Relatório 7 Bobinas de Helmholtz e razão carga massa do elétron

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Eletromagnetismo 1 
 
 
 
 
 
 
 
Experimento 7 – Bobinas de Helmholtz e razão carga massa do elétron 
 
 
 
Eduardo Divino 180069934 
Wendell Cruzeiro 180070096 
Wesley Vieira 180800377 
 
 
 
Eletromagnetismo, Profa. Dra. Adriana Ibaldo e Prof. Dr. Antony Polito 
 
 
 
18 de junho de 2018. 
 
 
 
O presente relatório se baseia na execução da sequência experimental conhecida como Bobinas de 
Helmholtz. O experimento foi dividido em duas partes objetivando estudar a configuração do campo 
magnético produzido por espiras circulares e a interação entre um feixe de elétrons e esse campo 
magnético. Para o campo de uma única espira encontramos o valor de 1,44 mT que diverge do valor 
teórico em apenas 0,79 % e para o campo magnético das Bobinas de Helmholtz encontramos o valor 
de 2,0436 mT que diverge do valor teórico em 1,61%. Para a razão carga massa do elétron obtivemos 
0,7283×1011 C/kg que apresenta uma diferença percentual de 58,6 % em relação ao valor atualmente 
conhecido. 
 
 
 
1. Objetivo 
 
Este experimento foi dividido em duas partes e tem como objetivos 
principais: mapear o campo magnético produzido por um par de bobinas circulares 
planas – Bobinas de Helmholtz – buscando-se averiguar a uniformidade do campo 
magnético na região entre as bobinas e, posteriormente, este arranjo foi utilizado para 
determinar a razão entre a carga e massa do elétron a partir das trajetórias observadas 
de um feixe de elétrons em um tubo de raios catódicos. 
 
Eletromagnetismo 2 
 
2. Introdução Teórica 
 
Grandes partes das aplicações tecnológicas estão vinculas à produção de 
um campo magnético uniforme de baixa intensidade em um volume relativamente 
grande. A fim de se obter tal campo utiliza-se com frequência o aparato proposto por 
Hermann Ludwig Ferdinand von Helmholtz (1821-1894), atualmente conhecido como 
bobina de Helmholtz, o qual consiste em na associação de duas bobinas circulares 
planas e paralelas de raio 𝑏, cada uma contendo 𝑁 espiras, em série e separadas por 
uma distância equivalente ao raio. 
Este aparato possui uma vasta gama de aplicações, que passam pela 
determinação experimental de grandezas utilizadas na teoria como a determinação 
do coeficiente de susceptibilidade magnética relativa e absoluta do meio, 
determinação das componentes horizontal e vertical do campo magnético terrestre; 
outrora, podemos utilizar as bobinas de Helmholtz para a calibração aparatos 
tecnológicos como de medidores de campo magnético de baixa frequência e de 
equipamentos de navegação, também se pode produzir o estudo dos efeitos de 
campos magnéticos em componentes ou equipamentos eletrônicos, o estudo de 
efeitos biomagnéticos ou ainda o estudo da performance de tubos de 
fotomultiplicadores em campos magnéticos; pode-se produzir ajuste de tubos de raios 
catódicos; medidas de magnetorresistência, desmagnetização de pequenas peças de 
materiais ferromagnéticos usados na ciência de naves espaciais. 
Podemos utilizar a Lei de Biot-Savart para calcular facilmente o campo 
magnético produzido por uma espira circular plana representada na figura 1-a. 
 
 𝑑𝐵%⃗ = 	𝜇*𝐼4𝜋 𝑑𝑙 × 𝑟𝑟1 (1) 
 
onde 𝜇* é a permissividade magnética do vácuo, 𝑟 é o vetor que liga o elemento de 
comprimento do condutor 𝑑𝑙 ao ponto sobre o eixo 𝑧 que se deseja calcular o campo 
magnético 𝐵%⃗ . 
 
 
Eletromagnetismo 3 
 
 
Figura 1 - Campo magnética de uma espira: a) no plano x-y. b) linhas de campo magnético. 
 
