0.3-Aula de Cinematica Vetorial - parte 1

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11/02/2014
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Cinemática Vetorial
Conceitos Básicos
A cinemática é a parte da Mecânica que estuda os movimentos. Como os 
movimentos são relativos, a descrição de cada um depende da referencial que 
estejamos utilizando.
a) Referencial
Chamamos de referencial qualquer corpo escolhido como referência, em 
relação ao qual serão descritas as posições de outros corpos. Normalmente, 
fixamos no referencial um sistema de coordenadas para melhor localizar as 
posições.
� Referencial Inercial – é aquele que encontra-se em repouso ou movimenta-se 
com velocidade constante em relação ao corpo em estudo.
�Referencial Acelerado – apresenta aceleração constante não nula em relação 
ao corpo em estudo.
b) Repouso e Movimento
Os conceitos de repouso e de movimento são sempre relativos a um referencial.
Um corpo está em repouso, em relação à um referencial, quando sua posição 
permanece inalterada no decorrer do tempo e, está em movimento quando sua 
posição modifica-se no decorrer do tempo.
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Conceitos Básicos
• O conceito de repouso de um 
corpo encontra-se vinculado ao 
referencial adotado para o estudo 
deste.
• O gráfico mostra um automóvel 
em repouso no quilômetro 100 de 
uma estrada. Ele se encontra no 
acostamento.
• O tempo está passando e a posição 
do carro não se altera em relação à 
um ponto fixo no acostamento.
• Neste referencial, o gráfico para 
um corpo em repouso é uma reta 
paralela ao eixo do tempo. A 
inclinação dessa reta em relação à 
abscissa (eixo dos tempos) é nula.
• Se houver qualquer inclinação, o 
corpo não estará em repouso.
0 60 120 180 240
100
50
r (km)
t (s)
Representação Gráfica de Repouso
Conceitos Básicos
c) Trajetória
A trajetória é o conjunto de todas as possíveis posições de um corpo em 
movimento, ou seja, é o formato do percurso do móvel. Esse percurso pode ser 
curvilíneo ou retilíneo, mas convém lembrar que a forma da trajetória também 
é um conceito relativo, pois depende do referencial do qual se está observando. 
Sobre uma trajetória define-se o ponto de partida do móvel em estudo e uma 
orientação — positiva ou negativa. O ponto de partida é denominado origem 
dos espaços ou simplesmente, origem. A orientação +/- é arbitrada pelo 
observador e serve para indicar o sentido no qual o móvel se desloca. Assim, se 
o móvel se deslocar no sentido positivo da trajetória, o movimento é dito 
progressivo e se for no sentido negativo, o movimento é chamado retrógrado.
^ +
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Conceitos Básicos
y
x
Conceitos Básicos
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Deslocamento e Distância Percorrida
Conceitos Básicos
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Conceitos Básicos
• O mesmo gráfico, posição r versus 
o tempo t pode indicar um outro 
tipo de movimento: o movimento 
em linha reta e com velocidade 
constante.
• Seja a situação: um automóvel 
percorre um total de 60 km na 
primeira hora de viagem, um total 
de 120 km na segunda hora, um 
total de 180 km na terceira hora 
e, finalmente, um total de 240 km 
na quarta hora de viagem.
• Com os dados, constrói-se um 
gráfico para o evento.
0 1 2 3 4 
t (h)
r (km)
240
180
120
60
Estudo Gráfico do Movimento
Conceitos Básicos
Observando o gráfico podemos dizer 
que existe uma proporção direta entre 
o tempo e a posição do automóvel. Se 
o tempo é dobrado, a posição também 
é o dobro da anterior. Ou seja, r ∝ t. 
Essa proporcionalidade passa a ser 
uma igualdade pela inserção de uma 
constante m (chamada constante de 
proporcionalidade). 
Logo, r = m.t
Mas, o que significa essa inclinação?
