Um curso de Geometria Analítica e Àlgebra Linear

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UM CURSO DE
GEOMETRIA ANALI´TICA E A´LGEBRA LINEAR
Reginaldo J. Santos
Departamento de Matema´tica-ICEx
Universidade Federal de Minas Gerais
http://www.mat.ufmg.br/˜regi
Julho 2010
Um Curso de Geometria Analı´tica e A´lgebra Linear
Copyright c⃝ 2010 by Reginaldo de Jesus Santos (100628)
E´ proibida a reproduc¸a˜o desta publicac¸a˜o, ou parte dela, por qualquer meio, sem a pre´via autorizac¸a˜o, por
escrito, do autor.
Editor, Coordenador de Revisa˜o, Supervisor de Produc¸a˜o, Capa e Ilustrac¸o˜es:
Reginaldo J. Santos
ISBN 85-7470-006-1
Ficha Catalogra´fica
Santos, Reginaldo J.
S237u Um Curso de Geometria Analı´tica e A´lgebra Linear / Reginaldo J. Santos
- Belo Horizonte: Imprensa Universita´ria da UFMG, 2010.
1. A´lgebra Linear 2. Geometria Analı´tica I. Tı´tulo
CDD: 512.5
516.3
Conteu´do
Prefa´cio vi
1 Matrizes e Sistemas Lineares 1
1.1 Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.1 Operac¸o˜es com Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.2 Propriedades da A´lgebra Matricial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.1.3 Aplicac¸a˜o: Cadeias de Markov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
Apeˆndice I: Notac¸a˜o de Somato´rio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.2 Sistemas de Equac¸o˜es Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
1.2.1 Me´todo de Gauss-Jordan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
1.2.2 Matrizes Equivalentes por Linhas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
1.2.3 Sistemas Lineares Homogeˆneos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
1.2.4 Matrizes Elementares (opcional) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
2 Inversa˜o de Matrizes e Determinantes 70
2.1 Matriz Inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
iii
iv Conteu´do
2.1.1 Propriedades da Inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
2.1.2 Matrizes Elementares e Inversa˜o (opcional) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
2.1.3 Me´todo para Inversa˜o de Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
2.1.4 Aplicac¸a˜o: Interpolac¸a˜o Polinomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
2.1.5 Aplicac¸a˜o: Criptografia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
2.2 Determinantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
2.2.1 Propriedades do Determinante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
2.2.2 Matrizes Elementares e o Determinante (opcional) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
Apeˆndice II: Demonstrac¸a˜o do Teorema 2.11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
3 Vetores no Plano e no Espac¸o 131
3.1 Soma de Vetores e Multiplicac¸a˜o por Escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
3.2 Produtos de Vetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
3.2.1 Norma e Produto Escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
3.2.2 Projec¸a˜o Ortogonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
3.2.3 Produto Vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
3.2.4 Produto Misto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
Apeˆndice III: Demonstrac¸a˜o do item (e) do Teorema 3.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
4 Retas e Planos 201
4.1 Equac¸o˜es de Retas e Planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
4.1.1 Equac¸o˜es do Plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
4.1.2 Equac¸o˜es da Reta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214
4.2 Aˆngulos e Distaˆncias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234
4.2.1 Aˆngulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234
4.2.2 Distaˆncias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240
5 Espac¸os ℝn 258
5.1 Independeˆncia Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258
5.1.1 Os Espac¸os ℝn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258
5.1.2 Combinac¸a˜o Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262
Um Curso de Geometria Analı´tica e A´lgebra Linear Julho 2010
Conteu´do v
5.1.3 Independeˆncia Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266
5.1.4 Posic¸o˜es Relativas de Retas e Planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275
5.2 Subespac¸os, Base e Dimensa˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284
Apeˆndice IV: Outros Resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301
5.3 Produto Escalar em ℝn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315
5.3.1 Produto Interno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315
5.3.2 Bases Ortogonais e Ortonormais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325
5.4 Mudanc¸a de Coordenadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333
5.4.1 Rotac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 337
5.4.2 Translac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 338
5.4.3 Aplicac¸a˜o: Computac¸a˜o Gra´fica - Projec¸a˜o Ortogra´fica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 340
6 Diagonalizac¸a˜o 356
6.1 Diagonalizac¸a˜o de Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 356
6.1.1 Motivac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 356
6.1.2 Autovalores e Autovetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 358
6.1.3 Diagonalizac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 367
6.2 Diagonalizac¸a˜o de Matrizes Sime´tricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 386
6.2.1 Motivac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 386
6.2.2 Matrizes Ortogonais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 389
Apeˆndice V: Autovalores Complexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 400
6.3 Aplicac¸a˜o: Identificac¸a˜o de Coˆnicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404
6.3.1 Elipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404
6.3.2 Hipe´rbole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 408
6.3.3 Para´bola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412
Respostas dos Exercı´cios 445
Bibliografia 558
I´ndice Alfabe´tico 562
Julho 2010 Reginaldo J. Santos
Prefa´cio
Este texto cobre o material para um curso de
um semestre de Geometria Analı´tica e A´lgebra Linear ministrado
nos primeiros semestres para estudantes da a´rea de Cieˆncias Exatas. O texto pode, mas na˜o e´ necessa´rio, ser
acompanhado de um programa como o MATLABⓇ ∗, SciLab ou o Maxima.
O conteu´do e´ dividido em seis capı´tulos. O Capı´tulo 1 trata das matrizes e sistemas lineares. Aqui todas as
propriedades da a´lgebra matricial sa˜o demonstradas. A resoluc¸a˜o de sistemas lineares e´ feita usando somente
o me´todo de Gauss-Jordan (transformando a matriz ate´ que ela esteja na forma escalonada reduzida). Este
me´todo requer mais trabalho do que o me´todo de Gauss (transformando a matriz, apenas, ate´ que ela esteja na
forma escalonada). Ele foi o escolhido, por que tambe´m e´ usado no estudo da inversa˜o de matrizes no Capı´tulo
2. Neste Capı´tulo e´ tambe´m estudado o determinante, que e´ definido usando cofatores. As demonstrac¸o˜es dos
resultados deste capı´tulo podem ser, a crite´rio do leitor, feitas somente para matrizes 3× 3.
O Capı´tulo 3 trata de vetores no plano e no espac¸o. Os vetores sa˜o definidos de forma geome´trica, assim
como a soma e a multiplicac¸a˜o por escalar. Sa˜o provadas algumas propriedades geometricamente. Depois sa˜o
introduzidos sistemas de coordenadas de forma natural sem a necessidade da definic¸a˜o de base. Os produtos
escalar e vetorial sa˜o definidos tambe´m geometricamente. O Capı´tulo 4 trata de retas e planos no espac¸o. Sa˜o
∗MATLABⓇ e´ marca registrada de The Mathworks, Inc.
vi
Conteu´do vii
estudados aˆngulos e distaˆncias entre retas e planos.
O Capı´tulo 5 cobre a teoria dos espac¸os euclidianos. O conceito de dependeˆncia e independeˆncia linear e´
introduzido de forma alge´brica, acompanhado da interpretac¸a˜o geome´trica para os casos de ℝ2 e ℝ3. Aqui sa˜o
estudadas as posic¸o˜es relativas de retas e planos como uma aplicac¸a˜o do conceito de dependeˆncia linear. Sa˜o
tambe´m tratados os conceitos de geradores e de base de subespac¸os. Sa˜o abordados tambe´m o produto escalar
e bases ortonormais. O Capı´tulo e´ terminado com mudanc¸a de coordenadas preparando para o Capı´tulo de
diagonalizac¸a˜o.
O Capı´tulo 6 traz um estudo da diagonalizac¸a˜o de matrizes em geral e diagonalizac¸a˜o de matrizes sime´tricas
atrave´s de um matriz ortogonal. E´ feita uma aplicac¸a˜o ao estudo das sec¸o˜es coˆnicas.
Os exercı´cios esta˜o agrupados em treˆs classes. Os “Exercı´cios Nume´ricos”, que conte´m exercı´cios que sa˜o
resolvidos fazendo ca´lculos, que podem ser realizados sem a ajuda de um computador ou de uma ma´quina
de calcular. Os “Exercı´cios Teo´ricos”, que conte´m exercı´cios que requerem demonstrac¸o˜es. Alguns sa˜o sim-
ples, outros sa˜o mais complexos. Os mais difı´ceis complementam a teoria e geralmente sa˜o acompanhados
de sugesto˜es. Os “Exercı´cios usando o MATLABⓇ”, que conte´m exercı´cios para serem resolvidos usando o
MATLABⓇ ou outro software. Os comandos necessa´rios a resoluc¸a˜o destes exercı´cios sa˜o tambe´m forneci-
dos juntamente com uma explicac¸a˜o ra´pida do uso. Os exercı´cios nume´ricos sa˜o imprescindı´veis, enquanto a
resoluc¸a˜o dos outros, depende do nı´vel e dos objetivos pretendidos para o curso.
O MATLABⓇ e´ um software destinado a fazer ca´lculos com matrizes (MATLABⓇ = MATrix LABoratory). Os co-
mandos do MATLABⓇ sa˜o muito pro´ximos da forma como escrevemos expresso˜es alge´bricas, tornando mais
simples o seu uso. Podem ser incorporados a`s func¸o˜es pre´-definidas, pacotes de func¸o˜es para tarefas es-
pecı´ficas. Um pacote chamado gaal com func¸o˜es que sa˜o direcionadas para o estudo de Geometria Analı´tica
e A´lgebra Linear pode ser obtido na web na pa´gina do autor, assim como um texto com uma introduc¸a˜o ao
MATLABⓇ e instruc¸o˜es de como instalar o pacote gaal. O MATLABⓇ na˜o e´ um software gratuito, embora antes
a versa˜o estudante vinha gra´tis ao se comprar o guia do usua´rio. Atualmente o SciLab e´ uma alternativa gra-
tuita, mas que na˜o faz ca´lculo simbo´lico. O Maxima e´ um programa de computac¸a˜o alge´brica gratuito. Ambos
podem ser usados como ferramenta auxiliar na aprendizagem de Geometria Analı´tica e A´lgebra Linear. Na
pa´gina do autor na web podem ser encontrados pacotes de func¸o˜es para estes programas ale´m de links para
as pa´ginas do SciLab e do Maxima e va´rias pa´ginas interativas que podem auxiliar na aprendizagem.
Julho 2010 Reginaldo J. Santos
viii Prefa´cio
No fim de cada capı´tulo temos um “Teste do Capı´tulo” para que o aluno possa avaliar os seus conhecimentos.
Os Exercı´cios Nume´ricos e os Exercı´cios usando o MATLABⓇ esta˜o resolvidos apo´s o u´ltimo capı´tulo utili-
zando o MATLABⓇ. Desta forma o leitor que na˜o estiver interessado em usar o software pode obter apenas
as respostas dos exercı´cios, enquanto aquele que tiver algum interesse, pode ficar sabendo como os exercı´cios
poderiam ser resolvidos fazendo uso do MATLABⓇ e do pacote gaal.
Gostaria de agradecer aos professores que colaboraram apresentando correc¸o˜es, crı´ticas e sugesto˜es, entre
eles Joana Darc A. S. da Cruz, Francisco Dutenhefner, Jorge Sabatucci, Seme Gebara, Alexandre Washington,
Vivaldo R. Filho, Hamilton P. Bueno, Paulo A. F. Machado, Helder C. Rodrigues, Nikolai A. Goussevskii, Israel
Vainsencher, Leopoldo G. Fernandes, Rodney J. Biezuner, Wilson D. Barbosa, Flaviana A. Ribeiro, Cristina
Marques, Roge´rio S. Mol, Denise Burgarelli, Paulo C. de Lima, Jose´ Barbosa Gomes, Francisco Satuf, Viktor
Beckkert, Moacir G. dos Anjos, Daniel C. de Morais Filho, Michel Spira, Dan Avritzer, Maria Laura M. Gomes,
Armando Neves, Maria Cristina C. Ferreira e Kennedy Pedroso.
Histo´rico
Julho 2010 Algumas correc¸o˜es. Mudanc¸a na formatac¸a˜o do texto.
Julho 2009 Algumas correc¸o˜es. Va´rias figuras foram refeitas.
Julho 2007 Algumas correc¸o˜es. As respostas de alguns exercı´cios foram reescritas.
Marc¸o 2007 Va´rias figuras foram refeitas e outras acrescentadas. Foram reescritos o Exemplo 3.12 e o Corola´rio
3.10. Na sec¸a˜o 5.2 um exemplo foi reescrito e acrescentado mais um. Os Exemplos 5.25 e 5.26 foram
reescritos, saı´ram do apeˆndice e voltaram ao texto normal. A sec¸a˜o 5.4 de Mudanc¸a de Coordenadas
foi reescrita e acrescentada uma aplicac¸a˜o a` computac¸a˜o gra´fica. Foram acrescentados dois exercı´cios na
sec¸a˜o de Matrizes, um na de Inversa˜o de Matrizes, um na sec¸a˜o de Determinantes, dois na de Produto de
Vetores, um na de Subespac¸os, um na de Produto Escalar em ℝn, treˆs na de Mudanc¸a de Coordenadas,
quatro na de Diagonalizac¸a˜o e um na de Diagonalizac¸a˜o deMatrizes Sime´tricas. Foram corrigidos alguns
erros.