Sendo 𝑑𝑙 perpendicular à 𝑟, e estes perpendiculares à 𝑑𝐵%⃗ , podemos 
reescrever a equação (1) da seguinte forma 
 
 𝑑𝐵 = 	𝜇*𝐼4𝜋 	𝑑𝑙𝑟3 = 	𝜇*𝐼4𝜋 	 𝑑𝑙𝑏3 + 𝑧3	 (2) 
 
onde 𝑧 é a distância do centro da espira até o ponto que se deseja calcular o campo 
magnético. 
Pela figura 1-a podemos notar que o campo magnético 𝑑𝐵%⃗ pode ser 
decomposto em duas direções: uma radial (𝑑𝐵6) e outra axial (𝑑𝐵8). Ao realizarmos a 
integração da equação (2) podemos perceber que, para quaisquer dois elementos do 
fio condutor diametralmente opostos, teremos que suas componentes radiais serão 
cancelas por serem opostas e as componentes axiais serão somadas, uma vez que 
apontam na mesma direção – trata-se de uma questão de simetria. 
 
 𝐵6 = 0 (3) 
 
e o campo na direção do eixo 𝑧 passa ser dado, multiplicando a equação (2) pelo fator cos𝜃 e considerando que cada bobina tem um número 𝑁 de espiras, teremos: 
 
 𝐵 = 	𝐵8 = 	𝑁 𝜇*𝐼2 	 𝑏3(𝑏3 + 𝑧3)1 3⁄ (4) 
6.5 Fields of rings and coils 299
We seem to have discarded the vector potential as soon as it per-
formed one essential service for us. Indeed, it is often easier, as a prac-
tical matter, to calculate the field of a current system directly, now that
we have Eq. (6.49), than to find the vector potential first.9 We shall prac-
tice on some examples in Section 6.5. However, the vector potential is
important for deeper reasons. For one thing, it has revealed to us a strik-
ing parallel between the relation of the electrostatic field E to its sources
(static electric charges) and the relation of the magnetostatic field B to
its sources (steady electric currents; that’s what magnetostatic means).
Its greatest usefulness becomes evident in more advanced topics, such as
electromagnetic radiation and other time-varying fields.
(b)
d B
y
x
r
z
(a)
b
q
I
I
dq
Figure 6.15.
The magnetic field of a ring of current.
(a) Calculation of the field on the axis. (b) Some
field lines.
6.5 Fields of rings and coils
We will now do two examples where we use Eq. (6.49) to calculate a
magnetic field. The second example will build on the result of the first.
Example (Circular ring) A current filament in the form of a circular ring of
radius b is shown in Fig. 6.15(a). We could predict without any calculation that
the magnetic field of this source must look something like Fig. 6.15(b), where
we have sketched some field lines in a plane through the axis of symmetry. The
field as a whole must be rotationally symmetrical about this axis, the z axis in
Fig. 6.15(a), and the field lines themselves (ignoring their direction) must be
symmetrical with respect to the plane of the loop, the xy plane. Very close to the
filament the field will resemble that near a long straight wire, since the distant
parts of the ring are there relatively unimportant.
It is easy to calculate the field on the axis, using Eq. (6.49). Each element of
the ring of length dl contributes a dB perpendicular to r. We need only include
the z component of dB, for we know the total field on the axis must point in the
z direction. This brings in a factor of cos θ , so we obtain
dBz = µ0I4π
dl
r2
cos θ = µ0I
4π
dl
r2
b
r
. (6.52)
Integrating over the whole ring, we have simply
∫
dl = 2πb, so the field on the
axis at any point z is
Bz = µ0I4π
2πb2
r3
= µ0Ib
2
2(b2 + z2)3/2 (field on axis). (6.53)
At the center of the ring, z = 0, the magnitude of the field is
Bz = µ0I2b (field at center). (6.54)
Note that the field points in the same direction (upward) everywhere along the
z axis.
9 The main reason for this is that if we want to use A to calculate B at a given point, we
need to know what A is at nearby points too. That is, we need to know A as a function
of the coordinates so that we can calculate the derivatives in the curl. On the other
hand, if we calculate B via Eq. (6.49), we simply need to find B at the one given point.
6.5 Fields of rings and coils 299
We seem to have discarded the vector potential as soon as it per-
formed one essentialservice for us. Indeed, it is often easier, as a prac-
tical matter, to calculate the field of a current system directly, now that
we have Eq. (6.49), than to find the vector potential first.9 We shall prac-
tice on some examples in Section 6.5. However, the vector potential is
important for deeper reasons. For one thing, it has revealed to us a strik-
ing parallel between the relation of the electrostatic field E to its sources
(static electric charges) and the relation of the magnetostatic field B to
its sources (steady electric currents; that’s what magnetostatic means).
Its greatest usefulness becomes evident in more advanced topics, such as
electromagnetic radiation and other time-varying fields.
(b)
d B
y
x
r
z
(a)
b
q
I
I
dq
Figure 6.15.
The magnetic field of a ring of current.
(a) Calculation of the field on the axis. (b) Some
field lines.
6.5 Fields of rings and coils
We will now do two examples where we use Eq. (6.49) to calculate a
magnetic field. The second example will build on the result of the first.
Example (Circular ring) A current filament in the form of a circular ring of
radius b is shown in Fig. 6.15(a). We could predict without any calculation that
the magnetic field of this source must look something like Fig. 6.15(b), where
we have sketched some field lines in a plane through the axis of symmetry. The
field as a whole must be rotationally symmetrical about this axis, the z axis in
Fig. 6.15(a), and the field lines themselves (ignoring their direction) must be
symmetrical with respect to the plane of the loop, the xy plane. Very close to the
filament the field will resemble that near a long straight wire, since the distant
parts of the ring are there relatively unimportant.
It is easy to calculate the field on the axis, using Eq. (6.49). Each element of
the ring of length dl contributes a dB perpendicular to r. We need only include
the z component of dB, for we know the total field on the axis must point in the
z direction. This brings in a factor of cos θ , so we obtain
dBz = µ0I4π
dl
r2
cos θ = µ0I
4π
dl
r2
b
r
. (6.52)
Integrating over the whole ring, we have simply
∫
dl = 2πb, so the field on the
axis at any point z is
Bz = µ0I4π
2πb2
r3
= µ0Ib
2
2(b2 + z2)3/2 (field on axis). (6.53)
At the center of the ring, z = 0, the magnitude of the field is
Bz = µ0I2b (field at center). (6.54)
Note that the field points in the same direction (upward) everywhere along the
z axis.
9 The main reason for this is that if we want to use A to calculate B at a given point, we
need to know what A is at nearby points too. That is, we need to know A as a function
of the coordinates so that we can calculate the derivatives in the curl. On the other
hand, if we calculate B via Eq. (6.49), we simply need to find B at the one given point.
 