0 1 2 3 4 
t(h)
r(km)
240
180
120
60
Estudo Gráfico do Movimento
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Conceitos Básicos
x
y
m
xx
yy
m
∆
∆
=
−
−
= ou 
12
12
Recordando, temos que a inclinação de uma reta é dada por
 
t
d
 
tt
rr
m
∆
=
−
−
=
12
12
Estudo Gráfico do Movimento
Conceitos Básicos
12
12
tempotempo
posiçãoposição
v
−
−
=
r (km)
2
1
1 2 t (h)
Caso o gráfico não seja uma reta, 
podemos calcular também a velocidade 
em determinado intervalo de tempo 
especificado. Chamamos essa velocidade 
de velocidade média. Seu cálculo é 
bastante simples, bastando dividir o 
deslocamento, ou mudança de posição da 
partícula pelo intervalo de tempo. ∆t
∆r
t
r
v
∆
∆
=
Estudo Gráfico do Movimento
Velocidade Escalar Média
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Quando uma partícula move-se em linha 
reta e com velocidade constante, a 
velocidade é igual à inclinação da reta. Uma 
constante.
Se o gráfico não for uma reta então a 
partícula teve variações em sua velocidade 
durante a viagem. Pode ter parado por um 
tempo, andado mais rápido em pista seca e 
mais devagar em pista com neblina. Se o 
gráfico não é uma reta, teremos várias 
inclinações, ou seja, várias velocidades. O 
estudo da inclinação em cada ponto 
específico do gráfico nos dá a velocidade 
naquele instante. Chamamos isso de 
velocidade instantânea. 
A inclinação da reta tangente a 
dado ponto do gráfico representa 
a velocidade instantânea
Conceitos Básicos
Estudo Gráfico do Movimento
Velocidade Instantânea
r (km)
t (h)
ht
t
t
hkm
km
t
5,1min90451530
min45
min15
min30
/60
30
3
2
1
==++=∆
=∆
=∆
==∆
h
km
h
km
v
tempo
posição
v
6,66
5,1
100
==
∆
∆
=
Suponha que você esteja viajando de ônibus de Belo Horizonte a Ouro Preto, 
percorrendo os primeiros trinta quilômetros a 60 km/h. A seguir você 
reconhece o carro de seu amigo em um posto na estrada e pede o motorista 
para parar. 
Fica 15 minutos no posto conversando com seu amigo e a seguir segue para 
Ouro Preto, no carro dele, gastando 45 minutos no resto da viagem para 
percorrer os setenta quilômetros restantes. Qual a velocidade média entre o 
momento que você abandonou Belo Horizonte e chegou a Ouro Preto?
Cálculo do tempo total: Cálculo da distância total:
d = 30 + 70 = 100km
Cálculo da velocidade 
escalar média:
Exercício
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a
r (km)
t (min)
0 15 30 45 60 75 90
20
40
60
80
100
A inclinação da reta nos 
primeiros trinta minutos é dada 
por:
30km/0,5h = 60 km/h. 
Observe que no intervalo entre 
30 e 45 minutos a posição não foi 
alterada: os amigos estavam no 
posto. 
O tempo restante foi percorrido 
de automóvel a uma velocidade 
média de
70km/0,75h = 93,3 km/h. 
Isso pode ser claramente 
observado no gráfico onde a 
inclinação 3 é maior que a 
inclinação 1.
Exercício
0 15 30 45 60 75 90
20
40
60
80
100
A velocidade média total pode ser 
calculada pela inclinação da reta 
ligando os pontos inicial e final 
independente do que tenha 
acontecido durante a viagem. Essa 
reta está representada em 
vermelha no gráfico e sua 
inclinação é dada por
(100-0)km/(1,5-0)h = 66,6 km/h.
Naturalmente essa inclinação é 
maior que a do intervalo 1 e 
menor que a do intervalo 3, como 
era de se esperar.