Um Curso de Geometria Analı´tica e A´lgebra Linear Julho 2010
Prefa´cio ix
Julho 2006 Foi acrescentado o Exemplo 2.16 na pa´gina 115. A sec¸a˜o 3.2 ’Produtos de Vetores’ foi reescrita. Foi
acrescentado um exercı´cio na sec¸a˜o 4.2. O Capı´tulo 5 foi reescrito. Foram corrigidos alguns erros.
Marc¸o 2006 A Sec¸a˜o 1.1 de Matrizes e a Sec¸a˜o 2.2 de Determinantes foram reescritas. Na sec¸a˜o 1.2 o Teorema
1.4 voltou a ser que toda matriz e´ equivalente por linhas a uma u´nica matriz na forma escalonada re-
duzida. Foram acrescentados va´rios exercı´cios aos Capı´tulos 3 e 4. O Capı´tulo 5 foi reescrito. Foram
acrescentados exercı´cios teo´ricos a` sec¸a˜o ’Aplicac¸a˜o a` Coˆnicas’.
Julho 2004 Foram acrescentadas aplicac¸o˜es a` criptografia (Exemplo na pa´gina 92) e a cadeias de Markov
(Exemplos 1.9 na pa´gina 16, 1.16 na pa´gina 49 e 6.8 na pa´gina 375). Foi acrescentado um exercı´cio na
sec¸a˜o 1.1. O Teorema 1.4 agora conte´m as propriedades da relac¸a˜o “ser equivalente por linhas” com a
demonstrac¸a˜o. O que antes era Exemplo 1.14 passou para o lugar do Exemplo 1.10. O Exemplo 2.5 foi
modificado. No Capı´tulo 3 foram acrescentados 2 exercı´cios na sec¸a˜o 3.1, 1 exercı´cio na sec¸a˜o 3.2. No
Capı´tulo 4 a sec¸a˜o 4.1 foi reescrita e foram acrescentados 2 exercı´cios. O Capı´tulo 5 foi reescrito. Foi
incluı´da no Apeˆndice
III da sec¸a˜o 5.2. a demonstrac¸a˜o de que a forma escalonada reduzida de uma
matriz e´ u´nica. A sec¸a˜o ’Diagonalizac¸a˜o de Matrizes’ ganhou mais um exercı´cio teo´rico.
Setembro 2003 Foi acrescentada a regra de Cramer na sec¸a˜o ’Determinantes’ (Exemplo 2.20). A sec¸a˜o
’Subespac¸os, Base e Dimensa˜o’ foi reescrita. Foi acrescentado um apeˆndice a esta sec¸a˜o com ’Outros
resultados’. A Proposic¸a˜o 5.15 da sec¸a˜o ’Produto Escalar em ℝn foi reescrita. A sec¸a˜o ’Diagonalizac¸a˜o de
Matrizes’ ganhou mais dois exercı´cios teo´ricos. A sec¸a˜o ’Diagonalizac¸a˜o de Matrizes Sime´tricas’ ganhou
um apeˆndice sobre ’Autovalores Complexos’.
Novembro 2002 Va´rias correc¸o˜es incluindo respostas de exercı´cios. A sec¸a˜o ’Subespac¸os, Base e Dimensa˜o’
ganhou mais um exemplo e um exercı´cio. A sec¸a˜o ’Diagonalizac¸a˜o de Matrizes Sime´tricas’ ganhou mais
um exemplo.
Julho 2001 Revisa˜o completa no texto. Novos exercı´cios nas sec¸o˜es ’Matrizes’ e ’Sistemas Lineares’. As sec¸o˜es
’Subespac¸os’ e ’Base e Dimensa˜o’ tornaram-se uma so´. A sec¸a˜o ’Mudanc¸a de Coordenadas’ passou do
Capı´tulo 6 para o Capı´tulo 5.
Julho 2000 Criado a partir do texto ’Geometria Analı´tica e A´lgebra Linear’ para ser usado numa disciplina de
Geometria Analı´tica e A´lgebra Linear.
Julho 2010 Reginaldo J. Santos
x Prefa´cio
Sugesta˜o de Cronograma
Capı´tulo 1 8 aulas
Capı´tulo 2 8 aulas
Capı´tulo 3 8 aulas
Capı´tulo 4 8 aulas
Capı´tulo 5 12 (16) aulas
Capı´tulo 6 12 aulas
Total 56 (60) aulas
Um Curso de Geometria Analı´tica e A´lgebra Linear Julho 2010
Capı´tulo 1
Matrizes e Sistemas Lineares
1.1 Matrizes
Uma matriz A, m× n (m por n), e´ uma tabela de mn nu´meros dispostos em m linhas
e n colunas
A =
⎡
⎢⎢⎢⎣
a11 a12 . . . a1n
a21 a22 . . . a2n
... . . .
...
am1 am2 . . . amn
⎤
⎥⎥⎥⎦ .
A i-e´sima linha de A e´ [
ai1 ai2 . . . ain
]
,
1
2 Matrizes e Sistemas Lineares
para i = 1, . . . ,m e a j-e´sima coluna de A e´⎡
⎢⎢⎢⎣
a1j
a2j
...
amj
⎤
⎥⎥⎥⎦ ,
para j = 1, . . . , n. Usamos tambe´m a notac¸a˜o A = (aij)m×n. Dizemos que aij ou [A]ij
e´ o elemento ou a entrada de posic¸a˜o i, j da matriz A.
Se m = n, dizemos que A e´ uma matriz quadrada de ordem n e os elementos
a11, a22, . . . , ann formam a diagonal (principal) de A.
Exemplo 1.1. Considere as seguintes matrizes:
A =
[
1 2
3 4
]
, B =
[ −2 1
0 3
]
, C =
[
1 3 0
2 4 −2
]
,
D =
[
1 3 −2 ] , E =
⎡
⎣ 14
−3
⎤
⎦ e F = [ 3 ] .
As matrizes A e B sa˜o 2× 2. A matriz C e´ 2× 3, D e´ 1× 3, E e´ 3× 1 e F e´ 1× 1.
De acordo com a notac¸a˜o que introduzimos, exemplos de elementos de algumas das
matrizes dadas acima sa˜o a12 = 2, c23 = −2, e21 = 4, [A]22 = 4, [D]12 = 3.
Uma matriz que so´ possui uma linha e´ chamada matriz linha, e uma matriz que
so´ possui uma coluna e´ chamada matriz coluna, No Exemplo 1.1 a matriz D e´ uma
Um Curso de Geometria Analı´tica e A´lgebra Linear Julho 2010
1.1 Matrizes 3
matriz linha e a matriz E e´ uma matriz coluna. Matrizes linha e matrizes coluna sa˜o
chamadas de vetores. O motivo ficara´ claro na Sec¸a˜o 5.1 na pa´gina 258.
Dizemos que duas matrizes sa˜o iguais se elas teˆm o mesmo tamanho e os elementos
correspondentes sa˜o iguais, ou seja, A = (aij)m×n e B = (bij)p×q sa˜o iguais se m = p,
n = q e aij = bij para i = 1, . . . ,m e j = 1, . . . , n.
Vamos definir operac¸o˜es matriciais ana´logas a`s operac¸o˜es com nu´meros e provar
propriedades que sa˜o va´lidas para essas operac¸o˜es. Veremos, mais tarde, que um
sistema de equac¸o˜es lineares pode ser escrito em termos de uma u´nica equac¸a˜o ma-
tricial.
Vamos, agora, introduzir as operac¸o˜es matriciais.
1.1.1 Operac¸o˜es com Matrizes
Definic¸a˜o 1.1. A soma de duas matrizes de mesmo tamanho A = (aij)m×n e B = (bij)m×n e´ definida como
sendo a matriz m× n
C = A + B
Julho 2010 Reginaldo J. Santos
4 Matrizes e Sistemas Lineares
obtida somando-se os elementos correspondentes de A e B, ou seja,
cij = aij + bij ,
para i = 1, . . . ,m e j = 1, . . . , n. Escrevemos tambe´m [A + B]ij = aij + bij.
Exemplo 1.2. Considere as matrizes:
A =
[
1 2 −3
3 4 0
]
, B =
[ −2 1 5
0 3 −4
]
Se chamamos de C a soma das duas matrizes A e B, enta˜o
C = A + B =
[
1+ (−2) 2+ 1 −3+ 5
3+ 0 4+ 3 0+ (−4)
]
=
[ −1 3 2
3 7 −4
]
Definic¸a˜o 1.2. A multiplicac¸a˜o de uma matriz A = (aij)m×n por um escalar (nu´mero) α e´ definida pela matriz
m× n
B = αA
obtida multiplicando-se cada elemento da matriz A pelo escalar α, ou seja,
bij = α aij ,
para i = 1, . . . ,m e j = 1, . . . , n. Escrevemos tambe´m [αA]ij = α aij. Dizemos que a matriz B e´ um mu´ltiplo
escalar da matriz A.
Um Curso de Geometria Analı´tica e A´lgebra Linear Julho 2010
1.1 Matrizes 5
Exemplo 1.3. O produto da matriz A =
⎡
⎣ −2 10 3
5 −4
⎤
⎦ pelo escalar −3 e´ dado por
−3 A =
⎡
⎣ (−3)(−2) (−3) 1(−3) 0 (−3) 3
(−3) 5 (−3)(−4)
⎤
⎦ =
⎡
⎣ 6 −30 −9
−15 12
⎤
⎦ .
Definic¸a˜o 1.3. O produto de duas matrizes, tais que o nu´mero de colunas da primeira matriz e´ igual ao
nu´mero de linhas da segunda, A = (aij)m×p e B = (bij)p×n e´ definido pela matriz m× n
C = AB
obtida da seguinte forma:
cij = ai1b1j + ai2b2j + . . .+ aipbpj, (1.1)
para i = 1, . . . ,m e j = 1, . . . , n. Escrevemos tambe´m [AB]ij = ai1b1j + ai2b2j + . . .+ aipbpj.
Julho 2010 Reginaldo J. Santos
6 Matrizes e Sistemas Lineares
A equac¸a˜o (1.1) esta´ dizendo que o elemento i, j do produto e´ igual a` soma dos pro-
dutos dos elementos da i-e´sima linha de A pelos elementos correspondentes da j-
e´sima coluna de B.
⎡
⎢⎢⎣
c11 . . . c1n
... cij
...
cm1 . . . cmn
⎤
⎥⎥⎦ =
⎡
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
a11 a12 . . . a1p
... . . .
...
ai1 ai2 . . . aip
... . . .
...
am1 am2 . . . amp
⎤
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎡
⎢⎢⎢⎢⎣
b11
b21
...
bp1
. . .
. . .
. . .
. . .
b1j
b2j
...
bpj
. . .
. . .
. . .
. . .
b1n
b2n
...
bpn
⎤
⎥⎥⎥⎥⎦
A equac¸a˜o (1.1) pode ser escrita de forma compacta usando a notac¸a˜o de somato´rio.
[AB]ij = ai1b1j + ai2b2j + . . .+ aipbpj =
p
∑
k=1
aikbkj
e dizemos “somato´rio de k variando de 1 a p de aikbkj”. O sı´mbolo
p
∑
k=1
significa que
estamos fazendo uma soma em que o ı´ndice k esta´ variando de k = 1 ate´ k = p.
Algumas propriedades da notac¸a˜o de somato´rio esta˜o explicadas no Apeˆndice I na
pa´gina 28.
Exemplo 1.4. Considere as matrizes:
A =
[
1 2 −3
3 4 0
]
, B =
⎡
⎣ −2 1 00 3 0
5 −4 0
⎤
⎦ .
Um Curso de Geometria Analı´tica e A´lgebra Linear Julho 2010
1.1 Matrizes 7
Se chamamos de C o produto das duas matrizes A e B, enta˜o
C = AB =
[
1 (−2) + 2 ⋅ 0+ (−3) 5 1 ⋅ 1+ 2 ⋅ 3+ (−3) (−4) 0
3 (−2) + 4 ⋅ 0+ 0 ⋅ 5 3 ⋅ 1+ 4 ⋅ 3+ 0 (−4) 0
]
=
[ −17 19 0
−6 15 0
]
.
Observac¸a˜o. No exemplo anterior o produto BA na˜o esta´ definido (por que?). Entretanto, mesmo quando ele
esta´ definido, BA pode na˜o ser igual a AB, ou seja, o produto de matrizes na˜o e´ comutativo, como mostra o
exemplo seguinte.
Exemplo 1.5. Sejam A =
[
1 2
3 4
]
e B =
[ −2 1
0 3
]
. Enta˜o,
AB =
[ −2 7
−6 15
]
e BA =
[
1 0
9 12
]
.
Vamos ver no pro´ximo exemplo como as matrizes podem ser usadas para descrever
quantitativamente um processo de produc¸a˜o.
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8 Matrizes e Sistemas Lineares
Exemplo 1.6. Uma indu´stria produz treˆs produtos, X, Y e Z, utilizando dois tipos
de insumo, A e B. Para a manufatura de cada kg de X sa˜o utilizados 1 grama do
insumo A e 2 gramas do insumo B; para cada kg de Y, 1 grama de insumo A e 1
grama de insumo B e, para cada kg de Z, 1 grama de A e 4 gramas de B. Usando
matrizes podemos determinar quantos gramas dos insumos A e B sa˜o necessa´rios
na produc¸a˜o de x kg do produto X, y kg do produto Y e z kg do produto Z.
