Resumo Função de 1º, 2º , seno cosseno e tangente

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2º Bimestre 2010
• Funções e domínios
• Função de 1º Grau
• Funções de 2º Grau
• Função Seno e função Cosseno
Professora Amanda Prina
22/05/2010
Considere dois conjuntos A e B.
Sabendo que o conjunto A possui os valores de x e o
conjunto B possui os valores de y, podemos dizer
que B é uma função de A, se, e somente se, para
cada valor de A atribuído, exista em
correspondência apenas um valor de y em B.
A B
1
2
3
4
2
4
6
8
Considere dois conjuntos A e B.
Sabendo que o conjunto A possui os valores de x e o
conjunto B possui os valores de y, podemos dizer
que B é uma função de A, se, e somente se, para
cada valor de A atribuído, exista em
correspondência apenas um valor de y em B.
A B
1
2
3
4
2
4
6
8
Como obtemos o domínio de uma função?
1. Precisamos saber o que é domínio.
Domínio seriam todos os valores de x que 
podem ser substituídos na função para 
que ela seja válida.
Exemplo:
1
y
x
Qual seria o domínio, ou seja, os valores de x 
que podem ser atribuídos nessa função??
...-3,-2,-1,...
Antes de respondermos a essa pergunta, precisamos 
conhecer quais são os conjuntos numéricos existentes...
π
е
2
5
I
Existe o conjunto dos números inteiros,que são todos os números positivos 
e negativos, incluindo o zero.
Existe o conjunto dos números naturais, que são todos os números positivos, 
incluindo o zero.
Existe o conjunto dos números racionais, que são os números que podem 
ser escritos em forma de fração.
I
Existe o conjunto dos números irracionais, que são os números que não 
podem ser escritos em forma de fração.
O conjunto dos números reais representa a união de todos os conjuntos.
0, 1, 2, 
3, 4 ...
1
y
x
Agora que conhecemos os conjuntos podemos escrever o 
domínio da função.
Olhando para a função, podemos perceber que ela 
tem uma restrição. 
O valor de x não poderá ser zero, pois se for a 
função não será válida.
O domínio será então:
{ / 0}D x x
Construindo o gráfico da função do Excel, podemos 
verificar o domínio.
Outro exemplo:
3y x
A restrição dessa função seriam os valores negativos dentro da raiz quadrada.
Portanto:
3 0
3
x
x
O domínio será então:
{ / 3}D x x
Observando o 
gráfico, podemos 
observar como a 
função se 
comporta.
y=ax+b
Onde,
a=coeficiente angular
b= coeficiente linear 
O coeficiente angular nos mostra como será o gráfico.
Se a>0, função crescente Se a<0, função decrescente
y = x + 2
-4
-2
0
2
4
6
8
-6 -4 -2 0 2 4 6
y = -x + 2
-4
-2
0
2
4
6
8
-6 -4 -2 0 2 4 6
O coeficiente linear é o ponto onde a reta corta o eixo y.
O x nesse ponto vale zero. O par ordenado será (0,b)
y = x + 2
-4
-2
0
2
4
6
8
-6 -4 -2 0 2 4 6
Coeficiente linear b
A raiz de uma função do 1º grau é o ponto onde a função corta o 
eixo x, também pode ser chamado de zero da função.
O y nesse ponto vale zero. O par ordenado será (x’,0)
y = x + 2
-4
-2
0
2
4
6
8
-6 -4 -2 0 2 4 6
Coeficiente linear b
Raiz ou zero da 
função
Exemplo:
Encontre a equação correspondente ao gráfico abaixo e ache sua raiz.
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
-4 -3 -2 -1 0 1
1
2 1
2 1
y
a
x
y y
a
x x
2
1
y1
y2
x1 x2
11,5 5,5
3 ( 1)
a
6
2
a
3a
Para achar o coeficiente linear, como não conseguimos ver no gráfico, 
podemos substituir um ponto na equação da reta junto com o coef. angular.
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
-4 -3 -2 -1 0 1
y ax b
( 1;5,5)P
5,5 3 ( 1)
5,5 3
5,5 3
2,5
b
b
b
b
Equação da reta:
3 2,5y x
Para acharmos a raiz, basta chamarmos y=0 na equação da reta encontrada.
y ax b
0 3 2,5
3 2,5
2,5
3
0,833
x
x
x
x
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
-4 -3 -2 -1 0 1
Ponto onde a reta corta 
o eixo x, o y vale zero.
Se a<0, parábola com 
concavidade para baixo.
Se a>0, parábola com 
concavidade para cima.
2y a x b x c
O coeficiente do termo de grau 2 (a) mostra como será 
a concavidade da parábola
y=x²+x
y=-x²+x
Pontos importantes da parábola.
Raiz x’ Raiz x’’
Vértice
Ponto onde corta o 
eixo y
vy
vx
vy
Ponto onde corta o eixo y:
Par ordenado: (0,c)
Raízes ou zero da função:
Precisamos de Bhaskara.
O y nas raízes sempre será zero.
20
'
2
''
2
a x b x c
b
x
a
b
x
a
2 4b a c
Onde,
2
4
v
v
b
x
a
y
a
Vértice da parábola.
Como Δ está dentro de uma raiz quadrada, ele determinará quantas 
raízes a função terá.
Se Δ >0, então a 
função terá duas raízes 
reais e distintas.
Se Δ =0, então a 
função terá duas 
raízes reais e iguais.
Se Δ <0, então a 
função não terá raízes.
Função Seno
( )y a sen b x
a é a amplitude da função
b é a frequência da função
cos( )y a b x
Função Cosseno
a é a amplitude da função
b é a frequência da função
amplitude
Período
Função Cosseno
Esta parte da função 
representa ¼ de volta.
A frequência da função determina quantas voltas ela realizará de 0 até 2π.
Neste caso, a função realiza só uma volta de 0 até 2π (6,28).
Período Período
1 cos(1 )
2
: 2
1
y x
Período
Frequência
Período
3 cos(2 )
2
: 3,14
2
y x
Período
Frequência
Período
3 cos(3 )
2
: 2,094
3
y x
Período
Frequência
Período 2 cos(4 )
2
: 1,571
4 2
y x
Período
Função Seno
amplitude
Período
A frequência da função determina quantas voltas ela realizará de 0 até 2π.
Neste caso, a função realiza só uma volta de 0 até 2π (6,28).
Período Período
Frequência
2 (0,5 )
2
: 4 12,56
0,5
y sen x
Período
Frequência
2 (0,25 )
2
: 8 25,13
0,25
y sen x
Período
Frequência
3
2 ( )
4
2 4 8
: 2 8,38
3 3 3
4
y sen x
Período
Frequência
Período2 (1,25 )
2 4 8
: 2 5,03
5 5 5
4
y sen x
Período