Inferencia Estatistica

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Início » Probabilidades » 6 - Modelos probabilísticos contínuos
6.6 - Distribuição F de Snedecor
A distribuição F de Snedecor também conhecida como distribuição de Fisher é frequêntemente utilizada na inferência estatística para análise da variância, mais detalhes pode ser encontrado na apostila de inferência.
Definição 6.6.1: Uma variável aleatória contínua tem distribuição de Snedecor com graus de liberdade no numerador e graus de liberdade no denominador se sua função densidade de probabilidade é definida por
	
	
Neste caso, utilizamos a notação .
O gráfico abaixo ilustra a função densidade da distribuição de Snedecor com parâmetros e .
Exemplo Um importante exemplo da distribuição de Snedecor corresponde a estatística ·. Suponha que temos duas populações independentes tendo distribuições normais com variâncias iguais a . Considere  uma amostra aleatória da primeira população com observações e  uma amostra aleatória da segunda população com observações. Então, a estatística
	
	
tem distribuição de Snedecor com graus de liberdade no numerador e graus de liberdadade no denominador, onde e sãos os desvios padrão amostrais da primeira e da segunda amostra, respectivamente.
 
Teorema 6.6.1: Considere e  variáveis aleatórias com distribuição qui-quadrado com e graus de liberdade, respectivamente. Além disso, suponha que estas variáveis aleatórias são independentes. Então a variável aleatória
	
	
tem distribuição de Snedecor com graus de liberdade no numerador e graus de liberdade no denominador.
Demonstração: Seja uma variável aleatória positiva com função densidade de probabilidade e uma variável aleatória com função densidade . Suponha que as variáveis aleatórias e sejam independentes. Neste caso, a função densidade de probabilidade conjunta é dada por . Considere a fração . Neste caso, a função densidade conjunta do quociente é dada por
	
	
em que . Assim temos que 
	
	
Considerando a mudança de variável ; temos que:
	
	
Assim, a função densidade de probabilidade de é dada por
	
	
 Como e são independentes, a distribuição conjunta do quociente é dada por
	
	
 
Portanto a distribuição do quociente , com e é dada por:
	
	
de onde concluimos que
	
	
lembrando que . Fazendo a substituição e reorganizando a integral acima temos que:
	
	
Para finalizar, tomamos e, neste caso, temos que 
	
	
Ao realizarmos a transformação de variáveis , concluímos que
	
	
Ao substituirmos, concluímos que segue uma distribuição com graus de liberdade no numerador e graus de liberdade no denominador.
 
Função Geradora de Momentos, Valor Esperado e Variância
Não existe função geradora de momentos para a distribuição de Snedecor.
Assim vamos calcular o valor esperado de X com .
	
	
e, portanto,
	
	
A variância da distribuição é dada por
	
	
6.4 - Distribuição t de Student
A distribuição t de Student é uma das distribuições mais utilizadas na estatística, com aplicações que vão desde a modelagem estatística até testes de hipóteses.  
Definição 6.4.1: Uma variável aleatória contínua tem distribuição de Student com graus de liberdade se sua função densidade de probabilidade é dada por
	
	
Utilizamos a notação .
 
Propriedades da distribuição t de Student:
A função densidade da distribuição t de Student tem a mesma forma em sino da distribuição Normal, mas reflecte a maior variabilidade (com curvas mais alargadas) que é de se esperar em amostras pequenas.
Quanto maior o grau de liberdade, mais a distribuição t de Student se aproxima da distribuição Normal.
 
Abaixo temos um gráfico da função densidade de um t de Student com 10 graus de liberdade.
 
Exemplo: Considere variáveis aleatórias independentes e com distribuição normal com média e desvio padrão . Então, a variável
	
	
onde é o desvio padrão amostral, tem distribuição de Student com graus de liberdade. Este fato é decorrente do teorema a seguir.
 
Teorema: Considere e duas variáveis aleatórias independentes tal que e . Defina como sendo uma variável aleatória de tal forma que
	
	
Temos que a variável aleatória tem distribuição de Student com graus de liberdade.
Demonstração: A função densidade de probabilidade conjunta de e é dada por
	
	
Considerando a transformação
	
	
o jacobiano é e então
	
	
e
	
	
Na sequência, ao fazermos a mudança de variável 
	
	
obtemos que 
	
	
que é a função densidade de probabilidade de uma distribuição com graus de liberdade.
 