Eletromagnetismo 4 
 
No centro da bobina, 𝑧 = 0, a intensidade do campo magnético é dada pela 
equação abaixo. 
 𝐵 = 	𝑁 𝜇*𝐼2𝑏 (5) 
 
Vale notar que o campo magnético aponta sempre na mesma direção em 
todos lugares ao longo do eixo 𝑧 como apresentado na figura 1-b. 
Considerando a bobina que será utilizada em laboratório (𝑏 = 20	𝑐𝑚, 𝑁 =154	𝑒𝑠𝑝𝑖𝑟𝑎𝑠) sendo percorrida por uma corrente elétrica 𝐼 = 3	𝐴, podemos fazer uma 
previsão teórica para o campo produzido em seu centro. 
 
 𝐵(0) = 1,451	𝑚𝑇 (6) 
 
Como dito anteriormente, a ideia proposta por Helmholtz foi associar duas 
espiras idênticas em série e posicioná-las a uma distância igual ao raio. Estando 
associadas em série podemos garantir por meio da regra da mão direita – nos fornece 
a direção do campo magnético produzido por uma corrente – que as magnitudes dos 
campos das bobinas serão somadas (ver figura 2). 
 
 
Figura 2 - Campo magnético das Bobinas de Helmholtz. 
 
De acordo com a equação (4), estando as bobinas centradas na origem 
podemos obter a expressão para o campo magnético no ponto médio (centro das 
bobinas de Helmholtz). 
 
