MAT. COM. E FINC. ADM4°- WEB AULA 1

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ADMINISTRAÇÃO
WEB AULA 1
Unidade 1 
Observe o diagrama acima que demonstra a composição do conjunto numérico, onde se encontram:
Números Naturais (N)
Compõe o conjunto dos Números Naturais todos os números inteiros positivos, incluindo o zero. Sua representação é feita pela letra N em maiúscula.
N = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10, …} incluindo o zero.
Para sinalizar que o zero está excluído do conjunto do números Naturais coloca-se um asterisco (*) após a letra representativa N:
N* = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11, …}
Números Inteiros (Z)
O que são os números inteiros? Como surgiram? Qual o motivo de existirem?
Quando uma pessoa empurra um carro, este carro reage com uma força de mesma intensidade. Como representar esta força contrária?
Então, o números inteiros são os números positivos e negativos.
Como nos números naturais existe a possibilidade de excluir o número zero, nos números inteiros também existe esta possibilidade. Para esta representação é necessário o asterisco, observe:
Números Racionais (Q)
Há muitos anos a raça humana necessitou dividir um objeto em partes iguais. Então, nesse momento, surgiram os números racionais, que estão relacionados a uma razão entre dois números inteiros.
Logo, este conjunto de Números Racionais é composto de todos os números inteiros (Z), também pelos números decimais finitos (por exemplo, 243,4456) e pelos números decimais infinitos periódicos (são denominados dízimas periódicas, que nada mais são que uma sequência de algarismos que se repetem infinitamente na parte decimal do número). 
Números Irracionais (I)
O Conjunto dos Números Irracionais necessariamente é formado por números decimais infinitos não-periódicos, ou seja, não contendo dizimas periódicas. E não podem ser representados por meio de uma fração. A representação é pela letra I.
Matemática Comercial e Financeira - Exemplo 1:
Números Reais (R)
O Conjunto dos Números Reais é a união de todos os conjuntos citados até o momento, sendo o conjunto dos racionais com os irracionais.
Lembrete para multiplicação e divisão:
Multiplicação de sinais iguais o resultado sempre será positivo, pois a regra nos mostra que “sinais iguais é igual a mais”:
Matemática Comercial e Financeira - Exemplo 2:
(+ 4)  *  (+ 4)  =  + 16
Multiplicação e sinais diferentes o resultado sempre será negativo, pois nos mostra a regra que “sinais diferentes menos”:
Matemática Comercial e Financeira - Exemplo 3: 
(+ 4)  *  (- 4)  =  - 16
Vamos estudar Potência!!
É necessário relembrar o que é potência e como aplicá-la,
Pois para os cálculos de matemática financeira a potência será utilizada. A potência indica a multiplicação de fatores iguais, ou seja, o número de vezes em que o número irá se multiplicar.
Matemática Comercial e Financeira – Exemplo 3:
Propriedades das Potências
As potências utilizam a propriedade da distribuição para a multiplicação/divisão.
a) ( 7  x  2 ) 3 =  73  x  23  =  343 x  8 = 2744
Casos Especiais
a)    O número um elevado a qualquer número será sempre um.  12 = 1; 1200 = 1; 11234 = 1
b)    O número zero elevado a qualquer número será sempre zero. 02 = 0; 056 = 0; 03456 = 0
c)    Um número qualquer elevado ao expoente um, será ele mesmo.  21 = 2; 2341 = 234;  56781 = 5678
d)    Todo e qualquer número elevado ao expoente zero, será sempre igual a um.    20 = 1; 440 = 1; 9870 = 1
e)    Potência de potência conserva-se a base e multiplica-se os expoentes.  (23 )2 = 26 = 64
f)     Expoentes diferentes com mesma base, na multiplicação, somam-se os expoentes.  am . an  =  am + n     à 21  * 23  = 24
g)    Expoentes diferentes com mesma base, na divisão subtraem-se os expoentes.23 x 21  = 22
h)   Expoente negativo, inverte-se o número e o expoente passa a ser positivo
Funções
É definida uma função na relação estabelecida entre dois conjuntos A e B, onde cada elemento de A se associe com um único elemento de B.
 