X Y Z
gramas de A/kg
gramas de B/kg
[
1 1 1
2 1 4
]
= A X =
⎡
⎣ xy
z
⎤
⎦ kg de X produzidoskg de Y produzidos
kg de Z produzidos
AX =
[
x + y + z
2x + y + 4z
]
gramas de A usados
gramas de B usados
Definic¸a˜o 1.4. A transposta de uma matriz A = (aij)m×n e´ definida pela matriz n×m
B = At
obtida trocando-se as linhas com as colunas, ou seja,
bij = aji ,
para i = 1, . . . , n e j = 1, . . . ,m. Escrevemos tambe´m [At]ij = aji.
Um Curso de Geometria Analı´tica e A´lgebra Linear Julho 2010
1.1 Matrizes 9
Exemplo 1.7. As transpostas das matrizes
A =
[
1 2
3 4
]
, B =
[ −2 1
0 3
]
e C =
[
1 3 0
2 4 −2
]
sa˜o
At =
[
1 3
2 4
]
, Bt =
[ −2 0
1 3
]
e Ct =
⎡
⎣ 1 23 4
0 −2
⎤
⎦ .
A seguir, mostraremos as propriedades que sa˜o va´lidas para a a´lgebra matricial.
Va´rias propriedades sa˜o semelhantes a`quelas que sa˜o va´lidas para os nu´meros reais,
mas deve-se tomar cuidado com as diferenc¸as.
Uma propriedade importante que e´ va´lida para os nu´meros reais, mas na˜o e´ va´lida
para as matrizes e´ a comutatividade do produto, como foi mostrado no Exemplo 1.5.
Por ser compacta, usaremos a notac¸a˜o de somato´rio na demonstrac¸a˜o de va´rias pro-
priedades. Algumas propriedades desta notac¸a˜o esta˜o explicadas no Apeˆndice I na
pa´gina 28.
1.1.2 Propriedades da A´lgebra Matricial
Teorema 1.1. Sejam A, B e C matrizes com tamanhos apropriados, α e β escalares. Sa˜o va´lidas as seguintes propriedades
para as operac¸o˜es matriciais:
(a) (comutatividade) A + B = B + A;
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10 Matrizes e Sistemas Lineares
(b) (associatividade) A + (B + C) = (A + B) + C;
(c) (elemento neutro) A matriz 0¯, m× n, definida por [0¯]ij = 0, para i = 1, . . . ,m, j = 1, . . . , n e´ tal que
A + 0¯ = A,
para toda matriz A, m× n. A matriz 0¯ e´ chamada matriz nula m× n.
(d) (elemento sime´trico) Para cada matriz A, existe uma u´nica matriz −A, definida por [−A]ij = −aij tal que
A + (−A) = 0¯.
(e) (associatividade) α(βA) = (αβ)A;
(f) (distributividade) (α + β)A = αA + βA;
(g) (distributividade) α(A + B) = αA + αB;
(h) (associatividade) A(BC) = (AB)C;
(i) (elemento neutro) Para cada inteiro positivo p a matriz, p× p,
Ip =
⎡
⎢⎢⎢⎣
1 0 . . . 0
0 1 . . . 0
...
. . .
...
0 0 . . . 1
⎤
⎥⎥⎥⎦ ,
chamada matriz identidade e´ tal que
A In = ImA = A, para toda matriz A = (aij)m×n.
(j) (distributividade) A(B + C) = AB + AC e (B + C)A = BA + CA;
(k) α(AB) = (αA)B = A(αB);
Um Curso de Geometria Analı´tica e A´lgebra Linear Julho 2010
1.1 Matrizes 11
(l) (At)t = A;
(m) (A + B)t = At + Bt;
(n) (αA)t = α At;
(o) (AB)t = BtAt;
Demonstrac¸a˜o. Para provar as igualdades acima, devemos mostrar que os elemen-
tos da matriz do lado esquerdo sa˜o iguais aos elementos correspondentes da matriz
do lado direito. Sera˜o usadas va´rias propriedades dos nu´meros sem cita´-las explici-
tamente.
(a) [A + B]ij = aij + bij = bij + aij = [B + A]ij;
(b) [A + (B + C)]ij = aij + [B + C]ij = aij + (bij + cij) = (aij + bij) + cij = [A +
B]ij + cij = [(A + B) + C]ij;
(c) Seja X uma matriz m× n tal que
A + X = A (1.2)
para qualquer matriz A, m × n. Comparando os elementos correspondentes,
temos que
aij + xij = aij ,
ou seja, xij = 0, para i = 1 . . . ,m e j = 1 . . . , n. Portanto, a u´nica matriz que
satisfaz (1.2) e´ a matriz em que todos os seus elementos sa˜o iguais a zero. De-
notamos a matriz X por 0¯.
(d) Dada uma matriz A, m× n, seja X uma matriz m× n, tal que
A + X = 0¯ . (1.3)
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12 Matrizes e Sistemas Lineares
Comparando os elementos correspondentes, temos que
aij + xij = 0 ,
ou seja, xij = −aij, para i = 1 . . . ,m e j = 1 . . . , n. Portanto, a u´nica matriz que
satisfaz (1.3) e´ a matriz em que todos os seus elementos sa˜o iguais aos sime´tricos
dos elementos de A. Denotamos a matriz X por −A.
(e) [α(βA)]ij = α[βA]ij = α(βaij) = (αβ)aij = [(αβ)A]ij.
(f) [(α + β)A]ij = (α + β)aij = (αaij) + (βaij) = [αA]ij + [βA]ij = [αA + βA]ij.
(g) [α(A + B)]ij = α[A + B]ij = α(aij + bij) = αaij + αbij = [αA]ij + [αB]ij
= [αA + αB]ij.
(h) A demonstrac¸a˜o deste item e´ a mais trabalhosa. Sejam A, B e C matrizes m× p,
p× q e q× n respectivamente. A notac¸a˜o de somato´rio aqui pode ser muito u´til,
pelo fato de ser compacta.
[A(BC)]ij =
p
∑
k=1
aik[BC]kj =
p
∑
k=1
aik(
q
∑
l=1
bklclj) =
p
∑
k=1
q
∑
l=1
aik(bklclj) =
=
p
∑
k=1
q
∑
l=1
(aikbkl)clj =
q
∑
l=1
p
∑
k=1
(aikbkl)clj =
q
∑
l=1
(
p
∑
k=1
aikbkl)clj =
=
q
∑
l=1
[AB]il clj = [(AB)C]ij .
(i) Podemos escrever a matriz identidade em termos do delta de Kronecker que e´
definido por
δij =
{
1, se i = j
0, se i ∕= j
Um Curso de Geometria Analı´tica e A´lgebra Linear Julho 2010
1.1 Matrizes 13
como [In]ij = δij. Assim,
[AIn]ij =
n
∑
k=1
aik[In]kj =
n
∑
k=1
aikδkj = aij.
A outra igualdade e´ ana´loga.
(j) [A(B + C)]ij =
p
∑
k=1
aik[B + C]kj =
p
∑
k=1
aik(bkj + ckj) =
p
∑
k=1
(aikbkj + aikckj) =
=
p
∑
k=1
aikbkj +
p
∑
k=1
aikckj = [AB]ij + [AC]ij = [AB + AC]ij .
A outra igualdade e´ inteiramente ana´loga a anterior e deixamos como exercı´cio.
(k) [α(AB)]ij = α
p
∑
k=1
aikbkj =
p
∑
k=1
(αaik)bkj = [(αA)B]ij e
[α(AB)]ij = α
p
∑
k=1
aikbkj =
p
∑
k=1
aik(αbkj) = [A(αB)]ij.
(l) [(At)t]ij = [At]ji = aij.
(m) [(A + B)t]ij = [A + B]ji = aji + bji = [At]ij + [Bt]ij.
(n) [(αA)t]ij = [αA]ji = αaji = α[At]ij = [αAt]ij.
(o) [(AB)t]ij = [AB]ji =
p
∑
k=1
ajkbki =
p
∑
k=1
[At]kj[B
t]ik =
p
∑
k=1
[Bt]ik[A
t]kj = [B
tAt]ij.
■
A diferenc¸a entre duas matrizes de mesmo tamanho A e B e´ definida por
A− B = A + (−B),
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14 Matrizes e Sistemas Lineares
ou seja, e´ a soma da matriz A com a sime´trica da matriz B.
Sejam A uma matriz n× n e p um inteiro positivo. Definimos a poteˆncia p de A, por
Ap = A . . . A︸ ︷︷ ︸
p vezes
. E para p = 0, definimos A0 = In.
Exemplo 1.8. Vamos verificar se para matrizes A e B, quadradas, vale a igualdade
(A + B)(A− B) = A2 − B2. (1.4)
Usando a propriedade (i) do teorema anterior obtemos
(A + B)(A− B) = (A + B)A + (A + B)(−B)
= AA + BA− AB− BB = A2 + BA− AB− B2
Assim, (A + B)(A − B) = A2 − B2 se, e somente se, BA − AB = 0, ou seja, se, e
somente se, AB = BA. Como o produto de matrizes na˜o e´ comutativo, a conclusa˜o e´
que a igualdade (1.4), na˜o vale para matrizes em geral. Como contra-exemplo basta
tomarmos duas matrizes que na˜o comutem entre si. Sejam
A =
[
0 0
1 1
]
e B =
[
1 0
1 0
]
.
Para estas matrizes
A+ B =
[
1 0
2 1
]
, A− B =
[ −1 0
0 1
]
, A2 = A =
[
0 0
1 1
]
, B2 = B =
[
1 0
1 0
]
.
Assim,
(A + B)(A− B) =
[ −1 0
−2 1
]
∕=
[ −1 0
0 1
]
= A2 − B2.
Um Curso de Geometria Analı´tica e A´lgebra Linear Julho 2010
1.1 Matrizes 15
1.1.3 Aplicac¸a˜o: Cadeias de Markov
Vamos supor que uma populac¸a˜o e´ dividida em treˆs estados (por exemplo: ricos,
classe me´dia e pobres) e que em cada unidade de tempo a probabilidade demudanc¸a
de um estado para outro seja constante no tempo, so´ dependa dos estados. Este
processo e´ chamado cadeia de Markov.
Seja tij a probabilidade de mudanc¸a do estado j para o estado i em uma unidade de
tempo (gerac¸a˜o). Tome cuidado com a ordem dos ı´ndices. A matriz
T =
1⃝ 2⃝ 3⃝⎡
⎣ t11 t12 t13t21 t22 t23
t31 t32 t33
⎤
⎦ 1⃝2⃝
3⃝
e´ chamada matriz de transic¸a˜o. A distribuic¸a˜o da populac¸a˜o inicial entre os treˆs
estados pode ser descrita pela seguinte matriz:
P0 =
⎡
⎣ p1p2
p3
⎤
⎦ esta´ no estado 1esta´ no estado 2
esta´ no estado 3
A matriz P0 caracteriza a distribuic¸a˜o
inicial da populac¸a˜o entre os treˆs estados e e´
chamada vetor de estado. Apo´s uma unidade de tempo a populac¸a˜o estara´ dividida
entre os treˆs estados da seguinte forma
P1 =
⎡
⎣ t11p1 + t12p2 + t13p3t21p1 + t22p2 + t23p3
t31p1 + t32p2 + t33p3
⎤
⎦ estara´ no estado 1estara´ no estado 2
estara´ no estado 3
Lembre-se que tij e´ a probabilidade de mudanc¸a do estado j para o estado i. Assim
o vetor de estado apo´s uma unidade de tempo e´ dada pelo produto de matrizes:
P1 = TP0.
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16 Matrizes e Sistemas Lineares
Exemplo 1.9. Vamos considerar a matriz de transic¸a˜o
T =
1⃝ 2⃝ 3⃝⎡
⎢⎣
1
2
1
4 0
1
2
1
2
1
2
0 14
1
2
⎤
⎥⎦ 1⃝2⃝
3⃝
(1.5)
e o vetor de estados inicial
P0 =
⎡
⎣ 131
3
1
3
⎤
⎦ esta´ no estado 1esta´ no estado 2
esta´ no estado 3
(1.6)
que representa uma populac¸a˜o dividida de forma que 1/3 da populac¸a˜o esta´ em
cada estado.
Apo´s uma unidade de tempo a matriz de estado sera´ dada por
P1 = TP0 =
⎡
⎢⎣
1
2
1
4 0
1
2
1
2
1
2
0 14
1
2
⎤
⎥⎦
⎡
⎢⎣
1
3
1
3
1
3
⎤
⎥⎦ =
⎡
⎢⎣
1
4
1
2
1
4
⎤
⎥⎦
Como estamos assumindo que em cada unidade de tempo a matriz de transic¸a˜o e´ a
mesma, enta˜o apo´s k unidades de tempo a populac¸a˜o estara´ dividida entre os treˆs
estados segundo a matriz de estado
Pk = TPk−1 = T2Pk−2 = ⋅ ⋅ ⋅ = TkP0
Assim a matriz Tk da´ a transic¸a˜o entre k unidades de tempo.