Eletromagnetismo 5 
 
 𝐵M = 𝐵 N𝑏2O + 	𝐵 N−𝑏2O = 2 ∙ 𝐵 N𝑏2O (7) 
 
 𝐵 = 	𝑁 𝜇*𝐼2 	 𝑏3N𝑏3 + RS3T3O1 3⁄ 
(8) 
 
Para o par de bobinas utilizadas no roteiro base deste relatório, podemos 
simplificar a expressar e escrevê-la da seguinte forma: 
 
 𝐵 = 0,716	𝑁 𝜇*𝐼𝑏 (9) 
 
cujo valor teórico previsto para o caso de ser percorrido por uma corrente elétrica 𝐼 =3	𝐴 é: 
 𝐵 = 2,0771	𝑚𝑇 (10) 
 
Dentre várias aplicações para o arranjo experimental proposto por 
Helmholtz, aquele que tem sido mais utilizado nas salas de aula devido seu caráter 
demonstrativo é aquele que foi utilizado em 1897 por Thomson para determinar a 
razão entre a carga e a massa do elétron. 
Se um elétron de massa 𝑚 é acelerado por uma diferença de potencial 𝑈, 
sua energia cinética é dada por: 
 
 𝑒𝑈 = 	12𝑚𝑣3 (11) 
 
onde 𝑣 é a velocidade do elétron. 
Se esse elétron penetra numa região onde há um campo magnético 𝐵, 
surge sobre ele uma força de caráter magnético dado pela equação de Lorentz. 
 
 �⃗� = 𝑒𝑣 × 𝐵%⃗ (12) 
 
 
Eletromagnetismo 6 
 
Como sabemos essa força é simultaneamente perpendicular à velocidade 
e ao campo magnético, atuando como resultante centrípeta. Podemos escrever a 
velocidade do elétron nessa trajetória, onde 𝑟 é o raio da trajetória circular. 
 
 𝑣 = 	 𝑒𝐵𝑟𝑚 (13) 
 
Combinando as equações (11) e (13) escrevemos uma expressão para a 
razão entre a carga e a massa do elétron. 
 
 𝑒𝑚 = 	 2𝑈(𝐵𝑟)3 (14) 
 
Os valores atuais para a carga e massa do elétron nos levam a calcular a 
seguinte razão teórica que servirá de parâmetro para comparação dos resultados 
obtidos em laboratório. 
 
 𝑒𝑚 = 	 1,60217662 × 10Z[\	𝐶9,10938356	 × 10Z1[	𝑘𝑔 = 1,75882002 × 10[[ 	𝐶 𝑘𝑔b (15) 
 
3. Materiais 
 
Na montagem dos circuitos foram necessários alguns equipamentos e 
componentes, que foram fornecidos pela instituição. Segue abaixo a listagem de 
materiais utilizados neste relatório. O experimento foi divido em duas partes, sendo a 
primeira representada pela figura 3 o circuito montado a fim de se estudar o campo 
magnético em uma espira e em um par de espiras na configuração proposta por 
Helmholtz. A segunda parte do experimento está representada nas figuras 4 e 5, 
através da qual busca-se encontrar a razão entre a carga e a massa do elétron. 
 
• Tubo de raios catódicos. 
• Um par de bobinas de Helmholtz. 
• Fonte de 0..18 V e fonte de CONSTANTER 0..50 V, 0..150 V, 0..300 V 
e 6,3 V. 
 
Eletromagnetismo 7 
 
• Teslâmetro digital com sonda Hall. 
• Multímetros e réguas. 
• Braçadeiras de ângulo reto e base para suporte. 
 
 
Figura 3 - Aparato experimental Etapa 1: 1) Teslâmetro. 2) Sonda Hall. 3) Amperímetro. 4) Fonte. 5) Bobinas de Helmholtz. 
 
 
Figura 4 - Aparato experimental Etapa 2. 
 
 
Eletromagnetismo 8 
 
 
Figura 5 - Esquema de conexão do tubo de raios catódicos filiformes. 
 
