AD1 PreCalculoEng 2018 2 gabarito (1)

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Gabarito da AD 1 Pre´-Ca´lculo para Engenharia - 2018/2
GABARITO DA AD1 – PRE´-CA´LCULO PARA ENGENHARIA – 2018/2
Questa˜o 1 [2,0 pontos]
Considere a expressa˜o abaixo e fac¸a o que se pede:
E =
x
x2 − y2 +
xy
x2 + xy
+
1
x + y
.
a. [1,0] Simplifique a expressa˜o E (ou seja, escreva a mesma com um denominador u´nico).
b. [1,0] Se y = −1, obtenha algum valor de x, se existir, tal que −
√
3 ≤ E ≤ 0, justificando
sua resposta.
Soluc¸a˜o:
a) Note que x2 + xy = x(x − y),e x2 − y2 = (x − y)(x + y), onde estes sa˜o denominadores na
expressa˜o E. Assim, podemos cancelar x na expressa˜o
xy
x2 + xy
, e assim E pode ser escrita
como
E =
x
(x− y)(x + y) +
y
x + y
+
1
x + y
.
O mmc entre estas os denominadores e´ (x− y)(x + y), e assim
E =
x + y(x− y) + (x− y)
(x− y)(x + y)
=
x + yx− y2 + x− y
(x− y)(x + y) =
yx− y2 + 2x− y
(x− y)(x + y) .
b) Fazendo y = −1 na expressa˜o acima, obtemos E = −x− 1 + 2x + 1
(x + 1)(x− 1) =
x
(x + 1)(x− 1).
Temos que −
√
3 < −1 < 0, enta˜o vamos resolver a equac¸a˜o E = x
(x + 1)(x− 1) = −1.
Multiplicando ambos os membros por (x + 1)(x − 1) e arrumando os termos, obtemos a
equac¸a˜o x2 + x− 1 = 0, cujas soluc¸o˜es sa˜o x1 = −1 +
√
5
2
e x2 =
−1−
√
5
2
.
Questa˜o 2 [3,0 pontos] Considere a expressa˜o E(x) =
1 + x
|1− x| − |x| . Fac¸a o que se pede:
a. Encontre os valores de x tais que E(x) = 0.
b. Encontre os valores de x tais que E(x) > 0.
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c. Encontre os valores de x tais que E(x) < 0.
Sugesta˜o: Fac¸a a tabela do estudo do sinal da expressa˜o E(x).
Soluc¸a˜o:
Vamos, em primeiro lugar, fazer algumas observac¸o˜es sobre a expressa˜o no denominador.
Temos que |1−x|−|x| = 0 implica |1−x| = |x|. Vamos analisar possibilidades para os mo´dulos
de acordo com valores de x.
(i) Se x ≥ 0 e 1−x ≥ 0, a equac¸a˜o acima fica 1−x = x, o que nos da´ x = 1/2 como soluc¸a˜o.
Assim, E na˜o esta´ definida em x = 1/2.
(ii) Se x < 0 e 1 − x ≥ 0, a equac¸a˜o acima fica 1 − x = −x, o que nos da´ 1 = 0, absurdo.
Logo, esta configurac¸a˜o na˜o da´ resultado.
(iii) Na˜o podemos ter x < 0 e 1−x < 0, pois assim ter´ıamos x > 1 (e simultaneamente x < 0),
imposs´ıvel.
(iv) Se x ≥ 0 e 1− x < 0, a equac¸a˜o fica −(1− x) = x, o que nos da´ −1 = 0, absurdo. mesma
situac¸a˜o do item (ii).
Conclu´ımos que o denominador se anula somente em x = 1/2. Agora vamos proceder a`
construc¸a˜o da tabela de estudos de sinais.
(a) E(x) = 0 se e somente se o numerador se anula, ou seja, se x + 1 = 0, ou x = −1.
Assim, nossa tabela tera´ como valores de refereˆncia x = −1 e x = 1/2.
x < −1 −1 < x < 1
2
x > 1
2
1 + x − + +
|1− x| − |x| + + −
E(x) − + −
Para avaliar os sinais na segunda linha, basta ver que: se x < −1, enta˜o |1 − x| − |x| =
1− x− (−x) = 1. Se −1 < x ≤ 0, enta˜o |1− x| − |x| = 1− x− (−x) = 1. Se 0 < x < 1/2,
enta˜o |1−x|−|x| = 1−x−x = 1−2x. Se 1/2 < x ≤ 1, enta˜o |1−x|−|x| = 1−x−x = 1−2x.
E finalmente, se x > 1, temos |1− x| − |x| = −1 + x− x) = −1.
Em cada caso, basta substituir valores das respectivas faixas nas expresso˜es resultantes para
obter uma tabela como a que fizemos acima. Ela pode ser maior e mais completa, mas
preferimos exibir a tabela mais concisa, pois tem as informac¸o˜es de forma mais objetiva.