Veremos na Sec¸a˜o 6.1 na pa´gina 356 como calcular rapidamente poteˆncias k de matri-
zes e assim como determinar a distribuic¸a˜o da populac¸a˜o apo´s k unidades de tempo
para k um inteiro positivo qualquer.
Um Curso de Geometria Analı´tica e A´lgebra Linear Julho 2010
1.1 Matrizes 17
Exercı´cios Nume´ricos (respostas na pa´gina 445)
1.1.1. Considere as seguintes matrizes
A =
[
2 0
6 7
]
, B =
[
0 4
2 −8
]
, C =
[ −6 9 −7
7 −3 −2
]
D =
⎡
⎣ −6 4 01 1 4
−6 0 6
⎤
⎦ , E =
⎡
⎣ 6 9 −9−1 0 −4
−6 0 −1
⎤
⎦
Se for possı´vel calcule:
(a) AB− BA,
(b) 2C− D,
(c) (2Dt − 3Et)t,
(d) D2 − DE.
1.1.2. Conhecendo-se somente os produtos AB e AC, como podemos calcular A(B+C), BtAt, CtAt e (ABA)C?
1.1.3. Considere as seguintes matrizes
A =
[ −3 2 1
1 2 −1
]
, B =
⎡
⎣ 2 −12 0
0 3
⎤
⎦
C =
⎡
⎣ −2 1 −10 1 1
−1 0 1
⎤
⎦ , D =
⎡
⎣ d1 0 00 d2 0
0 0 d3
⎤
⎦
E1 =
⎡
⎣ 10
0
⎤
⎦ , E2 =
⎡
⎣ 01
0
⎤
⎦ , E3 =
⎡
⎣ 00
1
⎤
⎦
Verifique que:
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18 Matrizes e Sistemas Lineares
(a) AB e´ diferente de BA.
(b) AEj e´ a j-e´sima coluna de A, para j = 1, 2, 3 e Eti B e´ a i-e´sima linha de B, para i = 1, 2, 3 (o caso geral
esta´ no Exercı´cio 1.1.16 na pa´gina 23).
(c) CD = [ d1C1 d2C2 d3C3 ], em que C1 =
⎡
⎣ −20
−1
⎤
⎦, C2 =
⎡
⎣ 11
0
⎤
⎦ e C3 =
⎡
⎣ −11
1
⎤
⎦, sa˜o as colunas de C
(o caso geral esta´ no Exercı´cio 1.1.17 (a) na pa´gina 24).
(d) DC =
⎡
⎣ d1C1d2C2
d3C3
⎤
⎦, em que C1 = [ −2 1 −1 ], C2 = [ 0 1 1 ] e C3 = [ −1 0 1 ] sa˜o as
linhas de C (o caso geral esta´ no Exercı´cio 1.1.17 (b) na pa´gina 24).
(e) Escrevendo B em termos das suas colunas, B = [ B1 B2 ], em que B1 =
⎡
⎣ 22
0
⎤
⎦ e B2 =
⎡
⎣ −10
3
⎤
⎦, o
produto AB pode ser escrito como AB = A [ B1 B2 ] = [ AB1 AB2 ] (o caso geral esta´ no Exercı´cio
1.1.18 (a) na pa´gina 25).
(f) escrevendo A em termos das suas linhas, A1 =
[ −3 2 1 ] e A2 = [ 1 2 −1 ], o produto
AB pode ser escrito como AB =
[
A1
A2
]
B =
[
A1B
A2B
]
(o caso geral esta´ no Exercı´cio 1.1.18 (b) na
pa´gina 25).
1.1.4. Sejam
A =
[
1 −3 0
0 4 −2
]
e X =
⎡
⎣ xy
z
⎤
⎦ .
Verifique que xA1 + yA2 + zA3 = AX, em que Aj e´ a j-e´sima coluna de A, para j = 1, 2, 3 (o caso geral
esta´ no Exercı´cio 1.1.19 na pa´gina 25).
Um Curso de Geometria Analı´tica e A´lgebra Linear Julho 2010
1.1 Matrizes 19
1.1.5. Encontre um valor de x tal que ABt = 0, em que
A =
[
x 4 −2 ] e B = [ 2 −3 5 ] .
1.1.6. Mostre que as matrizes A =
[
1 1y
y 1
]
, em que y e´ uma nu´mero real na˜o nulo, verificam a equac¸a˜o
X2 = 2X.
1.1.7. Mostre que se A e B sa˜o matrizes que comutam com a matriz M =
[
0 1
−1 0
]
, enta˜o AB = BA.
1.1.8. (a) Determine todas as matrizes A, 2× 2, diagonais (os elementos que esta˜o fora da diagonal sa˜o iguais
a zero) que comutam com toda matriz B, 2× 2, ou seja, tais que AB = BA, para toda matriz B, 2× 2.
(b) Determine todas as matrizes A, 2 × 2, que comutam com toda matriz B, 2 × 2, ou seja, tais que
AB = BA, para toda matriz B, 2× 2.
1.1.9. Verifique que A3 = 0¯, para
A =
⎡
⎣ 0 1 00 0 1
0 0 0
⎤
⎦ .
O caso geral esta´ no Exercı´cio 1.1.29 na pa´gina 27.
Exercı´cios usando o MATLABⓇ
Uma vez inicializado o MATLABⓇ, aparecera´ na janela de comandos um prompt >> ou EDU>>. O prompt
significa que o MATLABⓇ esta´ esperando um comando. Todo comando deve ser finalizado teclando-se
Enter. Comandos que foram dados anteriormente podem ser obtidos novamente usando as teclas ↑ e ↓.
Enquanto se estiver escrevendo um comando, este pode ser corrigido usando as teclas ←, →, Delete e
Backspace. O MATLABⓇ faz diferenc¸a entre letras maiu´sculas e minu´sculas.
Julho 2010 Reginaldo J. Santos
20 Matrizes e Sistemas Lineares
No MATLABⓇ, pode-se obter ajuda sobre qualquer comando ou func¸a˜o. O comando
>> help
(sem o prompt >>) mostra uma listagem de todos os pacotes disponı´veis. Ajuda sobre um pacote es-
pecı´fico ou sobre um comando ou func¸a˜o especı´fica pode ser obtida com o comando
>> help nome,
(sem a vı´rgula e sem o prompt >>) em que nome pode ser o nome de umpacote ou o nome de um comando
ou func¸a˜o.
Ale´m dos comandos e func¸o˜es pre´-definidas, escrevemos um pacote chamado gaal com func¸o˜es es-
pecı´ficas para a aprendizagem de Geometria Analı´tica e A´lgebra Linear. Este pacote pode ser obtido
gratuitamente atrave´s da internet no enderec¸o http://www.mat.ufmg.br/˜regi, assim como um texto
com uma introduc¸a˜o ao MATLABⓇ e instruc¸o˜es de como instalar o pacote gaal. Depois deste pacote
ser devidamente instalado, o comando help gaal no prompt do MATLABⓇ da´ informac¸o˜es sobre este
pacote.
Mais informac¸o˜es sobre as capacidades do MATLABⓇ podem ser obtidas em [4, 28].
Vamos descrever aqui alguns comandos que podem ser usados para a manipulac¸a˜o de matrizes. Outros
comandos sera˜o introduzidos a medida que forem necessa´rios.
>> syms x y z diz ao MATLABⓇ que as varia´veis x y e z sa˜o simbo´licas.
>> A=[a11,a12,...,a1n;a21,a22,...; ...,amn] cria uma matriz, m por n, usando os elementos a11,
a12, ..., amn e a armazena numa varia´vel de nome A. Por exemplo, >> A=[1,2,3;4,5,6] cria a matriz
A =
[
1 2 3
4 5 6
]
;
>> I=eye(n) cria a matriz identidade n por n e a armazena numa varia´vel I;
>> O=zeros(n) ou >> O=zeros(m,n) cria a matriz nula n por n ou m por n, respectivamente, e a arma-
zena numa varia´vel O;
>> A+B e´ a soma de A e B,
>> A*B e´ o produto de A por B,
>> A.’ e´ a transposta de A,
>> A-B e´ a diferenc¸a A menos B,
>> num*A e´ o produto do escalar num por A,
>> Aˆk e´ a poteˆncia A elevado a k.
Um Curso de Geometria Analı´tica e A´lgebra Linear Julho 2010
1.1 Matrizes 21
>> A(:,j) e´ a coluna j da matriz A, >> A(i,:) e´ a linha i da matriz A.
>> diag([d1,...,dn]) cria uma matriz diagonal, cujos elementos da diagonal sa˜o iguais aos elementos
da matriz [d1,...,dn], ou seja, sa˜o d1,...,dn.
>> A=sym(A) converte a matriz A numa matriz em que os elementos sa˜o armazenados no formato
simbo´lico. A func¸a˜o numeric faz o processo inverso.
>> solve(expr) determina a soluc¸a˜o da equac¸a˜o expr=0. Por exemplo,
>> solve(xˆ2-4) determina as soluc¸o˜es da equac¸a˜o x2 − 4 = 0;
Comando do pacote GAAL:
>> A=randi(n) ou >> A=randi(m,n) cria uma matriz
n por n ou m por n, respectivamente, com elementos
inteiros aleato´rios entre −5 e 5.
1.1.10. Use o MATLABⓇ para calcular alguns membros da sequeˆncia A, A2, . . . , Ak, . . ., para
(a) A =
[
1 12
0 13
]
; (b) A =
[ 1
2
1
3
0 − 15
]
.
A sequeˆncia parece estar convergindo para alguma matriz? Se estiver, para qual?
1.1.11. Calcule as poteˆncias das matrizes dadas a seguir e encontre experimentalmente (por tentativa!) o menor
inteiro k > 1 tal que (use o comando >> A=sym(A) depois de armazenar a matriz na varia´vel A):
(a) Ak = I3, em que
A =
⎡
⎣ 0 0 11 0 0
0 1 0
⎤
⎦ ;
(b) Ak = I4, em que
A =
⎡
⎢⎢⎣
0 1 0 0
−1 0 0 0
0 0 0 1
0 0 1 0
⎤
⎥⎥⎦;
Julho 2010 Reginaldo J. Santos
22 Matrizes e Sistemas Lineares
(c) Ak = 0¯, em que
A =
⎡
⎢⎢⎣
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
0 0 0 0
⎤
⎥⎥⎦.
1.1.12. Vamos fazer um experimento no MATLABⓇ para tentar ter uma ideia do qua˜o comum e´ encontrar ma-
trizes cujo produto comuta. No prompt do MATLABⓇ digite a seguinte linha:
>> c=0; for n=1:1000,A=randi(3);B=randi(3);if(A*B==B*A),c=c+1;end,end,c
(na˜o esquec¸a das vı´rgulas e pontos e vı´rgulas!). O que esta linha esta´ mandando o MATLABⓇ fazer e´ o
seguinte:
∙ Criar um contador c e atribuir a ele o valor zero.
∙ Atribuir a`s varia´veis A e B, 1000 matrizes 3× 3 com entradas inteiras e aleato´rias entre −5 e 5.
∙ Se AB=BA, ou seja, A e B comutarem, enta˜o o contador c e´ acrescido de 1.
∙ No final o valor existente na varia´vel c e´ escrito.
Qual a conclusa˜o que voceˆ tira do valor obtido na varia´vel c?
1.1.13. Fac¸a um experimento semelhante ao anterior, mas para o caso em que cada uma das matrizes e´ diagonal,
isto e´, os elementos que esta˜o fora da diagonal sa˜o iguais a zero. Use a seta para cima ↑ para obter
novamente a linha digitada e edite a linha no prompt do MATLABⓇ de forma a obter algo semelhante a`
linha:
>> c=0; for n=1:1000,A=diag(randi(1,3));B=diag(randi(1,3));if( ....
Qual a conclusa˜o que voceˆ tira do valor obtido na varia´vel c?
1.1.14. Fac¸a um experimento semelhante ao anterior, mas para o caso em que uma das matrizes e´ diagonal. Use
a seta para cima ↑ para obter novamente a linha digitada e edite a linha no prompt do MATLABⓇ de
forma a obter a seguinte linha:
Um Curso de Geometria Analı´tica e A´lgebra Linear Julho 2010
1.1 Matrizes 23
>> c=0; for n=1:1000,A=diag(randi(1,3));B=randi(3);if(A*B==B*A),c=c+1;A,B,end,end,c
Aqui sa˜o impressas as matrizes A e B quando elas comutarem. Qual a conclusa˜o que voceˆ tira deste
experimento? Qual a probabilidade de um tal par de matrizes comutarem?
1.1.15. Use o MATLABⓇ para resolver os Exercı´cios Nume´ricos.
Exercı´cios Teo´ricos
1.1.16. Sejam E1 =
⎡
⎢⎢⎢⎢⎢⎣
1
0
0
...
0
⎤
⎥⎥⎥⎥⎥⎦ , E2 =
⎡
⎢⎢⎢⎢⎢⎣
0
1
0
...
0
⎤
⎥⎥⎥⎥⎥⎦,. . . , En =
⎡
⎢⎢⎢⎢⎢⎣
0
0
...