1
2
3
Exercício
r (km)
t (min)
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Exemplo Prático
Final do 100 m nado livre – Olimpíadas de Atenas 2004
Velocidade Escalar Média
dos três primeiros colocados:
Conceitos Básicos
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Exemplo Prático
Decolagem de um F-14 Tomcat de um Porta Aviões
Velocidade de decolagem (final 
da trilha): 90 m/s
Tempo de decolagem: 3,8 s
http://www.youtube.com/watch?v=FkaGW-9dYs8
Exemplo Prático
Aterrisagem em um Porta AviõesVelocidade de chegada: ~ 130 m/s
Tempo de decolagem: 2,8 s
Sukhoi Su 33 
http://www.youtube.com/watch?v=rOOIERdUsEo
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Exemplo Prático
Aceleração de um Dragster de 0 à 528 km/h
Velocidade final: 147 m/s 
(≈ 528 km/h)
Tempo de arrancada: 4,428 s
http://www.youtube.com/watch?v=2tg6RDUFQJ4
�� �
147,0	 
 0 �/
4,428 
 0 
� 33,2	�/
�
�� � 3,4	�
Velocidade e Aceleração Médias
Recorde Mundial de Velocidade em terra
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Velocidade e Aceleração Médias
Recorde Mundial de Velocidade em terra
A desaceleração, ocorrida em um intervalo de tempo 
de 1,4 s, foi de -202 m/s2.
Tal valor equivale, aproximadamente, a - 20g
Cinemática Vetorial
Estudo dos Movimentos: 
Movimento Retilíneo Uniforme (MRU)
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Mov. Retilíneo Uniforme
Considere uma partícula se 
movendo do ponto A para o 
ponto B em uma trajetória 
horizontal e portanto, 
podemos escrever que 
Posição => x(t)
Nesse caso teremos um gráfico 
linear onde o coeficiente 
angular desta reta, será:
Estudo Gráfico do MRU
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Cinemática Vetorial
Estudo dos Movimentos: 
Movimento Retilíneo 
Uniformemente Variado (MRUV)
Mov. Uniformemente Variado
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- a velocidade varia proporcionalmente linear com o tempo: 
em intervalos de tempos iguais, a velocidade sofre o mesmo 
acréscimo.
- a equação que descreve a velocidade em função do tempo é 
Quando eliminamos o tempo entre as funções horárias da 
posição e da velocidade, obtemos a Equação de Torricelli:
Mov. Uniformemente Variado
http://www.youtube.com/watch?v=g-fv1UBeoqs
Função Horária da Posição
Graficamente, a 
dependência da posição 
com o tempo é quadrática 
quando a aceleração é 
constante. Então, neste 
caso, o gráfico
r = f(t) é uma parábola.
Estudo Gráfico do MUV
r (m)
t (s)
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a) Função Horária da Posição
Como o gráfico desta função 
resulta sempre numa 
parábola, ela pode apresentar 
sua concavidade voltada para 
cima ou para baixo:
O sinal da aceleração 
determina se a concavidade 
está voltada para cima ou para 
baixo
Estudo Gráfico do MUV
b) Função Horária da Velocidade: graficamente, obteremos uma 
função linear, cujo coeficiente angular será:
V(t)
∆V
V
Vo
V - Vo
a
Estudo Gráfico do MUV
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Exemplos:
Movimento com Aceleração Constante
http://phys23p.sl.psu.edu/phys_anim/mech/indexer_mech.html http://phys23p.sl.psu.edu/phys_anim/mech/indexer_mech.html
http://faraday.physics.utoronto.ca/PVB/Harrison/Flash/ClassMechanics/ConstantAccel/ConstantAccel.html
Exemplos:
Movimento com Aceleração Constante
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http://faraday.physics.utoronto.ca/PVB/Harrison/Flash/ClassMechanics/MotionDiagram/MotionDiagram.html
Exemplos:
Movimento com Aceleração Constante
Exemplos:
Movimento com Aceleração Constante
http://ngsir.netfirms.com/englishhtm/Kinematics.htm
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Exemplos:
Queda dos Corpos: O Martelo e a Pena
http://www.youtube.com/watch?v=yA4Xba6xrJg