1 |
3 3 3 3 3 3
L L L L L
 
 35 
 
Assim 
1
4 7 1
3 3 3
1 1 0
1 1 1
3 3 3
A
 
 
 
3) Resolva o sistema 
2 3 8
4 2 2 4
2 5 3 12
x y z
x y z
x y z
. 
 
Solução: 
 
Considere a matriz ampliada do sistema 
2 1 3 | 8
4 2 2 | 4
2 5 3 | 12
. Vamos agora escalonar a 
matriz através das operações sobre linhas de uma matriz. 
 
 
1 1
1 3
1 | 4
2 1 3 | 8 2 2
1
4 2 2 | 4 4 2 2 | 4
2
2 5 3 | 12 2 5 3 | 12
L L
 
 
 
2 1 2
1 3
1 | 4
2 2
4 0 0 4 | 12
2 5 3 | 12
L L L
 3 1 3
1 3
1 | 4
2 2
2 0 0 4 | 12
0 4 0 | 20
L L L
 
 
 
 2 3 2 2
1 3 1 3
1 | 4 1 | 4
2 2 2 2
1
0 4 0 | 20 0 1 0 | 5
4
0 0 4 | 12 0 0 4 | 12
L L L L
 
 
 
 36 
3 3 1 1 2
1 3 3 13
1 | 4 1 0 |
2 2 2 2
1 1
0 1 0 | 5 0 1 0 | 5
4 2
0 0 1 | 3 0 0 1 | 3
L L L L L
 
 
1 1 3
1 0 0 | 2
3
0 1 0 | 5
2
0 0 1 | 3
L L L
 
 
 
Portanto o sistema inicial se transformou no seguinte sistema equivalente: 
 
2
5
3
x
y
z
 , ou seja, 
2, 5,3S
 
 
 
4) Discutir o sistema 
2 6
3 2
0
mx y
x y
x y
. 
 
 
Solução: 
 
Considere a matriz ampliada do sistema 
2 | 6
3 1 | 2
1 1 | 0
m
. Vamos agora escalonar a 
matriz através das operações sobre linhas de uma matriz. 
 
 
1 3
2 | 6 1 1 | 0
3 1 | 2 3 1 | 2
1 1 | 0 2 | 6
m
L L
m
 
 
 
2 1 2 3 1 3
1 1 | 0 1 1 | 0
3 0 4 | 2 0 4 | 2
2 | 6 0 2 | 6
L L L L m L L
m m
 
 
 
 37 
2 2
3 3
1 1 | 0 1 1 | 01
0 4 | 2 0 2 | 12
0 2 | 6 0 2 | 6
L L
L Lm m
 
 
 
Portanto o sistema inicial se transformou no seguinte sistema equivalente: 
 
 
0
2 1
2 6
x y
y
m y
 
 
 
Logo, se 
2 12 10m m
 então o sistema é possível e determinado. 
 
Se 
10m
, ele é impossível. Para nenhum valor de 
m
 ele é indeterminado.