0
1
⎤
⎥⎥⎥⎥⎥⎦matrizes n× 1.
(a) Mostre que se
A =
⎡
⎢⎢⎢⎣
a11 a12 . . . a1n
a21 a22 . . . a2n
... . . .
...
am1 am2 . . . amn
⎤
⎥⎥⎥⎦
e´ uma matriz m× n, enta˜o AEj e´ igual a` coluna j da matriz A.
(b) Mostre que se
B =
⎡
⎢⎢⎢⎣
b11 b12 . . . b1m
b21 b22 . . . b2m
... . . .
...
bn1 bn2 . . . bnm
⎤
⎥⎥⎥⎦ ,
e´ uma matriz n×m enta˜o Eti B e´ igual a` linha i da matriz B.
Julho 2010 Reginaldo J. Santos
24 Matrizes e Sistemas Lineares
1.1.17. Seja
D =
⎡
⎢⎢⎢⎣
λ1 0 . . . 0
0 λ2 . . . 0
...
. . .
...
0 . . . 0 λn
⎤
⎥⎥⎥⎦
uma matriz diagonal n× n, isto e´, os elementos que esta˜o fora da diagonal sa˜o iguais a zero. Seja
A =
⎡
⎢⎢⎢⎣
a11 a12 . . . a1n
a21 a22 . . . a2n
... . . .
...
an1 an2 . . . ann
⎤
⎥⎥⎥⎦ .
(a) Mostre que o produto AD e´ obtido da matriz A multiplicando-se cada coluna j por λj, ou seja, se
A = [ A1 A2 . . . An ], em que Aj =
⎡
⎢⎣
a1j
...
anj
⎤
⎥⎦ e´ a coluna j de A, enta˜o
AD = [ λ1A1 λ2A2 . . . λnAn ].
(b) Mostre que o produto DA e´ obtido da matriz A multiplicando-se cada linha i por λi, ou seja, se
A =
⎡
⎢⎢⎢⎣
A1
A2
...
An
⎤
⎥⎥⎥⎦, em que Ai = [ ai1 . . . ain ] e´ a linha i de A, enta˜o
DA =
⎡
⎢⎢⎢⎣
λ1A1
λ2A2
...
λnAn
⎤
⎥⎥⎥⎦ .
Um Curso de Geometria Analı´tica e A´lgebra Linear Julho 2010
1.1 Matrizes 25
1.1.18. Sejam A e B matrizes m× p e p× n, respectivamente.
(a) Mostre que a j-e´sima coluna do produto AB e´ igual ao produto ABj, em que Bj =
⎡
⎢⎣
b1j
...
bpj
⎤
⎥⎦ e´ a
j-e´sima coluna de B, ou seja, se B = [ B1 . . . Bn ], enta˜o
AB = A[ B1 . . . Bn ] = [ AB1 . . . ABn ];
(b) Mostre que a i-e´sima linha do produto AB e´ igual ao produto AiB, em que Ai = [ ai1 . . . aip ] e´ a
i-e´sima linha de A, ou seja, se A =
⎡
⎢⎢⎢⎣
A1
A2
...
Am
⎤
⎥⎥⎥⎦, enta˜o
AB =
⎡
⎢⎢⎢⎣
A1
A2
...
Am
⎤
⎥⎥⎥⎦ B =
⎡
⎢⎢⎢⎣
A1B
A2B
...
AmB
⎤
⎥⎥⎥⎦ .
1.1.19. Seja A uma matriz m × n e X =
⎡
⎢⎣ x1...
xn
⎤
⎥⎦ uma matriz n × 1. Prove que
AX =
n
∑
j=1
xjAj, em que Aj e´ a j-e´sima coluna de A. (Sugesta˜o: Desenvolva o lado direito e che-
gue ao lado esquerdo.)
1.1.20. (a) Mostre que se A e´ uma matriz m × n tal que AX = 0¯, para toda matriz X, n × 1, enta˜o A = 0¯.
(Sugesta˜o: use o Exercı´cio 16 na pa´gina 23.)
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26 Matrizes e Sistemas Lineares
(b) Sejam B e C matrizes m× n, tais BX = CX, para todo X, n× 1. Mostre que B = C. (Sugesta˜o: use o
item anterior.)
1.1.21. Mostre que a matriz identidade In e´ a u´nica matriz tal que A In = InA = A para qualquer matriz A,
n× n. (Sugesta˜o: Seja Jn uma matriz tal que A Jn = Jn A = A. Mostre que Jn = In.)
1.1.22. Se AB = BA e p e´ um inteiro positivo, mostre que (AB)p = ApBp.
1.1.23. Sejam A, B e C matrizes n× n.
(a) (A + B)2 = A2 + 2AB + B2? E se AB = BA? Justifique.
(b) (AB)C = C(AB)? E se AC = CA e BC = CB? Justifique.
(Sugesta˜o: Veja o Exemplo 1.8 na pa´gina 14.)
1.1.24. (a) Se A e B sa˜o duas matrizes tais que AB = 0¯, enta˜o A = 0¯ ou B = 0¯? Justifique.
(b) Se AB = 0¯, enta˜o BA = 0¯? Justifique.
(c) Se A e´ uma matriz tal que A2 = 0¯, enta˜o A = 0¯? Justifique.
1.1.25. Dizemos que uma matriz A, n× n, e´ sime´trica se At = A e e´ anti-sime´trica se At = −A.
(a) Mostre que se A e´ sime´trica, enta˜o aij = aji, para i, j = 1, . . . n e que se A e´ anti-sime´trica, enta˜o
aij = −aji, para i, j = 1, . . . n. Portanto, os elementos da diagonal principal de uma matriz anti-
sime´trica sa˜o iguais a zero.
(b) Mostre que se A e B sa˜o sime´tricas, enta˜o A + B e αA sa˜o sime´tricas, para todo escalar α.
(c) Mostre que se A e B sa˜o sime´tricas, enta˜o AB e´ sime´trica se, e somente se, AB = BA.
(d) Mostre que se A e B sa˜o anti-sime´tricas, enta˜o A + B e αA sa˜o anti-sime´tricas, para todo escalar α.
(e) Mostre que para toda matriz A, n× n, A + At e´ sime´trica e A− At e´ anti-sime´trica.
(f) Mostre que toda matriz quadrada A pode ser escrita como a soma de uma matriz sime´trica e uma
anti-sime´trica. (Sugesta˜o: Observe o resultado da soma de A + At com A− At.)
Um Curso de Geometria Analı´tica e A´lgebra Linear Julho 2010
1.1 Matrizes 27
1.1.26. Para matrizes quadradas A = (aij)n×n definimos o trac¸o de A como sendo a soma dos elementos da
diagonal (principal) de A, ou seja, tr(A) =
n
∑
i=1
aii.
(a) Mostre que tr(A + B) = tr(A) + tr(B).
(b) Mostre que tr(αA) = αtr(A).
(c) Mostre que tr(At) = tr(A).
(d) Mostre que tr(AB) = tr(BA). (Sugesta˜o: Prove inicialmente para matrizes 2× 2.)
1.1.27. Seja A uma matriz n× n. Mostre que se AAt = 0¯, enta˜o A = 0¯. (Sugesta˜o: use o trac¸o.) E se a matriz A
for m× n, com m ∕= n?
1.1.28. Ja´ vimos que o produto de matrizes na˜o e´ comutativo. Entretanto, certos conjuntos de matrizes sa˜o
comutativos. Mostre que:
(a) Se D1 e D2 sa˜o matrizes diagonais n× n, enta˜o D1D2 = D2D1.
(b) Se A e´ uma matriz n× n e
B = a0 In + a1A + a2A
2 + . . .+ akA
k,
em que
a0, . . . , ak sa˜o escalares, enta˜o AB = BA.
1.1.29. Uma matriz A e´ chamada nilpotente se Ak = 0¯, para algum inteiro positivo k. Verifique que a matriz
A =
⎡
⎢⎢⎢⎢⎢⎣
0 1 0 ⋅ ⋅ ⋅ 0
0 0 1 ⋅ ⋅ ⋅ 0
...
...
. . . . . .
...
0 0 0 ⋅ ⋅ ⋅ 1
0 0 0 ⋅ ⋅ ⋅ 0
⎤
⎥⎥⎥⎥⎥⎦
n×n
,
e´ nilpotente.
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28 Matrizes e Sistemas Lineares
Apeˆndice I: Notac¸a˜o de Somato´rio
Sa˜o va´lidas algumas propriedades para a notac¸a˜o de somato´rio:
(a) O ı´ndice do somato´rio e´ uma varia´vel muda que pode ser substituı´da por qual-
quer letra:
n
∑
i=1
fi =
n
∑
j=1
f j.
(b) O somato´rio de uma soma pode ser escrito como uma soma de dois somato´rios:
n
∑
i=1
( fi + gi) =
n
∑
i=1
fi +
n
∑
i=1
gi.
Pois,
n
∑
i=1
( fi + gi) = ( f1 + g1) + . . .+ ( fn + gn) =
= ( f1 + . . .+ fn) + (g1 + . . .+ gn) =
n
∑
i=1
fi +
n
∑
i=1
gi.
Aqui foram aplicadas as propriedades associativa e comutativa da soma de
nu´meros.
(c) Se no termo geral do somato´rio aparece um produto, em que um fator na˜o de-
pende do ı´ndice do somato´rio, enta˜o este fator pode “sair” do somato´rio:
n
∑
i=1
fi gk = gk
n
∑
i=1
fi.
Um Curso de Geometria Analı´tica e A´lgebra Linear Julho 2010
1.1 Matrizes 29
Pois,
n
∑
i=1
fi gk = f1gk + . . .+ fngk = gk( f1 + . . .+ fn) = gk
n
∑
i=1
fi.
Aqui foram aplicadas as propriedades distributiva e comutativa do produto em
relac¸a˜o a soma de nu´meros.
(d) Num somato´rio duplo, a ordem dos somato´rios pode ser trocada:
n
∑
i=1
m
∑
j=1
fij =
m
∑
j=1
n
∑
i=1
fij.
Pois,
n
∑
i=1
m
∑
j=1
fij =
n
∑
i=1
( fi1 + . . .+ fim) =
= ( f11 + . . .+ f1m) + . . .+ ( fn1 + . . .+ fnm) =
= ( f11 + . . .+ fn1) + . . .+ ( f1m + . . .+ fnm) =
=
m
∑
j=1
( f1j + . . .+ fnj) =
m
∑
j=1
n
∑
i=1
fij.
Aqui foram aplicadas as propriedades comutativa e associativa da soma de
nu´meros.
Julho 2010 Reginaldo J. Santos
30 Matrizes e Sistemas Lineares
1.2 Sistemas de Equac¸o˜es Lineares
Muitos problemas em va´rias a´reas da Cieˆncia recaem na soluc¸a˜o de sistemas lineares.
Vamos ver como a a´lgebra matricial pode simplificar o estudo dos sistemas lineares.
Uma equac¸a˜o linear em n varia´veis x1, x2, . . . , xn e´ uma equac¸a˜o da forma
a1x1 + a2x2 + . . .+ anxn = b ,
em que a1, a2, . . . , an e b sa˜o constantes reais;
Um sistema de equac¸o˜es lineares ou simplesmente sistema linear e´ um conjunto de
equac¸o˜es lineares, ou seja, e´ um conjunto de equac¸o˜es da forma⎧⎨
⎩
a11x1 + a12x2 + . . . + a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + . . . + a2nxn = b2
...
... =
...
am1x1 + am2x2 + . . . + amnxn = bm
em que aij e bk sa˜o constantes reais, para i, k = 1, . . . ,m e j = 1, . . . , n.
Usando o produto de matrizes que definimos na sec¸a˜o anterior, o sistema linear
acima pode ser escrito como uma equac¸a˜o matricial
A X = B,
em que
A =
⎡
⎢⎢⎢⎣
a11 a12 . . . a1n
a21 a22 . . . a2n
... . . .
...
am1 am2 . . . amn
⎤
⎥⎥⎥⎦ , X =
⎡
⎢⎢⎢⎣
x1
x2
...
xn
⎤
⎥⎥⎥⎦ e B =
⎡
⎢⎢⎢⎣
b1
b2
...
bm
⎤
⎥⎥⎥⎦ .
Um Curso de Geometria Analı´tica e A´lgebra Linear Julho 2010
1.2 Sistemas de Equac¸o˜es Lineares 31
Uma soluc¸a˜o de um sistema linear e´ uma matriz S =
⎡
⎢⎢⎢⎣
s1
s2
...
sn
⎤
⎥⎥⎥⎦ tal que as equac¸o˜es
do sistema sa˜o satisfeitas quando substituı´mos x1 = s1, x2 = s2, . . . , xn = sn. O
conjunto de todas as soluc¸o˜es do sistema e´ chamado conjunto soluc¸a˜o ou soluc¸a˜o
geral do sistema. A matriz A e´ chamada matriz do sistema linear.
Exemplo 1.10. O sistema linear de duas equac¸o˜es e duas inco´gnitas{
x + 2y = 1
2x + y = 0
pode ser escrito como [
1 2
2 1
] [
x
y
]
=
[
1
0
]
.
A soluc¸a˜o (geral) do sistema acima e´ x = −1/3 e y = 2/3 (verifique!) ou
X =
[ − 13
2
3
]
.
