Aula 6 - Minimos Quadrados

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- Método dos Mínimos Quadrados - 
Laboratório de Física Geral I 
Laboratório de Física Geral I – 2º semestre de 2014 
- Sala 205 - CCT 
Laboratório de Física Geral I 
 
Motivação 
Deseja-se avaliar o movimento retilíneo de um corpo a partir de medidas da 
velocidade (v) em função do tempo (t), representadas no gráfico abaixo. 
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110
0
50
100
150
200
250
300
350
400
450
500
Ve
lo
cid
ad
e 
(m
/s
)
Tempo (s)
Laboratório de Física Geral I 
 
Motivação 
Deseja-se avaliar o movimento retilíneo de um corpo a partir de medidas da 
velocidade (v) em função do tempo (t), representadas no gráfico abaixo. 
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110
0
50
100
150
200
250
300
350
400
450
500
Ve
lo
cid
ad
e 
(m
/s
)
Tempo (s)
MRU 
MRUV 
Laboratório de Física Geral I 
Considerando apenas o intervalo de tempo onde ocorre o MRUV, deseja-se 
determinar a aceleração e a velocidade inicial do corpo com base nos 
coeficientes angular e linear da reta que melhor representa os dados. 
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
0
50
100
150
200
250
300
350
Ve
lo
cid
ad
e 
(m
/s
)
Tempo (s)
Laboratório de Física Geral I 
Considerando apenas o intervalo de tempo onde ocorre o MRUV, deseja-se 
determinar a aceleração e a velocidade inicial do corpo com base nos 
coeficientes angular e linear da reta que melhor representa os dados. 
1ª abordagem: Escolha visual da reta 
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
0
50
100
150
200
250
300
350
Ve
lo
cid
ad
e 
(m
/s
)
Tempo (s)
Laboratório de Física Geral I 
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
0
50
100
150
200
250
300
350
Ve
lo
cid
ad
e 
(m
/s
)
Tempo (s)
Considerando apenas o intervalo de tempo onde ocorre o MRUV, deseja-se 
determinar a aceleração e a velocidade inicial do corpo com base nos 
coeficientes angular e linear da reta que melhor representa os dados. 
1ª abordagem: Escolha visual da reta 
BAxy +=
2/67,6
15
100 sm
x
yA ==
∆
∆
=
smB /15=
2/67,6 sma =
smv /150 =
Laboratório de Física Geral I 
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
0
50
100
150
200
250
300
350
Ve
lo
cid
ad
e 
(m
/s
)
Tempo (s)
Considerando apenas o intervalo de tempo onde ocorre o MRUV, deseja-se 
determinar a aceleração e a velocidade inicial do corpo com base nos 
coeficientes angular e linear da reta que melhor representa os dados. 
1ª abordagem: Escolha visual da reta Qual a melhor escolha? 
Laboratório de Física Geral I 
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
0
50
100
150
200
250
300
350
Ve
lo
cid
ad
e 
(m
/s
)
Tempo (s)
Considerando apenas o intervalo de tempo onde ocorre o MRUV, deseja-se 
determinar a aceleração e a velocidade inicial do corpo com base nos 
coeficientes angular e linear da reta que melhor representa os dados. 
2ª abordagem: Método dos Mínimos Quadrados 
 
Métodos dos Mínimos Quadrados 
 
Procedimento que tem por finalidade obter a curva que melhor representa um 
conjunto de dados experimentais do tipo {(x1,y1), (x2,y2),...(xN,yN)}. Para isto, 
deseja-se encontrar os parâmetros que minimizam as distâncias de cada ponto 
à curva. 
Regressão linear: 
Determinar os parâmetros A e B que minimizam a soma dos desvios 
quadráticos, função denominada qui-quadrado: 
 
 
Ou seja, encontrar A e B tais que 
 
 
Laboratório de Física Geral I 
,BAxy +=
( )∑ −−= 22 BAxy iiχ
0
22
=
∂
∂
=
∂
∂
BA
χχ
 
Métodos dos Mínimos Quadrados 
Regressão linear: 
Desta forma, encontram-se os coeficientes angular e linear com seus 
respectivos erros: 
Laboratório de Física Geral I 
( )
( )∑
∑
−
−
= 2xx
yxx
A
i
ii
( )∑ −
=∆
2xx
SA
i
xAyB −=
( )∑ −
+=∆ 2
21
xx
x
N
SB
i( )
2
2
2
−
−−
= ∑
N
BAxy
S ii
 
(Variância dos yi) 
,BAxy +=
 
Obs.: A reta passa pelo ponto ),( yx
Laboratório de Física Geral I 
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
0
50
100
150
200
250
300
350
Ve
lo
cid
ad
e 
(m
/s
)
Tempo (s)
Considerando apenas o intervalo de tempo onde ocorre o MRUV, deseja-se 
determinar a aceleração e a velocidade inicial do corpo com base nos 
coeficientes angular e linear da reta que melhor representa os dados. 
2ª abordagem: Método dos Mínimos Quadrados 
t(s) v (m/s) 
5 50 
10 73 
15 110 
20 145 
25 170 
30 210 
35 242 
40 290 
45 312 
Laboratório de Física Geral I 
Considerando apenas o intervalo de tempo onde ocorre o MRUV, deseja-se 
determinar a aceleração e a velocidade inicial do corpo com base nos 
coeficientes angular e linear da reta que melhor representa os dados. 
2ª abordagem: Método dos Mínimos Quadrados 
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
0
50
100
150
200
250
300
350
Ve
lo
cid
ad
e 
(m
/s
)
Tempo (s)
( )vt ,
2/)2,08,6( sma ±=
( ) smv /490 ±=
gm )5,08,420( ±=Se 
Então NF )08,086,2( ±=
Explorando mais... 
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