4. Procedimentos 
 
 A primeira parte do experimento foi dividido em dois momentos e consistiu 
na aferição do campo magnético de dois arranjos experimentais – representados na 
figura (3): uma bobina circular e duas bobinas circulares planas e paralelas associadas 
em série (Bobinas de Helmholtz). 
Foram utilizados dois suportes ajustados de maneira que a régua estivesse 
alinhada exatamente sobre o eixo axial da bobina – o ponto localizado no centro da 
bobina foi considerado a origem do sistemade referência. Utilizando uma fonte de 
tensão fez-se percorrer uma corrente elétrica de intensidade 𝑖 = 3	𝐴 pela bobina, com 
uma sonda Hall foram aferidos os valores do campo magnético sobre seu eixo axial; 
os dados aferidos estão representados na tabela (1). 
Na sequência conectou-se em série mais uma bobina, idêntica à primeira, 
e com o auxílio de uma braçadeira de ângulo reto foi montado o circuito que leva o 
nome de Bobinas de Helmholtz – o ponto médio entre as bobinas foi considerado 
como a origem do sistema de referência. Novamente a régua, através dos suportes, 
foi alinhada exatamente sobre o eixo axial do arranjo experimental. 
Foram realizadas duas medidas para as Bobinas de Helmholtz. Na primeira 
medida variou-se a corrente elétrica de zero a 3	𝐴 e se aferiu o campo magnético no 
centro geométrico do conjunto; os dados estão representados na tabela (2). Na 
segunda medida uma corrente elétrica de intensidade 𝑖 = 3	𝐴 foi fixada no circuito e a 
 
Eletromagnetismo 9 
 
sonda Hall foi deslocada sobre o eixo de simetria das bobinas a fim de mapear o 
campo magnético ao longo desse eixo (na região interior das bobinas a sonda foi 
deslocada em intervalos menores); os dados estão representados na tabela (3). 
Na segunda parte do experimento, cujo objetivo era mensurar elementos 
para calcular a razão entre a carga e a massa do elétron, utilizou-se o esquema 
experimental mostrado nas figuras (4) e (5); o aparato experimental já havia sido 
montado na bancada pelo técnico laboratorial da UnB. 
Uma vez ajustados os valores para as tensões de aceleração e de 
enrolamento, o procedimento foi realizado com as luzes apagadas a fim de que o raio 
catódico fosse melhor visualizado. O tubo foi girado até que se obteve uma curva 
fechada. 
Foram feitas duas medições neste arranjo experimental. Na primeira, uma 
tensão de 99	𝑉 foi fixada e fez-se variar a corrente elétrica nas bobinas – para cada 
valor de corrente elétrica foi anotado o raio da trajetória descrita pelo raio catódico. Na 
segunda medição, a tensão de aceleração foi mantida constante e variou-se a 
corrente de enrolamento de forma a obter circunferências de diferentes raios; os 
valores estão representados na tabela (4). 
 
5. Dados 
 
Após a realização dos procedimentos experimentais os dados de cada 
parte estão representados nas tabelas abaixo; a numeração e os títulos auxiliam na 
orientação dos dados apresentados. 
 
Tabela 1 - Valores para o campo magnético sobre o eixo axial da bobina em função da distância. 
Distância (cm) Campo Magnético (mT) 
-30 0,23 
-25 0,33 
-20 0,47 
-15 0,70 
-10 1,00 
-5 1,29 
0 1,44 
5 1,30 
10 1,00 
 
Eletromagnetismo 10 
 
15 0,70 
20 0,49 
25 0,34 
30 0,22 
 
 
Tabela 2 - Valores para o campo magnético no centro 
das bobinas em função da corrente elétrica. 
Corrente 
elétrica (A) 
Campo 
Magnético (mT) 
0,000 0,020 
0,235 0,130 
0,404 0,260 
0,613 0,400 
0,802 0,510 
1,011 0,660 
1,210 0,740 
1,411 0,870 
1,608 1,000 
1,815 1,160 
2,050 1,320 
2,202 1,430 
2,407 1,560 
2,602 1,700 
2,803 1,840 
3,043 2,000 
 
Tabela 3 - Valores para o campo magnético sobre o eixo 
axial das bobinas em função da distância – i = 3 A. 
Distância (cm) Campo Magnético (mT) 
-30 0,71 
-25 0,99 
-20 1,28 
-15 1,67 
-10 1,95 
-8 2,04 
-6 2,04 
-4 2,05 
-2 2,08 
0 2,08 
2 2,09 
4 2,08 
6 2,07 
8 2,03 
10 1,97 
15 1,68 
20 1,26 
25 0,95 
30 0,67 
 
Tabela 4 - Valores para os raios das trajetórias em função da corrente elétrica e da tensão de aceleração. 
U = 99 V i = 1,45 A 
i (A) raio (cm) U (V) raio (cm) 
0,78 11,00 88 4 
0,89 8,00 110 6 
1,15 6,00 156 8 
1,45 5,40 233 10 
 
 
 
Eletromagnetismo 11 
 
6. Análise de Dados 
 
A partir da equação (4) podemos calcular a intensidade do campo 
magnético teórico para o eixo de simetria com os valores de distância utilizados 
experimentalmente – dados apresentados na tabela (1). Podemos comparar os 
valores teóricos com os valores experimentais e vermos a diferença percentual entre 
tais valores, além de plotar o gráfico do campo magnético experimental em função da 
distância sobre o eixo axial. 
 