Funções Marginais – Em Administração, dada uma função f(x), costuma-se utilizar o conceito de função marginal para avaliar o efeito causado em f(x) por uma pequena variação
Exemplos aplicados:
1)Uma panificadora vende o pão francês a R$0,50 a unidade.
a) Obtenha a função receita R(x);
b) Calcule R(22);
c) Qual a quantidade de pães que devem ser vendidos para dar uma receita de R$33,00?
a) R(x) = 0,50 * x
b) R(22) = 0,50 *22 = 11,00
c) 33 = 0,50 * x  è  x = 33/0,50 è x = 66 pães
Raciocínio Lógico
Para Rohmann, lógica é em essência, a procura de um método pelo qual se possam isolar os raciocínios válidos e coerentes dos inválidos e incoerentes.
A lógica pode ser indutiva ou dedutiva:
Dedutiva: Partindo-se de duas premissas aceitas, deduz-se a conclusão.
Exemplo: Se todas as vacas são ruminantes e Mimosa é uma vaca, então Mimosa é ruminante.
Indutiva: Depende da experiência.
Mimosa digere os alimentos por meio da ruminação; se todas as vacas que observamos fazem o mesmo, podemos declarar que ruminar é um traço característico das vacas.
Proposições
É um conjunto de palavras ou símbolos que exprimem um pensamento de sentido completo.
Exemplo: O Brasil é um pais da América do Sul.
As proposições podem ser verdadeiras ou falsas.
Exemplos: A neve é branca; A lua é quadrada.
Símbolos da linguagem do calculo proposicional: p, q, r, s para indicar as proposições.
Exemplos: A neve é branca: p
                   A lua é quadrada: q
TAUTOLOGIA
Chama-se tautologia toda proposição composta cuja ultima coluna da sua tabela-verdade encerra somente a letra V (verdade).
A tabela verdade é o método mais utilizado para verificação se uma forma simbólica é ou não tautologia.
Exemplo:
Se eu tiver dinheiro, vou à praia e à fazenda.
Onde : p – eu tiver dinheiro
             q – vou à praia
              r – vou à fazenda
DERIVADAS
Derivada é uma representação da taxa de variação instantânea de uma determinada função.
Por exemplo, se a função f(x) = x2  representa a produção(em centenas)  de sapatos da empresa Saltos Altos e x represente as horas trabalhadas.
Esta função nos demonstra que conforme as horas vão aumentando, sua produção está crescendo o dobro.
Vamos analisar a produção em 2horas è Aplicando na função f(x) = x2,
x=2  f(2) = 22 è f(2) = 4 (centenas) = 400 sapatos
Vamos analisar a produção em 3horas è Aplicando na função f(x) = x2,
x=3  f(3) = 32 è f(3) = 9 (centenas) = 900 sapatos
Entre a segunda e a terceira hora de trabalho, foram produzidos 900- 400 = 500 sapatos
Vamos analisar a produção em 6 horas è Aplicando na função f(x) = x2,
x=6  f(6) = 62 è f(6) = 36 (centenas) = 3.600 sapatos
Vamos analisar a produção em 7 horas è Aplicando na função f(x) = x2,
x=7  f(7) = 72 è f(7) = 49 (centenas) = 4.900 sapatos
Entre a sexta e a sétima hora de trabalho, foram produzidos 4.900- 3.600 = 1300 sapatos
Analisando a empresa Saltos Altos, observamos que as produções são diferentes, apesar de estarmos falando de apenas 1 hora trabalhada. Matematicamente expondo, dizemos que a taxa de variação média entre a segunda e a terceira hora de trabalho foi de 500 sapatos e a taxa de variação média entre a sextaa e a sétima hora de trabalho foi de 1.300 sapatos.
Afirmamos que a taxa de variação média de uma função y = f(x), no intervalo de a até b (x variando de a até b) pode ser definida por:
Derivada
A função derivada, apresenta algumas fórmulas para a determinação de algumas funções derivadas. Trazemos uma tabela a seguir trazendo a função e sua derivada.
Exemplos:
Aplicando as fórmulas de derivação, encontre as derivadas das seguintes funções:
 
Máximos e mínimos na derivadas
Uma das situações práticas das funções derivadas é permitir que possamos conhecer os intervalos do domínio onde uma função é crescente, decrescente ou constante. Pelo Se uma função for crescente, sua derivada será POSITIVA no intervalo, quando for decrescente, a derivada será NEGATIVA.
Exemplo-  A empresa Saltos Altos produz uma sandália com o custo mensal dado pela função C(x) = -1x3 - 2x2 + 10x +20. Cada sandália é vendida a R$31,00.Calcule a quantidade de sandálias que deve ser produzida e vendida para dar o máximo de lucro mensal.
O resultado de qual a quantidade a ser produzida e vendida para dar o máximo lucro mensal é x=7.
 
Juros  Simples
“Quando alguém diz: Guarde dinheiro na caderneta poupança pois irá render juros e correções monetárias.”
Este dinheiro que se deposita nos bancos é denominado de Capital, ou ainda denominado de Valor Presente da negociação.
O valor que este capital rendeu após um determinado período são os Juros.
Ou seja,
Juro é uma determinada compensação financeira que se recebe ou se paga quando emprestamos, ou recebemos determinados valores por um tempo pré-estabelecido.
A capitalização pode ser de duas formas:
JUROS SIMPLES: é aquele calculado unicamente sobre o capital inicial.
JUROS COMPOSTOS: é aquele que será calculado a cada intervalo de tempo que será a cada intervalo acrescido a partir do saldo no início de correspondente intervalo. Ou seja: o juro de cada intervalo de tempo é incorporado ao capital inicial e passa a render juros também.
Fonte: http://www.somatematica.com.br
E você sabe o motivo de existir Juros?
Se eu quero comprar um imóvel, mas não possuo o dinheiro necessário, posso solicitar um empréstimo a um banco. Quando devolver o dinheiro emprestado ao banco haverá um valor a mais, que se chama juro do dinheiro que o banco me emprestou.
Os juros podem ser calculados pela seguinte fórmula:
Sendo:
J = juro
C = capital
i = taxa
t = tempo  ou n=tempo
 
