AD1 PreCalculoEng 2018 2 gabarito (1)
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AD1 PreCalculoEng 2018 2 gabarito (1)


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Gabarito da AD 1 Pre´-Ca´lculo para Engenharia - 2018/2
GABARITO DA AD1 \u2013 PRE´-CA´LCULO PARA ENGENHARIA \u2013 2018/2
Questa\u2dco 1 [2,0 pontos]
Considere a expressa\u2dco abaixo e fac¸a o que se pede:
E =
x
x2 \u2212 y2 +
xy
x2 + xy
+
1
x + y
.
a. [1,0] Simplifique a expressa\u2dco E (ou seja, escreva a mesma com um denominador u´nico).
b. [1,0] Se y = \u22121, obtenha algum valor de x, se existir, tal que \u2212
\u221a
3 \u2264 E \u2264 0, justificando
sua resposta.
Soluc¸a\u2dco:
a) Note que x2 + xy = x(x \u2212 y),e x2 \u2212 y2 = (x \u2212 y)(x + y), onde estes sa\u2dco denominadores na
expressa\u2dco E. Assim, podemos cancelar x na expressa\u2dco
xy
x2 + xy
, e assim E pode ser escrita
como
E =
x
(x\u2212 y)(x + y) +
y
x + y
+
1
x + y
.
O mmc entre estas os denominadores e´ (x\u2212 y)(x + y), e assim
E =
x + y(x\u2212 y) + (x\u2212 y)
(x\u2212 y)(x + y)
=
x + yx\u2212 y2 + x\u2212 y
(x\u2212 y)(x + y) =
yx\u2212 y2 + 2x\u2212 y
(x\u2212 y)(x + y) .
b) Fazendo y = \u22121 na expressa\u2dco acima, obtemos E = \u2212x\u2212 1 + 2x + 1
(x + 1)(x\u2212 1) =
x
(x + 1)(x\u2212 1).
Temos que \u2212
\u221a
3 < \u22121 < 0, enta\u2dco vamos resolver a equac¸a\u2dco E = x
(x + 1)(x\u2212 1) = \u22121.
Multiplicando ambos os membros por (x + 1)(x \u2212 1) e arrumando os termos, obtemos a
equac¸a\u2dco x2 + x\u2212 1 = 0, cujas soluc¸o\u2dces sa\u2dco x1 = \u22121 +
\u221a
5
2
e x2 =
\u22121\u2212
\u221a
5
2
.
Questa\u2dco 2 [3,0 pontos] Considere a expressa\u2dco E(x) =
1 + x
|1\u2212 x| \u2212 |x| . Fac¸a o que se pede:
a. Encontre os valores de x tais que E(x) = 0.
b. Encontre os valores de x tais que E(x) > 0.
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c. Encontre os valores de x tais que E(x) < 0.
Sugesta\u2dco: Fac¸a a tabela do estudo do sinal da expressa\u2dco E(x).
Soluc¸a\u2dco:
Vamos, em primeiro lugar, fazer algumas observac¸o\u2dces sobre a expressa\u2dco no denominador.
Temos que |1\u2212x|\u2212|x| = 0 implica |1\u2212x| = |x|. Vamos analisar possibilidades para os mo´dulos
de acordo com valores de x.
(i) Se x \u2265 0 e 1\u2212x \u2265 0, a equac¸a\u2dco acima fica 1\u2212x = x, o que nos da´ x = 1/2 como soluc¸a\u2dco.
Assim, E na\u2dco esta´ definida em x = 1/2.
(ii) Se x < 0 e 1 \u2212 x \u2265 0, a equac¸a\u2dco acima fica 1 \u2212 x = \u2212x, o que nos da´ 1 = 0, absurdo.
Logo, esta configurac¸a\u2dco na\u2dco da´ resultado.
(iii) Na\u2dco podemos ter x < 0 e 1\u2212x < 0, pois assim ter´\u131amos x > 1 (e simultaneamente x < 0),
imposs´\u131vel.
(iv) Se x \u2265 0 e 1\u2212 x < 0, a equac¸a\u2dco fica \u2212(1\u2212 x) = x, o que nos da´ \u22121 = 0, absurdo. mesma
situac¸a\u2dco do item (ii).
Conclu´\u131mos que o denominador se anula somente em x = 1/2. Agora vamos proceder a`
construc¸a\u2dco da tabela de estudos de sinais.
(a) E(x) = 0 se e somente se o numerador se anula, ou seja, se x + 1 = 0, ou x = \u22121.
Assim, nossa tabela tera´ como valores de refere\u2c6ncia x = \u22121 e x = 1/2.
x < \u22121 \u22121 < x < 1
2
x > 1
2
1 + x \u2212 + +
|1\u2212 x| \u2212 |x| + + \u2212
E(x) \u2212 + \u2212
Para avaliar os sinais na segunda linha, basta ver que: se x < \u22121, enta\u2dco |1 \u2212 x| \u2212 |x| =
1\u2212 x\u2212 (\u2212x) = 1. Se \u22121 < x \u2264 0, enta\u2dco |1\u2212 x| \u2212 |x| = 1\u2212 x\u2212 (\u2212x) = 1. Se 0 < x < 1/2,
enta\u2dco |1\u2212x|\u2212|x| = 1\u2212x\u2212x = 1\u22122x. Se 1/2 < x \u2264 1, enta\u2dco |1\u2212x|\u2212|x| = 1\u2212x\u2212x = 1\u22122x.
E finalmente, se x > 1, temos |1\u2212 x| \u2212 |x| = \u22121 + x\u2212 x) = \u22121.
