Calculo 1 Prova 1 - Resolução 1

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RESPOSTAS DA AVALIAÇÃO 1
1. (2,0) O gráfico da função é
Os conjuntos procurados são
D(f ) = R e Im(f ) = (−∞, 0) ∪ [2, 3).
2. (2,0)(a) Temos (f ◦ g)(x) = f (g(x)) = f (1x
) =√1x + 1
(g ◦ f )(x) = g(f (x)) = g(√x + 1) = 1√x + 1(b) Note que Df = [−1,∞) e Dg = (−∞, 0) ∪ (0,+∞). Logo,Df◦g = {x ∈ Dg;g(x) ∈ Df}= {x ∈ (−∞, 0) ∪ (0,+∞); 1/x ∈ [−1,∞)}= (−∞,−1] ∪ (0,∞)
e
Dg◦f = {x ∈ Df ; f (x) ∈ Dg}= {x ∈ [−1,∞);√x + 1 ∈ (−∞, 0) ∪ (0,+∞)}= (−1,∞)
Por fim, analizando as regras que definem f ◦ g e g ◦ f , concluímos
Imf◦g = [0, 1) ∪ (1,∞)Img◦f = (0,∞).
3. (3,0) Calcule, caso existam, os limites dados a seguir:
(a) Fazendo a divisão de x3 − x − 6 por x − 2, obtemos x2 + 2x + 3. Logo
limx→2 x3 + 3x2 − 9x − 2x3 − x − 6 = limx→2 (x + 2)(x − 2)(x − 2)(x2 + 2x + 3)= limx→2 x + 2x2 + 2x + 3= 2 + 222 + 2 · 2 + 3 = 411(b)
limx→0 1−
√1− x2x2 = limx→0 1−
√1− x2x2 · 1 +
√1− x21 +√1− x2= limx→0 1− 1 + x2x2(1 +√1− x2)= limx→0 11 +√1− x2 = 11 +√1− 02 = 12(c) Temos
limx→−2+ (x + 3)|x + 2|x + 2 = limx→−2+ (x + 3)(x + 2)x + 2= limx→−2+(x + 3) = 1e
limx→−2− (x + 3)|x + 2|x + 2 = limx→−2− (x + 3)(−1)(x + 2)x + 2= limx→−2−(−x − 3) = −1Logo, como os limites laterais são distintos, concluimos que o limite não existe.
4. (1,0) Note que −1 ≤ cos 1x ≤ 1 para todo x 6= 0, ou seja
−x2 ≤ x2 cos 1x ≤ x2.Como limx→0(−x2) = limx→0 x2 = 0, segue pelo Teorema do Confronto que
limx→0 x2 cos 1x = 0.5. (2,0) Note que
limx→±∞ f (x) = limx→±∞ x2 + 8x − 20x2 − x − 2
= x2x2 + 8xx2 − 20x2x2x2 − xx2 − 2x2= 1 + 8x − 20x21− 1x − 2x2 = 1Logo, y = 1 é assíntota horizontal do gráfico de f . Por outro lado, x = 2 e x = −1 são as raízes dex2 − x − 2, ou seja, indeterminações da função f . Sendo 2 e −10 as raízes de x2 + 8x − 20, temos
limx→2 x2 + 8x − 20x2 − x − 2 = limx→2 (x − 2)(x + 10)(x − 2)(x + 1)= limx→2 x + 10x + 1 = 123 = 4e
limx→−1+ x2 + 8x − 20x2 − x − 2 = limx→−1+ (x − 2)(x + 10)(x − 2)(x + 1)= −270− = +∞.Portanto, x = −1 é assíntota vertical do gráfico de f .
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BOA PROVA!!!
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