Uma forma de resolver um sistema linear e´ substituir o sistema inicial por outro que
tenha o mesmo conjunto soluc¸a˜o do primeiro, mas que seja mais fa´cil de resolver. O
outro sistema e´ obtido depois de aplicar sucessivamente uma se´rie de operac¸o˜es, que
na˜o alteram a soluc¸a˜o do sistema, sobre as equac¸o˜es. As operac¸o˜es que sa˜o usadas
sa˜o:
∙ Trocar a posic¸a˜o de duas equac¸o˜es do sistema;
Julho 2010 Reginaldo J. Santos
32 Matrizes e Sistemas Lineares
∙ Multiplicar uma equac¸a˜o por um escalar diferente de zero;
∙ Somar a uma equac¸a˜o outra equac¸a˜o multiplicada por um escalar.
Estas operac¸o˜es sa˜o chamadas de operac¸o˜es elementares. Quando aplicamos
operac¸o˜es elementares sobre as equac¸o˜es de um sistema linear somente os coefici-
entes do sistema sa˜o alterados, assim podemos aplicar as operac¸o˜es sobre a matriz
de coeficientes do sistema, que chamamos de matriz aumentada, ou seja, a matriz
[A ∣ B] =
⎡
⎢⎢⎢⎣
a11 a12 . . . a1n b1
a21 a22 . . . a2n b2
... . . .
...
...
am1 am2 . . . amn bm
⎤
⎥⎥⎥⎦ .
Um Curso de Geometria Analı´tica e A´lgebra Linear Julho 2010
1.2 Sistemas de Equac¸o˜es Lineares 33
Definic¸a˜o 1.5. Uma operac¸a˜o elementar sobre as linhas de uma matriz e´ uma das seguintes operac¸o˜es:
(a) Trocar a posic¸a˜o de duas linhas da matriz;
(b) Multiplicar uma linha da matriz por um escalar diferente de zero;
(c) Somar a uma linha da matriz um mu´ltiplo escalar de outra linha.
O pro´ximo teorema garante que ao aplicarmos operac¸o˜es elementares a`s equac¸o˜es
de um sistema o conjunto soluc¸a˜o na˜o e´ alterado.
Teorema 1.2. Se dois sistemas lineares AX = B e CX = D, sa˜o tais que a matriz aumentada [C ∣ D] e´ obtida de [A ∣ B]
aplicando-se uma operac¸a˜o elementar, enta˜o os dois sistemas possuem as mesmas soluc¸o˜es.
Demonstrac¸a˜o. A demonstrac¸a˜o deste teorema segue-se de duas observac¸o˜es:
(a) Se X e´ soluc¸a˜o de um sistema, enta˜o X tambe´m e´ soluc¸a˜o do sistema obtido
aplicando-se uma operac¸a˜o elementar sobre suas equac¸o˜es (verifique!).
Julho 2010 Reginaldo J. Santos
34 Matrizes e Sistemas Lineares
(b) Se o sistema CX = D, e´ obtido de AX = B aplicando-se uma operac¸a˜o elemen-
tar a`s suas equac¸o˜es (ou equivalentemente a`s linhas da sua matriz aumentada),
enta˜o o sistema AX = B tambe´m pode ser obtido de CX = D aplicando-se
uma operac¸a˜o elementar a`s suas equac¸o˜es, pois cada operac¸a˜o elementar pos-
sui uma operac¸a˜o elementar inversa do mesmo tipo, que desfaz o que a anterior
fez (verifique!).
Pela observac¸a˜o (b), AX = B e CX = D podem ser obtidos um do outro aplicando-
se uma operac¸a˜o elementar sobre as suas equac¸o˜es. E pela observac¸a˜o (a), os dois
possuem as mesmas soluc¸o˜es. ■
Dois sistemas que possuem o mesmo conjunto soluc¸a˜o sa˜o chamados sistemas equi-
valentes. Portanto, segue-se do Teorema 1.2 que aplicando-se operac¸o˜es elementares
a`s equac¸o˜es de um sistema linear obtemos sistemas equivalentes.
1.2.1 Me´todo de Gauss-Jordan
O me´todo que vamos usar para resolver sistemas lineares consiste na aplicac¸a˜o de
operac¸o˜es elementares a`s linhas da matriz aumentada do sistema ate´ que obtenha-
mos uma matriz numa forma em que o sistema associado a esta matriz seja de fa´cil
resoluc¸a˜o.
Vamos procurar obter uma matriz numa forma em que todas as linhas na˜o nulas
possuam como primeiro elemento na˜o nulo (chamado pivoˆ) o nu´mero 1 . Ale´m
disso, se uma coluna conte´m um pivoˆ, enta˜o todos os seus outros elementos tera˜o
que ser iguais a zero. Vamos ver no exemplo seguinte como conseguimos isso. Neste
exemplo veremos como a partir do faturamento e do gasto com insumos podemos
determinar quanto foi produzido de cada produto manufaturado em uma indu´stria.
Um Curso de Geometria Analı´tica e A´lgebra Linear Julho 2010
1.2 Sistemas de Equac¸o˜es Lineares 35
Exemplo 1.11. Uma indu´stria produz treˆs produtos, X, Y e Z, utilizando dois tipos
de insumo,
A e B. Para a manufatura de cada kg de X sa˜o utilizados 1 grama do
insumo A e 2 gramas do insumo B; para cada kg de Y, 1 grama de insumo A e 1
grama de insumo B e, para cada kg de Z, 1 grama de A e 4 gramas de B. O prec¸o
de venda do kg de cada um dos produtos X, Y e Z e´ R$ 2,00, R$ 3,00 e R$ 5,00,
respectivamente. Com a venda de toda a produc¸a˜o de X, Y e Z manufaturada com 1
kg de A e 2 kg de B, essa indu´stria arrecadou R$ 2500,00. Vamos determinar quantos
kg de cada um dos produtos X, Y e Z foram vendidos. Como vimos no Exemplo 1.6
na pa´gina 8, usando matrizes o esquema de produc¸a˜o pode ser descrito da seguinte
forma:
X Y Z
gramas de A/kg
gramas de B/kg
prec¸o/kg
⎡
⎣ 1 1 12 1 4
2 3 5
⎤
⎦ = A X =
⎡
⎣ xy
z
⎤
⎦ kg de X produzidoskg de Y produzidos
kg de Z produzidos
AX =
⎡
⎣ x + y + z2x + y + 4z
2x + 3y + 5z
⎤
⎦ =
⎡
⎣ 10002000
2500
⎤
⎦ gramas de A usadosgramas de B usados
arrecadac¸a˜o
Assim precisamos resolver o sistema linear⎧⎨
⎩
x + y + z = 1000
2x + y + 4z = 2000
2x + 3y + 5z = 2500
cuja matriz aumentada e´ ⎡
⎣ 1⃝ 1 1 10002 1 4 2000
2 3 5 2500
⎤
⎦
1a. eliminac¸a˜o:
Julho 2010 Reginaldo J. Santos
36 Matrizes e Sistemas Lineares
Vamos procurar para pivoˆ da 1a. linha um elemento na˜o nulo da primeira coluna na˜o
nula (se for o caso, podemos usar a troca de linhas para “trazeˆ-lo” para a primeira
linha). Como o primeiro elemento da primeira coluna e´ igual a 1 ele sera´ o primeiro
pivoˆ. Agora, precisamos “zerar” os outros elementos da 1a. coluna, que e´ a coluna
do pivoˆ, para isto, adicionamos a` 2a. linha, −2 vezes a 1a. linha e adicionamos a` 3a.
linha, tambe´m, −2 vezes a 1a. linha.
−2×1a. linha + 2a. linha −→ 2a. linha
−2×1a. linha + 3a. linha −→ 3a. linha
⎡
⎢⎣ 1 1 1 10000 −1⃝ 2 0
0 1 3 500
⎤
⎥⎦
2a. eliminac¸a˜o:
Olhamos para a sub-matriz obtida eliminando-se a 1a. linha. Escolhemos para pivoˆ
um elemento diferente de zero na 1a. coluna na˜o nula desta sub-matriz. Vamos esco-
lher o elemento de posic¸a˜o 2,2. Como temos que “fazer” o pivoˆ igual a um, vamos
multiplicar a 2a. linha por −1.
−1×2a. linha −→ 2a. linha
⎡
⎣ 1 1 1 10000 1 −2 0
0 1 3 500
⎤
⎦
Agora, precisamos “zerar” os outros elementos da 2a. coluna, que e´ a coluna do pivoˆ,
para isto, somamos a` 1a. linha,−1 vezes a 2a. e somamos a` 3a. linha, tambe´m,−1 vezes
a 2a. .
−1×2a. linha + 1a. linha −→ 1a. linha
−1×2a. linha + 3a. linha −→ 3a. linha
⎡
⎣ 1 0 3 10000 1 −2 0
0 0 5⃝ 500
⎤
⎦
3a. eliminac¸a˜o:
Um Curso de Geometria Analı´tica e A´lgebra Linear Julho 2010
1.2 Sistemas de Equac¸o˜es Lineares 37
Olhamos para a sub-matriz obtida eliminando-se a 1a. e a 2a. linha. Escolhemos para
pivoˆ um elemento diferente de zero na 1a. coluna na˜o nula desta sub-matriz. Temos
de escolher o elemento de posic¸a˜o 3,3 e como temos de “fazer” o pivoˆ igual a 1,
vamos multiplicar a 3a. linha por 1/5.
1
5×3a. linha −→ 3a. linha
⎡
⎣ 1 0 3 10000 1 −2 0
0 0 1 100
⎤
⎦
Agora, precisamos “zerar” os outros elementos da 3a. coluna, que e´ a coluna do pivoˆ,
para isto, somamos a` 1a. linha, −3 vezes a 3a. e somamos a` 2a. linha, 2 vezes a 2a. .
−3×3a. linha + 1a. linha −→ 1a. linha
2×3a. linha + 2a. linha −→ 2a. linha
⎡
⎣ 1 0 0 7000 1 0 200
0 0 1 100
⎤
⎦
Portanto o sistema dado e´ equivalente ao sistema⎧⎨
⎩
x = 700
y = 200
z = 100
que possui soluc¸a˜o geral dada por
X =
⎡
⎣ xy
z
⎤
⎦ =
⎡
⎣ 700200
100
⎤
⎦ .
Portanto, foram vendidos 700 kg do produto X, 200 kg do produto Y e 100 kg do
produto Z.
Julho 2010 Reginaldo J. Santos
38 Matrizes e Sistemas Lineares
A u´ltima matriz que obtivemos no exemplo anterior esta´ na forma que chamamos
de escalonada reduzida.
Definic¸a˜o 1.6. Uma matriz A = (aij)m×n esta´ na forma escalonada reduzida quando satisfaz as seguintes
condic¸o˜es:
(a) Todas as linhas nulas (formadas inteiramente por zeros) ocorrem abaixo das linhas na˜o nulas;
(b) O pivoˆ (1o. elemento na˜o nulo de uma linha) de cada linha na˜o nula e´ igual a 1;
(c) O pivoˆ de cada linha na˜o nula ocorre a` direita do pivoˆ da linha anterior.
(d) Se uma coluna conte´m um pivoˆ, enta˜o todos os seus outros elementos sa˜o iguais a zero.
Se uma matriz satisfaz as propriedades (a) e (c), mas na˜o necessariamente (b) e (d),
dizemos que ela esta´ na forma escalonada.
Exemplo 1.12. As matrizes⎡
⎣ 1 0 00 1 0
0 0 1
⎤
⎦ e
⎡
⎣ 1 3 0 20 0 1 −3
0 0 0 0
⎤
⎦
Um Curso de Geometria Analı´tica e A´lgebra Linear Julho 2010
1.2 Sistemas de Equac¸o˜es Lineares 39
sa˜o escalonadas reduzidas, enquanto⎡
⎣ 1 1 10 −1 2
0 0 5
⎤
⎦ e
⎡
⎣ 1 3 −1 50 0 −5 15
0 0 0 0
⎤
⎦
sa˜o escalonadas, mas na˜o sa˜o escalonadas reduzidas.
Este me´todo de resoluc¸a˜o de sistemas, que consiste em aplicar operac¸o˜es elemen-
tares a`s linhas da matriz aumentada ate´ que a matriz do sistema esteja na forma
escalonada reduzida, e´ conhecido como me´todo de Gauss-Jordan.
Exemplo 1.13. Considere o seguinte sistema⎧⎨
⎩
x + 3y + 13z = 9
y + 5z = 2
−2y − 10z = −8
A sua matriz aumentada e´ ⎡
⎣ 1⃝ 3 13 90 1 5 2
0 −2 −10 −8
⎤
⎦
1a. eliminac¸a˜o:
Como o pivoˆ da 1a. linha e´ igual a 1 e os outros elementos da 1a. coluna sa˜o iguais a
zero, na˜o ha´ nada o que fazer na 1a. eliminac¸a˜o.⎡
⎢⎣ 1 3 13 90 1⃝ 5 2
0 −2 −10 −8
⎤
⎥⎦
Julho 2010 Reginaldo J. Santos
40 Matrizes e Sistemas Lineares
2a. eliminac¸a˜o:
Olhamos para submatriz obtida eliminando-se a 1a. linha. Escolhemos para pivoˆ um
elemento na˜o nulo da 1a. coluna na˜o nula da submatriz. Escolhemos o elemento de
posic¸a˜o 2,2. Como ele e´ igual a 1, precisamos, agora, “zerar” os outros elementos da
coluna do pivoˆ. Para isto somamos a` 1a. linha, −3 vezes a 2a. e somamos a` 3a. linha, 2
vezes a 2a. .