Em cada caso, basta substituir valores das respectivas faixas nas expresso\u2dces resultantes para
obter uma tabela como a que fizemos acima. Ela pode ser maior e mais completa, mas
preferimos exibir a tabela mais concisa, pois tem as informac¸o\u2dces de forma mais objetiva.
Portanto, da tabela acima, conclu´\u131mos os pro´ximos itens.
(b) E(x) > 0 se \u22121 < x < 1/2.
(c) E(x) < 0 se x < \u22121 ou x > 1/2.
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Questa\u2dco 3 [3,0 pontos] Considere a equac¸a\u2dco
\u221a
1\u2212 |x\u2212 3| = x\u2212 3.
Fac¸a o que se pede:
a. [0,8 ponto] Determine os valores reais de x para os quais
\u221a
1\u2212 |x\u2212 3| = x\u2212 3 existe.
b. [2,2 pontos] Resolva a equac¸a\u2dco
\u221a
1\u2212 |x\u2212 3| = x \u2212 3. Caso na\u2dco exista soluc¸a\u2dco real,
justifique.
Soluc¸a\u2dco:
a) Para que a expressa\u2dco no primeiro membro seja real, precisamos de que 1\u2212 |x\u2212 3| \u2265 0. Ou
seja, |x\u2212 3| \u2264 1, o que e´ equivalente a
\u22121 \u2264 x\u2212 3 \u2264 1,
ou ainda
2 \u2264 x \u2264 4.
b) Observemos que, como o membro esquerdo da equac¸a\u2dco e´ uma raiz quadrada, o membro
direito deve ser maior ou igual a zero. Isto nos da´ x\u22123 \u2265 0, ou x \u2265 3. Assim, do que temos
no item (a), conclu´\u131mos que toda soluc¸a\u2dco x da equac¸a\u2dco, se existir, deve satisfazer x \u2208 [3, 4].
Se a equac¸a\u2dco do enunciado e´ satisfeita, tambe´m sera´ a mesma com cada membro elevado ao
quadrado:
1\u2212 |x\u2212 3| = (x\u2212 3)2,
e como x\u2212 3 \u2265 0, enta\u2dco |x\u2212 3| = x\u2212 3. Da´\u131, a equac¸a\u2dco anterior fica
1\u2212 (x\u2212 3) = x2 \u2212 6x + 9,
ou melhor,
x2 \u2212 5x + 5 = 0.
Esta equac¸a\u2dco de segundo grau tem soluc¸o\u2dces x1 =
5\u2212\u221a5
2
e x2 =
5 +
\u221a
5
2
. Vejamos se
pertencem ao intervalo [3, 4].
Como
\u221a
5 > 2, enta\u2dco x1 <
5\u2212 2
2
=
3
2
, donde x1 /\u2208 [3, 4]. Agora, o caso de x2 = 5 +
\u221a
5
2
.
Afirmamos que x2 /\u2208 [3, 4]. Vejamos:
Como 5 +
\u221a
5 > 6, enta\u2dco x2 =
5 +
\u221a
5
2
> 3. Assim, so´ nos resta que x2 seja menor do que
4. Suponhamos, por contradic¸a\u2dco, que x2 seja maior do que 4. Assim,
5 +
\u221a
5
2
> 4 =\u21d2 5 +
\u221a
5 > 8 =\u21d2
\u221a
5 > 3,
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absurdo. Logo, nossa hipo´tese esta´ incorreta, e assim x2 \u2208 [3, 4].
Finalmente, como encontramos a soluc¸a\u2dco da equac¸a\u2dco com os membros elevados ao quadrado,
vamos verificar que x2 e´ de fato a soluc¸a\u2dco para a equac¸a\u2dco do enunciado. Substituindo
x2 \u2212 3 =
\u221a
5\u2212 1
2
dentro da raiz, e elevando ao quadrado (lembrando que, neste caso,
podemos trocar o mo´dulo por pare\u2c6nteses), temos
1\u2212
(\u221a
5\u2212 1
2
)
=
3\u2212\u221a5
2
;
por outro lado, calculamos (x2 \u2212 3)2:
(\u221a
5\u2212 1
2
)2
=
5\u2212 2\u221a5 + 1
4
=
6\u2212 2\u221a5
4
=
3\u2212\u221a5
2
.
Por esta igualdade, e como e os termos originais ja´ eram positivos antes de serem elevados
ao quadrado, conclu´\u131mos que vale a igualdade requerida no enunciado, e verificamos que x2
e´ a u´nica soluc¸a\u2dco real da equac¸a\u2dco.
Questa\u2dco 4 [2,0 pontos] Sabendo que \u22123
4
< x < \u22123
5
, encontre uma estimativa para
x2 \u2212 5x + 2. Deixe os nu´meros em forma de frac¸a\u2dco. Justifique sua soluc¸a\u2dco.
Soluc¸a\u2dco:Das propriedades de nu´meros reais, temos que:
\u2022 \u22123
4
< x < \u22123
5
\u21d2 (\u22123
5
)2
< x2 <
(\u22123
4
)2 \u21d2 9
25
< x2 < 9
16
\u2022 \u22123
4
< x < \u22123
5
\u21d2 15
5
< \u22125x < 15
4
\u21d2 3 < \u22125x < 15
4
De 9
25
< x2 < 9
16
e 3 < \u22125x < 15
4
, segue que 9
25
+ 3 < x2 \u2212 5x < 9
16
+ 15
4
.
Somando 2 a todos os membros dessa desigualdade, obtemos:
9
25
+ 3 + 2 < x2 \u2212 5x + 2 < 9
16
+ 15
4
+ 2.
Logo, 134
25
< x2 \u2212 5x + 2 < 101
16
.
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