Quando o problema mencionar tempo em:
Ano, a fórmula acima.
Meses, a fórmula acima será alterada no denominador de 100 para 1200.
Dias, a fórmula acima será alterada no denominador de 100 para 36000.
OBS.: No livro da disciplina utiliza-se a fórmula J = , neste caso a taxa deverá sempre estar na forma centesimal.
 
Matemática Comercial e Financeira – Exemplo 4:
Neste primeiro exemplo observe que temos um tempo em ano, mês e dias e vamos transformar tudo em dias.
Calcule os juros de um capital de R$ 80.000,00 quando aplicados à taxa de 7% ao ano durante 3 anos.
 
Matemática Comercial e Financeira – Exemplo 5:
Vamos trabalhar com a outra fórmula. Este exercício traz a taxa de juros em anos e o tempo em meses, assim o denominador da fórmula de 100 será 1200, conforme mencionado anteriormente.
Calcular o juro simples de um capital de R$ 10.000,00 aplicado à taxa de juros de 8% a.a. pelo prazo de 6 meses.
Matemática Comercial e Financeira – Exemplo 6:
Agora vamos trabalhar com a outra fórmula. Este exercício traz a taxa de juros em anos e o tempo em meses, assim o denominador da fórmula de 100 será 36000, conforme mencionado anteriormente.
Calcular o juro simples de um capital de R$ 3.000,00 aplicado a taxa de juros de 3% a.a. pelo prazo de 100 dias.
Pela fórmula teremos:
Aprofundando conhecimento !!!!!!!
Note que a taxa de juros sempre informa a qual período corresponde, por exemplo: 3% a.a, 2% a.t. ou 1% a.m.
 
 
Notem que pela fórmula     é possível encontrar o Capital aplicado, o tempo ou ainda a taxa, não somente os juros. Para tanto você aluno deverá prestar muita atenção no enunciado do problema.
 
Montante Simples
Montante é o valor final do investimento, ou seja, o valor atual/capital somado com os juros produzidos no período de aplicação.
Se o capital de R$3.000,00 aplicados e que após 6 rendeu  R$300,00 de juros, o montante agora será de R$3.300,00.
Desconto Simples
Denomina-se desconto o valor menor que o valor real da divida. Imagine que hoje você efetuou uma compra de roupas, com vencimento para daqui a 30 dias no valor de R$ 550,00. Mas cinco dias após a compra você acaba por receber um dinheiro que não estava esperando. Então decide saldar a dívida e se dirige a loja para efetuar o pagamento. Chegando lá, o Senhor Sebastião responsável pelo recebimento verifica que sua fatura e contata que o  vencimento será somente daqui a 20 dias. Neste momento o Senhor Sebastião diz: “Liquidando a dívida hoje, você obterá um desconto de 5% sobre o valor de R$ 550,00, sendo ele então R$ 27,50.”  Este valor de R$ 27,50 é o valor do desconto recebido.  Ou seja, o Desconto é a operação inversa ao Montante.
xistem dois tipos de Desconto Simples que se deve:
Desconto Racional (ou também chamado “por dentro”)
Desconto Comercial (ou chamado de “por fora”) à utilizado no comércio de modo geral e operações financeiras.
Para a utilização da fórmula deve-se saber:
N = Valor Nominal do título à É o valor de fato do título que aparece no documento (promissória, cheque, etc...)
A = Valor Atual comercial à Valor da liquidação, ou seja, valor no ato da liquidação.
Desconto à Caracteriza-se pela diferença (-) entre o Valor Nominal do título e o Valor atual do título (Valor liquidado).
d =  Desconto comercial à Para efetuar este de desconto cálculo utiliza-se o valor Nominal e o valor Atual do título, é o desconto.
i = a taxa de desconto
t = tempo
Fórmula para o Cálculo do Desconto por Fora  à d:
Desconto por dentro à D à É basicamente o inverso do Desconto por fora, pois neste calcula-se o desconto sobre o valor atual e soma-se a ele(valor atual) o valor obtido(desconto), desta forma determina-se o Valor Nominal.
Matemática Comercial e Financeira – Exemplo 7:
Qual é o desconto por fora de um título de R$ 10.000,00 descontado 5 meses antes do vencimento a uma taxa de 15% ao ano.
Matemática Comercial e Financeira – Exemplo 8
Qual o desconto por dentro de um título de R$2.000,00, com vencimento para 3 meses, sabendo que a taxa é de 2,5 % ao mês.