−3×2a. linha + 1a. linha −→ 1a. linha
2×2a. linha + 3a. linha −→ 3a. linha
⎡
⎣ 1 0 −2 30 1 5 2
0 0 0 −4
⎤
⎦
Portanto o sistema dado e´ equivalente ao sistema⎧⎨
⎩
x − 2z = 3
y + 5z = 2
0 = −4
que na˜o possui soluc¸a˜o.
Em geral, um sistema linear na˜o tem soluc¸a˜o se, e somente se, a u´ltima linha na˜o nula da forma escalonada
reduzida da sua matriz aumentada for da forma [ 0 . . . 0 ∣ b′m ], com b′m ∕= 0.
Exemplo 1.14. Considere o seguinte sistema⎧⎨
⎩
3z − 9w = 6
5x + 15y − 10z + 40w = −45
x + 3y − z + 5w = −7
A sua matriz aumentada e´
Um Curso de Geometria Analı´tica e A´lgebra Linear Julho 2010
1.2 Sistemas de Equac¸o˜es Lineares 41
⎡
⎣ 0 0 3 −9 65 15 −10 40 −45
1⃝ 3 −1 5 −7
⎤
⎦
1a. eliminac¸a˜o:
Como temos que “fazer” o pivoˆ igual a um, escolhemos para pivoˆ o elemento de
posic¸a˜o 3,1. Precisamos “coloca´-lo” na primeira linha, para isto, trocamos a 3a. linha
com a 1a. .
1a. linha←→ 4a. linha
⎡
⎣ 1⃝ 3 −1 5 −75 15 −10 40 −45
0 0 3 −9 6
⎤
⎦
Agora, precisamos “zerar” os outros elementos da 1a. coluna, que e´ a coluna do pivoˆ,
para isto, adicionamos a` 2a. linha, −5 vezes a 1a. .
−5×1a. linha + 2a. linha −→ 2a. linha
⎡
⎢⎣ 1 3 −1 5 −70 0 −5⃝ 15 −10
0 0 3 −9 6
⎤
⎥⎦
2a. eliminac¸a˜o:
Olhamos para a sub-matriz obtida eliminando-se a 1a. linha. Escolhemos para pivoˆ
um elemento diferente de zero na 1a. coluna na˜o nula desta sub-matriz. Escolhemos
o elemento de posic¸a˜o 2,3. Como temos que fazer o pivoˆ igual a 1, multiplicamos a
2a. linha por −1/5.
Julho 2010 Reginaldo J. Santos
42 Matrizes e Sistemas Lineares
−(1/5)×2a. linha −→ 2a. linha
⎡
⎣ 1 3 −1 5 −70 0 1⃝ −3 2
0 0 3 −9 6
⎤
⎦
Agora, precisamos “zerar” os outros elementos da 2a. coluna, que e´ a coluna do pivoˆ,
para isto, adicionamos a` 1a. linha a 2a. e a` 3a. linha, −3 vezes a 2a. .
2a. linha + 1a. linha −→ 1a. linha
−3×2a. linha + 3a. linha −→ 3a. linha
⎡
⎣ 1 3 0 2 −50 0 1 −3 2
0 0 0 0 0
⎤
⎦
Esta matriz e´ escalonada reduzida. Portanto o sistema dado e´ equivalente ao sistema
seguinte
{
x + 3y + 2w = −5
z − 3w = 2.
A matriz deste sistema possui duas colunas sem pivoˆs. As varia´veis que na˜o esta˜o
associadas a pivoˆs podem ser consideradas varia´veis livres, isto e´, podem assumir
valores arbitra´rios. Neste exemplo as varia´veis y e w na˜o esta˜o associadas a pivoˆs
e podem ser consideradas varia´veis livres. Sejam w = α e y = β. As varia´veis
associadas aos pivoˆs tera˜o os seus valores dependentes das varia´veis livres, z =
2+ 3α, x = −5− 2α− 3β. Assim, a soluc¸a˜o geral do sistema e´
X =
⎡
⎢⎢⎣
x
y
z
w
⎤
⎥⎥⎦ =
⎡
⎢⎢⎣
−5− 2α− 3β
β
2+ 3α
α
⎤
⎥⎥⎦ para todos os valores de α e β reais.
Um Curso de Geometria Analı´tica e A´lgebra Linear Julho 2010
1.2 Sistemas de Equac¸o˜es Lineares 43
Em geral, se o sistema linear tiver soluc¸a˜o e a forma escalonada reduzida da matriz
aumentada possuir colunas sem pivoˆs, as varia´veis que na˜o esta˜o associadas a pivoˆs
podem ser consideradas varia´veis livres, isto e´, podem assumir valores arbitra´rios.
As varia´veis associadas aos pivoˆs tera˜o os seus valores dependentes das varia´veis
livres.
Lembramos que o sistema linear na˜o tem soluc¸a˜o se a u´ltima linha na˜o nula da forma
escalonada reduzida da matriz aumentada do sistema for da forma [ 0 . . . 0 ∣ b′m ],
com b′m ∕= 0, como no Exemplo 1.13 na pa´gina 39.
Observac¸a˜o. Para se encontrar a soluc¸a˜o de um sistema linear na˜o e´ necessa´rio transformar a matriz aumen-
tada do sistema na sua forma escalonada reduzida, mas se a matriz esta´ nesta forma, o sistema associado e´ o
mais simples possı´vel. Um outro me´todo de resolver sistemas lineares consiste em, atrave´s da aplicac¸a˜o de
operac¸o˜es elementares a` matriz aumentada do sistema, se chegar a uma matriz que e´ somente escalonada (isto
e´, uma matriz que satisfaz as condic¸o˜es (a) e (c), mas na˜o necessariamente (b) e (d) da Definic¸a˜o 1.6). Este
me´todo e´ conhecido como me´todo de Gauss.
O pro´ximo resultado mostra que um sistema linear que tenha mais de uma soluc¸a˜o
na˜o pode ter um nu´mero finito de soluc¸o˜es.
Julho 2010 Reginaldo J. Santos
44 Matrizes e Sistemas Lineares
Proposic¸a˜o 1.3. Sejam A uma matriz m× n e B uma matriz m× 1. Se o sistema linear A X = B possui duas soluc¸o˜es
distintas X0 ∕= X1, enta˜o ele tem infinitas soluc¸o˜es.
Demonstrac¸a˜o. Seja
Xλ = (1− λ)X0 + λX1, para λ ∈ ℝ.
Vamos mostrar que Xλ e´ soluc¸a˜o do sistema A X = B, para qualquer λ ∈ ℝ. Para
isto vamos mostrar que A Xλ = B.
Aplicando as propriedades (i), (j) das operac¸o˜es matriciais (Teorema 1.1 na pa´gina 9)
obtemos
A Xλ = A[(1− λ)X0 + λX1] = A(1− λ)X0 + AλX1 = (1− λ)A X0 + λA X1
Como X0 e X1 sa˜o soluc¸o˜es de A X = B, enta˜o A X0 = B e A X1 = B, portanto
A Xλ = (1− λ)B + λB = [(1− λ) + λ]B = B,
pela propriedade (f) do Teorema 1.1.
Assim o sistema A X = B tem infinitas soluc¸o˜es, pois para todo valor de λ ∈ ℝ, Xλ
e´ soluc¸a˜o e Xλ − Xλ′ = (λ− λ′)(X1 − X0), ou seja, Xλ ∕= Xλ′ , para λ ∕= λ′. Observe
que para λ = 0, Xλ = X0, para λ = 1, Xλ = X1, para λ = 1/2, Xλ = 12X0 +
1
2X1,
para λ = 3, Xλ = −2X0 + 3X1 e para λ = −2, Xλ = 3X0 − 2X1.
No Exemplo 3.4 na pa´gina 147 temos uma interpretac¸a˜o geome´trica desta
demonstrac¸a˜o. ■
Um Curso de Geometria Analı´tica e A´lgebra Linear Julho 2010
1.2 Sistemas de Equac¸o˜es Lineares 45
Para resolver sistemas lineares vimos aplicando operac¸o˜es elementares a` matriz au-
mentada do sistema linear. Isto pode ser feito com quaisquer matrizes.
1.2.2 Matrizes Equivalentes por Linhas
Definic¸a˜o 1.7. Uma matriz A = (aij)m×n e´ equivalente por linhas a uma matriz B = (bij)m×n, se B pode ser
obtida de A aplicando-se uma sequeˆncia de operac¸o˜es elementares sobre as suas linhas.
Exemplo 1.15. Observando os Exemplos 1.11, 1.14 e 1.13, vemos que as matrizes⎡
⎣ 1 1 12 1 4
2 3 5
⎤
⎦ ,
⎡
⎣ 0 0 3 −95 15 −10 40
1 3 −1 5
⎤
⎦ ,
⎡
⎣ 1 3 130 1 5
0 −2 −10
⎤
⎦
sa˜o equivalentes por linhas a`s matrizes⎡
⎣ 1 0 00 1 0
0 0 1
⎤
⎦ ,
⎡
⎣ 1 3 0 20 0 1 −3
0 0 0 0
⎤
⎦ ,
⎡
⎣ 1 0 −20 1 5
0 0 0
⎤
⎦ ,
respectivamente. Matrizes estas que sa˜o escalonadas reduzidas.
Julho 2010 Reginaldo J. Santos
46 Matrizes e Sistemas Lineares
Cuidado: elas sa˜o equivalentes por linhas, na˜o sa˜o iguais!
A relac¸a˜o “ser equivalente por linhas” satisfaz as seguintes propriedades, cuja
verificac¸a˜o deixamos como exercı´cio para o leitor:
∙ Toda matriz e´ equivalente por linhas a ela mesma (reflexividade);
∙ Se A e´ equivalente por linhas a B, enta˜o B e´ equivalente por linhas a A (sime-
tria);
∙ Se A e´ equivalente por linhas a B e B e´ equivalente por linhas a C, enta˜o A e´
equivalente por linhas a C (transitividade).
Toda matriz e´ equivalente por linhas a uma matriz na forma escalonada reduzida e
a demonstrac¸a˜o, que omitiremos, pode ser feita da mesma maneira que fizemos no
caso particular das matrizes aumentadas dos Exemplos 1.11, 1.14 e 1.13. No Teorema
5.15 na pa´gina 307 mostramos que essa matriz escalonada reduzida e´ a u´nica matriz
na forma escalonada reduzida equivalente a A.
Teorema 1.4. Toda matriz A = (aij)m×n e´ equivalente por linhas a uma u´nica matriz escalonada reduzida R =
(rij)m×n.
O pro´ximo resultado sera´ usado para provar alguns resultados no capı´tulo de in-
versa˜o de matrizes.
Um Curso de Geometria Analı´tica e A´lgebra Linear Julho 2010
1.2 Sistemas de Equac¸o˜es Lineares 47
Proposic¸a˜o 1.5. Seja R uma matriz n× n, na forma escalonada reduzida. Se R ∕= In, enta˜o R tem uma linha nula.
Demonstrac¸a˜o. Observe que o pivoˆ de uma linha i esta´ sempre numa coluna j com
j ≥ i. Portanto, ou a u´ltima linha de R e´ nula ou o pivoˆ da linha n esta´ na posic¸a˜o
n, n. Mas, neste caso todas as linhas anteriores sa˜o na˜o nulas e os pivoˆs de cada linha
i esta´ na coluna i, ou seja, R = In. ■
1.2.3 Sistemas Lineares Homogeˆneos
Um sistema linear da forma⎧⎨
⎩
a11x1 + a12x2 + . . . + a1nxn = 0
a21x1 + a22x2 + . . . + a2nxn = 0
...
... =
...
am1x1 + am2x2 + . . . + amnxn = 0
(1.7)
e´ chamado sistema homogeˆneo. O sistema (1.7) pode ser escrito como A X = 0¯. Todo sistema homogeˆneo
admite pelo menos a soluc¸a˜o X =
⎡
⎢⎢⎢⎣
x1
x2
...
xn
⎤
⎥⎥⎥⎦ =
⎡
⎢⎢⎢⎣
0
0
...
0
⎤
⎥⎥⎥⎦ chamada de soluc¸a˜o trivial. Portanto, todo sistema
homogeˆneo tem soluc¸a˜o. Ale´m disso ou tem somente a soluc¸a˜o trivial ou tem infinitas soluc¸o˜es
Julho 2010 Reginaldo J. Santos
48 Matrizes e Sistemas Lineares
Observac¸a˜o. Para resolver um sistema linear homogeˆneo A X = 0¯, basta escalonarmos a matriz A do sistema,
ja´ que sob a ac¸a˜o de uma operac¸a˜o elementar a coluna de zeros na˜o e´ alterada. Mas, e´ preciso ficar atento
quando se escreve o sistema linear associado a` matriz resultante das operac¸o˜es elementares, para se levar em
considerac¸a˜o esta coluna de zeros que na˜o vimos escrevendo.