Função geradora de momentos, Valor esperado e Variância
 
A função geradora de momentos da de Student não está definida para todos os graus de liberdade, entretanto podemos encontrar os momentos da função t de Student para alguns graus de liberdade.
Desta forma seja , então
	
	
O valor esperado da de student, é zero se caso contrário não está definido. Basta observarmos que , ou seja, utilizando a formula dos momentos temos que é ímpar e assim, está definido apenas se .
Utilizando a fórmula dos momentos da distribuição de Student podemos calcular a variância de .
	
	
Entretanto para que variância esteja definida necessitamos que , caso contrário, não estará definida. Assim 
	
	
6.3 - Distribuição qui-quadrado
A distribuição qui-quadrada pode ser interpretada de duas forma, como um caso particular da distribuição gamma, que será analisada mais adiante, ou como sendo a soma de normais padronizada ao quadrado. Tomamos, tome então 
	
	
Esse fato será demonstrado no teorema 6.3.1.
 
Definição 6.3.1: Uma variável aleatória contínua tem distribuição qui-quadrado com graus de liberdade se sua função densidade for dada por:
	
	
sendo . Denotamos .
 
O gráfico abaixo mostra a função qui-quadrado com 2 graus de liberdade.
Notemos pelo gráfico da distribuição qui-quadrado que ela é assimétrica e positiva, isto vale para qualquer grau de liberdade. Sua positividade é fácil de ser verificada, pois ela é soma de normais ao quadrado, portanto só pode ser positiva. A distribuição qui-quadrado possui diversas aplicações na inferência estatística. 
Para entender a ideia de graus de liberdade, consideremos um conjunto de dados qualquer. Graus de liberdade é o número de valores deste conjunto de dados que podem variar após terem sido impostas certas restrições a todos os valores. Por exemplo, consideremos que estudantes obtiveram em um teste média . Assim, a soma das notas deve ser (restrição). Portanto, neste caso, temos um grau de liberdade de , pois as nove primeiras notas podem ser escolhidas aleatoriamente, contudo a ª nota deve ser igual a [ - (soma das primeiras)]. 
Observação 6.3.1: Se , então temos que , ou seja a distribuição qui-quadrado é um caso particular da distribuição Gama. A distribuição Gama será apresentada no tópico 6.9.
Exemplo 6.3.1: Suponha que  sejam variáveis aleatórias normais independentes e identicamente distribuídas com média e desvio padrão . Então, temos que a estatística
	
	
tem distribuição qui-quadrado com graus de liberdade, onde é o desvio padrão amostral.
O número de graus de liberdade de uma soma de quadrados corresponde ao número de elementos independentes na soma de quadrados. Considerando novamente  variáveis aleatórias normais independentes e identicamente distribuídas com média  e desvio padrão , temos que os elementos da soma de quadrados não são todos independentes. Na realidade, somente destes elementos são independentes, implicando que tem graus de liberdade. Podemos encontrar mais detalhes sobre isso na apostila de inferência. 
 
Exemplo 6.3.2: Suponha agora que segue uma distribuição qui-quadrado com graus de liberdade e queremos encontrar e tais que . Para isto notemos que
	
	
o que implica que
	
	
Assim e .
 
Observação 6.3.1: Observamos que poderíamos ter encontrado outros valores de e para os quais , porém, na prática, sempre buscamos por valores de forma que as probabilidade .
 
Exemplo 6.3.3: Sejauma variável aleatória com distribuição normal padronizada. Vamos mostrar que , segue uma distribuição com um grau de liberdade.
Seja , então
	
	
Observe que na última igualdade foi usado o fato da função normal padronizada ser simétrica em torno de zero. Agora basta apenas fazermos uma mudança de variável tomando , então , assim obtemos que:
	
	
Aqui vale uma observação, para mostramos que segue uma distribuição qui-quadrado, precisamos usar o fato de que , e portanto a distribuição acima é uma .
 
Teorema 6.3.1: Sejam variáveis aleatórias independentes, com e . Então segue uma distribuição qui-quadrado com graus de liberdade.
Vamos demonstrar este teorema via a função geradora de momentos. Como as variáveis aleatórias são independentes, temos que
	
	
Mas
	
	
e, portanto,
	
	
 em que a última integral é igual a 1, pois se trata justamente de uma normal com média zero e variância . Portanto,
	
	
corresponde a função geradora de momentos da distribuição qui-quadrado com graus de liberdade. E o resultado segue.
 
Função Geradora de Momentos, Valor Esperado e Variância
 
Como visto no Teorema 6.3.1, se é uma variável aleatória com distribuição qui-quadrado com graus de liberdades, sua função geradora de momentos é dada por:
	
	
Desta forma, temos que
	
	
e
	
	
Portanto, podemos calcular o valor de esperado e a variância da variável . De fato, temos que 
	
	
e
	
	
de onde concluímos que
	
	
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