Portanto, da tabela acima, conclu´ımos os pro´ximos itens.
(b) E(x) > 0 se −1 < x < 1/2.
(c) E(x) < 0 se x < −1 ou x > 1/2.
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Questa˜o 3 [3,0 pontos] Considere a equac¸a˜o
√
1− |x− 3| = x− 3.
Fac¸a o que se pede:
a. [0,8 ponto] Determine os valores reais de x para os quais
√
1− |x− 3| = x− 3 existe.
b. [2,2 pontos] Resolva a equac¸a˜o
√
1− |x− 3| = x − 3. Caso na˜o exista soluc¸a˜o real,
justifique.
Soluc¸a˜o:
a) Para que a expressa˜o no primeiro membro seja real, precisamos de que 1− |x− 3| ≥ 0. Ou
seja, |x− 3| ≤ 1, o que e´ equivalente a
−1 ≤ x− 3 ≤ 1,
ou ainda
2 ≤ x ≤ 4.
b) Observemos que, como o membro esquerdo da equac¸a˜o e´ uma raiz quadrada, o membro
direito deve ser maior ou igual a zero. Isto nos da´ x−3 ≥ 0, ou x ≥ 3. Assim, do que temos
no item (a), conclu´ımos que toda soluc¸a˜o x da equac¸a˜o, se existir, deve satisfazer x ∈ [3, 4].
Se a equac¸a˜o do enunciado e´ satisfeita, tambe´m sera´ a mesma com cada membro elevado ao
quadrado:
1− |x− 3| = (x− 3)2,
e como x− 3 ≥ 0, enta˜o |x− 3| = x− 3. Da´ı, a equac¸a˜o anterior fica
1− (x− 3) = x2 − 6x + 9,
ou melhor,
x2 − 5x + 5 = 0.
Esta equac¸a˜o de segundo grau tem soluc¸o˜es x1 =
5−√5
2
e x2 =
5 +
√
5
2
. Vejamos se
pertencem ao intervalo [3, 4].
Como
√
5 > 2, enta˜o x1 <
5− 2
2
=
3
2
, donde x1 /∈ [3, 4]. Agora, o caso de x2 = 5 +
√
5
2
.
Afirmamos que x2 /∈ [3, 4]. Vejamos:
Como 5 +
√
5 > 6, enta˜o x2 =
5 +
√
5
2
> 3. Assim, so´ nos resta que x2 seja menor do que
4. Suponhamos, por contradic¸a˜o, que x2 seja maior do que 4. Assim,
5 +
√
5
2
> 4 =⇒ 5 +
√
5 > 8 =⇒
√
5 > 3,
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absurdo. Logo, nossa hipo´tese esta´ incorreta, e assim x2 ∈ [3, 4].
Finalmente, como encontramos a soluc¸a˜o da equac¸a˜o com os membros elevados ao quadrado,
vamos verificar que x2 e´ de fato a soluc¸a˜o para a equac¸a˜o do enunciado. Substituindo
x2 − 3 =
√
5− 1
2
dentro da raiz, e elevando ao quadrado (lembrando que, neste caso,
podemos trocar o mo´dulo por pareˆnteses), temos
1−
(√
5− 1
2
)
=
3−√5
2
;
por outro lado, calculamos (x2 − 3)2:
(√
5− 1
2
)2
=
5− 2√5 + 1
4
=
6− 2√5
4
=
3−√5
2
.
Por esta igualdade, e como e os termos originais ja´ eram positivos antes de serem elevados
ao quadrado, conclu´ımos que vale a igualdade requerida no enunciado, e verificamos que x2
e´ a u´nica soluc¸a˜o real da equac¸a˜o.
Questa˜o 4 [2,0 pontos] Sabendo que −3
4
< x < −3
5
, encontre uma estimativa para
x2 − 5x + 2. Deixe os nu´meros em forma de frac¸a˜o. Justifique sua soluc¸a˜o.
Soluc¸a˜o:Das propriedades de nu´meros reais, temos que:
• −3
4
< x < −3
5
⇒ (−3
5
)2
< x2 <
(−3
4
)2 ⇒ 9
25
< x2 < 9
16
• −3
4
< x < −3
5
⇒ 15
5
< −5x < 15
4
⇒ 3 < −5x < 15
4
De 9
25
< x2 < 9
16
e 3 < −5x < 15
4
, segue que 9
25
+ 3 < x2 − 5x < 9
16
+ 15
4
.
Somando 2 a todos os membros dessa desigualdade, obtemos:
9
25
+ 3 + 2 < x2 − 5x + 2 < 9
16
+ 15
4
+ 2.
Logo, 134
25
< x2 − 5x + 2 < 101
16
.
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