Teorema 1.6. Se A = (aij)m×n, e´ tal que m < n, enta˜o o sistema homogeˆneo AX = 0¯ tem soluc¸a˜o diferente da soluc¸a˜o
trivial, ou seja, todo sistema homogeˆneo com menos equac¸o˜es do que inco´gnitas tem infinitas soluc¸o˜es.
Demonstrac¸a˜o. Como o sistema tem menos equac¸o˜es do que inco´gnitas (m < n), o
nu´mero de linhas na˜o nulas r da forma escalonada reduzida damatriz aumentada do
sistema tambe´m e´ tal que r < n. Assim, temos r pivoˆs e n− r varia´veis (inco´gnitas)
livres, que podem assumir todos os valores reais. Logo, o sistema admite soluc¸a˜o
na˜o trivial e portanto infinitas soluc¸o˜es. ■
O conjunto soluc¸a˜o de um sistema linear homogeˆneo satisfaz duas propriedades
interessantes. Estas propriedades tera˜o um papel decisivo no estudo de subespac¸os
de ℝn na Sec¸a˜o 5.2 na pa´gina 284.
Um Curso de Geometria Analı´tica e A´lgebra Linear Julho 2010
1.2 Sistemas de Equac¸o˜es Lineares 49
Proposic¸a˜o 1.7. Seja A = (aij)m×n.
(a) Se X e Y sa˜o soluc¸o˜es do sistema homogeˆneo, AX = 0¯, enta˜o
X + Y tambe´m o e´.
(b) Se X e´ soluc¸a˜o do sistema homogeˆneo, AX = 0¯, enta˜o αX tambe´m o e´.
Demonstrac¸a˜o. (a) Se X e Y sa˜o soluc¸o˜es do sistema homogeˆneo AX = 0¯, enta˜o
AX = 0¯ e AY = 0¯ e portanto X + Y tambe´m e´ soluc¸a˜o pois, A(X + Y) =
AX + AY = 0¯+ 0¯ = 0¯;
(b) Se X e´ soluc¸a˜o do sistema homogeˆneo AX = 0¯, enta˜o αX tambe´m o e´, pois
A(αX) = αAX = α0¯ = 0¯.
■
Estas propriedades na˜o sa˜o va´lidas para sistemas lineares em geral. Por exemplo,
considere o sistema linear A X = B, em que A = [1] e B = [1]. A soluc¸a˜o deste
sistema e´ X = [1]. Mas, X + X = 2X = 2, na˜o e´ soluc¸a˜o do sistema.
Exemplo 1.16. Vamos retomar a cadeia de Markov do Exemplo 1.9 na pa´gina 16.
Vamos supor que uma populac¸a˜o e´ dividida em treˆs estados (por exemplo: ricos,
classe me´dia e pobres) e que em cada unidade de tempo a probabilidade demudanc¸a
de um estado para outro seja constante no tempo, so´ dependa dos estados.
Julho 2010 Reginaldo J. Santos
50 Matrizes e Sistemas Lineares
Seja tij a probabilidade de mudanc¸a do estado j para o estado i em uma unidade de
tempo (gerac¸a˜o). A matriz de transic¸a˜o e´ dada por
T =
1⃝ 2⃝ 3⃝⎡
⎣ t11 t12 t13t21 t22 t23
t31 t32 t33
⎤
⎦ 1⃝2⃝
3⃝
Vamos considerar a matriz de transic¸a˜o
T =
1⃝ 2⃝ 3⃝⎡
⎢⎣
1
2
1
4 0
1
2
1
2
1
2
0 14
1
2
⎤
⎥⎦ 1⃝2⃝
3⃝
Vamos descobrir qual distribuic¸a˜o inicial da populac¸a˜o entre os treˆs estados per-
manece inalterada, gerac¸a˜o apo´s gerac¸a˜o. Ou seja, vamos determinar um vetor de
estado P tal que
TP = P ou TP = I3P ou (T − I3)P = 0¯.
Assim precisamos resolver o sistema linear homogeˆneo
(T − I3)X = 0¯ ⇔
⎧⎨
⎩
− 12x + 14y = 0
1
2 x − 12y + 12z = 0
1
4y − 12z = 0
cuja matriz aumentada e´ ⎡
⎢⎣ −
1
2
1
4 0 0
1
2 − 12 12 0
0 14 − 12 0
⎤
⎥⎦
Um Curso de Geometria Analı´tica e A´lgebra Linear Julho 2010
1.2 Sistemas de Equac¸o˜es Lineares 51
1a. eliminac¸a˜o:
−2×1a. linha −→ 2a. linha
⎡
⎢⎣ 1 −
1
2 0 0
1
2 − 12 12 0
0 14 − 12 0
⎤
⎥⎦
− 12×1a. linha + 2a. linha −→ 2a. linha
⎡
⎢⎣ 1 −
1
2 0 0
0 − 14 12 0
0 14 − 12 0
⎤
⎥⎦
2a. eliminac¸a˜o:
−4×2a. linha −→ 2a. linha
⎡
⎣ 1 − 12 0 00 1 −2 0
0 14 − 12 0
⎤
⎦
1
2×2a. linha + 1a. linha −→ 1a. linha
− 14×2a. linha + 3a. linha −→ 3a. linha
⎡
⎣ 1 0 −1 00 1 −2 0
0 0 0 0
⎤
⎦
Portanto o sistema dado e´ equivalente ao sistema seguinte{
x − z = 0
y − 2z = 0
Seja z = α. Enta˜o y = 2α e x = α. Assim, a soluc¸a˜o geral do sistema e´
X =
⎡
⎣ p1p2
p3
⎤
⎦ = α
⎡
⎣ 12
1
⎤
⎦ , para todo α ∈ ℝ.
Julho 2010 Reginaldo J. Santos
52 Matrizes e Sistemas Lineares
Tomando a soluc¸a˜o tal que p1 + p2 + p3 = 1 obtemos que se a populac¸a˜o inicial for
distribuı´da de forma que p1 = 1/4 da populac¸a˜o esteja no estado 1, p2 = 1/2 da
populac¸a˜o esteja no estado 2 e p3 = 1/4, esteja no estado 3, enta˜o esta distribuic¸a˜o
permanecera´ constante gerac¸a˜o apo´s gerac¸a˜o.
1.2.4 Matrizes Elementares (opcional)
Definic¸a˜o 1.8. Uma matriz elementar n× n e´ uma matriz obtida da matriz identidade In aplicando-se uma, e
somente uma, operac¸a˜o elementar.
Vamos denotar por Eij a matriz elementar obtida trocando-se a linha i com a linha
j da matriz In, Ei(α) a matriz elementar obtida multiplicando-se a linha i da matriz
In pelo escalar α ∕= 0 e Ei,j(α) a matriz elementar obtida da matriz In, somando-se a`
linha j, α vezes a linha i.
Ei,j =
⎡
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
1 0 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 0
0
. . . ⋅
⋅ 1 ⋅
⋅ 0 . . . 1 ⋅
⋅
...
. . .
... ⋅
⋅ 1 . . . 0 ⋅
⋅ 1 ⋅
⋅
. . . 0
0 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 0 1
⎤
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
← i
← j
, Ei(α) =
⎡
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
1 0 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 0
0
. . . ⋅
⋅ 1 ⋅
⋅ α ⋅
⋅ 1 ⋅
⋅ . . . 0
0 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 0 1
⎤
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
← i
Um Curso de Geometria Analı´tica e A´lgebra Linear Julho 2010
1.2 Sistemas de Equac¸o˜es Lineares 53
e Ei,j(α) =
⎡
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
1 0 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 0
0
. . . ⋅
⋅ 1 ⋅
⋅ ... . . . ⋅
⋅ α . . . 1 ⋅
⋅ . . . 0
0 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 0 1
⎤
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
← i
← j
Exemplo 1.17. As matrizes seguintes sa˜o as matrizes elementares 2× 2:
E1,2 = E2,1 =
[
0 1
1 0
]
, E1(α) =
[
α 0
0 1
]
, E2(α) =
[
1 0
0 α
]
, com α ∕= 0,
E1,2(α) =
[
1 0
α 1
]
e E2,1(α) =
[
1 α
0 1
]
.
Sejam E1 =
⎡
⎢⎢⎢⎣
1
0
...
0
⎤
⎥⎥⎥⎦ , E2 =
⎡
⎢⎢⎢⎣
0
1
...
0
⎤
⎥⎥⎥⎦,. . . , En =
⎡
⎢⎢⎢⎣
0
0
...
1
⎤
⎥⎥⎥⎦matrizes m× 1.
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54 Matrizes e Sistemas Lineares
As matrizes elementares podem ser escritas em termos das matrizes Ei como
Ei,j =
⎡
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
Et1
...
Etj
...
Eti
...
Etm
⎤
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
← i
← j
, Ei(α) =
⎡
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
Et1
...
αEti
...
Etm
⎤
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦← i e Ei,j(α) =
⎡
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
Et1
...
Eti
...
Etj + αE
t
i
...
Etm
⎤
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
← i
← j
Aplicar uma operac¸a˜o elementar em uma matriz, corresponde a multiplicar a matriz
a` esquerda por uma matriz elementar, como mostra o resultado a seguir.
Teorema 1.8. Sejam E uma matriz elementar m×m e A uma matriz qualquer m× n. Enta˜o, EA e´ igual a` matriz obtida
aplicando-se na matriz A a mesma operac¸a˜o elementar que originou E.
Demonstrac¸a˜o. Como a i-e´sima linha de um produto de matrizes BA e´ igual a BiA,
em que Bi e´ a i-e´sima linha da matriz B (Exercı´cio 1.1.18 (b) na pa´gina 25) e Eti A = Ai,
em que Ai e´ a linha i da matriz A (Exercı´cio 16 (b) na pa´gina 23), enta˜o:
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1.2 Sistemas de Equac¸o˜es Lineares 55
Ei,jA =
i→
j→
⎡
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
Et1
...
Etj
...
Eti
...
Etm
⎤
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
A =
⎡
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
Et1A
...
Etj A
...
Eti A
...
EtmA
⎤
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
← i
← j
=
⎡
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
A1
...
Aj
...
Ai
...
Am
⎤
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
← i
← j
Ei(α)A = i→
⎡
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
Et1
...
αEti
...
Etm
⎤
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦ A =
⎡
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
Et1A
...
αEti A
...
EtmA
⎤
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦← i =
⎡
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
A1
...
αAi
...
Am
⎤
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦← i
Ei,j(α)A =
i→
j→
⎡
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
Et1
...
Eti
...
Etj + αE
t
i
...
Etm
⎤
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
A =
⎡
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
Et1A
...
Eti A
...
Etj A + αE
t
i A
...
EtmA
⎤
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
← i
← j
=
⎡
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
A1
...
Ai
...
Aj + αAi
...
Am
⎤
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
← i
← j
■
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56 Matrizes e Sistemas Lineares
Assim, aplicar uma sequeˆncia de operac¸o˜es elementares em uma matriz, corres-
ponde a multiplicar a matriz a` esquerda por um produto de matrizes elementares.
Exemplo 1.18. Quando usamos o me´todo de Gauss-Jordan para resolver o sistema
do Exemplo 1.11 na pa´gina 35, aplicamos uma sequeˆncia de operac¸o˜es elementares
na matriz aumentada do sistema. Isto corresponde a multiplicar a matriz aumentada
[ A ∣ B ] =
⎡
⎣ 1 1 1 10002 1 4 2000
2 3 5 2500
⎤
⎦
a` esquerda pelas matrizes elementares
E1,2(−2) =
⎡
⎣ 1 0 0−2 1 0
0 0 1
⎤
⎦ , E1,3(−2) =
⎡
⎣ 1 0 00 1 0
−2 0 1
⎤
⎦ ,
E2(−1) =
⎡
⎣ 1 0 00 −1 0
0 0 1
⎤
⎦ , E2,1(−1) =
⎡
⎣ 1 −1 00 1 0
0 0 1
⎤
⎦ , E2,3(−1) =
⎡
⎣ 1 0 00 1 0
0 −1 1
⎤
⎦
E3( 15 ) =
⎡
⎣ 1 0 00 1 0
0 0 15
⎤
⎦ , E3,1(−3) =
⎡
⎣ 1 0 −30 1 0
0 0 1
⎤
⎦ , E3,2(2) =
⎡
⎣ 1 0 00 1 2
0 0 1
⎤
⎦ ,
ou seja,
E3,2(2) E3,1(−3) E3( 15 ) E2,3(−1) E2,1(−1) E2(−1) E1,3(−2) E1,2(−2) [ A ∣ B ]=
⎡
⎣ 1 0 0 7000 1 0 200
0 0 1 100
⎤
⎦ .
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1.2 Sistemas de Equac¸o˜es Lineares 57
Exercı´cios Nume´ricos (respostas na pa´gina 451)
1.2.1. Quais das seguintes matrizes esta˜o na forma escalonada reduzida:
A =
⎡
⎣ 1 0 0 0 30 0 1 0 −4
0 0 0 1 2
⎤
⎦,
C =
⎡
⎢⎢⎣
1 0 0 0 3
0 0 1 0 0
0 0 0 1 2