Tabela 5 - Comparação entre os valores teóricos e experimentais para o campo magnético sobre o eixo de simetria na 
bobina. 
Distância (cm) B teórico (mT) B experimental (mT) Dif % 
-30 0,2477 0,23 7,15 
-25 0,3538 0,33 6,73 
-20 0,5131 0,47 8,40 
-15 0,7431 0,70 5,80 
-10 1,0386 1,00 3,72 
-5 1,3252 1,29 2,66 
0 1,4514 1,44 0,79 
5 1,3252 1,30 1,90 
10 1,0386 1,00 3,72 
15 0,7431 0,70 5,80 
20 0,5131 0,49 4,50 
25 0,3538 0,34 3,90 
30 0,2477 0,22 11,18 
 
 
Gráfico 1 - Campo magnético experimental em função da distância. 
0,00
0,20
0,40
0,60
0,80
1,00
1,20
1,40
1,60
-35 -25 -15 -5 5 15 25 35
B 
(m
T)
d (cm)
Campo magnético (mT) vs Distância (cm)
 
Eletromagnetismo 12 
 
Podemos notar a partir da tabela acima que os valores encontrados 
experimentalmente para o campo magnético sobre o eixo axial de uma espira circular 
possuem boa aproximação com o valor teórico; vale notar que o ponto central da 
bobina a diferença percentual foi praticamente nulo. Como podemos notar do gráfico 
(1) o campo magnético é máximo no ponto central da bobina assim como previsto pela 
teoria magnética. 
De acordo com a teoria apresentada na introdução teórica – bem 
representada na figura (2) e descrita pela equação (9) – para uma associação de 
bobinas como aquela proposta por Helmholtz, esperávamos encontrar uma região de 
campo magnético uniforme no volume delimitado pelas espiras e que fosse 
proporcional à corrente elétrica. 
Analisando a tabela (2), fixada a sonda Hall no centro geométrico das es 
espiras associadas, podemos construir o gráfico (2) e perceber que a relação entre 
corrente elétrica e intensidade do campo magnético mantêm entre si uma proporção 
linear. 
 
 
Gráfico 2 - Intensidade do campo magnético no centro das Bobinas de Helmholtz em função da corrente elétrica. 
 
A partir da tabela (3) o gráfico da intensidade de B em função da distância 
sobre o eixo axial pode-se construir o gráfico (3). Olhando para o resultado expresso 
na equação (10) esperávamos encontrar um valor de campo magnético cuja 
intensidade fosse 2,0771	𝑚𝑇 e se estendesse por todo o volume delimitado pelas 
espiras. 
0,0
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5
B 
(m
T)
i (A)
Campo magnético (mT) vs Corrente elétrica (A)
 
Eletromagnetismo 13 
 
 
 
Gráfico 3 - Campo magnético axial das Bobinas de Helmholtz em função da distância. 
 
De acordo com os dados apresentados na tabela (3) vemos que o campo 
magnético experimental apresentou intensidade média de 2,0436	𝑚𝑇 na região interna 
às espiras, resultando assim em uma diferença percentual de apenas 1,61 %. Essa 
uniformidade do campo magnético também é facilmente identificada no gráfico (3). 
Para distâncias mais afastadas do centro da espira temos uma maior 
variação da diferença percentual calculada, acreditamos que este valor de campo seja 
produzido pelos diversos materiais do laboratório que podem interferir neste 
experimento, tais como: celulares, fios condutores transportando corrente, materiais 
ferromagnéticos nas proximidades das bobinas, entre outros. Estes materiais 
provavelmente produziram um campo resultante em sentido contrário ao das bobinascirculares utilizadas, pois tivemos um decréscimo no valor medido do módulo do 
campo magnético. 
Partindo dos dados apresentados na tabela (4) utilizamos a equação (9) 
em conjunto com a equação (14) nos fornece valores para a razão entre a carga e a 
massa do elétron mostrados na tabela (6). 
 
 
 
0,00
0,50
1,00
1,50
2,00
2,50
-35 -25 -15 -5 5 15 25 35
B 
(m
T)
d (cm)
Campo magnético (mT) vs Distância (cm)
 
Eletromagnetismo 14 
 
Tabela 6 - Valores para razão carga/massa do elétron – corrente elétrica variável. 
I (A) B (mT) raio (cm) e/m (1011 C/kg) 
0,78 0,5404 11,00 0,5603 
0,89 0,6166 8,00 0,8137 
1,15 0,7967 6,00 0,8665 
1,45 1,0046 5,40 0,6728 
 
Faz todo sentindo quando fazemos variar a corrente elétrica e o campo 
magnético aumenta sua intensidade assim como já analisado nas primeiras partes 
deste relatório. Se o campo magnético aumenta a força resultante que atua sobre os 
elétrons aumenta também assim como previsto pela equação (12) e isso se reflete na 
diminuição do raio de curvatura. 
O valor médio para a razão carga/massa do elétron pode ser calculado e é 
igual a 0,7283 × 10[[	𝐶/𝑘𝑔 que, comparada ao valor mais bem aproximado 
apresentado na equação (15), resulta numa diferença percentual de 58,6%. 
Podemos lançar um outro olhar sobre o experimento e repeti-lo com uma 
corrente elétrica fixa em 1,45	𝐴 e, consequentemente o campo magnético – 𝐵 =1,0046	𝑚𝑇, se fez variar a tensão de aceleração dos elétrons. Os valores para a razão 
carga/massa são apresentados na tabela (7). 
 
Tabela 7 - Valores para razão carga/massa do elétron – tensão de aceleração variável. 
V (V) raio (cm) e/m (1011 C/kg) 
88 4 1,0899 
110 6 0,6055 
156 8 0,4830 
233 10 0,4617 
 
Como era de se esperar, se aumentarmos a tensão de aceleração os 
elétrons que compõem o raio catódico chegarão à região de campo magnético com 
maior velocidade, sofrendo, portanto, um menor desvio, ou seja, se aumentarmos a 
tensão esperávamos encontrar um raio maior. Para essa medição temos um valor 
médio para a razão carga/massa igual a 0,6602 × 10[[	𝐶/𝑘𝑔 que diverge do valor mais 
aceito em 62,5%. 
 
 
 
Eletromagnetismo 15 
 
Acreditamos que essa alta diferença percentual se deve ao fato de que as 
medidas foram feitas com as luzes apagadas, dificultando a leitura precisa da régua 
aferidora dos raios das trajetórias. Foi realizada apenas uma medição pela professora 
regente da turma e os dados da tabela (4) são comuns a todos colegas da turma. 
 
7. Conclusão 
 
 Quando falamos sobre campo magnético produzido por espiras chegamos 
a uma conclusão, assim como previsto na teoria, o valor máximo para uma bobina 
circular é aquele produzido em seu centro. Estando essas bobinas associadas em 
série e dispostas como Helmholtz propôs temos a formação de um campo magnético 
que pode ser chamado de uniforme com excelente aproximação assim como era 
nosso objetivo demonstrar. 
Para a razão entre a carga e a massa do elétron não encontramos um valor 
suficientemente próximo tal que pudéssemos afirmar que o nosso objetivo foi atingido 
nessa parte do procedimento experimental, mas gostaríamos de salientar as 
dificuldades enfrentadas na realização desta medição bem como o fato de ter sido 
feito apenas uma aferição. Acreditamos que esse procedimento não possa ser 
classificado como inválido para atingir o objetivo proposto e sim que fica a desejar 
quando a sua execução. 
 
8. Bibliografia 
 
Instituto de Física – UnB. Roteiro do Experimento 5 – Deflexão elétrica e 
magnética de elétrons. 2018. 
 
NUSSENZVEIG, H. M. – Curso de Física Básica – Eletromagnetismo, vol 3 – 
Editora Edgard Blücher, 2ª Edição, 2015. 
 
YOUNG, H. D.; FREEDMAN, R. A. Sears e Zemansky – Física III – 
Eletromagnetismo, 12a Edição. 2009.